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authorDavid A. Madore <david@procyon>2011-12-28 15:42:49 (GMT)
committerDavid A. Madore <david@procyon>2011-12-28 15:42:49 (GMT)
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[calculs] Toujours les sous-groupes de ūĚĒĖ_6.
Diffstat (limited to 'chapitres/calculs-galois.tex')
-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex179
1 files changed, 121 insertions, 58 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 5112658..8ab5265 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -2669,28 +2669,39 @@ contenu dans $C_5$ comme on vient de l'indiquer.
\subsection{Degré $6$}
+\subsubsection{Rappels sur les groupe symétrique sur six objets}
Pour la présentation qui suit, il est utile de rappeler qu'il existe
des automorphismes extérieurs de $\mathfrak{S}_6$ (ce qui n'est pas le
cas de $\mathfrak{S}_n$ pour aucun autre $n$) et la manière dont on
-les obtient. On appelle \emph{synthème} un produit de trois
-transpositions disjointes dans $\mathfrak{S}_6$, qu'on peut aussi voir
-comme un appariement de chaque élément de $\{1,\ldots,6\}$ avec un
-autre ; on vérifie aisément qu'il existe $15$ synthèmes, soit autant
-que de transpositions, et chaque synthème est disjoint de $8$ autres
+les obtient.
+
+On appelle \emph{synthème} un produit de trois transpositions
+disjointes dans $\mathfrak{S}_6$, qu'on peut aussi voir comme un
+appariement de chaque élément de $\{1,\ldots,6\}$ avec un autre ; on
+vérifie aisément qu'il existe $15$ synthèmes, soit autant que de
+transpositions, et chaque synthème est disjoint de $8$ autres
synth√®mes (¬ę¬†disjoint¬†¬Ľ au sens o√Ļ il n'a aucune transposition en
-commun) ; on appelle \emph{pentade synthématique} un ensemble de cinq
-synthèmes mutuellement disjoints (c'est-à-dire une partition en cinq
-classes des $15$ transpositions) : chaque paire de synthèmes disjoints
-appartient à une et une seule pentade synthématique, et il existe six
+commun). On appelle \emph{pentade (synthématique)} un ensemble de
+cinq synthèmes mutuellement disjoints (c'est-à-dire une partition en
+cinq classes des $15$ transpositions) : il existe précisément six
pentades synthématiques, deux d'entre elles ayant toujours exactement
-un synthème en commun, et chaque synthème appartenant à exactement
-deux pentades synthématiques. Un automorphisme extérieur de
-$\mathfrak{S}_6$ est déterminé par une bijection entre les six objets
-$\{1,\ldots,6\}$ et les six pentades synthématiques sur ces objets :
-l'automorphisme envoie la transposition échangeant deux objets sur
-l'unique synthème commun aux deux pentades synthématiques choisies
-pour leur correspondre, ou, si l'on préfère, cela revient à faire
-opérer $\mathfrak{S}_6$ sur les six pentades synthématiques.
+un synthème en commun ; chaque synthème appartient à exactement deux
+pentades, et chaque paire de synthèmes disjoints appartient à une et
+une seule pentade.
+
+L'intérêt de ces notions est que l'action de $\mathfrak{S}_6$ sur les
+(six) pentades synthématiques réalise toutes les permutations de
+celles-ci (si l'on veut, $\mathfrak{S}_6$ opère six fois
+transitivement sur les pentades). Un automorphisme extérieur de
+$\mathfrak{S}_6$ est donc déterminé par une bijection entre les six
+objets $\{1,\ldots,6\}$ et les six pentades synthématiques sur ces
+objets : l'automorphisme envoie la transposition échangeant deux
+objets sur l'unique synthème commun aux deux pentades synthématiques
+choisies pour leur correspondre. (Un tel automorphisme envoie une
+transposition sur un produit de trois transpositions disjointes, i.e.,
+synthème, un $3$-cycle sur un produit de deux $3$-cycles disjoints, un
+$4$-cycle sur un $4$-cycle, un $5$-cycle sur un $5$-cycle, et un
+$6$-cycle sur le produit d'une transposition et d'un $3$-cycle.)
