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author | David A. Madore <david@procyon.(none)> | 2011-06-22 17:27:12 +0200 |
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committer | David A. Madore <david@procyon.(none)> | 2011-06-22 17:27:12 +0200 |
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[calculs] Sous-groupes de 𝔖_5.
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-rw-r--r-- | chapitres/calculs-galois.tex | 36 |
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index c2bd92b..bd1c70c 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -2316,6 +2316,42 @@ $F(\xi_1,\ldots,\xi_4) = 4$, un ordre sur ce carré.) \end{exemple2} +\subsection{Degré $5$} + +Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_5$ possède cinq sous-groupes +transitifs : le groupe symétrique $\mathfrak{S}_5$ tout entier +(d'ordre $120$), le groupe alterné $\mathfrak{A}_5$ (d'ordre $60$), un +groupe $M_{20}$ d'ordre $20$ qu'on va décrire dans un instant, le +groupe diédral $D_5$ du pentagone (d'ordre $10$), et le groupe +cyclique $C_5 = \ZZ/5\ZZ$ d'ordre $5$. Le groupe $M_{20}$ peut être +défini comme le groupe des fonctions affines sur $\FF_5$ (vues comme +des permutations de cinq objets), ou encore comme engendré par deux +éléments $t$ (qu'on peut voir comme la fonction affine $x \mapsto x+1$ +sur $\FF_5$) et $s$ (qu'on peut voir comme $x \mapsto 2x$) sujets aux +relations $t^5=1$, $s^4=1$ et $ts = st^3$. On a $D_5 = M_{20} \cap +\mathfrak{A}_5$ (au moins à conjugaison près, mais si on identifie les +sommets du pentagone aux éléments $0,1,2,3,4$ de $\FF_5$ dans cet +ordre, avec les définitions qu'on a donées c'est exactement le cas). + +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[auto] +\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=1.25em,row sep=2.5ex]{ +&\mathfrak{S}_5&\\M_{20}&&\mathfrak{A}_5\\&D_5&\\&C_5&\\}; +\draw (diag-1-2) -- (diag-2-1); +\draw (diag-1-2) -- (diag-2-3); +\draw (diag-2-1) -- (diag-3-2); +\draw (diag-2-3) -- (diag-3-2); +\draw (diag-3-2) -- (diag-4-2); +\end{tikzpicture} +\end{center} + +(La notation $M_{20}$ évoque le fait que ce groupe est un groupe +« métacyclique », en l'occurrence extension de $C_4$ par $C_5$. Il +existe cependant deux extensions non-isomorphes de $C_4$ par $C_5$ : +celle dont nous parlons est la seule qui soit incluse +dans $\mathfrak{S}_5$.) + + \ifx\danslelivre\undefined \bibliography{../configuration/bibliographie-livre} |