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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-07 17:47:51 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-07 17:47:51 (GMT)
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@@ -488,8 +488,8 @@ $Y$ soit isomorphe à $F(X)$).
\begin{proposition2}\label{pleinement-fidele-est-essentiellement-injectif}
Un foncteur pleinement fidèle est essentiellement injectif. Plus
précisément, si $F$ est pleinement fidèle, alors $F$ établit une
-bijection entre isomorphismes $X \buildrel\sim\over\to Y$ et
-isomorphismes $F(X) \buildrel\sim\over\to F(Y)$.
+bijection entre isomorphismes $X \simto Y$ et
+isomorphismes $F(X) \simto F(Y)$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Supposons $F \colon \categ{C} \to \categ{D}$ un foncteur pleinement
@@ -1080,7 +1080,7 @@ G$ plutôt que $F\circ G$, la composée des foncteurs.
Montrons la première affirmation : si $z_1 \boxempty F = z_2 \boxempty
F$ alors $z_1 \boxempty F \boxempty G = z_2 \boxempty F \boxempty G$.
-En appelant $e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to F\boxempty
+En appelant $e\colon \Id_{\categ{C}} \simto F\boxempty
G$ un isomorphisme comme on en a supposé l'existence, on a donc $(z_1
\boxempty F \boxempty G) \circ (B\boxempty e) = (z_2 \boxempty F
\boxempty G) \circ (B\boxempty e)$. Mais $(z_i \boxempty F \boxempty
@@ -1091,7 +1091,7 @@ $B'\boxempty(e^{-1})$), on en déduit bien $z_1 = z_2$.
La seconde affirmation est tout à fait analogue : si $F\boxempty z_1 =
F\boxempty z_2$ alors $G\boxempty F\boxempty z_1 = G\boxempty
F\boxempty z_2$ donc, en appelant $h\colon \Id_{\categ{D}}
-\buildrel\sim\over\to G\boxempty F$ un isomorphisme, comme on a
+\simto G\boxempty F$ un isomorphisme, comme on a
$(G\boxempty F\boxempty z_i) \circ (h\boxempty E) = h\boxempty z_i =
(h\boxempty E') \circ z_i$, et comme $h\boxempty E'$ est un
isomorphisme, on en déduit $z_1 = z_2$.
@@ -1145,14 +1145,14 @@ vérifie $G(F(z)) = G(t)$, et comme on vient de voir que $G$ est
fidèle, on a $t = F(z)$, ce qui montre que $F$ est plein. Enfin, $F$
est essentiellement surjectif puisque tout objet $Y$ de $\categ{C}$
est isomorphe à $F(X)$ avec $X = G(Y)$ (par $e(Y)\colon Y
-\buildrel\sim\over\to F(G(Y))$).
+\simto F(G(Y))$).
Montrons maintenant l'implication « seulement si » : soit donc $F$ un
foncteur pleinement fidèle et essentiellement surjectif.
Pour tout objet $X$ de $\categ{C}$, choisissons un objet $G(X)$
de $\categ{D}$ tel que $X$ soit isomorphe à $F(G(X))$, et $e(X) \colon
-X \buildrel\sim\over\to F(G(X))$ un tel isomorphisme, de réciproque
+X \simto F(G(X))$ un tel isomorphisme, de réciproque
notée $e(X)^{-1}$. Pour tout morphisme $z\colon X\to Y$
dans $\categ{D}$, définissons $G(z)$ comme antécédent de $e(Y)\circ z
\circ e(X)^{-1}$ par $F\colon \Hom(G(X),G(Y)) \to \Hom(F(G(X)),
@@ -1201,16 +1201,16 @@ proposition assure qu'il s'agit bien d'une relation d'équivalence.
Lorsque deux foncteurs $F\colon \categ{D} \to \categ{C}$ et $G\colon
\categ{C} \to \categ{D}$ sont quasi-inverses, il n'existe pas de
cohérence automatique particulière entre un isomorphisme $h\colon
-\Id_{\categ{D}} \buildrel\sim\over\to G\circ F$ et un isomorphisme
-$e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to F\circ G$. Cependant,
+\Id_{\categ{D}} \simto G\circ F$ et un isomorphisme
+$e\colon \Id_{\categ{C}} \simto F\circ G$. Cependant,
on verra plus loin en \ref{equivalence-est-adjonction-inversible}, en
réinterprétant les foncteurs quasi-inverses comme des adjoints, que
les conditions $G \boxempty e = h \boxempty G$ et $e \boxempty F = F
\boxempty h$ sont équivalentes, et que pour tout isomorphisme $h\colon
-\Id_{\categ{D}} \buildrel\sim\over\to G\circ F$ il existe un unique
-$e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to F\circ G$ (\emph{dans
+\Id_{\categ{D}} \simto G\circ F$ il existe un unique
+$e\colon \Id_{\categ{C}} \simto F\circ G$ (\emph{dans
la mesure où} il existe un isomorphisme $\Id_{\categ{C}}
-\buildrel\sim\over\to F\circ G$, c'est-à-dire que $F$ et $G$ sont bien
+\simto F\circ G$, c'est-à-dire que $F$ et $G$ sont bien
quasi-inverses) vérifiant ces conditions équivalentes, et de même pour
tout $e$ il existe un unique $h$ vérifiant ces conditions.
