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author | David A. Madore <david@procyon> | 2011-12-28 16:42:49 +0100 |
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[calculs] Toujours les sous-groupes de 𝔖_6.
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index 5112658..8ab5265 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -2669,28 +2669,39 @@ contenu dans $C_5$ comme on vient de l'indiquer. \subsection{Degré $6$} +\subsubsection{Rappels sur les groupe symétrique sur six objets} Pour la présentation qui suit, il est utile de rappeler qu'il existe des automorphismes extérieurs de $\mathfrak{S}_6$ (ce qui n'est pas le cas de $\mathfrak{S}_n$ pour aucun autre $n$) et la manière dont on -les obtient. On appelle \emph{synthème} un produit de trois -transpositions disjointes dans $\mathfrak{S}_6$, qu'on peut aussi voir -comme un appariement de chaque élément de $\{1,\ldots,6\}$ avec un -autre ; on vérifie aisément qu'il existe $15$ synthèmes, soit autant -que de transpositions, et chaque synthème est disjoint de $8$ autres +les obtient. + +On appelle \emph{synthème} un produit de trois transpositions +disjointes dans $\mathfrak{S}_6$, qu'on peut aussi voir comme un +appariement de chaque élément de $\{1,\ldots,6\}$ avec un autre ; on +vérifie aisément qu'il existe $15$ synthèmes, soit autant que de +transpositions, et chaque synthème est disjoint de $8$ autres synthèmes (« disjoint » au sens où il n'a aucune transposition en -commun) ; on appelle \emph{pentade synthématique} un ensemble de cinq -synthèmes mutuellement disjoints (c'est-à-dire une partition en cinq -classes des $15$ transpositions) : chaque paire de synthèmes disjoints -appartient à une et une seule pentade synthématique, et il existe six +commun). On appelle \emph{pentade (synthématique)} un ensemble de +cinq synthèmes mutuellement disjoints (c'est-à-dire une partition en +cinq classes des $15$ transpositions) : il existe précisément six pentades synthématiques, deux d'entre elles ayant toujours exactement -un synthème en commun, et chaque synthème appartenant à exactement -deux pentades synthématiques. Un automorphisme extérieur de -$\mathfrak{S}_6$ est déterminé par une bijection entre les six objets -$\{1,\ldots,6\}$ et les six pentades synthématiques sur ces objets : -l'automorphisme envoie la transposition échangeant deux objets sur -l'unique synthème commun aux deux pentades synthématiques choisies -pour leur correspondre, ou, si l'on préfère, cela revient à faire -opérer $\mathfrak{S}_6$ sur les six pentades synthématiques. +un synthème en commun ; chaque synthème appartient à exactement deux +pentades, et chaque paire de synthèmes disjoints appartient à une et +une seule pentade. + +L'intérêt de ces notions est que l'action de $\mathfrak{S}_6$ sur les +(six) pentades synthématiques réalise toutes les permutations de +celles-ci (si l'on veut, $\mathfrak{S}_6$ opère six fois +transitivement sur les pentades). Un automorphisme extérieur de +$\mathfrak{S}_6$ est donc déterminé par une bijection entre les six +objets $\{1,\ldots,6\}$ et les six pentades synthématiques sur ces +objets : l'automorphisme envoie la transposition échangeant deux +objets sur l'unique synthème commun aux deux pentades synthématiques +choisies pour leur correspondre. (Un tel automorphisme envoie une +transposition sur un produit de trois transpositions disjointes, i.e., +synthème, un $3$-cycle sur un produit de deux $3$-cycles disjoints, un +$4$-cycle sur un $4$-cycle, un $5$-cycle sur un $5$-cycle, et un +$6$-cycle sur le produit d'une transposition et d'un $3$-cycle.) Dans ce qui suit, pour fixer les représentants des classes de conjugaisons de sous-groupes que nous allons décrire, nous appellerons @@ -2712,6 +2723,7 @@ $\mathscr{X}$ et $\mathscr{Y}$, tandis que $X$ (resp. $Y$) échange $\mathscr{H}$ et $\mathscr{X}$ (resp. $\mathscr{H}$ et $\mathscr{Y}$). +\subsubsection{Sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_6$} Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_6$ possède seize classes de conjugaison de sous-groupes transitifs, dont les inclusions (à conjugaison près) sont représentées par le schéma suivant : @@ -2722,12 +2734,12 @@ conjugaison près) sont représentées par le schéma suivant : \node (group-14) [below=of group-15] {$\mathfrak{A}_6$}; \node (group-10) [right=of group-14] {$\mathfrak{S}_4 \times C_2$}; \node (group-13) [right=of group-10] {$\mathfrak{S}_5$}; -\node (group-12) [left=of group-14] {$(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3):C_2$}; +\node (group-12) [left=of group-14] {$(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3)\rtimes C_2$}; \node (group-6) [below=of group-14] {$\mathfrak{S}_4^+$}; \node (group-11) [right=3.5em of group-6] {$\mathfrak{A}_5$}; \node (group-5) [right=of group-11] {$\mathfrak{A}_4 \times C_2$}; \node (group-7) [right=of group-5] {$\mathfrak{S}_4^-$}; -\node (group-9) [left=of group-6] {$(C_3\times C_3):C_4$}; +\node (group-9) [left=of group-6] {$(C_3\times C_3)\rtimes C_4$}; \node (group-8) [left=of group-9] {$\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3$}; \node (group-3) [below=of group-6] {$D_6$}; \node (group-2) [right=of group-3] {$\mathfrak{A}_4$}; @@ -2766,31 +2778,43 @@ conjugaison près) sont représentées par le schéma suivant : \end{center} À part $\mathfrak{S}_6$ (d'ordre $720$) et $\mathfrak{A}_6$ -(d'ordre $360$), ces sous-groupes peuvent être définis comme les -groupes de permutations laissant invariants, sur un anneau quelconque, -les polynômes suivants (relativement auxquels on pourra donc -considérer des résolvantes), où on utilise la notation $\sum_{C_6} P$ -pour désigner le polynôme obtenu en sommant toutes les permutations -cycliques des variables $(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6)$ à partir d'un -polynôme $P$, et où bien entendu les expressions faisant intervenir -un $\frac{1}{2}$ doivent se comprendre calculées sur $\QQ$ sachant que -le résultat final vaut sur $\ZZ$ : +(d'ordre $360$), qui sont bien connus et qui correspondent à des +sous-groupes distingués, nous allons décrire successivement ces +différentes classes de conjugaison en choisissant, pour chacune, un +sous-groupe la représentant. À chaque fois nous donnerons un polynôme +ayant ce sous-groupe pour fixateur, et relativement auquel il sera +donc éventuellement intéressant de considérer une résolvante. On +utilise la notation $\sum_{C_6} P$ pour désigner le polynôme obtenu en +sommant toutes les permutations cycliques des variables +$(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6)$ à partir d'un polynôme $P$, et où bien +entendu les expressions faisant intervenir un $\frac{1}{2}$ doivent se +comprendre calculées sur $\QQ$ sachant que le résultat final vaut +sur $\ZZ$. \begin{itemize} \item pour $\mathfrak{S}_5$ (d'ordre $120$) : le polynôme $\sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{2} Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4^{2} Z_5 + Z_1^{2} Z_3 Z_4^{2} Z_5)$ : - il s'agit du groupe des permutations stabilisant $\mathscr{H}$ - (c'est-à-dire, si