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+\ifx\danslelivre\undefined
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+\title{Catégories}
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+%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition}
+
+\begin{document}
+\maketitle
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+\chapter{Catégories}
+\fi
+
+\section{Catégories et foncteurs}
+
+\subsection{Catégories, objets et morphismes}
+
+\begin{definition2}\label{definition-categorie}
+Une \emph{catégorie} $\categ{C}$ est la donnée
+\begin{itemize}
+\item d'un ensemble $\ob\categ{C}$ appelé ensemble des \emph{objets}
+ de $\categ{C}$,
+\item pour tous objets $X,Y \in \ob\categ{C}$, d'un ensemble
+ $\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ appelé ensemble des \emph{morphismes} (ou
+ \emph{flèches}) \emph{de source $X$ et de cible $Y$} (ou \emph{...de
+ but $Y$}) dans $\categ{C}$,
+\item pour tout objet $X \in \ob\categ{C}$, d'un morphisme $\Id_X
+ \in \Hom_{\categ{C}}(X,X)$ appelé \emph{identité sur $X$},
+\item pour tous objets $X,Y,Z \in \ob\categ{C}$, d'une application
+ d'ensembles
+\[
+\Hom_{\categ{C}}(X,Y) \times \Hom_{\categ{C}}(Y,Z) \to \Hom_{\categ{C}}(X,Z)
+\]
+notée $(u,v) \mapsto v\circ u$ et appelée \emph{composition} des morphismes,
+\end{itemize}
+vérifiant les deux conditions suivantes :
+\begin{itemize}
+\item pour tous objets $X,Y \in \ob\categ{C}$ et tout morphisme $u
+ \in \Hom_{\categ{C}}(X,Y)$, on a $u\circ\Id_X = u$ et $\Id_Y\circ u
+ = u$,
+\item pour tous objets $X,Y,Z,T \in \ob\categ{C}$ et tous
+ morphismes $u,v,w$ dans $\Hom_{\categ{C}}(X,Y), \penalty-500
+ \Hom_{\categ{C}}(Y,Z), \penalty-500 \Hom_{\categ{C}}(Z,T)$
+ respectivement, on a $(w\circ v) \circ u = w \circ (v\circ u)$.
+\end{itemize}
+\end{definition2}
+
+Lorsque $X,Y \in \ob\categ{C}$, on écrira généralement $\Hom(X,Y)$
+plutôt que $\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ si aucune ambiguïté ne peut en
+résulter. Par ailleurs, pour indiquer que $u$ est un morphisme de $X$
+vers $Y$, plutôt que d'écrire $u \in \Hom(X,Y)$, on notera
+généralement $u \colon X \to Y$. Enfin, la composée $v \circ u$ de
+deux morphismes sera souvent notée $vu$ lorsque cette écriture ne
+cause pas de confusion.
+
+\begin{remarque2}\label{blabla-univers}
+On souhaite pouvoir parler (\ref{exemples-basiques-categories}
+ci-dessous) de la catégorie des ensembles, des groupes, des anneaux,
+etc. Malheureusement, avec la définition \ref{definition-categorie}
+telle qu'elle est écrite, les ensembles, groupes, anneaux, etc., ne
+forment pas une catégorie car la collection de tous les ensembles (ou
+groupes, anneaux, etc.) ne constitue pas un ensemble. Il existe
+plusieurs manières de contourner ce problème.
+
+L'une consiste à modifier la définition \ref{definition-categorie}
+pour admettre que $\ob\categ{C}$ soit une \emph{classe} plutôt qu'un
+ensemble (tout en exigeant que les $\Hom(X,Y)$, eux, soient bien des
+ensembles). Ceci implique soit de se placer dans une théorie des
+ensembles telle que celle de Gödel-Bernays, dans laquelle les classes
+sont des objets légitimes ; soit, dans le cadre usuel de
+Zermelo-Fraenkel, de considérer que « la classe des ensembles
+ vérifiant $P$ » est une convention de langage pour parler de la
+propriété $P$ elle-même, auquel cas il faut considérer que toute
+affirmation faisant intervenir une catégorie est un simple patron
+duquel peuvent se dérouler des affirmations sur les ensembles, les
+groupes, les anneaux, etc. Lorsqu'on adopte cette solution, les
+catégories $\categ{C}$ pour lesquelles $\ob\categ{C}$ est
+effectivement un ensemble s'appellent \emph{petites} catégories.
