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author | David A. Madore <david@procyon> | 2012-01-04 15:53:17 +0100 |
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committer | David A. Madore <david@procyon> | 2012-01-04 15:53:17 +0100 |
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[calculs] Partie principale de l'agorithme pour le calcul de Galois en degré 6.
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-rw-r--r-- | chapitres/calculs-galois.tex | 85 |
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diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index fe862a9..a6b03cc 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -2673,7 +2673,7 @@ contenu dans $C_5$ comme on vient de l'indiquer. Pour la présentation qui suit, il est utile de rappeler qu'il existe des automorphismes extérieurs de $\mathfrak{S}_6$ (ce qui n'est pas le cas de $\mathfrak{S}_n$ pour aucun autre $n$) et la manière dont on -les obtient. On renvoie par exemple à \cite[théorème 7.1.2 et +les obtient. On renvoie par exemple à \cite[théorème 7.12 et voisins]{Rotman} pour ces différents résultats. On appelle \emph{synthème} un produit de trois transpositions @@ -2989,7 +2989,7 @@ Z_3^{2} Z_4^{2} + Z_1^{2} Z_2 Z_3^{2} Z_5 + Z_1 Z_2^{2} Z_4^{2} Z_5 + Z_1^{2} Z_3 Z_4^{2} Z_5)$ évoqué plus haut pour le groupe $\Stab_{\mathfrak{S}_6}(P) = \mathfrak{S}_5$, et soit $R_P(f)$ la résolvante relativement à $P$ d'un polynôme $f \in k[X]$ irréductible -unitaire de degré $6$ (ainsi, $R_P(f)$ est un polynôme sextique). On +unitaire de degré $6$ (ainsi, $R_P(f)$ est aussi de degré $6$). On suppose $R_P(f)$ séparable. Alors l'action du groupe de Galois $G$ de $f$ sur les racines de $R_P(f)$ est équivalente à son action (comme groupe de permutation) sur les pentades synthématiques de racines @@ -3004,7 +3004,88 @@ de $f$. En particulier : alors $G$ fixe un trio de pentades, c'est-à-dire est inclus (à conjugaison près) dans $\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3$. \end{itemize} +Remarquons également que, pour $k$ de caractéristique $\neq 2$, le +discriminant de $R_P(f)$ est un carré si et seulement si celui de $f$ +en est un ; et pour $k$ de caractéristique $2$, le $2$-distinguant de +$R_P(f)$ est dans l'image de $t \mapsto t^2+t$ si et seulement si +celui de $f$ l'est. \end{proposition2} +\begin{proof} +Même si une affirmation de ce type peut être renvoyée à « un calcul + fastidieux mais évident », expliquons pourquoi $H := +\Stab_{\mathfrak{S}_6}(P)$ est bien le stabilisateur d'une pentade : +il s'agit de constater que chacun des $30$ termes de $P$ détermine un +synthème sur les six variables (à savoir celui qui relie les deux +variables ayant degré $0$ dans le monôme, les deux ayant degré $1$, et +les deux ayant degré $2$), et qu'exactement cinq synthèmes +apparaissent, à savoir $(12)(34)(56)$, $(23)(45)(61)$, $(14)(26)(35)$, +$(25)(13)(46)$ et $(36)(24)(51)$, ces synthèmes formant une pentade +(l'unique pentade qui soit stable par le cycle $(1 2 3 4 5 6)$, celle +qu'on a appelée $\mathscr{H}$ dans la discussion plus haut). + +D'après la proposition \ref{utilisation-des-resolvantes}, l'action de +$G$ sur les racines de $R_P(f)$ est équivalente à celle de +$\mathfrak{S}_6/(\cap_{\sigma \in \mathfrak{S}_6} \sigma H +\sigma^{-1})$ sur les classes à gauche de $H = +\Stab_{\mathfrak{S}_6}(P)$. Mais $H$ est le stabilisateur d'une +pentade : donc l'ensemble des classes à gauche de $H$ s'identifie +(muni de son action de $\mathfrak{S}_6$) à l'ensemble des pentades, et +$\cap_{\sigma \in \mathfrak{S}_6} \sigma H \sigma^{-1} = 1$. + +Les affirmations qui suivent découlent de la façon dont les différents +groupes déjà énumérés agissent sur les pentades. Enfin, la dernière +découle du fait que l'action sur les pentades est de la même parité +que celle sur les objets (les automorphismes extérieurs +de $\mathfrak{S}_6$ préservent $\mathfrak{A}_6$). +\end{proof} + +Dès que la résolvante $R_P(f)$ évoquée dans cette proposition n'est +pas irréductible (mais toujours en la supposant séparable), il est +facile de conclure quant au groupe de Galois à partir de la +factorisation de $R_P(f)$ et des discriminants de facteurs éventuels : + +\begin{corollaire2} +On suppose que $k$ est de caractéristique $\neq 2$. Dans les +conditions de la proposition précédente, si les degrés des facteurs +irréductibles de $R_P(f)$ sont : +\begin{itemize} +\item $1+5$, alors $G \cong \mathfrak{A}_5 \cong \PSL_2(\FF_5)$ ou $G + \cong \mathfrak{S}_5 \cong \PGL_2(\FF_5)$ selon que $\Delta(f)$ est + un carré ou non (ou de façon équivalente, selon que $\Delta(\rho_5)$ + en est un, où $\rho_5$ désigne le facteur de degré $5$ + de $R_P(f)$) ; +\item $2+4$, alors $G \cong \mathfrak{S}_4^+$ ou $G \cong + \mathfrak{A}_4 \times C_2$ ou $G \cong \mathfrak{S}_4 \times C_2$ + selon que $\Delta(f)$ est un carré, que $\Delta(f)$ n'est pas un + carré mais que $\Delta(\rho_4)$ en est un (où $\rho_4$ désigne le + facteur de degré $4$ de $R_P(f)$), ou que ni $\Delta(f)$ ni + $\Delta(\rho_4)$ n'est un carré ; +\item $1+1+4$, alors $G \cong \mathfrak{A}_4$ ou $G \cong + \mathfrak{S}_4^-$ selon que $\Delta(f)$ est un carré ou non (ou de + façon équivalente, selon que $\Delta(\rho_4)$ en est un, où $\rho_4$ + désigne le facteur de degré $4$ de $R_P(f)$) ; +\item $3+3$, alors $G \cong \mathfrak{S}_3 \times C_3$ ou $G \cong + \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3$ selon que l'un de + $\Delta(\rho_3)$ et $\Delta(\rho'_3)$ est un carré ou qu'aucun des + deux n'en soit (où $\rho_3, \rho'_3$ sont les deux facteurs + irréductibles de $R_P(f)$) : il n'est pas possible que + $\Delta(\rho_3)$ et $\Delta(\rho'_3)$ soient tous deux des carrés ; +\item $1+2+3$, alors $G \cong C_6$ ou $G\cong D_6$ selon que + $\Delta(\rho_3)$ est un carré ou non, où $\rho_3$ désigne le facteur + de degré $3$ de $R_P(f)$ ; +\item $1+1+1+3$, alors $G \cong \mathfrak{S}_3$ (dans ce cas, + $\Delta(\rho_3)$ ne peut pas être un carré, où $\rho_3$ désigne le + facteur de degré $3$ de $R_P(f)$) ; +\end{itemize} +et les factorisations en degrés $2+2+2$, $1+1+2+2$, $1+1+1+1+2$ et +$1+1+1+1+1+1$ ne sont pas possibles. +\end{corollaire2} +\begin{proof} +De nouveau, tout découle de l'action des différents sous-groupes +transitifs de $\mathfrak{S}_6$ sur l'ensemble des pentades. (Et les +cas impossibles sont des cas où cette actions sur les pentades ne +correspond pas à un sous-groupe transitif de $\mathfrak{S}_6$.) +\end{proof} |