summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/calculs-galois.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorDavid A. Madore <david@procyon>2011-10-12 17:31:38 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon>2011-10-12 17:31:38 +0200
commit7e713ddffba421f0412f543de0657bc636f4bfb4 (patch)
tree8288d01d16a83cd8393ca993b029b0e01dd1aa37 /chapitres/calculs-galois.tex
parenta9d1ac562b140ef0dfe3ec9eea26e2752f158995 (diff)
downloadgalois-7e713ddffba421f0412f543de0657bc636f4bfb4.zip
galois-7e713ddffba421f0412f543de0657bc636f4bfb4.tar.gz
galois-7e713ddffba421f0412f543de0657bc636f4bfb4.tar.bz2
[calculs] La résolvante pour le groupe M_20 ne peut être réductible qu'en ayant une racine.
Diffstat (limited to 'chapitres/calculs-galois.tex')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex17
1 files changed, 15 insertions, 2 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 1391c20..a72e635 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2463,8 +2463,21 @@ si, et lorsqu'elle est séparable seulement si, le polynôme $f = X^5 +
a_1 X^4 + a_2 X^3 + a_3 X^2 + a_4 X + a_5$ (supposé irréductible et
séparable) a un groupe de Galois inclus dans $M_{20}$.
-\XXX En fait, $R_P$ ne peut pas être réductible autrement qu'en ayant
-une racine.
+L'action de $\mathfrak{S}_5$ sur les six classes à gauche de $M_{20}$,
+donc sur les six racines de la résolvante générale $R_P$, correspond
+aux six façons de mettre une structure de $\FF_5$-espace affine (de
+dimension $1$) sur cinq objets ou, si l'on préfère, de partitionner le
+graphe complet sur cinq objets en deux $5$-cycles. Il peut être utile
+de remarquer que $\mathfrak{A}_5$ opère transitivement sur ces six
+objets (en effet, $\mathfrak{S}_5$ opère certainement transitivement,
+et quitte à multiplier par un élément dans le bon conjugué de $M_{20}$
+qui ne soit pas dans $\mathfrak{A}_5$, on fixe l'objet désiré tout en
+se ramenant dans $\mathfrak{A}_5$ si on n'y était pas) : ceci implique
+que si $f$ a pour groupe de Galois $\mathfrak{A}_5$ (ou évidemment
+$\mathfrak{S}_5$), la résolvante sextique $R_P(f)$ sera irréductible
+(toujours en supposant qu'elle est séparable). Autrement dit, la
+seule façon dont cette résolvante puisse être réductible (si elle est
+séparable), c'est d'avoir une racine.