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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2011-12-22 18:10:34 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2011-12-22 18:10:34 (GMT)
commit4632de4b1e17b86da5ad275855010f2d1cfbfb13 (patch)
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[calculs] Description provisoirement provisoire des sous-groupes transitifs de ūĚĒĖ_6.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex115
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index 12a8c7b..fd61226 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2418,20 +2418,21 @@ $F(\xi_1,\ldots,\xi_4) = 4$, un ordre sur ce carré.)
\subsection{Degré $5$}
-Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_5$ possède cinq sous-groupes
-transitifs : le groupe symétrique $\mathfrak{S}_5$ tout entier
-(d'ordre $120$), le groupe alterné $\mathfrak{A}_5$ (d'ordre $60$), un
-groupe $\AGL(\FF_5)$ d'ordre $20$ qu'on va décrire dans un instant, le
-groupe diédral $D_5$ du pentagone (d'ordre $10$), et le groupe
-cyclique $C_5 = \ZZ/5\ZZ$ d'ordre $5$. Le groupe $\AGL(\FF_5)$ peut être
-défini comme le groupe des fonctions affines sur $\FF_5$ (vues comme
-des permutations de cinq objets), ou encore comme engendré par deux
-éléments $t$ (qu'on peut voir comme la fonction affine $x \mapsto x+1$
-sur $\FF_5$) et $s$ (qu'on peut voir comme $x \mapsto 2x$) sujets aux
-relations $t^5=1$, $s^4=1$ et $ts = st^3$. On a $D_5 = \AGL(\FF_5) \cap
-\mathfrak{A}_5$ (au moins à conjugaison près, mais si on identifie les
-sommets du pentagone aux éléments $0,1,2,3,4$ de $\FF_5$ dans cet
-ordre, avec les définitions qu'on a données c'est exactement le cas).
+Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_5$ possède cinq classes de
+conjugaison de sous-groupes transitifs : le groupe symétrique
+$\mathfrak{S}_5$ tout entier (d'ordre $120$), le groupe
+alterné $\mathfrak{A}_5$ (d'ordre $60$), un groupe $\AGL(\FF_5)$
+d'ordre $20$ qu'on va décrire dans un instant, le groupe diédral $D_5$
+du pentagone (d'ordre $10$), et le groupe cyclique $C_5 = \ZZ/5\ZZ$
+d'ordre $5$. Le groupe $\AGL(\FF_5)$ peut être défini comme le groupe
+des fonctions affines sur $\FF_5$ (vues comme des permutations de cinq
+objets), ou encore comme engendré par deux éléments $t$ (qu'on peut
+voir comme la fonction affine $x \mapsto x+1$ sur $\FF_5$) et $s$
+(qu'on peut voir comme $x \mapsto 2x$) sujets aux relations $t^5=1$,
+$s^4=1$ et $ts = st^3$. On a $D_5 = \AGL(\FF_5) \cap \mathfrak{A}_5$
+(au moins à conjugaison près, mais si on identifie les sommets du
+pentagone aux éléments $0,1,2,3,4$ de $\FF_5$ dans cet ordre, avec les
+définitions qu'on a données c'est exactement le cas).
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
@@ -2668,6 +2669,10 @@ contenu dans $C_5$ comme on vient de l'indiquer.
\subsection{Degré $6$}
+Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_6$ possède seize classes de
+conjugaison de sous-groupes transitifs, dont les inclusions (à
+conjugaison près) sont représentées par le schéma suivant :
+
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto,node distance=5ex and 3em]
\node (group-15) {$\mathfrak{S}_6$};
@@ -2717,6 +2722,88 @@ contenu dans $C_5$ comme on vient de l'indiquer.
