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path: root/chapitres/calculs-galois.tex
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authorDavid A. Madore <david@procyon>2012-02-15 13:28:41 (GMT)
committerDavid A. Madore <david@procyon>2012-02-15 13:28:41 (GMT)
commitc07076da7a4660c486d211edacbdcbcea86d9fe6 (patch)
treeda0857e2015d5146b582c7dcce9c155dba2fd889 /chapitres/calculs-galois.tex
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[calculs] Petits éclaircissemments (réponse à des commentaires).
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex25
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index 5521d7e..da8a6e1 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -840,14 +840,12 @@ termes de théorie de Galois :
\begin{proposition2}\label{polynomes-tschirnhaus-equivalents-et-stabilisateurs-conjugues}
Soient $P,Q$ deux polynômes séparables de même degré sur un corps $k$,
ayant même corps de décomposition $E$, ou, de façon équivalente, même
-groupe de Galois $G = \Gal(E\bo k)$ à l'intérieur
-\commentaire{pas plutôt quotient ?}
-du groupe de Galois
-d'une clôture séparable de $k$. Si $U,V$ désignent les sous-groupes
-de $G$ (définis à conjugaison près) stabilisant une racine quelconque
-de $P,Q$ respectivement (de sorte que l'action de $G$ sur les classes
-à gauche de $U,V$ respectivement soit équivalente à celle sur les
-racines de $P,Q$ respectivement). Alors $P,Q$ sont
+groupe de Galois $G = \Gal(E\bo k)$ (ces affirmations étant faites une
+fois fixée une clôture séparable de $k$). Si $U,V$ désignent les
+sous-groupes de $G$ (définis à conjugaison près) stabilisant une
+racine quelconque de $P,Q$ respectivement (de sorte que l'action de
+$G$ sur les classes à gauche de $U,V$ respectivement soit équivalente
+à celle sur les racines de $P,Q$ respectivement). Alors $P,Q$ sont
Tschirnhaus-équivalents si et seulement si $U,V$ sont conjugués
dans $G$.
\end{proposition2}
@@ -937,13 +935,10 @@ $K(Z_1,\ldots,Z_d)$ par $\sigma(P(Z_1,\ldots,Z_d)) =
P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$, alors il existe $P \in
K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$. De plus,
lorsque c'est le cas (pour un $P \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$), le corps $E
-:= \Fix_H K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est engendré sur corps $F :=
-\Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ des fonctions rationnelles
-totalement symétriques par l'unique
-\commentaire{unique : ambiguë. « est monogène sur $F$,
-engendré par l'élément $P$ » ?}
-élément $P$ (autrement dit, $E =
-F(P)$).
+:= \Fix_H K(Z_1,\ldots,Z_d)$ s'écrit $E = F(P)$ (extension monogène
+engendrée par l'élément $P$) où $F$ désigne le corps
+$\Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ des fonctions rationnelles
+totalement symétriques.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour la première affirmation, on considère le polynôme