Dans ce qui suit, pour fixer les représentants des classes de
conjugaisons de sous-groupes que nous allons décrire, nous appellerons
@@ -2712,6 +2723,7 @@ $\mathscr{X}$ et $\mathscr{Y}$, tandis que $X$ (resp. $Y$) échange
$\mathscr{H}$ et $\mathscr{X}$ (resp. $\mathscr{H}$ et
$\mathscr{Y}$).
+\subsubsection{Sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_6$}
Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_6$ possède seize classes de
conjugaison de sous-groupes transitifs, dont les inclusions (à
conjugaison près) sont représentées par le schéma suivant :
@@ -2722,12 +2734,12 @@ conjugaison près) sont représentées par le schéma suivant :
\node (group-14) [below=of group-15] {$\mathfrak{A}_6$};
\node (group-10) [right=of group-14] {$\mathfrak{S}_4 \times C_2$};
\node (group-13) [right=of group-10] {$\mathfrak{S}_5$};
-\node (group-12) [left=of group-14] {$(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3):C_2$};
+\node (group-12) [left=of group-14] {$(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3)\rtimes C_2$};
\node (group-6) [below=of group-14] {$\mathfrak{S}_4^+$};
\node (group-11) [right=3.5em of group-6] {$\mathfrak{A}_5$};
\node (group-5) [right=of group-11] {$\mathfrak{A}_4 \times C_2$};
\node (group-7) [right=of group-5] {$\mathfrak{S}_4^-$};
-\node (group-9) [left=of group-6] {$(C_3\times C_3):C_4$};
+\node (group-9) [left=of group-6] {$(C_3\times C_3)\rtimes C_4$};
\node (group-8) [left=of group-9] {$\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3$};
\node (group-3) [below=of group-6] {$D_6$};
\node (group-2) [right=of group-3] {$\mathfrak{A}_4$};
@@ -2766,31 +2778,43 @@ conjugaison près) sont représentées par le schéma suivant :
\end{center}
À part $\mathfrak{S}_6$ (d'ordre $720$) et $\mathfrak{A}_6$
-(d'ordre $360$), ces sous-groupes peuvent être définis comme les
-groupes de permutations laissant invariants, sur un anneau quelconque,
-les polyn√īmes suivants (relativement auxquels on pourra donc
-consid√©rer des r√©solvantes), o√Ļ on utilise la notation $\sum_{C_6} P$
-pour d√©signer le polyn√īme obtenu en sommant toutes les permutations
-cycliques des variables $(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6)$ à partir d'un
-polyn√īme¬†$P$, et o√Ļ bien entendu les expressions faisant intervenir
-un $\frac{1}{2}$ doivent se comprendre calculées sur $\QQ$ sachant que
-le résultat final vaut sur $\ZZ$ :
+(d'ordre $360$), qui sont bien connus et qui correspondent à des
+sous-groupes distingués, nous allons décrire successivement ces
+différentes classes de conjugaison en choisissant, pour chacune, un
+sous-groupe la repr√©sentant. √Ä chaque fois nous donnerons un polyn√īme
+ayant ce sous-groupe pour fixateur, et relativement auquel il sera
+donc éventuellement intéressant de considérer une résolvante. On
+utilise la notation $\sum_{C_6} P$ pour d√©signer le polyn√īme obtenu en
+sommant toutes les permutations cycliques des variables
+$(Z_1,Z_2,Z_3,Z_4,Z_5,Z_6)$ √† partir d'un polyn√īme¬†$P$, et o√Ļ bien
+entendu les expressions faisant intervenir un $\frac{1}{2}$ doivent se
+comprendre calculées sur $\QQ$ sachant que le résultat final vaut
+sur $\ZZ$.
