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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-01-04 13:29:01 (GMT)
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-01-04 13:29:01 (GMT)
commit9744d2dbd56589ab708d8d2d27c1d3828b626afc (patch)
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[calculs] Encore des histoires de pentades et de synth√®mes (et le rapport avec PGL_2(ūĚĒĹ_5)).
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index a1de283..fe862a9 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2669,11 +2669,12 @@ contenu dans $C_5$ comme on vient de l'indiquer.
\subsection{Degré $6$}
-\subsubsection{Rappels sur les groupe symétrique sur six objets}
+\subsubsection{Rappels sur les groupe symétrique sur six objets et ses automorphismes}
Pour la présentation qui suit, il est utile de rappeler qu'il existe
des automorphismes extérieurs de $\mathfrak{S}_6$ (ce qui n'est pas le
cas de $\mathfrak{S}_n$ pour aucun autre $n$) et la manière dont on
-les obtient.
+les obtient. On renvoie par exemple à \cite[théorème 7.1.2 et
+voisins]{Rotman} pour ces différents résultats.
On appelle \emph{synthème} un produit de trois transpositions
disjointes dans $\mathfrak{S}_6$, qu'on peut aussi voir comme un
@@ -2692,17 +2693,46 @@ une seule pentade.
L'intérêt de ces notions est que l'action de $\mathfrak{S}_6$ sur les
(six) pentades synthématiques réalise toutes les permutations de
celles-ci (si l'on veut, $\mathfrak{S}_6$ opère six fois
-transitivement sur les pentades). Un automorphisme extérieur de
-$\mathfrak{S}_6$ est donc déterminé par une bijection entre les six
-objets $\{1,\ldots,6\}$ et les six pentades synthématiques sur ces
-objets : l'automorphisme envoie la transposition échangeant deux
-objets sur l'unique synthème commun aux deux pentades synthématiques
-choisies pour leur correspondre. (Un tel automorphisme envoie une
-transposition sur un produit de trois transpositions disjointes, i.e.,
-synthème, un $3$-cycle sur un produit de deux $3$-cycles disjoints, un
-$4$-cycle sur un $4$-cycle, un $5$-cycle sur un $5$-cycle, et un
-$6$-cycle sur le produit d'une transposition et d'un $3$-cycle.)
+transitivement sur les pentades). On peut donc définir un
+automorphisme extérieur de $\mathfrak{S}_6$ en se donnant une
+bijection entre les six objets $\{1,\ldots,6\}$ et les six pentades
+synthématiques sur ces objets : l'automorphisme envoie la
+transposition échangeant deux objets sur l'unique synthème commun aux
+deux pentades synthématiques choisies pour leur correspondre. (Un tel
+automorphisme envoie une transposition sur un produit de trois
+transpositions disjointes, i.e., synthème, un $3$-cycle sur un produit
+de deux $3$-cycles disjoints, un $4$-cycle sur un $4$-cycle, un
+$5$-cycle sur un $5$-cycle, et un $6$-cycle sur le produit d'une
+transposition et d'un $3$-cycle.)
+
+Il se trouve par ailleurs que tout automorphisme de $\mathfrak{S}_6$
+est soit intérieur soit de la forme qu'on vient de dire (c'est-à-dire
+que les automorphismes intérieurs sont un sous-groupe d'indice $2$
+dans le groupe de tous les automorphismes de $\mathfrak{S}_6$).
+
+\begin{remarque2}\label{remarque-pentade-et-structure-de-p1-f5}
+Il peut également être intéressant de voir une pentade synthématique
+sur un ensemble $E$ de cardinal $6$ comme une structure de
+$\PP^1(\FF_5)$ sur ces objets (une ¬ę¬†structure de $\PP^1(\FF_5)$¬†¬Ľ
+sur $E$ se comprenant comme une bijection entre $\PP^1(\FF_5)$ et $E$
+modulo le groupe $\PGL_2(\FF_5)$ des automorphismes
+de $\PP^1(\FF_5)$). Pour ce faire, on définit une pentade sur
+$\PP^1(\FF_5)$ formée du synthème $(0\,\infty)(1\;-1)(2\;-2)$ et des
+quatre autres qui peuvent s'en déduire par l'action de
+$\PGL_2(\FF_5)$ ; il revient au même de définir la pentade comme
+l'ensemble des synth√®mes de la forme $f\circ\tau$ o√Ļ $f \in
+\PGL_2(\FF_5)$ est une involution ayant deux points fixes et $\tau$
+est la transposition échangeant ces deux points fixes (soulignons que
+le synthème en question \emph{n'appartient pas} à $\PGL_2(\FF_5)$, et
+en fait, encore une autre façon de voir la même pentade est simplement
+l'ensemble des synthèmes qui n'appartiennent pas à $\PGL_2(\FF_5)$).
