[calculs] Orbites de sous-groupes transitifs de 𝔖_7 sur les parties à 3 éléments.

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@@ -2018,8 +2018,8 @@ Soit $p$ un nombre premier, $k$ un corps de caractéristique $\neq p$
 sur lequel le polynôme $1+X+\cdots+X^{p-1}$ est irréductible (par
 exemple $\QQ$ ou un $\FF_\ell$ tel que $\ell$ soit primitif
 modulo $p$, autrement dit, générateur de $(\ZZ/p\ZZ)^\times$), et
-$c_1,\ldots,c_p$ des éléments de $k$ ; on pose $P = c_1 Z_1 + \cdots +
-c_p Z_p \in k[Z_1,\ldots,Z_p]$.
+$c_1,\ldots,c_p$ des éléments de $k$ non tous nuls ; on pose $P = c_1
+Z_1 + \cdots + c_p Z_p \in k[Z_1,\ldots,Z_p]$.
 
 Alors, pour tout polynôme unitaire irréductible $f \in K[X]$, de
 degré $p$, à coefficients dans un corps $K$ extension de $k$, la
@@ -3314,6 +3314,113 @@ $(Z_1,\ldots,Z_7)$ à partir d'un polynôme $P$ :
   + Z_6^{2} Z_7 + Z_1 Z_7^{2}$.
 \end{itemize}
 
+On peut évidemment calculer les groupes de Galois comme on l'a fait
+jusqu'à présent en utilisant les résolvantes relatives aux différents
+polynômes invariants qu'on vient de citer.  Il existe cependant une
+méthode différente et plus astucieuse, qu'on a déjà utilisée
+en \refext{ExG}{exemple-galois-psl-3-f-2}, consistant à considérer une
+résolvante pour le polynôme $Z_1 + Z_2 + Z_3$ (dont le stabilisateur
+est évidemment $\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_4$), c'est-à-dire
+une résolvante \emph{linéaire} qui reflète l'action du groupe de
+Galois sur les parties à $3$ trois éléments de l'ensemble des racines
+(du polynôme $f$ considéré).  Pour commencer, la
+proposition \ref{separabilite-resolvantes-lineaires-ordre-premier}
+permet de conclure, lorsque la caractéristique du corps considéré est
+soit $0$ soit un nombre premier $\ell$ congru à $3$ ou $5$ modulo $7$,
+que la résolvante linéaire en question sera automatiquement séparable
+(aucune somme de trois racines de $f$ ne peut être égale à une autre).
+Mais l'importance de cette résolvante est surtout décidée par le fait
+que l'action de chacun des sept groupes transitifs évoqués ci-dessus
+est différente sur les parties à $3$ éléments de $\{1,\ldots,7\}$ :
+
+\begin{lemme2}
+Si $\mathscr{T}$ désigne l'ensemble des ($\frac{7!}{4!\,3!}=35$)
+parties à $3$ éléments (« trios ») de $\FF_7$, alors l'action de $C_7
+= \ZZ/7\ZZ$ opérant par translation sur $\mathscr{T}$ a cinq orbites
+de cardinal $7$, représentées par $\{0,1,2\}$, $\{0,1,3\}$,
+$\{0,1,4\}$, $\{0,1,5\}$ et $\{0,2,4\}$ respectivement.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+\newcommand\heptagone[3]{%
+\begin{tikzpicture}
+\draw(0,0) circle (0.5cm);
+\draw(90.0:0.4cm)--(90.0:0.6cm);
+\draw(38.6:0.4cm)--(38.6:0.6cm);
+\draw(347.1:0.4cm)--(347.1:0.6cm);
+\draw(295.7:0.4cm)--(295.7:0.6cm);
+\draw(244.3:0.4cm)--(244.3:0.6cm);
+\draw(192.9:0.4cm)--(192.9:0.6cm);
+\draw(141.4:0.4cm)--(141.4:0.6cm);
+\fill(#1:0.5cm) circle(0.08cm);
+\fill(#2:0.5cm) circle(0.08cm);
+\fill(#3:0.5cm) circle(0.08cm);
+\end{tikzpicture}%
+}%
+\leavevmode
+\par
+\heptagone{90.0}{38.6}{347.1}
+\heptagone{38.6}{347.1}{295.7}
+\heptagone{347.1}{295.7}{244.3}
+\heptagone{295.7}{244.3}{192.9}
+\heptagone{244.3}{192.9}{141.4}
+\heptagone{192.9}{141.4}{90.0}
+\heptagone{141.4}{90.0}{38.6}
+\par
+\heptagone{90.0}{38.6}{295.7}
+\heptagone{38.6}{347.1}{244.3}
+\heptagone{347.1}{295.7}{192.9}
+\heptagone{295.7}{244.3}{141.4}
+\heptagone{244.3}{192.9}{90.0}
+\heptagone{192.9}{141.4}{38.6}
+\heptagone{141.4}{90.0}{347.1}
+\par
+\heptagone{90.0}{38.6}{244.3}
+\heptagone{38.6}{347.1}{192.9}
+\heptagone{347.1}{295.7}{141.4}
+\heptagone{295.7}{244.3}{90.0}
+\heptagone{244.3}{192.9}{38.6}
+\heptagone{192.9}{141.4}{347.1}
+\heptagone{141.4}{90.0}{295.7}
+\par
+\heptagone{90.0}{38.6}{192.9}
+\heptagone{38.6}{347.1}{141.4}
+\heptagone{347.1}{295.7}{90.0}
+\heptagone{295.7}{244.3}{38.6}
+\heptagone{244.3}{192.9}{347.1}
+\heptagone{192.9}{141.4}{295.7}
+\heptagone{141.4}{90.0}{244.3}
+\par
+\heptagone{90.0}{347.1}{244.3}
+\heptagone{38.6}{295.7}{192.9}
+\heptagone{347.1}{244.3}{141.4}
+\heptagone{295.7}{192.9}{90.0}
+\heptagone{244.3}{141.4}{38.6}
+\heptagone{192.9}{90.0}{347.1}
+\heptagone{141.4}{38.6}{295.7}
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}
+Si $\mathscr{T}$ désigne l'ensemble des ($\frac{7!}{4!\,3!}=35$)
+parties à $3$ éléments de $\{1,\ldots,7\}$, alors, pour chacun des
+groupes $G$ transitifs sur sept objets tels que listés ci-dessus, leur
+action sur $\mathscr{T}$ a les orbites suivantes :
+\begin{itemize}
+\item pour $\mathfrak{S}_7$ ou $\mathfrak{A}_7$, cette action est
+  transitive (une seule orbite de cardinal $35$),
+\item pour $\PGL_3(\FF_2)$, une orbite de cardinal $7$ (correspondant
+  aux trios de points alignés dans $\PP^2(\FF_2)$) et une de cardinal
+  $28$,
+\item pour $C_7 \rtimes C_6$, une orbite de cardinal $14$
+  (correspondant aux trios de points $\{u,v,w\}$ de $\FF_7$ tels que
+  $u+2v+4w=0$ ou bien $u+4v+2w=0$ dans $\FF_7$) et une de cardinal
+  $21$,
+\item pour $C_7 \rtimes C_3$, deux orbites de cardinal $7$
+  (correspondant aux trios de points $\{u,v,w\}$ de $\FF_7$ tels que \XXX)
+  et une de cardinal $21$,
+\item \XXX
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+
 
 \ifx\danslelivre\undefined
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