\begin{itemize}
\item pour $\mathfrak{S}_5$ (d'ordre¬†$120$)¬†: le polyn√īme $\sum_{C_6}
(Z_1^{2} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{2} Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2
Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4^{2} Z_5 + Z_1^{2} Z_3 Z_4^{2} Z_5)$ :
- il s'agit du groupe des permutations stabilisant $\mathscr{H}$
- (c'est-à-dire, si on veut, le normalisateur de cet ensemble comme
- une partie de $\mathfrak{S}_6$) ;
-\item pour $(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3):C_2$ (d'ordre $72$) :
- le polyn√īme $Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4 + Z_1 Z_5 + Z_3 Z_5 + Z_2 Z_6 + Z_4
- Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_3)$ ;
+ il s'agit du groupe des permutations stabilisant la pentade
+ $\mathscr{H}$ (c'est-à-dire, si on veut, le normalisateur de cet
+ ensemble comme une partie de $\mathfrak{S}_6$) ;
+\item pour $(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3) \rtimes C_2$
+ (d'ordre¬†$72$)¬†: le polyn√īme $Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4 + Z_1 Z_5 + Z_3 Z_5
+ + Z_2 Z_6 + Z_4 Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_3)$ : il s'agit du groupe
+ des permutations stabilisant la partition $\{\{1,3,5\}, \{2,4,6\}\}$
+ sur les six objets ou, de façon équivalente, la partition
+ $\{\{\mathscr{H}, \mathscr{X}, \mathscr{Y}\}, \{\mathscr{U},
+ \mathscr{V}, \mathscr{W}\}\}$ des six pentades (la description
+ abstraite comme produit semidirect vient de ce que ce groupe a un
+ sous-groupe distingué $\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3$ opérant
+ sur $\{1,3,5\}$ et $\{2,4,6\}$ séparément, et la conjugaison par
+ l'élément $C = (14)(25)(36)$ échange les deux facteurs) ;
\item pour $\mathfrak{A}_5$ (d'ordre¬†$60$)¬†: le polyn√īme $Z_1 Z_2 Z_3
+ Z_1 Z_2 Z_4 + Z_1 Z_3 Z_5 + Z_2 Z_4 Z_5 + Z_3 Z_4 Z_5 + Z_2 Z_3
Z_6 + Z_1 Z_4 Z_6 + Z_3 Z_4 Z_6 + Z_1 Z_5 Z_6 + Z_2 Z_5 Z_6$ : ce
groupe est l'intersection de $\mathfrak{S}_5$ tel que défini
- ci-dessus et de $\mathfrak{A}_6$ ;
+ ci-dessus et de $\mathfrak{A}_6$ (il s'agit donc du groupe des
+ permutations paires stabilisant la pentade $\mathscr{H}$) ;
\item pour $\mathfrak{S}_4 \times C_2$ (d'ordre¬†$48$)¬†: le polyn√īme
$Z_1 Z_4 + Z_2 Z_5 + Z_3 Z_6 = \frac{1}{2} \sum_{C_6} (Z_1 Z_4)$ :
il s'agit des éléments commutant à $C = (14)(25)(36)$ (c'est-à-dire
@@ -2799,22 +2823,30 @@ le résultat final vaut sur $\ZZ$ :
comme produit direct $\mathfrak{S}_4 \times C_2$ se voit si on
considère ce groupe comme le stabilisateur de
$\{\mathscr{X},\mathscr{Y}\}$) ;
-\item pour $(C_3\times C_3):C_4$ (d'ordre¬†$36$)¬†: le polyn√īme $Z_1^{3}
- Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{3} Z_4^{2}