@@ -1226,13 +1226,13 @@ Soit $\categ{C}$ une catégorie : un foncteur $F \colon \categ{C}\op
\to \Ens$ contravariant de la catégorie $\categ{C}$ vers la catégorie
des ensembles est dit \emph{représentable} par un objet $X$
de $\categ{C}$ lorsqu'il existe un isomorphisme $h \colon
-\Hom(\tiret,X) \buildrel\sim\over\to F$ (pour être plus précis, on
+\Hom(\tiret,X) \simto F$ (pour être plus précis, on
devrait dire que $F$ est représentable par l'objet $X$ et
l'isomorphisme $h$ — ou, comme on le verra
en \ref{foncteur-representable-element}, par l'élément $h(X)(\Id_X)
\in F(X)$). Un foncteur $F \colon \categ{C} \to \Ens$ covariant de
$\categ{C}$ vers les ensembles est dit représentable par un objet $X$
-lorsqu'il existe $h \colon \Hom(X,\tiret) \buildrel\sim\over\to F$.
+lorsqu'il existe $h \colon \Hom(X,\tiret) \simto F$.
\end{definition2}
\begin{exemple2}
@@ -1346,36 +1346,36 @@ Si $Y,Y'$ sont deux objets d'une catégorie $\categ{D}$ tels que les
foncteurs $\Hom(\tiret,Y),\Hom(\tiret,Y')\colon \categ{D}\op\to\Ens$
soient isomorphes, alors $Y,Y'$ eux-mêmes sont isomorphes : plus
précisément, pour tout isomorphisme $\varphi\colon \Hom(\tiret,Y)
-\buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,Y')$ il existe un unique $h\colon Y
-\buildrel\sim\over\to Y'$ tel que $\varphi = \yone(h)$.
+\simto \Hom(\tiret,Y')$ il existe un unique $h\colon Y
+\simto Y'$ tel que $\varphi = \yone(h)$.
Si $G,G'\colon \categ{C} \to \categ{D}$ sont deux foncteurs tels que
les foncteurs $\Hom(\tiret,G(\tiret)),\Hom(\tiret,G'(\tiret)) \colon
\categ{D}\op \times \categ{C} \to \Ens$ soient isomorphes, alors
$G,G'$ eux-mêmes sont isomorphes : plus précisément, pour tout
isomorphisme $\varphi\colon \Hom(\tiret,G(\tiret))
-\buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,G'(\tiret))$ il existe un unique
-$h\colon G \buildrel\sim\over\to G'$ tel que $\varphi(\tiret,Y) =
+\simto \Hom(\tiret,G'(\tiret))$ il existe un unique
+$h\colon G \simto G'$ tel que $\varphi(\tiret,Y) =
\yone(h(Y))$ pour tout objet $Y$ de $\categ{C}$.
\end{corollaire2}
\begin{proof}
La première affirmation est une conséquence immédiate du lemme de
Yoneda (le foncteur $\yone$ étant pleinement fidèle, il établit une
bijection (cf. \ref{pleinement-fidele-est-essentiellement-injectif})
-entre isomorphismes $Y \buildrel\sim\over\to Y'$ et isomorphismes
-$\Hom(\tiret,Y) \buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,Y')$.
+entre isomorphismes $Y \simto Y'$ et isomorphismes
+$\Hom(\tiret,Y) \simto \Hom(\tiret,Y')$.
La seconde affirmation s'en déduit : si $\varphi\colon
-\Hom(\tiret,G(\tiret)) \buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,G'(\tiret))$
+\Hom(\tiret,G(\tiret)) \simto \Hom(\tiret,G'(\tiret))$
est un isomorphisme, alors pour chaque objet $Y$ de $\categ{C}$,
l'isomorphisme $\varphi(\tiret,Y)\colon \Hom(\tiret,G(Y))
-\buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,G'(Y))$ (naturel en la première
+\simto \Hom(\tiret,G'(Y))$ (naturel en la première
variable, anonyme) provient, d'après la première partie du corollaire,
-d'un (unique) isomorphisme $h(Y)\colon G(Y) \buildrel\sim\over\to
+d'un (unique) isomorphisme $h(Y)\colon G(Y) \simto
G'(Y)$ par application du foncteur $\yone$ de Yoneda. La naturalité
de $\varphi$ en la seconde variable ($Y$) et la fidélité de $\yone$
montrent alors immédiatement que $h$ est naturel, donc on a bien un
-isomorphisme naturel $h\colon G \buildrel\sim\over\to G'$, qui
+isomorphisme naturel $h\colon G \simto G'$, qui
visiblement était le seul possible puisque chaque $\varphi(\tiret,Y)$
détermine $h(Y)$.
