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path: root/chapitres/calculs-galois.tex
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authorDavid A. Madore <david@procyon>2011-10-12 16:33:11 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon>2011-10-12 16:33:11 +0200
commita9d1ac562b140ef0dfe3ec9eea26e2752f158995 (patch)
tree07afd7caabc195b0b6da1d6abf2f3c30174af60f /chapitres/calculs-galois.tex
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[calculs] Reformulation stylistique du théorème principal sur les résolvantes.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex32
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 748bb2d..1391c20 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1408,29 +1408,31 @@ résolvante pour le calcul de groupes de Galois :
\begin{proposition2}\label{utilisation-des-resolvantes}
Soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme
(unitaire, de degré $d$) séparable à coefficients dans un corps $K$
-dont le groupe de Galois est contenu dans un sous-groupe
+dont le groupe de Galois $G$ est contenu dans un sous-groupe
$\mathfrak{G}$ de $\mathfrak{S}_d$, et soit $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$
dont on note $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(P)$ le stabilisateur à
l'intérieur de $\mathfrak{G}$ opérant en permutant les
indéterminées $Z_i$. Alors :
\begin{itemize}
-\item si le groupe de Galois $G$ de $f$ est contenu dans un conjugué
- de $H$ (à l'intérieur de $\mathfrak{G}$), alors
- $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une racine dans $K$,
-\item et réciproquement, si $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
- admet une racine \emph{simple} dans $K$ (et notamment si
- $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est \emph{séparable} et admet une racine dans $K$),
- le groupe de Galois $G$ de $f$ est contenu dans un conjugué de $H$.
+\item si $G$ est contenu dans un conjugué de $H$ (à l'intérieur de
+ $\mathfrak{G}$), alors $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une racine
+ dans $K$,
+\item et réciproquement, si $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une racine
+ \emph{simple} dans $K$ (et notamment si $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est
+ \emph{séparable} et admet une racine dans $K$), alors $G$ de $f$ est
+ contenu dans un conjugué de $H$.
\end{itemize}
De plus, si la résolvante $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est \emph{séparable},
\begin{itemize}
-\item son groupe de Galois opérant sur ses racines est isomorphe à
- $G/(G \cap \bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1})$
- opérant sur l'ensemble $\mathfrak{G}/H$ des classes à gauche de $H$,
-\item en particulier, elle est scindée sur $K$ si et seulement si le
- groupe de Galois $G$ de $f$ est inclus dans $\bigcap_{\sigma \in
- \mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1}$ (plus grand sous-groupe
- distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$).
+\item le groupe de Galois de celle-ci, opérant sur ses racines, est
+ isomorphe à $G/(G \cap \bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H
+ \sigma^{-1})$ opérant sur l'ensemble $\mathfrak{G}/H$ des classes à
+ gauche de $H$,
+\item en particulier, cette résolvante $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est
+ scindée sur $K$ si et seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$
+ est inclus dans $\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{G}} \sigma H
+ \sigma^{-1}$ (plus grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$
+ contenu dans $H$).
\end{itemize}
(L'implication « si » de cette dernière équivalence est vraie même
sans l'hypothèse de séparabilité de la