- + Z_1^{2} Z_2 Z_3 Z_4^{3} + Z_1^{2} Z_2^{3} Z_4 Z_5 + Z_2^{2}
- Z_3^{3} Z_4 Z_5 + Z_1^{3} Z_2 Z_4^{2} Z_5 + Z_2 Z_3^{2} Z_4^{3} Z_5
- + Z_2^{3} Z_3 Z_4 Z_5^{2} + Z_1 Z_2 Z_4^{3} Z_5^{2} + Z_1 Z_2^{2}
- Z_4 Z_5^{3} + Z_2 Z_3 Z_4^{2} Z_5^{3} + Z_1^{2} Z_2^{3} Z_3 Z_6 +
- Z_1 Z_2^{2} Z_3^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_3 Z_4^{2} Z_6 + Z_1 Z_3^{2}
- Z_4^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_2^{2} Z_5 Z_6 + Z_2^{3} Z_3^{2} Z_5 Z_6 +
- Z_3^{3} Z_4^{2} Z_5 Z_6 + Z_1^{2} Z_4^{3} Z_5 Z_6 + Z_1 Z_2^{3}
- Z_5^{2} Z_6 + Z_3 Z_4^{3} Z_5^{2} Z_6 + Z_2^{2} Z_3 Z_5^{3} Z_6 +
- Z_1 Z_4^{2} Z_5^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_2 Z_3 Z_6^{2} + Z_1 Z_3^{3} Z_4
- Z_6^{2} + Z_2 Z_3^{3} Z_5 Z_6^{2} + Z_1^{3} Z_4 Z_5 Z_6^{2} + Z_1
- Z_2 Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_3 Z_4 Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_1 Z_2 Z_3^{2}
- Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_3 Z_4 Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_2 Z_5 Z_6^{3} +
- Z_3^{2} Z_4 Z_5 Z_6^{3} + Z_2 Z_3 Z_5^{2} Z_6^{3} + Z_1 Z_4 Z_5^{2}
- Z_6^{3}$ ;
+\item pour $(C_3\times C_3)\rtimes C_4$ (d'ordre¬†$36$)¬†: le polyn√īme
+ $Z_1^{3} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{3}
+ Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3 Z_4^{3} + Z_1^{2} Z_2^{3} Z_4 Z_5 +
+ Z_2^{2} Z_3^{3} Z_4 Z_5 + Z_1^{3} Z_2 Z_4^{2} Z_5 + Z_2 Z_3^{2}
+ Z_4^{3} Z_5 + Z_2^{3} Z_3 Z_4 Z_5^{2} + Z_1 Z_2 Z_4^{3} Z_5^{2} +
+ Z_1 Z_2^{2} Z_4 Z_5^{3} + Z_2 Z_3 Z_4^{2} Z_5^{3} + Z_1^{2} Z_2^{3}
+ Z_3 Z_6 + Z_1 Z_2^{2} Z_3^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_3 Z_4^{2} Z_6 + Z_1
+ Z_3^{2} Z_4^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_2^{2} Z_5 Z_6 + Z_2^{3} Z_3^{2} Z_5
+ Z_6 + Z_3^{3} Z_4^{2} Z_5 Z_6 + Z_1^{2} Z_4^{3} Z_5 Z_6 + Z_1
+ Z_2^{3} Z_5^{2} Z_6 + Z_3 Z_4^{3} Z_5^{2} Z_6 + Z_2^{2} Z_3 Z_5^{3}
+ Z_6 + Z_1 Z_4^{2} Z_5^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_2 Z_3 Z_6^{2} + Z_1
+ Z_3^{3} Z_4 Z_6^{2} + Z_2 Z_3^{3} Z_5 Z_6^{2} + Z_1^{3} Z_4 Z_5
+ Z_6^{2} + Z_1 Z_2 Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_3 Z_4 Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_1
+ Z_2 Z_3^{2} Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_3 Z_4 Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_2 Z_5
+ Z_6^{3} + Z_3^{2} Z_4 Z_5 Z_6^{3} + Z_2 Z_3 Z_5^{2} Z_6^{3} + Z_1
+ Z_4 Z_5^{2} Z_6^{3}$ : ce groupe est l'intersection de
+ $(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3) \rtimes C_2$ tel que défini
+ ci-dessus et de $\mathfrak{A}_6$ (il s'agit donc des permutations
+ paires stabilisant la partition $\{\{1,3,5\}, \{2,4,6\}\}$ ; la