+
+Une autre solution consiste à concéder qu'on ne peut pas réellement
+parler de la catégorie des ensembles, des groupes, etc., mais
+seulement des ensembles, groupes, etc., appartenant à un ensemble
+$\mathfrak{U}$ (dit \emph{univers}) possédant des propriétés de
+clôture suffisantes pour que toutes les constructions qu'on souhaite
+mener soient réalisables dans $\mathfrak{U}$ : les affirmations sur la
+catégorie des groupes (par exemple) étant alors à comprendre comme des
+affirmations sur la catégorie des $\mathfrak{U}$-groupes pour tout
+univers $\mathfrak{U}$ (éventuellement supposé suffisamment gros pour
+contenir des données précédemment choisies : par exemple, pour parler
+du foncteur $\Hom \colon \categ{C}\op \times \categ{C} \to \Ens$ qui
+sera défini plus bas, on a besoin de choisir un univers assez étendu
+pour y mettre tous les $\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ avec $X$ et $Y$ deux
+objets de $\categ{C}$). Cela implique à son tour soit de prendre une
+définition d'un univers suffisamment large pour que \emph{toutes} les
+constructions de la théorie des ensembles soient menables dedans, mais
+alors l'existence de « suffisamment » d'univers doit faire l'objet
+d'axiomes supplémentaires\footnote{Par exemple, le fait que tout
+ cardinal soit majoré par un cardinal inaccessible $\kappa$, ce qui
+ permet de considérer les ensembles $\mathfrak{V}_\kappa$ d'ensembles
+ de rang $<\kappa$ (ou, ce qui est ici équivalent, héréditairement de
+ cardinal $<\kappa$) comme des univers.}, soit de prendre une
+définition plus étroite permettant d'exhiber effectivement des
+univers\footnote{Par exemple, on pourrait appeler « univers »
+ l'ensemble $\mathfrak{V}_\kappa$ des ensembles de rang $<\kappa$
+ (ou, ce qui est ici équivalent, héréditairement de
+ cardinal $<\kappa$), où $\kappa$ est un cardinal tel que $\kappa =
+ \beth_\kappa$ (avec $\beth_0 = \aleph_0$, $\beth_{\alpha+1} =
+ 2^{\beth_\alpha}$ et $\beth_\delta = \lim_{\alpha<\delta}
+ \beth_\alpha$ si $\delta$ est limite), et de cofinalité assez
+ grande, disons $>2^{\aleph_0}$ : de cette façon, on peut prouver
+ dans ZFC que tout ensemble est contenu dans un univers (et les
+ univers sont totalement ordonnés pour l'inclusion), et toutes les
+ constructions de la théorie des ensembles sont faisables dans un
+ univers à l'exception de l'utilisation, complètement inexistante
+ dans la pratique mathématique non-ensembliste, de l'axiome du
+ remplacement sur une formule à quantificateurs non bornés
+ (non $\Delta_0$) appliqué un ensemble de base de cardinal supérieur
+ à $2^{\aleph_0}$.}, auquel cas on doit théoriquement vérifier que
+cette définition plus étroite suffit à mener toutes les constructions
+souhaitées.
+
+On supposera dorénavant qu'une de ces solutions a été adoptée,
+permettant de parler sans plus de précision de la catégorie des
+ensembles, des groupes, des anneaux, etc., comme on va le faire
+ci-dessous. Eu égard à la simplicité des énoncés et des constructions
+sur les catégories, toutes ces solutions conviendront autant pour ce
+qui va suivre.
+\end{remarque2}
+
+\begin{exemples2}\label{exemples-basiques-categories}
+La \emph{catégorie des ensembles} (notée $\Ens$) est la catégorie dont
+les objets sont les ensembles, les morphismes $X \to Y$ étant les
+applications d'ensembles de $X$ vers $Y$.