\end{tikzpicture}
\end{center}
+À part $\mathfrak{S}_6$ (d'ordre $720$) et $\mathfrak{A}_6$
+(d'ordre $360$), ces sous-groupes peuvent être définis comme les
+groupes de permutations laissant invariants, sur un anneau quelconque,
+les polyn√īmes suivants (o√Ļ on utilise la notation $\sum_{C_6} P$ pour
+d√©signer le polyn√īme obtenu en sommant toutes les permutations
+cycliques des variables $(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6)$ à partir d'un
+polyn√īme¬†$P$, et o√Ļ bien entendu les expressions faisant intervenir
+un $\frac{1}{2}$ doivent se comprendre calculées sur $\QQ$ sachant que
+le résultat final vaut sur $\ZZ$) :
+
+\begin{itemize}
+\item pour $\mathfrak{S}_5$ (d'ordre¬†$120$)¬†: le polyn√īme $\sum_{C_6}
+ (Z_1^{2} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{2} Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2
+ Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4^{2} Z_5 + Z_1^{2} Z_3 Z_4^{2} Z_5)$ ;
+\item pour $(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3):C_2$ (d'ordre $72$) :
+ le polyn√īme $Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4 + Z_1 Z_5 + Z_3 Z_5 + Z_2 Z_6 + Z_4
+ Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_3)$ ;
+\item pour $\mathfrak{A}_5$ (d'ordre¬†$60$)¬†: le polyn√īme $Z_1 Z_2 Z_3
+ + Z_1 Z_2 Z_4 + Z_1 Z_3 Z_5 + Z_2 Z_4 Z_5 + Z_3 Z_4 Z_5 + Z_2 Z_3
+ Z_6 + Z_1 Z_4 Z_6 + Z_3 Z_4 Z_6 + Z_1 Z_5 Z_6 + Z_2 Z_5 Z_6$ ;
+\item pour $\mathfrak{S}_4 \times C_2$ (d'ordre¬†$48$)¬†: le polyn√īme
+ $Z_1 Z_4 + Z_2 Z_5 + Z_3 Z_6 = \frac{1}{2} \sum_{C_6} (Z_1 Z_4)$ ;
+\item pour $(C_3\times C_3):C_4$ (d'ordre¬†$36$)¬†: le polyn√īme $Z_1^{3}
+ Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{3} Z_4^{2}
+ + Z_1^{2} Z_2 Z_3 Z_4^{3} + Z_1^{2} Z_2^{3} Z_4 Z_5 + Z_2^{2}
+ Z_3^{3} Z_4 Z_5 + Z_1^{3} Z_2 Z_4^{2} Z_5 + Z_2 Z_3^{2} Z_4^{3} Z_5
+ + Z_2^{3} Z_3 Z_4 Z_5^{2} + Z_1 Z_2 Z_4^{3} Z_5^{2} + Z_1 Z_2^{2}
+ Z_4 Z_5^{3} + Z_2 Z_3 Z_4^{2} Z_5^{3} + Z_1^{2} Z_2^{3} Z_3 Z_6 +
+ Z_1 Z_2^{2} Z_3^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_3 Z_4^{2} Z_6 + Z_1 Z_3^{2}
+ Z_4^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_2^{2} Z_5 Z_6 + Z_2^{3} Z_3^{2} Z_5 Z_6 +
+ Z_3^{3} Z_4^{2} Z_5 Z_6 + Z_1^{2} Z_4^{3} Z_5 Z_6 + Z_1 Z_2^{3}
+ Z_5^{2} Z_6 + Z_3 Z_4^{3} Z_5^{2} Z_6 + Z_2^{2} Z_3 Z_5^{3} Z_6 +
+ Z_1 Z_4^{2} Z_5^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_2 Z_3 Z_6^{2} + Z_1 Z_3^{3} Z_4
+ Z_6^{2} + Z_2 Z_3^{3} Z_5 Z_6^{2} + Z_1^{3} Z_4 Z_5 Z_6^{2} + Z_1
+ Z_2 Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_3 Z_4 Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_1 Z_2 Z_3^{2}
+ Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_3 Z_4 Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_2 Z_5 Z_6^{3} +
+ Z_3^{2} Z_4 Z_5 Z_6^{3} + Z_2 Z_3 Z_5^{2} Z_6^{3} + Z_1 Z_4 Z_5^{2}
+ Z_6^{3}$ ;
+\item pour $\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3$ (d'ordre $36$) : le
+ polyn√īme $Z_1^{2} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{2} Z_4^{2} +