+ description abstraite comme produit semidirect vient de ce que ce
+ groupe a un sous-groupe distingué $C_3 \times C_3$ engendré par
+ $(1,3,5)$ et $(2,4,6)$, et la conjugaison par $(1,2)(3,4,5,6)$
+ réalise un isomorphisme d'un facteur sur l'autre dont le carré est
+ l'application inverse) ;
\item pour $\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3$ (d'ordre $36$) : le
polyn√īme $Z_1^{2} Z_2^{2} Z_3 Z_4 + Z_1 Z_2 Z_3^{2} Z_4^{2} +
Z_2^{2} Z_3^{2} Z_4 Z_5 + Z_1^{2} Z_2 Z_4^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4
@@ -2825,7 +2857,9 @@ le résultat final vaut sur $\ZZ$ :
Z_6^{2} + Z_1^{2} Z_4 Z_5 Z_6^{2} + Z_1 Z_2 Z_5^{2} Z_6^{2} + Z_3
Z_4 Z_5^{2} Z_6^{2} = \frac{1}{2} \sum_{C_6} (2 Z_1^{2} Z_2^{2} Z_3
Z_4 + 2 Z_1 Z_2 Z_3^{2} Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_4^{2} Z_5 + Z_1
- Z_2^{2} Z_4 Z_5^{2})$ ;
+ Z_2^{2} Z_4 Z_5^{2})$ : il s'agit des permutations préservant
+ chacune des parties $\{\mathscr{H}, \mathscr{X}, \mathscr{Y}\}$ et
+ $\{\mathscr{U}, \mathscr{V}, \mathscr{W}\}$ ;
\item pour $\mathfrak{S}_4^-$ (d'ordre¬†$24$)¬†: le polyn√īme $Z_1^{3}
Z_2^{2} Z_3 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3^{3} + Z_2^{2}
Z_3^{3} Z_4 + Z_2^{3} Z_3 Z_4^{2} + Z_2 Z_3^{2} Z_4^{3} + Z_1^{3}
@@ -2847,10 +2881,18 @@ le résultat final vaut sur $\ZZ$ :
$\{\mathscr{X},\mathscr{Y}\}$ ;
\item pour $\mathfrak{A}_4 \times C_2$ (d'ordre¬†$24$)¬†: le polyn√īme
$Z_1 Z_2 Z_4 + Z_2 Z_3 Z_5 + Z_1 Z_4 Z_5 + Z_1 Z_3 Z_6 + Z_3 Z_4 Z_6
- + Z_2 Z_5 Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_2 Z_4)$ ;
+ + Z_2 Z_5 Z_6 = \sum_{C_6} (Z_1 Z_2 Z_4)$ : il s'agit du groupe des
+ permutations stabilisant $\{\mathscr{X}, \mathscr{Y}\}$, et
+ réalisant une permutation paire sur l'ensemble $\{\mathscr{H},
+ \mathscr{U},\mathscr{V},\mathscr{W}\}$ des quatre pentades
+ restantes ;
\item pour $\mathfrak{S}_3 \times C_3$ (d'ordre¬†$18$)¬†: le polyn√īme
$Z_1^{2} Z_3 + Z_2^{2} Z_4 + Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_5^{2} + Z_4^{2} Z_6
- + Z_2 Z_6^{2} = \sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_3)$ ;
+ + Z_2 Z_6^{2} = \sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_3)$ : il s'agit des
+ permutations préservant chacune des parties $\{\mathscr{H},
+ \mathscr{X}, \mathscr{Y}\}$ et $\{\mathscr{U}, \mathscr{V},
+ \mathscr{W}\}$, et réalisant une permutation paire sur cette
+ dernière ;
\item pour $D_6$ (d'ordre¬†$12$)¬†: le polyn√īme $Z_1 Z_2 + Z_2 Z_3 + Z_3
Z_4 + Z_4 Z_5 + Z_1 Z_6 + Z_5 Z_6 = \frac{1}{2} \sum_{C_6} (Z_1
Z_2)$ : il s'agit du groupe diédral de l'hexagone dont les sommets
@@ -2859,7 +2901,10 @@ le résultat final vaut sur $\ZZ$ :