+
+On définit de même la catégorie des groupes, des groupes abéliens, des
+$A$-modules (pour $A$ un anneau fixé), des anneaux, etc., comme la
+catégorie dont les objets sont les structures considérées, les
+morphismes étant les morphismes (habituellement définis) entre ces
+structures.
+\end{exemples2}
+
+\begin{exemples2}\label{exemples-debiles-categories}
+La \emph{catégorie vide}, notée $\varnothing$ ou $\categ{0}$, est la
+catégorie n'ayant aucun objet (et par conséquent, aucun morphisme).
+La \emph{catégorie triviale}, ou \emph{catégorie singleton}, notée
+$\categ{1}$, est la catégorie ayant un unique objet et pour seul
+morphisme l'identité sur cet objet.
+
+On notera encore $\vec{\categ{2}}$ pour la catégorie
+$\astrosun\to\leftmoon$ ayant exactement deux objets $\astrosun$
+et $\leftmoon$, et exactement trois morphismes, à savoir l'identité
+sur $\astrosun$, l'identité sur $\leftmoon$, et un unique morphisme
+$\astrosun\to\leftmoon$, la composition des morphismes étant définie
+de l'unique manière possible. (La notation $\vec{\categ{2}}$ est
+utilisée pour différencier cette catégorie de la catégorie $\categ{2}$
+ayant exactement deux objets et pour seuls morphismes les identités
+sur ces objets.)
+\end{exemples2}
+
+\begin{exemples2}\label{exemple-categorie-ensemble-preordonne}
+Si $I$ est un ensemble (partiellement) ordonné, ou même simplement
+préordonné (c'est-à-dire muni d'une relation symétrique et transitive,
+dite préordre), alors on peut faire de $I$ une catégorie dont les
+objets sont les éléments de $I$, en convenant qu'il existe une unique
+flèche de $i$ vers $j$ lorsque $i \leq j$, l'identité et la composée
+étant définies de l'unique manière possible.
+
+Un cas particulier de cet exemple est obtenu lorsque l'ensemble
+ordonné $I$ est muni de l'ordre trivial, c'est-à-dire qu'on n'a $i
+\leq j$ que lorsque $i = j$ : la catégorie ainsi construite a donc
+pour objets les éléments de $I$ et pour seuls morphismes l'identité
+d'un objet. Une telle catégorie est dite \emph{discrète}, et on
+identifiera parfois un ensemble avec la catégorie discrète ayant cet
+ensemble pour ensemble d'objets (ceci est cohérent avec les
+conventions de notations pour les
+exemples \ref{exemples-debiles-categories}).
+\end{exemples2}
+
+\begin{definition2}\label{definition-categorie-connexe}
+Une catégorie $\categ{C}$ non vide est dite \emph{(faiblement)
+ connexe} lorsque pour tous objets $X,Y$ de $\categ{C}$, il existe
+une suite finie $X_1,\ldots,X_{2n+1}$ d'objets, avec $X_1 = X$ et
+$X_{2n+1} = Y$, et deux suites finies $f_1,\ldots,f_n$ et
+$g_1,\ldots,g_n$ de morphismes, avec $f_k \colon X_{2k-1} \to X_{2k}$
+et $g_k \colon X_{2k+1} \to X_{2k}$, c'est-à-dire
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2.5em]{
+X_1&X_2&X_3&\;\cdots\;&X_{2n-1}&X_{2n}&X_{2n+1}\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$f_1$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node[swap]{$g_1$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node{$f_2$} (diag-1-4);
+\draw[->] (diag-1-5) -- node[swap]{$g_{n-1}$} (diag-1-4);
+\draw[->] (diag-1-5) -- node{$f_n$} (diag-1-6);
+\draw[->] (diag-1-7) -- node[swap]{$g_n$} (diag-1-6);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+Une catégorie $\categ{C}$ non vide est dite \emph{fortement connexe}
+lorsque pour tous objets $X,Y$ de $\categ{C}$, on a
+$\Hom_{\categ{C}}(X,Y) \neq \varnothing$.
