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path: root/chapitres/calculs-galois.tex
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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-06-08 18:28:13 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2011-06-08 18:28:13 +0200
commitfa4c360991f41a18b0b310fbf5b1347699f06d7d (patch)
tree2e0b2c0ae4e5148d763e928fcc73d558997dc857 /chapitres/calculs-galois.tex
parentc6b1d55e36fdb4abb7acfd6e52f47d0503a8f896 (diff)
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[calculs] Quelques remarques intuitives sur ce qu'on fait.
Pas forcément hyper claires, malheureusement.
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-rw-r--r--chapitres/calculs-galois.tex28
1 files changed, 23 insertions, 5 deletions
diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex
index 5a360b9..b0b2eb6 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1467,11 +1467,21 @@ fixe un élément $\sigma H$ de $X = \mathfrak{G}/H$, c'est-à-dire que
$G \leq \sigma H\sigma^{-1}$.
\end{proof}
-On peut également signaler, toujours sous l'hypothèse que
-$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est séparable, qu'il est scindé sur $K$ si et
-seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$ est inclus dans
-$\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1}$ (le plus
-grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$).
+On peut également signaler, toujours sous l'hypothèse que la
+résolvante $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est séparable, que celle-ci est
+scindée sur $K$ si et seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$ est
+inclus dans $\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1}$
+(le plus grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu
+dans $H$).
+
+L'idée intuitive à garder à l'esprit pour l'utilisation des
+résolvantes est la suivante : la numérotation $\xi_1,\ldots,\xi_d$
+choisie pour les racines de $f$ est initialement arbitraire (au moins
+à permutation près par un élément de $\mathfrak{G}$). Choisir une
+racine de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ revient à choisir une valeur de
+$P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ parmi les différentes valeurs obtenues en
+permutant les racines, c'est-à-dire, restreindre l'arbitraire dans la
+numérotation des racines de $f$.
\begin{remarque2}\label{remarque-idiote-separabilite-d-un-polynome-versus-resolvante}
Si $f \in K[X]$ est un polynôme unitaire de degré $d$ et $P \in
@@ -2263,6 +2273,14 @@ primitive cinquième de l'unité, et en posant $\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4
$P(\xi_1,\ldots,\xi_4) = \xi_1 \xi_3 + \xi_2 \xi_4 = 2$, ce qu'on a
appelé $\pi$, et $F(\xi_1,\ldots,\xi_4) = \xi_1 \xi_2^2
+ \xi_2 \xi_3^2 + \xi_3 \xi_4^2 + \xi_4 \xi_1^2 = 4$.
+
+(Intuitivement, la numérotation des racines $\xi_1,\ldots,\xi_4$ est
+initialement arbitraire ; le choix de la racine $2$ de $R_P(f)$
+impose, pour avoir $P(\xi_1,\ldots,\xi_4) = 2$, une structure
+combinatoire de carré sur ces racines pour laquelle
+$\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4$ sont consécutivement adjacents ; le choix de
+la racine $4$ de $R_{D_4,F}(f)$ impose, pour avoir
+$F(\xi_1,\ldots,\xi_4) = 4$, un ordre sur ce carré.)
\end{exemple2}