Z_2^{2} Z_3 + Z_1 Z_2^{3} Z_3^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3^{3} + Z_3^{3}
Z_4^{2} Z_5 + Z_3 Z_4^{3} Z_5^{2} + Z_3^{2} Z_4 Z_5^{3} + Z_2^{2}
Z_4^{3} Z_6 + Z_1^{3} Z_5^{2} Z_6 + Z_2^{3} Z_4 Z_6^{2} + Z_1
- Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_2 Z_4^{2} Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_5 Z_6^{3}$ ;
+ Z_5^{3} Z_6^{2} + Z_2 Z_4^{2} Z_6^{3} + Z_1^{2} Z_5 Z_6^{3}$ : il
+ s'agit du groupe des permutations stabilisant à la fois
+ $\mathscr{X}$ et $\mathscr{Y}$, et réalisant une permutation paire
+ sur $\{\mathscr{H}, \mathscr{U},\mathscr{V},\mathscr{W}\}$ ;
\item pour $C_6$ (d'ordre¬†$6$)¬†: le polyn√īme $Z_1^{2} Z_2 + Z_2^{2}
Z_3 + Z_3^{2} Z_4 + Z_4^{2} Z_5 + Z_5^{2} Z_6 + Z_1 Z_6^{2} =
\sum_{C_6} (Z_1^{2} Z_2)$ : il s'agit des permutations cycliques des
@@ -2878,9 +2923,27 @@ Nous avons choisi, ci-dessus, un représentant pour chaque classe de
conjugaison de sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_6$. Ces choix
sont tels que les inclusions à conjugaison près sont toutes des
inclusions précises des représentants, aux quatre exceptions
-suivantes : $\mathfrak{S}_4^- \subset \mathfrak{S}_5$, $\mathfrak{A}_4
-\subset \mathfrak{S}_5$, $\mathfrak{A}_4 \subset \mathfrak{A}_5$ et
-$\mathfrak{S}_3 \subset \mathfrak{S}_3 \times C_3$.
+suivantes : $\mathfrak{S}_4^- \mathrel{\subset^{\mathfrak{S}_6}}
+\mathfrak{S}_5$, $\mathfrak{A}_4 \mathrel{\subset^{\mathfrak{S}_6}}
+\mathfrak{S}_5$, $\mathfrak{A}_4 \mathrel{\subset^{\mathfrak{S}_6}}
+\mathfrak{A}_5$ et $\mathfrak{S}_3 \mathrel{\subset^{\mathfrak{S}_6}}
+\mathfrak{S}_3 \times C_3$. Il n'était pas possible de faire un choix
+de représentants de façon que toute inclusion à conjugaison près donne
+lieu à une inclusion précise des représentants : en effet, les
+représentants de $\mathfrak{S}_5$ et $\mathfrak{S}_4 \times C_2$
+devraient avoir pour intersection le représentant de
+$\mathfrak{S}_4^-$, mais tous deux contiendraient le représentant de
+$D_6$ donc leur intersection aussi, ce qui contredit le diagramme
+ci-dessus. Les représentants que nous avons choisis sont néanmoins à
+peu près canonique, notamment par le fait que nous avons fait en sorte
+que le $6$-cycle $(1,2,3,4,5,6)$ soit dans le normalisateur de chacun,
+ce qui limite considérablement les choix. (Par ailleurs, les
+polyn√īmes donn√©s ci-dessus sont uniquement d√©finis comme ceci¬†: parmi
+ceux ayant le groupe de symétries recherché, ils minimisent le degré,
+puis le nombre de termes non nuls, puis ont le premier terme dominant
+possible pour l'ordre monomial ¬ę¬†grevlex¬†¬Ľ qui trie par le degr√© puis
+par ordre lexicographique inversé, cet ordre monomial étant celui dans
+lequel nous avons list√© les termes des polyn√īmes.)