[calculs] Rappels sur l'automorphisme de Sylvester, description de quelques sous-groupes très simples.

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@@ -2669,6 +2669,30 @@ contenu dans $C_5$ comme on vient de l'indiquer.
 
 \subsection{Degré $6$}
 
+Pour la présentation qui suit, il est utile de rappeler qu'il existe
+des automorphismes extérieurs de $\mathfrak{S}_6$ (ce qui n'est pas le
+cas de $\mathfrak{S}_n$ pour aucun autre $n$) et la manière dont on
+les obtient.  On appelle \emph{synthème} un produit de trois
+transpositions disjointes, c'est-à-dire un appariement de chaque
+élément de $\{1,\ldots,6\}$ avec un autre ; on vérifie aisément qu'il
+existe $15$ synthèmes, soit autant que de transpositions, et chaque
+synthème est disjoint de $8$ autres synthèmes (« disjoint » au sens où
+il n'a aucune transposition en commun) ; on appelle \emph{pentade
+  synthématique} un ensemble de cinq synthèmes mutuellement disjoints
+(c'est-à-dire une partition en cinq classes des $15$ transpositions) :
+chaque paire de synthèmes disjoints appartient à une et une seule
+pentade synthématique, et il existe six pentades synthématiques, deux
+d'entre elles ayant toujours exactement un synthème en commun.  Un
+automorphisme extérieur de $\mathfrak{S}_6$ est déterminé par une
+bijection entre les six objets $\{1,\ldots,6\}$ et les six pentades
+synthématiques sur ces objets : l'automorphisme envoyant la
+transposition échangeant deux objets sur l'unique synthème commun aux
+deux pentades synthématiques choisies pour leur correspondre.  Dans ce
+qui suit, nous appellerons $\mathfrak{H}$ la pentade synthématique
+formée des synthèmes disjoints $(12)(34)(56)$ et $(23)(45)(61)$ et des
+trois autres qui leur sont simultanément disjoints (soit
+$(14)(26)(35)$, $(25)(13)(46)$ et $(36)(24)(51)$).
+
 Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_6$ possède seize classes de
 conjugaison de sous-groupes transitifs, dont les inclusions (à
 conjugaison près) sont représentées par le schéma suivant :
@@ -2790,7 +2814,8 @@ le résultat final vaut sur $\ZZ$) :
   + Z_2 Z_6^{2} = \sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_3)$ ;
 \item pour $D_6$ (d'ordre $12$) : le polynôme $Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3
   Z_4 + Z_4 Z_5 + Z_1 Z_6 + Z_5 Z_6 = \frac{1}{2} \sum_{C_6} (Z_1
-  Z_2)$ ;
+  Z_2)$ : il s'agit du groupe diédral de l'hexagone dont les sommets
+  sont étiquetés par les variables $(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6)$ ;
 \item pour $\mathfrak{A}_4$ (d'ordre $12$) : le polynôme $Z_1^{3}
   Z_2^{2} Z_3 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3^{3} + Z_3^{3}
   Z_4^{2} Z_5 + Z_3 Z_4^{3} Z_5^{2} + Z_3^{2} Z_4 Z_5^{3} + Z_2^{2}
@@ -2798,10 +2823,14 @@ le résultat final vaut sur $\ZZ$) :
   Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_2 Z_4^{2} Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_5 Z_6^{3}$ ;
 \item pour $C_6$ (d'ordre $6$) : le polynôme $Z_1^{2} Z_2 + Z_2^{2}
   Z_3 + Z_3^{2} Z_4 + Z_4^{2} Z_5 + Z_5^{2} Z_6 + Z_1 Z_6^{2} =
-  \sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_2)$ ;
+  \sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_2)$ : il s'agit des permutations cycliques des
+  variables $(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6)$ ;
 \item pour $\mathfrak{S}_3$ (d'ordre $6$) : le polynôme $Z_1^{2} Z_2
   Z_3 + Z_2 Z_3 Z_4^{2} + Z_3^{2} Z_4 Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_6 + Z_1
-  Z_5^{2} Z_6 + Z_4 Z_5 Z_6^{2}$.
+  Z_5^{2} Z_6 + Z_4 Z_5 Z_6^{2}$ : il s'agit du groupe (diédral
+  d'ordre $6$) des symétries de l'hexagone dont les sommets sont
+  étiquetés par les variables $(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6)$ mais dont un
+  côté sur deux est coloré différemment ;
 \end{itemize}