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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-06-22 15:48:02 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-06-22 15:48:14 +0200
commit8027d7d4dbcb5b25e03c823a41762464f517b423 (patch)
treeb344744008a73f129d48092020ede7880766ad81 /chapitres/calculs-galois.tex
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[calculs] Utilisation des résolvantes : énoncé un chouïa plus général + démonstration adaptée.
Cf. Cohen, proposition 6.3.8 page 327.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex99
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index d8d9d57..b4b1d6a 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1413,15 +1413,24 @@ indéterminées $Z_i$. Alors :
\item si le groupe de Galois $G$ de $f$ est contenu dans un conjugué
de $H$ (à l'intérieur de $\mathfrak{G}$), alors
$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une racine dans $K$,
-\item et réciproquement, \emph{en supposant que
- $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est séparable}, si $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
- admet une racine dans $K$, le groupe de Galois $G$ de $f$ est
- contenu dans un conjugué de $H$.
+\item et réciproquement, si $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
+ admet une racine \emph{simple} dans $K$ (et notamment si
+ $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est \emph{séparable} et admet une racine dans $K$),
+ le groupe de Galois $G$ de $f$ est contenu dans un conjugué de $H$.
\end{itemize}
-Plus précisément, en supposant $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ séparable, le
-groupe de Galois de ce dernier est isomorphe à $G/(G \cap
-\bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1})$ opérant sur
-l'ensemble $\mathfrak{G}/H$ des classes à gauche de $H$.
+De plus, si la résolvante $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est \emph{séparable},
+\begin{itemize}
+\item son groupe de Galois opérant sur ses racines est isomorphe à
+ $G/(G \cap \bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1})$
+ opérant sur l'ensemble $\mathfrak{G}/H$ des classes à gauche de $H$,
+\item en particulier, elle est scindée sur $K$ si et seulement si le
+ groupe de Galois $G$ de $f$ est inclus dans $\bigcap_{\sigma \in
+ \mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1}$ (plus grand sous-groupe
+ distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$).
+\end{itemize}
+(L'implication « si » de cette dernière équivalence est vraie même
+sans l'hypothèse de séparabilité de la
+résolvante $R_{\mathfrak{G},P}(f)$.)
\end{proposition2}
\begin{proof}
Notons comme précédemment $\xi_1,\ldots,\xi_d$ les racines de $f$ (de
@@ -1435,45 +1444,53 @@ $\sigma H \sigma^{-1}$ (opérant en permutant les variables), l'élément
$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ de $L$ (où $\xi_i$ sont
les racines de $f$ et $L$ son corps de décomposition) est invariant
par $G$, donc appartient à $K$, de sorte que $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
-admet cette racine dans $K$.
-
-Montrons maintenant la dernière affirmation : comme les racines
-$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ de
-$R_{\mathfrak{G},P}(f)$, donc le corps de décomposition de ce dernier,
-sont contenues dans $L$, le groupe de Galois
-de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est un quotient de $G$, et il s'agit de
-comprendre l'action de $G$ sur $\mathscr{R} :=
-\{P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) : \sigma\in\mathfrak{G}\}$
-(le groupe de Galois de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ sera le quotient de
-$G$ par le noyau de cette action). Posons $X = \mathfrak{G}/H$
-l'ensemble des classes à gauche : on définit une application $X \to
-\mathscr{R}$ envoyant $\sigma H$ sur
-$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ : celle-ci est bien
-définie (car si $\tau \in H$ alors
+admet cette racine dans $K$. Si $G$ est contenu dans l'intersection
+$\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1}$ de tous les
+conjugués de $H$ dans $\mathfrak{G}$, alors toutes les racines
+$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
+appartiennent à $K$, c'est-à-dire que $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est
+scindée sur $K$ (ceci justifie la parenthèse finale de l'énoncé).
+
+Consdérons maintenant l'action de Galois sur l'ensemble $\mathscr{R}
+:= \{P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) :
+\sigma\in\mathfrak{G}\}$ des racines de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$.
+Comme $\mathscr{R}$, donc le corps de décomposition
+de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$, est inclus dans le corps $L$ de
+décomposition de $f$, le groupe de Galois de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
+est un quotient de $G$ (celui de $f$) ; plus le groupe de Galois de
+$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est le quotient de $G$ par le fixateur de
+$\mathscr{R}$ dans $G$ (le noyau de l'action de $G$
+sur $\mathscr{R}$).
+
+Soit $X = \mathfrak{G}/H$ l'ensemble des classes à gauche de $H$
+dans $\mathfrak{G}$ : on définit une application $X \to \mathscr{R}$
+envoyant $\sigma H$ sur $P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ :
+celle-ci est bien définie (car si $\tau \in H$ alors
$P(\xi_{\sigma\tau(1)},\ldots,\xi_{\sigma\tau(d)}) =
P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ vu que $P$ est invariant
par $\tau$). Cette application est une surjection par définition
-de $\mathscr{R}$, et une bijection car l'hypothèse de séparabilité
-de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ assure que $\mathscr{R}$ et $X$ ont même
-cardinal. Enfin, elle transporte l'action de $G$ sur $X$ par
+de $\mathscr{R}$, et elle transporte l'action de $G$ sur $X$ par
multiplication à gauche en l'action naturelle de $G$
-sur $\mathscr{R}$. Ceci montre bien l'affirmation recherchée : le
-noyau de l'action de $G$ sur $X$ par multiplication à gauche est $G/(G
-\cap \bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1})$.
-
-Enfin, dans le cas particulier où $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une
-racine dans $K$, avec les notations ci-dessus ceci signifie que $G$
-fixe un élément $\sigma H$ de $X = \mathfrak{G}/H$, c'est-à-dire que
-$G \leq \sigma H\sigma^{-1}$.
+sur $\mathscr{R}$.
+
+Si $P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ est racine simple de
+$R_{\mathfrak{G},P}(f)$, cet élément de $\mathscr{R}$ est l'image d'un
+unique élément $\sigma H$ de $X$ par l'application $X \to \mathscr{R}$
+qu'on vient de voir. Si de plus cette racine appartient à $K$,
+c'est-à-dire, est invariante sous $G$, c'est que $\gamma\sigma H =
+\sigma H$ pour tout $\gamma\in G$, ce qui signifie exactement $G \leq
+\sigma H \sigma^{-1}$ comme on la annoncé.
+
+Si $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est séparable, l'application $X \to
+\mathscr{R}$ définie ci-dessus est une bijection, et l'action de $G$
+sur $\mathscr{R}$ est donc isomorphe à son action sur $X$ : en
+particulier, le noyau de l'action de $G$ sur $X$ par multiplication à
+gauche est $G \cap \bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H
+\sigma^{-1}$, et l'action est triviale ($R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est
+scindé sur $K$) si et seulement si $G$ est inclus dans
+$\bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1}$.
\end{proof}
-On peut également signaler, toujours sous l'hypothèse que la
-résolvante $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est séparable, que celle-ci est
-scindée sur $K$ si et seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$ est
-inclus dans $\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1}$
-(le plus grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu
-dans $H$).
-
L'idée intuitive à garder à l'esprit pour l'utilisation des
résolvantes est la suivante : la numérotation $\xi_1,\ldots,\xi_d$
choisie pour les racines de $f$ est initialement arbitraire (au moins