\end{proof}
@@ -1383,7 +1383,7 @@ détermine $h(Y)$.
\subsubsection{}\label{foncteur-representable-element} Le lemme
de Yoneda a notamment comme conséquence que dans la
définition \ref{definition-foncteur-representable}, la donnée de
-l'isomorphisme $h \colon \Hom(\tiret,X) \buildrel\sim\over\to F$
+l'isomorphisme $h \colon \Hom(\tiret,X) \simto F$
attestant qu'un foncteur contravariant $F$ est représentable peut se
réduire à la donnée de l'élément $s = h(X)(\Id_X) \in F(X)$. Ainsi,
on peut dire qu'un foncteur $F$ est représentable par un objet $X$ et
@@ -2621,7 +2621,7 @@ gauche de l'adjonction, ou \emph{adjoint à gauche} de $G$), d'un
foncteur $G\colon \categ{C}\to\categ{D}$ (appelé membre droit de
l'adjonction, ou \emph{adjoint à droite} de $F$) et d'un isomorphisme
naturel (l'adjonction proprement dite) $\theta\colon
-\Hom_{\categ{C}}(F \tiret, \tiret) \buildrel\sim\over\to
+\Hom_{\categ{C}}(F \tiret, \tiret) \simto
\Hom_{\categ{D}}(\tiret, G\tiret)$ entre les foncteurs
(contravariants en $X$ et covariants en $Y$, et à valeurs dans $\Ens$)
$(X,Y) \mapsto \Hom_{\categ{C}}(F(X), Y)$ et $(X,Y) \mapsto
@@ -2812,7 +2812,7 @@ objets $X,Y$ de $\categ{D},\categ{C}$ respectivement, et tout
morphisme $u\colon F(X)\to Y$, on pose $\theta(X,Y)(u) = G(u) \circ
\eta(X)$ : il s'agit de montrer que ceci définit bien un isomorphisme
naturel $\theta\colon \Hom_{\categ{C}}(F \tiret, \tiret)
-\buildrel\sim\over\to \Hom_{\categ{D}}(\tiret, G\tiret)$. Le fait que
+\simto \Hom_{\categ{D}}(\tiret, G\tiret)$. Le fait que
$\theta(X,Y)$ soit (pour $X,Y$ fixés) une bijection entre
$\Hom_{\categ{C}}(F(X), Y)$ et $\Hom_{\categ{D}}(X, G(Y))$ est
précisément la propriété universelle qui a été supposée de $\eta$. Et
@@ -2928,7 +2928,7 @@ le sous-groupe distingué $\Gamma'$ engendré par les commutateurs
$xyx^{-1}y^{-1}$) avec pour unité le morphisme $\eta(\Gamma)$
surjection canonique de $\Gamma$ sur $\Gamma/\Gamma'$, la coünité
$\varepsilon$ étant alors l'isomorphisme $\Gamma/\Gamma'
-\buildrel\sim\over\to \Gamma$ si $\Gamma$ est un groupe abélien, alors
+\simto \Gamma$ si $\Gamma$ est un groupe abélien, alors
que l'unité $\eta$ n'est un isomorphisme que sur les groupes abéliens.
En revanche, si $\eta$ \emph{et} $\varepsilon$ sont des isomorphismes,
@@ -2965,9 +2965,9 @@ Soient $F\colon \categ{D}\to\categ{C}$ et $G\colon
\categ{C}\to\categ{D}$ deux foncteurs quasi-inverses. Alors $F$ est
adjoint à gauche et à droite de $G$.
-Plus précisément, si $e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to
+Plus précisément, si $e\colon \Id_{\categ{C}} \simto
F\circ G$ est un isomorphisme naturel (et qu'on suppose toujours qu'il
-existe un isomorphisme naturel $\Id_{\categ{D}} \buildrel\sim\over\to
+existe un isomorphisme naturel $\Id_{\categ{D}} \simto
G\circ F$), alors $e$ est l'unité d'une adjonction $\xi \colon G
\dashv F$, tandis que $e^{-1}$ est la coünité d'une adjonction $\theta
\colon F \dashv G$.
@@ -2986,7 +2986,7 @@ il existe un unique $h$ vérifiant ces conditions, et il s'agit d'un
isomorphisme naturel.
\end{proposition2}
\begin{proof}
-Si $e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to F\circ G$ est un
+Si $e\colon \Id_{\categ{C}} \simto F\circ G$ est un
isomorphisme naturel, où $F\colon \categ{D}\to\categ{C}$ et $G\colon
\categ{C}\to\categ{D}$ sont deux foncteurs quasi-inverses, alors si on
appelle (pour $X$ un objet quelconque de $\categ{D}$) $h(X) \colon X