+ Z_2^{2} Z_3^{2} Z_4 Z_5 + Z_1^{2} Z_2 Z_4^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4
+ Z_5^{2} + Z_2 Z_3 Z_4^{2} Z_5^{2} + Z_1 Z_2^{2} Z_3^{2} Z_6 +
+ Z_1^{2} Z_3 Z_4^{2} Z_6 + Z_1^{2} Z_2^{2} Z_5 Z_6 + Z_3^{2} Z_4^{2}
+ Z_5 Z_6 + Z_2^{2} Z_3 Z_5^{2} Z_6 + Z_1 Z_4^{2} Z_5^{2} Z_6 +
+ Z_1^{2} Z_2 Z_3 Z_6^{2} + Z_1 Z_3^{2} Z_4 Z_6^{2} + Z_2 Z_3^{2} Z_5
+ Z_6^{2} + Z_1^{2} Z_4 Z_5 Z_6^{2} + Z_1 Z_2 Z_5^{2} Z_6^{2} + Z_3
+ Z_4 Z_5^{2} Z_6^{2} = \frac{1}{2} \sum_{C_6} (2 Z_1^{2} Z_2^{2} Z_3
+ Z_4 + 2 Z_1 Z_2 Z_3^{2} Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_4^{2} Z_5 + Z_1
+ Z_2^{2} Z_4 Z_5^{2})$ ;
+\item pour $\mathfrak{S}_4^-$ (d'ordre¬†$24$)¬†: le polyn√īme $Z_1^{3}
+ Z_2^{2} Z_3 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3^{3} + Z_2^{2}
+ Z_3^{3} Z_4 + Z_2^{3} Z_3 Z_4^{2} + Z_2 Z_3^{2} Z_4^{3} + Z_1^{3}
+ Z_3^{2} Z_5 + Z_3^{3} Z_4^{2} Z_5 + Z_1 Z_3^{3} Z_5^{2} + Z_3
+ Z_4^{3} Z_5^{2} + Z_1^{2} Z_3 Z_5^{3} + Z_3^{2} Z_4 Z_5^{3} +
+ Z_1^{2} Z_2^{3} Z_6 + Z_2^{2} Z_4^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_5^{2} Z_6 +
+ Z_4^{2} Z_5^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_2 Z_6^{2} + Z_2^{3} Z_4 Z_6^{2} +
+ Z_4^{3} Z_5 Z_6^{2} + Z_1 Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_1 Z_2^{2} Z_6^{3} +
+ Z_2 Z_4^{2} Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_5 Z_6^{3} + Z_4 Z_5^{2} Z_6^{3}$ ;
+\item pour $\mathfrak{S}_4^+$ (d'ordre¬†$24$)¬†: le polyn√īme $Z_1 Z_2
+ Z_3 + Z_3 Z_4 Z_5 + Z_2 Z_4 Z_6 + Z_1 Z_5 Z_6$ ;
+\item pour $\mathfrak{A}_4 \times C_2$ (d'ordre¬†$24$)¬†: le polyn√īme
+ $Z_1 Z_2 Z_4 + Z_2 Z_3 Z_5 + Z_1 Z_4 Z_5 + Z_1 Z_3 Z_6 + Z_3 Z_4 Z_6
+ + Z_2 Z_5 Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_2 Z_4)$ ;
+\item pour $\mathfrak{S}_3 \times C_3$ (d'ordre¬†$18$)¬†: le polyn√īme
+ $Z_1^{2} Z_3 + Z_2^{2} Z_4 + Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_5^{2} + Z_4^{2} Z_6
+ + Z_2 Z_6^{2} = \sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_3)$ ;
+\item pour $D_6$ (d'ordre¬†$12$)¬†: le polyn√īme $Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3
+ Z_4 + Z_4 Z_5 + Z_1 Z_6 + Z_5 Z_6 = \frac{1}{2} \sum_{C_6} (Z_1
+ Z_2)$ ;
+\item pour $\mathfrak{A}_4$ (d'ordre¬†$12$)¬†: le polyn√īme $Z_1^{3}
+ Z_2^{2} Z_3 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3^{3} + Z_3^{3}
+ Z_4^{2} Z_5 + Z_3 Z_4^{3} Z_5^{2} + Z_3^{2} Z_4 Z_5^{3} + Z_2^{2}
+ Z_4^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_5^{2} Z_6 + Z_2^{3} Z_4 Z_6^{2} + Z_1
+ Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_2 Z_4^{2} Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_5 Z_6^{3}$ ;
+\item pour $C_6$ (d'ordre¬†$6$)¬†: le polyn√īme $Z_1^{2} Z_2 + Z_2^{2}
+ Z_3 + Z_3^{2} Z_4 + Z_4^{2} Z_5 + Z_5^{2} Z_6 + Z_1 Z_6^{2} =
+ \sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_2)$ ;
+\item pour $\mathfrak{S}_3$ (d'ordre¬†$6$)¬†: le polyn√īme $Z_1^{2} Z_2
+ Z_3 + Z_2 Z_3 Z_4^{2} + Z_3^{2} Z_4 Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_6 + Z_1
+ Z_5^{2} Z_6 + Z_4 Z_5 Z_6^{2}$.
+\end{itemize}
+
\ifx\danslelivre\undefined