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path: root/chapitres/calculs-galois.tex
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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-01-04 18:24:14 (GMT)
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-01-04 18:24:14 (GMT)
commita70807c46e6ee8ab7f13dc8cf5ef8a749f18b9d6 (patch)
tree25e4b024623ec044962004e71e23fb369ce9b0a6 /chapitres/calculs-galois.tex
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[calculs] Deux exemples.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex37
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index 7ded295..f29f748 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -3095,6 +3095,25 @@ cas impossibles sont des cas où cette actions sur les pentades ne
correspond pas à un sous-groupe transitif de $\mathfrak{S}_6$.)
\end{proof}
+\begin{exemple2}
+Considérons le polynôme $f = X^6 + 3 X^4 - 2 X^2 + 1 \in \QQ[Z]$, qui
+est irréductible. Telle quelle, sa résolvante $R_P(f)$ définie
+ci-dessus vaut $X^6 - 6 X^5 - 935 X^4 + 7480 X^3 + 208840 X^2 - 233856
+X - 8319024 = (X + 9)^2 (X^4 - 24 X^3 - 584 X^2 + 19936 X - 102704)$
+et n'est pas irréductible. Si on effectue la transformation de
+Tschirnhaus consistant à remplacer chaque racine $\xi$ par $U(\xi) :=
+\xi^2+\xi$, le polynôme transformé devient $f^\$ = X^6 + 6 X^5 + 8 X^4
+- 18 X^3 + 11 X^2 + 14 X + 3$ dont la résolvante $R_P(f^\$)$ vaut
+maintenant $X^6 + 442 X^5 - 388015 X^4 - 198538640 X^3 + 25170235640
+X^2 + 22798069354592 X + 2707753920679824$ dont la factorisation est
+$(X^2 + 794 X + 146409) (X^4 - 352 X^3 - 254936 X^2 + 55416512 X +
+18494449936)$. Comme ni le discriminant $-519841000000$ de $f^\$$, ni
+celui $-8972235041143091200000000000000$ de $X^4 - 352 X^3 - 254936
+X^2 + 55416512 X + 18494449936$, n'est un carré, on en déduit que le
+groupe de Galois $G$ (de $f^\$$, donc de $f$) vaut $\mathfrak{S}_4
+\times C_2$.
+\end{exemple2}
+
Il reste essentiellement à savoir distinguer ce qui se passe lorsque
$R_P(f)$ est irréductible, et spécifiquement identifier le cas
$(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3) \rtimes C_2$ (le groupe
@@ -3208,6 +3227,24 @@ fournissent (ainsi comme d'habitude que
pour assurer que les résolvantes soient séparables) un algorithme
permettant de calculer le groupe de Galois des polynômes de degré $6$.
+\begin{exemple2}
+Considérons le polynôme $f = X^6 - X^5 + X^4 - 2 X^3 + X^2 + 3 X + 1
+\in \QQ[Z]$, qui est irréductible. Sa résolvante $R_P(f)$ telle que
+définie en \ref{corollaire-galois-degre-6-resolvante-pentades} vaut
+$X^6 - 44 X^5 - 316 X^4 + 27712 X^3 - 62464 X^2 - 3332864 X +
+9900544$, qui est irréductible ; sa résolvante $R_{Q_2}(f)$ telle que
+définie en \ref{corollaire-galois-degre-6-resolvante-partitions} vaut
+$X^{10} - 4 X^9 + 6 X^8 + 90 X^7 - 559 X^6 - 50 X^5 + 3724 X^4 - 3744
+X^3 + 1476 X^2 - 216 X$ qui se factorise comme $X (X^9 - 4 X^8 + 6 X^7
++ 90 X^6 - 559 X^5 - 50 X^4 + 3724 X^3 - 3744 X^2 + 1476 X - 216)$ :
+ou, si on préfère utiliser $R_{Q_3}(f)$, elle vaut $X^{10} - 2 X^9 - 5
+X^8 + 15 X^6 + 166 X^5 + 17 X^4 - 540 X^3 - 84 X^2 + 336 X + 16 = (X +
+1) (X^9 - 3 X^8 - 2 X^7 + 2 X^6 + 13 X^5 + 153 X^4 - 136 X^3 - 404 X^2
++ 320 X + 16)$. Comme enfin le discriminant $-711936$ de $f$ n'est
+pas un carré, on peut conclure que le groupe de Galois $G$ de $f$ vaut
+$(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3) \rtimes C_2$ (d'ordre $72$).
+\end{exemple2}
+
\ifx\danslelivre\undefined