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author | David A. Madore <david@procyon.(none)> | 2011-05-04 13:38:20 +0200 |
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committer | David A. Madore <david@procyon.(none)> | 2011-05-04 13:38:20 +0200 |
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[calculs] Je capitule sur cette question en général.
Je rédige de façon à ne pas me mouiller.
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-rw-r--r-- | chapitres/calculs-galois.tex | 22 |
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index fc21977..fa11e10 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -1158,10 +1158,10 @@ n'appartient pas à $K$, c'est-à-dire que la conclusion ($*$) ne tient pas. \end{remarque2} -Dans le cas où l'extension $L\bo K$ est séparable (donc galoisienne), -la théorie de Galois fournit un critère simple et intuitif pour -répondre à la -question \ref{question-trouver-critere-polynomes-invariants} : +Le cas de la +question \ref{question-trouver-critere-polynomes-invariants} qui nous +intéressera particulièrement est celui où $L\bo K$ est séparable (donc +galoisienne). Dans ce cas, on a une réponse simple à la question : \begin{proposition2} Sous les conditions de la question \ref{question-trouver-critere-polynomes-invariants}, @@ -1173,7 +1173,7 @@ les racines $\xi_1,\ldots,\xi_d$ de $f$). \begin{proof} Si $H$ contient le groupe de Galois $G$ de $f$, alors tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$ l'est en particulier par $G$ -opérant sur les $Z_i$, ce qui implique que +opérant en permutant les $Z_i$, ce qui implique que $P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) = P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ pour tout $\sigma\in G$, c'est-à-dire que $P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ est invariant par $G$ opérant comme groupe d'automorphismes sur le corps @@ -1193,9 +1193,11 @@ $P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \not\in K$ puisque $G$ est le groupe de Galois de $f$. \end{proof} -Pour trouver une réponse à la question dans le cas de l'extraction -d'une racine $p^e$-ième en caractéristique $p$, on aura besoin du -résultat classique suivant : +Même si cela ne présente guère d'intérêt pour les applications, nous +donnons aussi une réponse à la +question \ref{question-trouver-critere-polynomes-invariants} pour le +cas de l'extraction d'une racine $p^e$-ième en caractéristique $p$. +Pour cela, on aura besoin du résultat classique suivant : \begin{proposition2}\label{transitivite-des-sylow} Soit $G$ un groupe de permutations transitif sur un ensemble $X$ de cardinal $p^e$ avec $p$ un nombre premier, et soit $H$ un sous-groupe @@ -1248,6 +1250,10 @@ pas à $K$ car le polynôme minimal $f = X^{p^e}-a$ de $\xi$ est de degré $p^e$. \end{proof} +\XXX L'auteur de ces lignes ne connaît pas de critère simple répondant +à la question \ref{question-trouver-critere-polynomes-invariants} dans +le cas général. + \subsection{Résolvantes} \begin{definition2}\label{definition-resolvante} |