+Alors $\PGL_2(\FF_5)$ est égal à l'ensemble des permutations qui
+préservent cette pentade, ce qui détermine un isomorphisme
+$\PGL_2(\FF_5) \cong \mathfrak{S}_5$ (par action de $\PGL_2(\FF_5)$
+sur les cinq autre pentades).
+\end{remarque2}
+\subsubsection{Sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_6$}
Dans ce qui suit, pour fixer les représentants des classes de
conjugaisons de sous-groupes que nous allons décrire, nous appellerons
$X$, $Y$ et $C$ les synthèmes disjoints $(12)(34)(56)$, $(23)(45)(61)$
@@ -2723,7 +2753,6 @@ $\mathscr{X}$ et $\mathscr{Y}$, tandis que $X$ (resp. $Y$) échange
$\mathscr{H}$ et $\mathscr{X}$ (resp. $\mathscr{H}$ et
$\mathscr{Y}$).
-\subsubsection{Sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_6$}
Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_6$ possède seize classes de
conjugaison de sous-groupes transitifs, dont les inclusions (à
conjugaison près) sont représentées par le schéma suivant :
@@ -2798,8 +2827,9 @@ sur $\ZZ$.
il s'agit du groupe des permutations stabilisant la pentade
$\mathscr{H}$ (c'est-à-dire, si on veut, le normalisateur de cet
ensemble comme une partie de $\mathfrak{S}_6$) ; ce groupe peut
- également être vu comme $PGL_2(\FF_5)$ si on renumérote les objets
- $(1,2,3,4,5,6)$ comme $(0,1,-1,2,-2,\infty)$ ;
+ également être vu comme $\PGL_2(\FF_5)$ si on renumérote les objets
+ $(1,2,3,4,5,6)$ comme $(0,1,-1,2,-2,\infty)$
+ (cf. remarque \ref{remarque-pentade-et-structure-de-p1-f5}) ;
\item pour $(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3) \rtimes C_2$
(d'ordre¬†$72$)¬†: le polyn√īme $Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4 + Z_1 Z_5 + Z_3 Z_5
+ Z_2 Z_6 + Z_4 Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_3)$ : il s'agit du groupe
@@ -2816,7 +2846,9 @@ sur $\ZZ$.
Z_6 + Z_1 Z_4 Z_6 + Z_3 Z_4 Z_6 + Z_1 Z_5 Z_6 + Z_2 Z_5 Z_6$ : ce
groupe est l'intersection de $\mathfrak{S}_5$ tel que défini
ci-dessus et de $\mathfrak{A}_6$ (il s'agit donc du groupe des
- permutations paires stabilisant la pentade $\mathscr{H}$) ;
+ permutations paires stabilisant la pentade $\mathscr{H}$) ; ce
+ groupe peut également être vu comme $\PSL_2(\FF_5)$ si on renumérote
+ les objets $(1,2,3,4,5,6)$ comme $(0,1,-1,2,-2,\infty)$ ;
\item pour $\mathfrak{S}_4 \times C_2$ (d'ordre¬†$48$)¬†: le polyn√īme
$Z_1 Z_4 + Z_2 Z_5 + Z_3 Z_6 = \frac{1}{2} \sum_{C_6} (Z_1 Z_4)$ :
il s'agit des éléments commutant à $C = (14)(25)(36)$ (c'est-à-dire
@@ -2824,9 +2856,7 @@ sur $\ZZ$.
$\{1,2,3,4,5,6\}$, les automorphismes de ce graphe ; la description
comme produit direct $\mathfrak{S}_4 \times C_2$ se voit si on
considère ce groupe comme le stabilisateur de
- $\{\mathscr{X},\mathscr{Y}\}$) ; ce groupe peut également être vu
- comme $PSL_2(\FF_5)$ si on renumérote les objets $(1,2,3,4,5,6)$
- comme $(0,1,-1,2,-2,\infty)$ ;
+ $\{\mathscr{X},\mathscr{Y}\}$)
\item pour $(C_3\times C_3)\rtimes C_4$ (d'ordre¬†$36$)¬†: le polyn√īme
$Z_1^{3} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{3}
Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3 Z_4^{3} + Z_1^{2} Z_2^{3} Z_4 Z_5 +