on veut, le normalisateur de cet ensemble comme - une partie de $\mathfrak{S}_6$) ; -\item pour $(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3):C_2$ (d'ordre $72$) : - le polynôme $Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4 + Z_1 Z_5 + Z_3 Z_5 + Z_2 Z_6 + Z_4 - Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_3)$ ; + il s'agit du groupe des permutations stabilisant la pentade + $\mathscr{H}$ (c'est-à-dire, si on veut, le normalisateur de cet + ensemble comme une partie de $\mathfrak{S}_6$) ; +\item pour $(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3) \rtimes C_2$ + (d'ordre $72$) : le polynôme $Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4 + Z_1 Z_5 + Z_3 Z_5 + + Z_2 Z_6 + Z_4 Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_3)$ : il s'agit du groupe + des permutations stabilisant la partition $\{\{1,3,5\}, \{2,4,6\}\}$ + sur les six objets ou, de façon équivalente, la partition + $\{\{\mathscr{H}, \mathscr{X}, \mathscr{Y}\}, \{\mathscr{U}, + \mathscr{V}, \mathscr{W}\}\}$ des six pentades (la description + abstraite comme produit semidirect vient de ce que ce groupe a un + sous-groupe distingué $\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3$ opérant + sur $\{1,3,5\}$ et $\{2,4,6\}$ séparément, et la conjugaison par + l'élément $C = (14)(25)(36)$ échange les deux facteurs) ; \item pour $\mathfrak{A}_5$ (d'ordre $60$) : le polynôme $Z_1 Z_2 Z_3 + Z_1 Z_2 Z_4 + Z_1 Z_3 Z_5 + Z_2 Z_4 Z_5 + Z_3 Z_4 Z_5 + Z_2 Z_3 Z_6 + Z_1 Z_4 Z_6 + Z_3 Z_4 Z_6 + Z_1 Z_5 Z_6 + Z_2 Z_5 Z_6$ : ce groupe est l'intersection de $\mathfrak{S}_5$ tel que défini - ci-dessus et de $\mathfrak{A}_6$ ; + ci-dessus et de $\mathfrak{A}_6$ (il s'agit donc du groupe des + permutations paires stabilisant la pentade $\mathscr{H}$) ; \item pour $\mathfrak{S}_4 \times C_2$ (d'ordre $48$) : le polynôme $Z_1 Z_4 + Z_2 Z_5 + Z_3 Z_6 = \frac{1}{2} \sum_{C_6} (Z_1 Z_4)$ : il s'agit des éléments commutant à $C = (14)(25)(36)$ (c'est-à-dire @@ -2799,22 +2823,30 @@ le résultat final vaut sur $\ZZ$ : comme produit direct $\mathfrak{S}_4 \times C_2$ se voit si on considère ce groupe comme le stabilisateur de $\{\mathscr{X},\mathscr{Y}\}$) ; -\item pour $(C_3\times C_3):C_4$ (d'ordre $36$) : le polynôme $Z_1^{3} - Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{3} Z_4^{2} - + Z_1^{2} Z_2 Z_3 Z_4^{3} + Z_1^{2} Z_2^{3} Z_4 Z_5 + Z_2^{2} - Z_3^{3} Z_4 Z_5 + Z_1^{3} Z_2 Z_4^{2} Z_5 + Z_2 Z_3^{2} Z_4^{3} Z_5 - + Z_2^{3} Z_3 Z_4 Z_5^{2} + Z_1 Z_2 Z_4^{3} Z_5^{2} + Z_1 Z_2^{2} - Z_4 Z_5^{3} + Z_2 Z_3 Z_4^{2} Z_5^{3} + Z_1^{2} Z_2^{3} Z_3 Z_6 + - Z_1 Z_2^{2} Z_3^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_3 Z_4^{2} Z_6 + Z_1 Z_3^{2} - Z_4^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_2^{2} Z_5 Z_6 + Z_2^{3} Z_3^{2} Z_5 Z_6 + - Z_3^{3} Z_4^{2} Z_5 Z_6 + Z_1^{2} Z_4^{3} Z_5 Z_6 + Z_1 Z_2^{3} - Z_5^{2} Z_6 + Z_3 Z_4^{3} Z_5^{2} Z_6 + Z_2^{2} Z_3 Z_5^{3} Z_6 + - Z_1 Z_4^{2} Z_5^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_2 Z_3 Z_6^{2} + Z_1 Z_3^{3} Z_4 - Z_6^{2} + Z_2 Z_3^{3} Z_5 Z_6^{2} + Z_1^{3} Z_4 Z_5 Z_6^{2} + Z_1 - Z_2 Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_3 Z_4 Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_1 Z_2 Z_3^{2} - Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_3 Z_4 Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_2 Z_5 Z_6^{3} + - Z_3^{2} Z_4 Z_5 Z_6^{3} + Z_2 Z_3 Z_5^{2} Z_6^{3} + Z_1 Z_4 Z_5^{2} - Z_6^{3}$ ; +\item pour $(C_3\times C_3)\rtimes C_4$ (d'ordre $36$) : le polynôme + $Z_1^{3} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{3} + Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3 Z_4^{3} + Z_1^{2} Z_2^{3} Z_4 Z_5 + + Z_2^{2} Z_3^{3} Z_4 Z_5 + Z_1^{3} Z_2 Z_4^{2} Z_5 + Z_2 Z_3^{2} + Z_4^{3} Z_5 + Z_2^{3} Z_3 Z_4 Z_5^{2} + Z_1 Z_2 Z_4^{3} Z_5^{2} + + Z_1 Z_2^{2} Z_4 Z_5^{3} + Z_2 Z_3 Z_4^{2} Z_5^{3} + Z_1^{2} Z_2^{3} + Z_3 Z_6 + Z_1 Z_2^{2} Z_3^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_3 Z_4^{2} Z_6 + Z_1 + Z_3^{2} Z_4^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_2^{2} Z_5 Z_6 + Z_2^{3} Z_3^{2} Z_5 + Z_6 + Z_3^{3} Z_4^{2} Z_5 Z_6 + Z_1^{2} Z_4^{3} Z_5 Z_6 + Z_1 + Z_2^{3} Z_5^{2} Z_6 + Z_3 Z_4^{3} Z_5^{2} Z_6 + Z_2^{2} Z_3 Z_5^{3} + Z_6 + Z_1 Z_4^{2} Z_5^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_2 Z_3 Z_6^{2} + Z_1 + Z_3^{3} Z_4 Z_6^{2} + Z_2 Z_3^{3} Z_5 Z_6^{2} + Z_1^{3} Z_4 Z_5 + Z_6^{2} + Z_1 Z_2 Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_3 Z_4 Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_1 + Z_2 Z_3^{2} Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_3 Z_4 Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_2 Z_5 + Z_6^{3} + Z_3^{2} Z_4 Z_5 Z_6^{3} + Z_2 Z_3 Z_5^{2} Z_6^{3} + Z_1 + Z_4 Z_5^{2} Z_6^{3}$ : ce groupe est l'intersection de + $(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3) \rtimes C_2$ tel que défini + ci-dessus et de $\mathfrak{A}_6$ (il s'agit donc des permutations + paires stabilisant la partition $\{\{1,3,5\}, \{2,4,6\}\}$ ; la + description abstraite comme produit semidirect vient de ce que ce + groupe a un sous-groupe distingué $C_3 \times C_3$ engendré par + $(1,3,5)$ et $(2,4,6)$, et la conjugaison par $(1,2)(3,4,5,6)$ + réalise un isomorphisme d'un facteur sur l'autre dont le carré est + l'application inverse) ; \item pour $\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3$ (d'ordre $36$) : le polynôme $Z_1^{2} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{2} Z_4^{2} + Z_2^{2} Z_3^{2} Z_4 Z_5 + Z_1^{2} Z_2 Z_4^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4 @@ -2825,7 +2857,9 @@ le résultat final vaut sur $\ZZ$ : Z_6^{2} + Z_1^{2} Z_4 Z_5 Z_6^{2} + Z_1 Z_2 Z_5^{2} Z_6^{2} + Z_3 Z_4 Z_5^{2} Z_6^{2} = \frac{1}{2} \sum_{C_6} (2 Z_1^{2} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + 2 Z_1 Z_2 Z_3^{2} Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_4^{2} Z_5 + Z_1 - Z_2^{2} Z_4 Z_5^{2})$ ; + Z_2^{2} Z_4 Z_5^{2})$ : il s'agit des permutations préservant + chacune des parties $\{\mathscr{H}, \mathscr{X}, \mathscr{Y}\}$ et + $\{\mathscr{U}, \mathscr{V}, \mathscr{W}\}$ ; \item pour $\mathfrak{S}_4^-$ (d'ordre $24$) : le polynôme $Z_1^{3} Z_2^{2} Z_3 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3^{3} + Z_2^{2} Z_3^{3} Z_4 + Z_2^{3} Z_3 Z_4^{2} + Z_2 Z_3^{2} Z_4^{3} + Z_1^{3} @@ -2847,10 +2881,18 @@ le résultat final vaut sur $\ZZ$ : $\{\mathscr{X},\mathscr{Y}\}$ ; \item pour $\mathfrak{A}_4 \times C_2$ (d'ordre $24$) : le polynôme $Z_1 Z_2 Z_4 + Z_2 Z_3 Z_5 + Z_1 Z_4 Z_5 + Z_1 Z_3 Z_6 + Z_3 Z_4 Z_6 - + Z_2 Z_5 Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_2 Z_4)$ ; + + Z_2 Z_5 Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_2 Z_4)$ : il s'agit du groupe des + permutations stabilisant $\{\mathscr{X}, \mathscr{Y}\}$, et + réalisant une permutation paire sur l'ensemble $\{\mathscr{H}, + \mathscr{U},\mathscr{V},\mathscr{W}\}$ des quatre pentades + restantes ; \item pour $\mathfrak{S}_3 \times C_3$ (d'ordre $18$) : le polynôme $Z_1^{2} Z_3 + Z_2^{2} Z_4 + Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_5^{2} + Z_4^{2} Z_6 - + Z_2 Z_6^{2} = \sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_3)$ ; + + Z_2 Z_6^{2} = \sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_3)$ : il s'agit des + permutations préservant chacune des parties $\{\mathscr{H}, + \mathscr{X}, \mathscr{Y}\}$ et $\{\mathscr{U}, \mathscr{V}, + \mathscr{W}\}$, et réalisant une permutation paire sur cette + dernière ; \item pour $D_6$ (d'ordre $12$) : le polynôme $Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3 Z_4 + Z_4 Z_5 + Z_1 Z_6 + Z_5 Z_6 = \frac{1}{2} \sum_{C_6} (Z_1 Z_2)$ : il s'agit du groupe diédral de l'hexagone dont les sommets @@ -2859,7 +2901,10 @@ le résultat final vaut sur $\ZZ$ : Z_2^{2} Z_3 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3^{3} + Z_3^{3} Z_4^{2} Z_5 + Z_3 Z_4^{3} Z_5^{2} + Z_3^{2} Z_4 Z_5^{3} + Z_2^{2} Z_4^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_5^{2} Z_6 + Z_2^{3} Z_4 Z_6^{2} + Z_1 - Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_2 Z_4^{2} Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_5 Z_6^{3}$ ; + Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_2 Z_4^{2} Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_5 Z_6^{3}$ : il + s'agit du groupe des permutations stabilisant à la fois + $\mathscr{X}$ et $\mathscr{Y}$, et réalisant une permutation paire + sur $\{\mathscr{H}, \mathscr{U},\mathscr{V},\mathscr{W}\}$ ; \item pour $C_6$ (d'ordre $6$) : le polynôme $Z_1^{2} Z_2 + Z_2^{2} Z_3 + Z_3^{2} Z_4 + Z_4^{2} Z_5 + Z_5^{2} Z_6 + Z_1 Z_6^{2} = \sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_2)$ : il s'agit des permutations cycliques des @@ -2878,9 +2923,27 @@ Nous avons choisi, ci-dessus, un représentant pour chaque classe de conjugaison de sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_6$. Ces choix sont tels que les inclusions à conjugaison près sont toutes des inclusions précises des représentants, aux quatre exceptions -suivantes : $\mathfrak{S}_4^- \subset \mathfrak{S}_5$, $\mathfrak{A}_4 -\subset \mathfrak{S}_5$, $\mathfrak{A}_4 \subset \mathfrak{A}_5$ et -$\mathfrak{S}_3 \subset \mathfrak{S}_3 \times C_3$. +suivantes : $\mathfrak{S}_4^- \mathrel{\subset^{\mathfrak{S}_6}} +\mathfrak{S}_5$, $\mathfrak{A}_4 \mathrel{\subset^{\mathfrak{S}_6}} +\mathfrak{S}_5$, $\mathfrak{A}_4 \mathrel{\subset^{\mathfrak{S}_6}} +\mathfrak{A}_5$ et $\mathfrak{S}_3 \mathrel{\subset^{\mathfrak{S}_6}} +\mathfrak{S}_3 \times C_3$. Il n'était pas possible de faire un choix +de représentants de façon que toute inclusion à conjugaison près donne +lieu à une inclusion précise des représentants : en effet, les +représentants de $\mathfrak{S}_5$ et $\mathfrak{S}_4 \times C_2$ +devraient avoir pour intersection le représentant de +$\mathfrak{S}_4^-$, mais tous deux contiendraient le représentant de +$D_6$ donc leur intersection aussi, ce qui contredit le diagramme +ci-dessus. Les représentants que nous avons choisis sont néanmoins à +peu près canonique, notamment par le fait que nous avons fait en sorte +que le $6$-cycle $(1,2,3,4,5,6)$ soit dans le normalisateur de chacun, +ce qui limite considérablement les choix. (Par ailleurs, les +polynômes donnés ci-dessus sont uniquement définis comme ceci : parmi +ceux ayant le groupe de symétries recherché, ils minimisent le degré, +puis le nombre de termes non nuls, puis ont le premier terme dominant +possible pour l'ordre monomial « grevlex » qui trie par le degré puis +par ordre lexicographique inversé, cet ordre monomial étant celui dans +lequel nous avons listé les termes des polynômes.) |