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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-06-08 17:48:17 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-06-08 17:48:17 +0200
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[calculs] Résolvante relative pour un groupe de Galois cyclique d'ordre 4.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex78
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index de6a837..a07d65c 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2182,7 +2182,7 @@ simple est de calculer $R_F(f)$ directement à partir d'une
approximation numérique des racines de $f$), il est intéressant de
chercher à considérer plutôt une résolvante relative en se plaçant
dans le cas où on sait déjà que $f$ a un groupe de Galois contenu
-dans $D_4$.
+dans $D_4$ (ce qu'on voudra de toute façon tester au préalable).
Si on suppose d'avance que $f$ a un groupe de Galois contenu
dans $D_4$, on peut considérer la résolvante relative $R_{D_4,F}(f)$ :
@@ -2193,26 +2193,62 @@ différence par rapport aux situations précédentes est qu'il n'est pas
choix évident de notations pour $\Fix_{D_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$ comme
le sont les fonctions symétriques élémentaires (ou les coefficients
de $f$) pour $\Fix_{\mathfrak{S}_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$. On peut
-cependant faire le choix suivant : si par exemple $\pi$ désigne la
-racine dans $k$ de la résolvante $R_P(f)$ introduite ci-dessus pour
-vérifier que $G$ est inclus dans $D_4$, on peut écrire $R_{D_4,F}(f) =
-X^2 + (a_1 a_2 - 2 a_3 - a_1 \pi) X + (a_1^3 a_3 + a_2^3 - 5 a_1 a_2
-a_3 + 5 a_3^2 + (- a_1^2 a_2 + a_2^2 + a_1 a_3) \pi + (a_1^2 - a_2)
-\pi^2 - \pi^3)$ (pour vérifier concrètement cette expression, il
-suffit de remplacer dans le membre de droite $\pi$ par $P = Z_1 Z_3 +
-Z_2 Z_4$ et $a_1,\ldots,a_4$ par les fonctions symétriques
-élémentaires au signe près, et de constater qu'on obtient bien le
-produit de $X-F$ par la même quantité après échange de $Z_1$ et
-$Z_3$). La vérification du groupe de Galois de $f$ dans le cas où il
-est inclus dans $C_4$ peut alors suivre la stratégie suivante :
-(i) calculer $R_P(f)$ en utilisant les coefficients $a_1,\ldots,a_4$
-de $f$, vérifier que $R_P(f)$ est séparable et tester si elle a une
-racine dans $k$, appeler $\pi$ cette racine, (ii) calculer
-$R_{D_4,F}(f)$ en utilisant les coefficients $a_1,\ldots,a_4$ de $f$
-et la racine $\pi$ qu'on vient de calculer, (iii) vérifier que
-$R_{D_4,F}(f)$ est séparable et tester si elle a une racine dans $k$.
-
-\XXX --- Expliquer plus clairement le rapport entre $\pi$ et $P$.
+cependant faire le choix suivant : le corps $\Fix_{D_4}
+k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ est une extension de degré $(\mathfrak{S}_4 : D_4)
+= 3$ de $\Fix_{\mathfrak{S}_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ et peut être
+engendrée par l'élément $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4$ dont le polynôme
+minimal est donné précisément par la résolvante générale $R_P$
+explicitée plus haut. Les éléments de $\Fix_{D_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$
+et, en particulier, les coefficients de la résolvante relative
+$R_{D_4,F}$ peuvent donc s'exprimer au moyen des fonctions symétriques
+élémentaires et de $P$, et même comme combinaisons de $1,P,P^2$ avec
+des coefficients totalement symétriques. Si on note $\pi$
+l'expression $\xi_1 \xi_3 + \xi_2 \xi_4$ en les racines de $f$
+(c'est-à-dire, la valeur de $P$ sur celles-ci), on va donc pouvoir
+exprimer les coefficients de $R_{D_4,F}(f)$ comme des combinaisons de
+$1,\pi,\pi^2$ avec des coefficients fonctions rationnelles de
+$a_1,a_2,a_3,a_4$.
+
+De fait, l'expression de $R_{D_4,F}(f)$ est la suivante :
+$R_{D_4,F}(f) = X^2 + (a_1 a_2 - 2 a_3 - a_1 \pi) X + (a_1^3 a_3 -
+a_1^2 a_4 - 5 a_1 a_2 a_3 + a_2^3 + 4 a_2 a_4 + 4 a_3^2 + (- a_1^2 a_2
++ 2 a_1 a_3 + a_2^2 - 4 a_4) \pi + (a_1^2 - 2 a_2) \pi^2)$. (S'il
+s'agit de vérifier que cette expression est correcte, il suffit de
+remplacer dans le membre de droite $\pi$ par $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4$
+et $a_1,\ldots,a_4$ par les fonctions symétriques élémentaires au
+signe près, et de constater qu'on obtient bien le produit de $X-F$ par
+la même quantité après échange de $Z_1$ et $Z_3$. Cependant, si on se
+demande comment une telle expression a été trouvée, une méthode
+consiste à calculer dans l'anneau $\QQ[Z_1,\ldots,Z_4, \mathit{\Pi},
+A_1,\ldots,A_4]$ une base de Gröbner de l'idéal engendré par $A_1 +
+(Z_1+Z_2+Z_3+Z_4), \ldots, A_4 - (Z_1 Z_2 Z_3 Z_4)$ et $\mathit{\Pi} -
+(Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4)$ pour l'ordre lexicographique sur les monômes
+prolongeant un ordre sur les variables tel que $Z_1, \ldots, Z_4
+> \mathit{\Pi} > A_1, \ldots, A_4$. En réduisant modulo cette base
+les coefficients de $R_{D_4,F}$ exprimés dans les variables
+$Z_1,\ldots,Z_4$, on obtient leur expression en $a_1,\ldots,a_4$ et
+$\pi$.)
+
+Grâce à $R_{D_4,F}(f)$, tester si le groupe de Galois $G$ d'un
+polynôme $f$ est inclus dans $C_4$ peut se faire selon la stratégie
+suivante : (i) Calculer $R_P(f)$ en utilisant l'expression donnée plus
+haut en fonction des coefficients $a_1,\ldots,a_4$ de $f$, vérifier
+que $R_P(f)$ est séparable et tester si elle a une racine dans $k$ :
+si ce n'est pas le cas, le groupe de Galois de $f$ n'est pas inclus
+dans $D_4$ (et \textit{a fortiori} pas dans $C_4$) ; si c'est le cas,
+on sait au moins que le groupe de Galois de $f$ est inclus
+dans $D_4$ : appeler $\pi$ la racine trouvée ; (ii) calculer
+$R_{D_4,F}(f)$ en utilisant l'expression ci-dessus en fonction des
+coefficients $a_1,\ldots,a_4$ de $f$ et de la racine $\pi$ qu'on vient
+de calculer, vérifier que $R_{D_4,F}(f)$ est séparable et teester si
+elle a une racine dans $k$ : si ce n'est pas le cas, le groupe de
+Galois de $f$ n'est pas inclus dans $C_4$, tandis que si c'est le cas,
+il l'est. Si l'une des deux résolvantes calculées n'était pas
+séparable, il convient de remplacer $f$ par un transformé de
+Tschirnhaus $f^\$$ comme expliqué de façon
+générale \ref{strategie-algorithmique-generale-calcul-groupes-de-galois}
+(et ce qui est possible
+d'après \ref{garantir-resolvante-separable-par-transformation-de-tschirnhaus}).