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author | David A. Madore <david@procyon> | 2011-12-09 14:59:11 +0100 |
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committer | David A. Madore <david@procyon> | 2011-12-09 14:59:11 +0100 |
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[calculs] Tentative d'éclaircissements pour le degré 5 analogues au degré 4.
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-rw-r--r-- | chapitres/calculs-galois.tex | 56 |
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index 0654753..42c2df6 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -2563,25 +2563,28 @@ a_2^2 a_3^2 a_4 a_5^2 - 160 a_2^2 a_3 a_4^3 a_5 - 192 a_2^2 a_4^5 - a_4^2 a_5^3 + 3125 a_2^2 a_5^4 - 1250 a_2 a_3 a_4 a_5^3 - 2000 a_2 a_4^3 a_5^2 + 3250 a_3^2 a_4^2 a_5^2 - 1600 a_3 a_4^4 a_5 + 256 a_4^6 - 9375 a_4 a_5^4$. Cette résolvante sextique admet donc une racine -si, et lorsqu'elle est séparable seulement si, le polynôme $f = X^5 + -a_1 X^4 + a_2 X^3 + a_3 X^2 + a_4 X + a_5$ (supposé irréductible et -séparable) a un groupe de Galois inclus dans $\AGL(\FF_5)$. Comme on l'a -déjà plusieurs fois souligné -(comparer \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche} -et \ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), on n'utilise -normalement pas en pratique une telle expression générale, dont la -seule fonction est d'impressionner par sa complexité. - -L'action de $\mathfrak{S}_5$ sur les six classes à gauche de $\AGL(\FF_5)$, -donc sur les six racines de la résolvante générale $R_P$, correspond -aux six façons de mettre une structure de $\FF_5$-espace affine (de -dimension $1$) sur cinq objets ou, si l'on préfère, de partitionner le -graphe complet sur cinq objets en deux $5$-cycles. Il peut être utile -de remarquer que $\mathfrak{A}_5$ opère transitivement sur ces six -objets (en effet, $\mathfrak{S}_5$ opère certainement transitivement, -et quitte à multiplier par un élément dans le bon conjugué de $\AGL(\FF_5)$ -qui ne soit pas dans $\mathfrak{A}_5$, on fixe l'objet désiré tout en -se ramenant dans $\mathfrak{A}_5$ si on n'y était pas) : ceci implique +$\pi$ dans $k$ si, et lorsqu'elle est séparable seulement si, le +polynôme $f = X^5 + a_1 X^4 + a_2 X^3 + a_3 X^2 + a_4 X + a_5$ +(supposé irréductible et séparable) a un groupe de Galois inclus +dans un conjugué de $\AGL(\FF_5)$, conjugué qu'on peut supposer être +exactement $\AGL(\FF_5)$ si on numérote les racines de $f$ de sorte +que $\pi = P(\xi_1,\ldots,\xi_5)$. Comme on l'a déjà plusieurs fois +souligné (comparer \ref{calcul-resolvantes-par-calcul-approche} et +\ref{calcul-resolvantes-par-bases-groebner}), on n'utilise normalement +pas en pratique une telle expression générale, dont la seule fonction +est d'impressionner par sa complexité. + +L'action de $\mathfrak{S}_5$ sur les six classes à gauche +de $\AGL(\FF_5)$, donc sur les six racines de la résolvante générale +$R_P$, correspond aux six façons de mettre une structure de +$\FF_5$-espace affine (de dimension $1$) sur cinq objets ou, si l'on +préfère, de partitionner le graphe complet sur cinq objets en deux +$5$-cycles. Il peut être intéressant de remarquer que +$\mathfrak{A}_5$ opère transitivement sur ces six objets (en effet, +$\mathfrak{S}_5$ opère certainement transitivement, et quitte à +multiplier par un élément dans le bon conjugué de $\AGL(\FF_5)$ qui ne +soit pas dans $\mathfrak{A}_5$, on fixe l'objet désiré tout en se +ramenant dans $\mathfrak{A}_5$ si on n'y était pas) : ceci implique que si $f$ a pour groupe de Galois $\mathfrak{A}_5$ (ou évidemment $\mathfrak{S}_5$), la résolvante sextique $R_P(f)$ sera irréductible (toujours en supposant qu'elle est séparable). Autrement dit, la @@ -2592,13 +2595,14 @@ Il est facile de relier $P$ à $Q$ : on a $P = Q^2 - \sigma_2 Q + \sigma_1 \sigma_3 - 3 \sigma_4$ (avec $\sigma_i$ les fonctions symétriques élémentaires de $Z_1,\ldots,Z_5$), c'est-à-dire que la résolvante dans $D_5$ relativement à $Q$ vaut $R_{D_5,Q}(f) = X^2 - -a_2 X + a_1 a_3 - 3 a_4 - \pi$ où $\pi$ est une racine de $R_P(f)$. -En supposant $R_P(f)$ séparable et réductible, ce polynôme -$R_{D_5,Q}(f)$ est donc réductible si, et lorsqu'il est séparable -seulement si, le groupe de Galois de $f$ est inclus dans $D_5$. Ceci -ne présente qu'un intérêt limité, puisqu'on aura de toute façon -probablement déjà testé au préalable si le groupe de Galois de $f$ est -inclus dans $\mathfrak{A}_5$, or $D_5 = \AGL(\FF_5) \cap \mathfrak{A}_5$. +a_2 X + a_1 a_3 - 3 a_4 - \pi$ où $\pi$ est la racine dans $k$ +de $R_P(f)$ qui témoigne du fait que $G \leq \AGL(\FF_5)$. En +supposant $R_P(f)$ séparable et réductible, ce polynôme $R_{D_5,Q}(f)$ +est donc réductible si, et lorsqu'il est séparable seulement si, le +groupe de Galois de $f$ est inclus dans $D_5$. Ceci ne présente qu'un +intérêt limité, puisqu'on aura de toute façon probablement déjà testé +au préalable si le groupe de Galois de $f$ est inclus dans +$\mathfrak{A}_5$, or $D_5 = \AGL(\FF_5) \cap \mathfrak{A}_5$. |