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author | David A. Madore <david@procyon> | 2012-01-18 18:39:08 +0100 |
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committer | David A. Madore <david@procyon> | 2012-01-18 18:39:08 +0100 |
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[calculs] Orbites de sous-groupes transitifs de 𝔖_7 sur les parties à 3 éléments.
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index dd652d9..57a9f5c 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -2018,8 +2018,8 @@ Soit $p$ un nombre premier, $k$ un corps de caractéristique $\neq p$ sur lequel le polynôme $1+X+\cdots+X^{p-1}$ est irréductible (par exemple $\QQ$ ou un $\FF_\ell$ tel que $\ell$ soit primitif modulo $p$, autrement dit, générateur de $(\ZZ/p\ZZ)^\times$), et -$c_1,\ldots,c_p$ des éléments de $k$ ; on pose $P = c_1 Z_1 + \cdots + -c_p Z_p \in k[Z_1,\ldots,Z_p]$. +$c_1,\ldots,c_p$ des éléments de $k$ non tous nuls ; on pose $P = c_1 +Z_1 + \cdots + c_p Z_p \in k[Z_1,\ldots,Z_p]$. Alors, pour tout polynôme unitaire irréductible $f \in K[X]$, de degré $p$, à coefficients dans un corps $K$ extension de $k$, la @@ -3314,6 +3314,113 @@ $(Z_1,\ldots,Z_7)$ à partir d'un polynôme $P$ : + Z_6^{2} Z_7 + Z_1 Z_7^{2}$. \end{itemize} +On peut évidemment calculer les groupes de Galois comme on l'a fait +jusqu'à présent en utilisant les résolvantes relatives aux différents +polynômes invariants qu'on vient de citer. Il existe cependant une +méthode différente et plus astucieuse, qu'on a déjà utilisée +en \refext{ExG}{exemple-galois-psl-3-f-2}, consistant à considérer une +résolvante pour le polynôme $Z_1 + Z_2 + Z_3$ (dont le stabilisateur +est évidemment $\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_4$), c'est-à-dire +une résolvante \emph{linéaire} qui reflète l'action du groupe de +Galois sur les parties à $3$ trois éléments de l'ensemble des racines +(du polynôme $f$ considéré). Pour commencer, la +proposition \ref{separabilite-resolvantes-lineaires-ordre-premier} +permet de conclure, lorsque la caractéristique du corps considéré est +soit $0$ soit un nombre premier $\ell$ congru à $3$ ou $5$ modulo $7$, +que la résolvante linéaire en question sera automatiquement séparable +(aucune somme de trois racines de $f$ ne peut être égale à une autre). +Mais l'importance de cette résolvante est surtout décidée par le fait +que l'action de chacun des sept groupes transitifs évoqués ci-dessus +est différente sur les parties à $3$ éléments de $\{1,\ldots,7\}$ : + +\begin{lemme2} +Si $\mathscr{T}$ désigne l'ensemble des ($\frac{7!}{4!\,3!}=35$) +parties à $3$ éléments (« trios ») de $\FF_7$, alors l'action de $C_7 += \ZZ/7\ZZ$ opérant par translation sur $\mathscr{T}$ a cinq orbites +de cardinal $7$, représentées par $\{0,1,2\}$, $\{0,1,3\}$, +$\{0,1,4\}$, $\{0,1,5\}$ et $\{0,2,4\}$ respectivement. +\end{lemme2} +\begin{proof} +\newcommand\heptagone[3]{% +\begin{tikzpicture} +\draw(0,0) circle (0.5cm); +\draw(90.0:0.4cm)--(90.0:0.6cm); +\draw(38.6:0.4cm)--(38.6:0.6cm); +\draw(347.1:0.4cm)--(347.1:0.6cm); +\draw(295.7:0.4cm)--(295.7:0.6cm); +\draw(244.3:0.4cm)--(244.3:0.6cm); +\draw(192.9:0.4cm)--(192.9:0.6cm); +\draw(141.4:0.4cm)--(141.4:0.6cm); +\fill(#1:0.5cm) circle(0.08cm); +\fill(#2:0.5cm) circle(0.08cm); +\fill(#3:0.5cm) circle(0.08cm); +\end{tikzpicture}% +}% +\leavevmode +\par +\heptagone{90.0}{38.6}{347.1} +\heptagone{38.6}{347.1}{295.7} +\heptagone{347.1}{295.7}{244.3} +\heptagone{295.7}{244.3}{192.9} +\heptagone{244.3}{192.9}{141.4} +\heptagone{192.9}{141.4}{90.0} +\heptagone{141.4}{90.0}{38.6} +\par +\heptagone{90.0}{38.6}{295.7} +\heptagone{38.6}{347.1}{244.3} +\heptagone{347.1}{295.7}{192.9} +\heptagone{295.7}{244.3}{141.4} +\heptagone{244.3}{192.9}{90.0} +\heptagone{192.9}{141.4}{38.6} +\heptagone{141.4}{90.0}{347.1} +\par +\heptagone{90.0}{38.6}{244.3} +\heptagone{38.6}{347.1}{192.9} +\heptagone{347.1}{295.7}{141.4} +\heptagone{295.7}{244.3}{90.0} +\heptagone{244.3}{192.9}{38.6} +\heptagone{192.9}{141.4}{347.1} +\heptagone{141.4}{90.0}{295.7} +\par +\heptagone{90.0}{38.6}{192.9} +\heptagone{38.6}{347.1}{141.4} +\heptagone{347.1}{295.7}{90.0} +\heptagone{295.7}{244.3}{38.6} +\heptagone{244.3}{192.9}{347.1} +\heptagone{192.9}{141.4}{295.7} +\heptagone{141.4}{90.0}{244.3} +\par +\heptagone{90.0}{347.1}{244.3} +\heptagone{38.6}{295.7}{192.9} +\heptagone{347.1}{244.3}{141.4} +\heptagone{295.7}{192.9}{90.0} +\heptagone{244.3}{141.4}{38.6} +\heptagone{192.9}{90.0}{347.1} +\heptagone{141.4}{38.6}{295.7} +\end{proof} + +\begin{proposition2} +Si $\mathscr{T}$ désigne l'ensemble des ($\frac{7!}{4!\,3!}=35$) +parties à $3$ éléments de $\{1,\ldots,7\}$, alors, pour chacun des +groupes $G$ transitifs sur sept objets tels que listés ci-dessus, leur +action sur $\mathscr{T}$ a les orbites suivantes : +\begin{itemize} +\item pour $\mathfrak{S}_7$ ou $\mathfrak{A}_7$, cette action est + transitive (une seule orbite de cardinal $35$), +\item pour $\PGL_3(\FF_2)$, une orbite de cardinal $7$ (correspondant + aux trios de points alignés dans $\PP^2(\FF_2)$) et une de cardinal + $28$, +\item pour $C_7 \rtimes C_6$, une orbite de cardinal $14$ + (correspondant aux trios de points $\{u,v,w\}$ de $\FF_7$ tels que + $u+2v+4w=0$ ou bien $u+4v+2w=0$ dans $\FF_7$) et une de cardinal + $21$, +\item pour $C_7 \rtimes C_3$, deux orbites de cardinal $7$ + (correspondant aux trios de points $\{u,v,w\}$ de $\FF_7$ tels que \XXX) + et une de cardinal $21$, +\item \XXX +\end{itemize} +\end{proposition2} + \ifx\danslelivre\undefined \bibliography{../configuration/bibliographie-livre} |