+\end{definition2}
+
+\begin{definition2}
+Un morphisme $u\colon X\to Y$ dans une catégorie est dit
+\emph{isomorphisme} lorsqu'il existe un morphisme $v\colon Y\to X$ tel
+que $v\circ u = \Id_X$ et $u\circ v = \Id_Y$ : un tel morphisme est
+dit \emph{réciproque} de~$u$. Lorsqu'il existe un isomorphisme entre
+deux objets $X$ et $Y$, on dit qu'ils sont \emph{isomorphes}. On
+notera $\Isom_{\categ{C}}(X,Y)$ (ou simplement $\Isom(X,Y)$) le
+sous-ensemble de $\Hom(X,Y)$ formé des isomorphismes.
+
+Un morphisme d'un objet $X$ vers lui-même s'appelle
+\emph{endomorphisme} de cet objet : lorsque ce morphisme est un
+isomorphisme, on parle d'\emph{automorphisme} de l'objet. On notera
+parfois $\End(X) = \Hom(X,X)$ et $\Aut(X) = \Isom(X,X)$.
+\end{definition2}
+
+On vérifie immédiatement que, dans les conditions de cette définition,
+le morphisme réciproque $v$ de~$u$ est défini uniquement, et il est
+lui-même un isomorphisme, dont $u$ est la réciproque.
+
+On remarquera également que, pour tout objet $X$ d'une catégorie
+$\categ{C}$, l'ensemble $\End_{\categ{C}}(X)$ des endomorphismes
+de $X$ est un monoïde (pour la loi donnée par la composition des
+morphismes) dont le sous-ensemble $\Aut_{\categ{C}}(X)$ des
+automorphismes est un groupe.
+
+\begin{exemple2}\label{exemple-categorie-groupe-groupoide}
+Si une catégorie $\categ{G}$ admet un unique objet $\bullet$ et que
+tous les morphismes de $\categ{G}$ sont des isomorphismes, alors
+$\Aut_{\categ{G}}(\bullet)$ est un groupe ; et réciproquement, pour
+tout groupe $G$ on peut considérer une catégorie ayant un seul
+objet $\bullet$ et pour laquelle $\Hom_{\categ{G}}(\bullet, \bullet) =
+G$.
+
+En généralisant cet exemple, on appelle \emph{groupoïde} une catégorie
+dans laquelle tous les morphismes sont des isomorphismes.
+\end{exemple2}
+
+\begin{definition2}
+Un morphisme $u\colon X\to Y$ dans une catégorie est dit
+\emph{monomorphisme} (resp. \emph{épimorphisme}) lorsque pour tout
+objet $T$ l'application $\Hom(T,X) \to \Hom(T,Y)$ (donnée par $f
+\mapsto u\circ f$) de composition à gauche par $u$ est injective
+(resp. l'application $\Hom(Y,T) \to \Hom(X,T)$ donnée par $f \mapsto
+f\circ u$ de composition à droite par $u$ est injective).
+\end{definition2}
+
+\begin{definition2}
+Un objet $\top$ d'une catégorie $\categ{C}$ est appelé \emph{objet
+ terminal} (ou \emph{objet final}) de $\categ{C}$ lorsque, pour tout
+objet $X$ de $\categ{C}$, il existe un \emph{unique} morphisme $X \to
+\top$ (c'est-à-dire que l'ensemble $\Hom_{\categ{C}}(X, \top)$ est un
+singleton). Un objet $\bot$ de $\categ{C}$ est appelé \emph{objet
+ initial} lorsque, pour tout objet $X$, il existe un \emph{unique}
+morphisme $\bot \to X$ (c'est-à-dire que l'ensemble
+$\Hom_{\categ{C}}(\bot, X)$ est un singleton).
+\end{definition2}
+
+Un objet terminal, ou initial, n'a notamment pas d'autre endomorphisme
+que l'identité. Deux objets initiaux, ou deux objets terminaux, dans
+une catégorie, sont toujours isomorphes (puisqu'il existe un unique
+morphisme de l'un vers l'autre dans chaque sens, et que la composée
+dans chaque sens est l'unique endomorphisme d'un des objets,
+c'est-à-dire l'identité), et cet isomorphisme est bien sûr unique ;
+réciproquement, il est clair qu'un objet isomorphe à un objet terminal
+(resp. initial) est lui-même terminal (resp. initial).
