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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2011-12-22 20:24:50 +0100 |
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committer | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2011-12-22 20:24:50 +0100 |
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[calculs] Rappels sur l'automorphisme de Sylvester, description de quelques sous-groupes très simples.
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-rw-r--r-- | chapitres/calculs-galois.tex | 35 |
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index fd61226..9dd8e61 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -2669,6 +2669,30 @@ contenu dans $C_5$ comme on vient de l'indiquer. \subsection{Degré $6$} +Pour la présentation qui suit, il est utile de rappeler qu'il existe +des automorphismes extérieurs de $\mathfrak{S}_6$ (ce qui n'est pas le +cas de $\mathfrak{S}_n$ pour aucun autre $n$) et la manière dont on +les obtient. On appelle \emph{synthème} un produit de trois +transpositions disjointes, c'est-à-dire un appariement de chaque +élément de $\{1,\ldots,6\}$ avec un autre ; on vérifie aisément qu'il +existe $15$ synthèmes, soit autant que de transpositions, et chaque +synthème est disjoint de $8$ autres synthèmes (« disjoint » au sens où +il n'a aucune transposition en commun) ; on appelle \emph{pentade + synthématique} un ensemble de cinq synthèmes mutuellement disjoints +(c'est-à-dire une partition en cinq classes des $15$ transpositions) : +chaque paire de synthèmes disjoints appartient à une et une seule +pentade synthématique, et il existe six pentades synthématiques, deux +d'entre elles ayant toujours exactement un synthème en commun. Un +automorphisme extérieur de $\mathfrak{S}_6$ est déterminé par une +bijection entre les six objets $\{1,\ldots,6\}$ et les six pentades +synthématiques sur ces objets : l'automorphisme envoyant la +transposition échangeant deux objets sur l'unique synthème commun aux +deux pentades synthématiques choisies pour leur correspondre. Dans ce +qui suit, nous appellerons $\mathfrak{H}$ la pentade synthématique +formée des synthèmes disjoints $(12)(34)(56)$ et $(23)(45)(61)$ et des +trois autres qui leur sont simultanément disjoints (soit +$(14)(26)(35)$, $(25)(13)(46)$ et $(36)(24)(51)$). + Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_6$ possède seize classes de conjugaison de sous-groupes transitifs, dont les inclusions (à conjugaison près) sont représentées par le schéma suivant : @@ -2790,7 +2814,8 @@ le résultat final vaut sur $\ZZ$) : + Z_2 Z_6^{2} = \sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_3)$ ; \item pour $D_6$ (d'ordre $12$) : le polynôme $Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3 Z_4 + Z_4 Z_5 + Z_1 Z_6 + Z_5 Z_6 = \frac{1}{2} \sum_{C_6} (Z_1 - Z_2)$ ; + Z_2)$ : il s'agit du groupe diédral de l'hexagone dont les sommets + sont étiquetés par les variables $(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6)$ ; \item pour $\mathfrak{A}_4$ (d'ordre $12$) : le polynôme $Z_1^{3} Z_2^{2} Z_3 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3^{3} + Z_3^{3} Z_4^{2} Z_5 + Z_3 Z_4^{3} Z_5^{2} + Z_3^{2} Z_4 Z_5^{3} + Z_2^{2} @@ -2798,10 +2823,14 @@ le résultat final vaut sur $\ZZ$) : Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_2 Z_4^{2} Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_5 Z_6^{3}$ ; \item pour $C_6$ (d'ordre $6$) : le polynôme $Z_1^{2} Z_2 + Z_2^{2} Z_3 + Z_3^{2} Z_4 + Z_4^{2} Z_5 + Z_5^{2} Z_6 + Z_1 Z_6^{2} = - \sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_2)$ ; + \sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_2)$ : il s'agit des permutations cycliques des + variables $(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6)$ ; \item pour $\mathfrak{S}_3$ (d'ordre $6$) : le polynôme $Z_1^{2} Z_2 Z_3 + Z_2 Z_3 Z_4^{2} + Z_3^{2} Z_4 Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_6 + Z_1 - Z_5^{2} Z_6 + Z_4 Z_5 Z_6^{2}$. + Z_5^{2} Z_6 + Z_4 Z_5 Z_6^{2}$ : il s'agit du groupe (diédral + d'ordre $6$) des symétries de l'hexagone dont les sommets sont + étiquetés par les variables $(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6)$ mais dont un + côté sur deux est coloré différemment ; \end{itemize} |