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path: root/chapitres/calculs-galois.tex
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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-06-08 18:13:12 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-06-08 18:13:12 +0200
commitc6b1d55e36fdb4abb7acfd6e52f47d0503a8f896 (patch)
treea158700e8d8f2f88759d6983b91dea5abe5e0b7f /chapitres/calculs-galois.tex
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[calculs] Éclaircissements + un exemple.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex89
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index a07d65c..5a360b9 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2187,27 +2187,27 @@ dans $D_4$ (ce qu'on voudra de toute façon tester au préalable).
Si on suppose d'avance que $f$ a un groupe de Galois contenu
dans $D_4$, on peut considérer la résolvante relative $R_{D_4,F}(f)$ :
lorsqu'elle est séparable, elle admet une racine dans $k$ si et
-seulement si $f$ a un groupe de Galois inclus dans $C_4$. Une
-différence par rapport aux situations précédentes est qu'il n'est pas
-évident de donner une expression « générale » de $R_{D_4,F}$, faute de
-choix évident de notations pour $\Fix_{D_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$ comme
-le sont les fonctions symétriques élémentaires (ou les coefficients
-de $f$) pour $\Fix_{\mathfrak{S}_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$. On peut
-cependant faire le choix suivant : le corps $\Fix_{D_4}
-k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ est une extension de degré $(\mathfrak{S}_4 : D_4)
-= 3$ de $\Fix_{\mathfrak{S}_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ et peut être
-engendrée par l'élément $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4$ dont le polynôme
-minimal est donné précisément par la résolvante générale $R_P$
-explicitée plus haut. Les éléments de $\Fix_{D_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$
-et, en particulier, les coefficients de la résolvante relative
-$R_{D_4,F}$ peuvent donc s'exprimer au moyen des fonctions symétriques
-élémentaires et de $P$, et même comme combinaisons de $1,P,P^2$ avec
-des coefficients totalement symétriques. Si on note $\pi$
-l'expression $\xi_1 \xi_3 + \xi_2 \xi_4$ en les racines de $f$
-(c'est-à-dire, la valeur de $P$ sur celles-ci), on va donc pouvoir
-exprimer les coefficients de $R_{D_4,F}(f)$ comme des combinaisons de
-$1,\pi,\pi^2$ avec des coefficients fonctions rationnelles de
-$a_1,a_2,a_3,a_4$.
+seulement si $f$ a un groupe de Galois inclus dans $C_4$ (donc en fait
+égal à $C_4$ si $f$ est irréductible). Une différence par rapport aux
+situations précédentes est qu'il n'est pas évident de donner une
+expression « générale » de $R_{D_4,F}$, faute de choix évident de
+notations pour $\Fix_{D_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$ comme le sont les
+fonctions symétriques élémentaires (ou les coefficients de $f$) pour
+$\Fix_{\mathfrak{S}_4} k[Z_1,Z_2,Z_3,Z_4]$. On peut cependant faire
+le choix suivant : le corps $\Fix_{D_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ est une
+extension de degré $(\mathfrak{S}_4 : D_4) = 3$ de
+$\Fix_{\mathfrak{S}_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ et peut être engendrée par
+l'élément $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4$ dont le polynôme minimal est donné
+précisément par la résolvante générale $R_P$ explicitée plus haut.
+Les éléments de $\Fix_{D_4} k(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4)$ et, en particulier,
+les coefficients de la résolvante relative $R_{D_4,F}$ peuvent donc
+s'exprimer au moyen des fonctions symétriques élémentaires et de $P$,
+et même comme combinaisons de $1,P,P^2$ avec des coefficients
+totalement symétriques. Si on note $\pi$ l'expression $\xi_1 \xi_3
++ \xi_2 \xi_4$ en les racines de $f$ (c'est-à-dire, la valeur de $P$
+sur celles-ci), on va donc pouvoir exprimer les coefficients de
+$R_{D_4,F}(f)$ comme des combinaisons de $1,\pi,\pi^2$ avec des
+coefficients fonctions rationnelles de $a_1,a_2,a_3,a_4$.
De fait, l'expression de $R_{D_4,F}(f)$ est la suivante :
$R_{D_4,F}(f) = X^2 + (a_1 a_2 - 2 a_3 - a_1 \pi) X + (a_1^3 a_3 -
@@ -2230,26 +2230,41 @@ $Z_1,\ldots,Z_4$, on obtient leur expression en $a_1,\ldots,a_4$ et
$\pi$.)
