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authorDavid A. Madore <david@procyon>2011-10-12 16:04:23 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon>2011-10-12 16:04:23 +0200
commit60815d03b53652fabdaf98e050211ab228e7231b (patch)
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--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -764,7 +764,7 @@ Ceci découle de \ref{transformation-de-tschirnhaus-sur-un-produit} et
Intéressons-nous maintenant à la relation d'équivalence définie par
l'existence d'une transformation de Tschirnhaus :
\begin{definition2}\label{definition-polynomes-tschirnhaus-equivalents}
-Si $P,Q$ sont deux polynômes unitaires de même degrés à coefficients
+Si $P,Q$ sont deux polynômes unitaires de même degré à coefficients
dans un corps $k$, on dit qu'ils sont Tschirnhaus-équivalents
lorsqu'il existe une transformation de Tschirnhaus sur $P$ le
transformant en $Q$
@@ -1148,7 +1148,8 @@ engendre au-dessus du corps $F = K(\sigma_1,\ldots,\sigma_d)$ des
fonctions rationnelles totalement symétriques en les $Z_i$ est
précisément le corps des fonctions rationnelles invariantes par $H$ :
on peut donc être tenté de penser que l'hypothèse
-$P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ implique l'affirmation ($*$) de la
+$P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ (sur un polynôme $P$ tel qu'on
+vient de le dire) implique l'affirmation ($*$) de la
question. Or il n'en est rien : par exemple, si $K$ est un corps de
caractéristique $3$ non parfait, $L$ l'extension purement inséparable
de $K$ obtenue en ajoutant la racine cubique $\xi$ d'un élément $a \in
@@ -1605,7 +1606,7 @@ $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ prise sur le polynôme $f$.
En supposant connue du lecteur la notion de base de Gröbner d'idéaux
de polynômes, voici une autre manière dont on pourrait, en principe,
approcher le calcul de $R_P(f)$ ou $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ sans faire
-appel à des calculs en précision limitée (mais garantie) : dans
+appel à des calculs en précision garantie : dans
l'anneau $K[Z_1,\ldots,Z_d]$, calculer une base de Gröbner $B$ de
l'idéal $\mathfrak{I}$ engendré par les relations
$\sigma_i(Z_1,\ldots,Z_d) = (-1)^i a_i$ où $\sigma_i$ est la $i$-ième
@@ -1617,7 +1618,7 @@ calculer le coefficient de degré $j$ de $R_{\mathfrak{G},P} =
près, la $j$-ième fonction symétrique élémentaire des
$P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$), et réduire modulo $B$, ce
qui doit donner un résultat dans $K$, i.e., indépendant
-de $Z_1,\ldots,Z_d$.
+de $Z_1,\ldots,Z_d$. \XXX Faut-il expliquer mieux ça ?
\end{remarque2}
La proposition suivante permet de calculer les résolvantes linéaires
@@ -1778,7 +1779,7 @@ X^2 + 15552) \penalty-100 (X^6 + 36 X^4 + 216 X^2 + 2700) \penalty-100
irréductible (ce qui peut se justifier en notant que ses réductions
modulo $11$ et $13$ se factorisent respectivement comme $3$ facteurs
de degré $2$ et $2$ facteurs de degré $3$), l'existence de cette
-factorisation de $R_P(f)$ (et la séparabilté de celui-ci) prouve que
+factorisation de $R_P(f)$ (et la séparabilité de celui-ci) prouve que
le groupe de Galois $G$ de $f$ est de degré $6$ (les facteurs
irréductibles de $R_P(f)$ ne peuvent pas être de degré strictement
moins que $6$ car $G$ opérant sur des couples de racine a des orbites