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author | David A. Madore <david@procyon> | 2011-10-12 16:33:11 +0200 |
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committer | David A. Madore <david@procyon> | 2011-10-12 16:33:11 +0200 |
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[calculs] Reformulation stylistique du théorème principal sur les résolvantes.
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-rw-r--r-- | chapitres/calculs-galois.tex | 32 |
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index 748bb2d..1391c20 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -1408,29 +1408,31 @@ résolvante pour le calcul de groupes de Galois : \begin{proposition2}\label{utilisation-des-resolvantes} Soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme (unitaire, de degré $d$) séparable à coefficients dans un corps $K$ -dont le groupe de Galois est contenu dans un sous-groupe +dont le groupe de Galois $G$ est contenu dans un sous-groupe $\mathfrak{G}$ de $\mathfrak{S}_d$, et soit $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ dont on note $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(P)$ le stabilisateur à l'intérieur de $\mathfrak{G}$ opérant en permutant les indéterminées $Z_i$. Alors : \begin{itemize} -\item si le groupe de Galois $G$ de $f$ est contenu dans un conjugué - de $H$ (à l'intérieur de $\mathfrak{G}$), alors - $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une racine dans $K$, -\item et réciproquement, si $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ - admet une racine \emph{simple} dans $K$ (et notamment si - $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est \emph{séparable} et admet une racine dans $K$), - le groupe de Galois $G$ de $f$ est contenu dans un conjugué de $H$. +\item si $G$ est contenu dans un conjugué de $H$ (à l'intérieur de + $\mathfrak{G}$), alors $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une racine + dans $K$, +\item et réciproquement, si $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une racine + \emph{simple} dans $K$ (et notamment si $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est + \emph{séparable} et admet une racine dans $K$), alors $G$ de $f$ est + contenu dans un conjugué de $H$. \end{itemize} De plus, si la résolvante $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est \emph{séparable}, \begin{itemize} -\item son groupe de Galois opérant sur ses racines est isomorphe à - $G/(G \cap \bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1})$ - opérant sur l'ensemble $\mathfrak{G}/H$ des classes à gauche de $H$, -\item en particulier, elle est scindée sur $K$ si et seulement si le - groupe de Galois $G$ de $f$ est inclus dans $\bigcap_{\sigma \in - \mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1}$ (plus grand sous-groupe - distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$). +\item le groupe de Galois de celle-ci, opérant sur ses racines, est + isomorphe à $G/(G \cap \bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H + \sigma^{-1})$ opérant sur l'ensemble $\mathfrak{G}/H$ des classes à + gauche de $H$, +\item en particulier, cette résolvante $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est + scindée sur $K$ si et seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$ + est inclus dans $\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{G}} \sigma H + \sigma^{-1}$ (plus grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ + contenu dans $H$). \end{itemize} (L'implication « si » de cette dernière équivalence est vraie même sans l'hypothèse de séparabilité de la |