Grâce à $R_{D_4,F}(f)$, tester si le groupe de Galois $G$ d'un
-polynôme $f$ est inclus dans $C_4$ peut se faire selon la stratégie
-suivante : (i) Calculer $R_P(f)$ en utilisant l'expression donnée plus
-haut en fonction des coefficients $a_1,\ldots,a_4$ de $f$, vérifier
-que $R_P(f)$ est séparable et tester si elle a une racine dans $k$ :
-si ce n'est pas le cas, le groupe de Galois de $f$ n'est pas inclus
-dans $D_4$ (et \textit{a fortiori} pas dans $C_4$) ; si c'est le cas,
-on sait au moins que le groupe de Galois de $f$ est inclus
-dans $D_4$ : appeler $\pi$ la racine trouvée ; (ii) calculer
-$R_{D_4,F}(f)$ en utilisant l'expression ci-dessus en fonction des
-coefficients $a_1,\ldots,a_4$ de $f$ et de la racine $\pi$ qu'on vient
-de calculer, vérifier que $R_{D_4,F}(f)$ est séparable et teester si
-elle a une racine dans $k$ : si ce n'est pas le cas, le groupe de
-Galois de $f$ n'est pas inclus dans $C_4$, tandis que si c'est le cas,
-il l'est. Si l'une des deux résolvantes calculées n'était pas
-séparable, il convient de remplacer $f$ par un transformé de
-Tschirnhaus $f^\$$ comme expliqué de façon
+polynôme $f$ est $C_4$ peut se faire selon la stratégie suivante :
+(i) Calculer $R_P(f)$ en utilisant l'expression donnée plus haut en
+fonction des coefficients $a_1,\ldots,a_4$ de $f$, vérifier que
+$R_P(f)$ est séparable et tester si elle a une racine dans $k$ : si ce
+n'est pas le cas, le groupe de Galois de $f$ n'est pas inclus dans
+$D_4$ (et \textit{a fortiori} pas dans $C_4$) ; si c'est le cas, on
+sait au moins que le groupe de Galois de $f$ est inclus dans $D_4$ :
+appeler $\pi$ la racine trouvée ; (ii) calculer $R_{D_4,F}(f)$ en
+utilisant l'expression ci-dessus en fonction des coefficients
+$a_1,\ldots,a_4$ de $f$ et de la racine $\pi$ qu'on vient de calculer,
+vérifier que $R_{D_4,F}(f)$ est séparable et teester si elle a une
+racine dans $k$ : si ce n'est pas le cas, le groupe de Galois de $f$
+n'est pas inclus dans $C_4$, tandis que si c'est le cas, il l'est. Si
+l'une des deux résolvantes calculées n'était pas séparable, il
+convient de remplacer $f$ par un transformé de Tschirnhaus $f^\$$
+comme expliqué de façon
générale \ref{strategie-algorithmique-generale-calcul-groupes-de-galois}
(et ce qui est possible
d'après \ref{garantir-resolvante-separable-par-transformation-de-tschirnhaus}).
+\begin{exemple2}
+Considérons ce que donne cet algorithme sur le polynôme $f = X^4 + X^3
++ X^2 + X + 1$ (soit $a_1=a_2=a_3=a_4=1$), dont on sait d'avance que
+le groupe de Galois $G$ est $C_4$ puisqu'il s'agit de $\Phi_4$. On
+trouve $R_P(f) = (X - 2) (X^2 + X - 1)$. On pose donc $\pi = 2$, et
+ceci montre déjà que $G$ est inclus dans $D_4$. Le calcul de la
+seconde résolvante donne alors $R_{D_4,F}(f) = (X - 4) (X + 1)$ : ceci
+montre que $G$ est $C_4$. De fait, en appelant $\xi$ une racine
+primitive cinquième de l'unité, et en posant $\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4
+= \xi,\xi^2,\xi^4,\xi^3$ (attention à l'ordre !), on a
+$P(\xi_1,\ldots,\xi_4) = \xi_1 \xi_3 + \xi_2 \xi_4 = 2$, ce qu'on a
+appelé $\pi$, et $F(\xi_1,\ldots,\xi_4) = \xi_1 \xi_2^2
++ \xi_2 \xi_3^2 + \xi_3 \xi_4^2 + \xi_4 \xi_1^2 = 4$.
+\end{exemple2}
+
\ifx\danslelivre\undefined