+
+Dans la catégorie des ensembles, il existe un objet initial, qui est
+l'ensemble vide, ainsi qu'un objet terminal, à savoir un singleton
+quelconque. Dans la catégorie des anneaux, il existe un objet
+initial, à savoir l'anneau $\ZZ$ des entiers, et un objet terminal, à
+savoir l'anneau nul (dans lequel $0=1$).
+
+Un objet d'une catégorie peut être à la fois initial et terminal :
+dans la catégorie des groupes, ou dans celle des groupes abéliens, le
+groupe trivial (dont le seul élément est l'élément neutre) constitue à
+la fois un objet initial et un objet terminal ; de même, dans la
+catégorie des $A$-modules, où $A$ est un anneau quelconque, le module
+nul est à la fois initial et terminal.
+
+\begin{remarque2}\label{blabla-unicite-objet-universel}
+Une catégorie peut posséder plusieurs objets terminaux : par exemple,
+dans la catégorie des ensembles, tout singleton est terminal. Il est
+pourtant fréquent de parler de \emph{l}'objet terminal de la catégorie
+pour désigner n'importe lequel d'entre eux : cet abus de langage est
+justifié car non seulement les objets terminaux sont isomorphes mais,
+de plus, l'isomorphisme entre eux est unique et, en fait, tout
+morphisme entre deux objets terminaux est un isomorphisme ; ainsi,
+dans n'importe quelle affirmation catégorique, ou n'importe quel
+diagramme commutatif, dans lequel intervient un objet terminal, le
+remplacer par un autre (et composer les flèches en provenant ou y
+aboutissant par l'unique isomorphisme entre les deux objets terminaux
+en question) produira une affirmation également valable ou un
+diagramme également commutatif --- ce qui permet bien d'ignorer la
+différence entre les deux objets en question.
+
+Ces remarques valent bien sûr également pour un objet initial ; mais,
+de façon plus importante, elles valent aussi dans une certaine mesure
+pour les solutions de tous les autres problèmes « universels » qu'on
+sera amené à considérer plus loin (objet représentant un foncteur,
+limites et colimites, foncteurs adjoints, etc.), puisque ceux-ci
+peuvent se ramener à rechercher des objets terminaux (ou initiaux)
+dans des catégories construites pour le problème : c'est ce qui
+justifie qu'on se permette, par exemple, de parler \emph{du} produit
+de deux groupes plutôt que d'\emph{un} produit, car deux produits sont
+non seulement isomorphes mais même isomorphes de façon unique si l'on
+impose que l'isomorphisme soit compatible aux projections sur les deux
+facteurs.
+
+Le même abus de langage fait qu'on notera parfois une égalité entre
+deux objets d'une catégorie alors qu'il s'agit, en fait, d'un
+isomorphisme, à condition que l'isomorphisme en question soit défini
+de façon unique (compte tenu de certaines données définissant
+l'objet), ce qui promet notamment qu'il ne puisse pas y avoir de doute
+quant à l'isomorphisme faisant commuter un diagramme. (Par ailleurs,
+il s'agira normalement d'isomorphismes naturels entre des
+constructions fonctorielles, cf. \ref{definition-isomorphisme-naturel}
+plus bas, un exemple typique serait l'abus de langage d'écrire
+$(X\times Y) \times Z = X \times(Y\times Z)$.)
+
+En revanche, lorsqu'un objet (par exemple, une clôture algébrique d'un
+corps $k$) n'est défini qu'à isomorphisme près, sans que cet
+isomorphisme soit unique (compte tenu de certaines données, par
+exemple le plongement de $k$ dans le corps lorsqu'il s'agit de définir
+une clôture algébrique de $k$), on ne devrait pas, en principe,
+utiliser l'article défini pour désigner l'objet en question.
+\end{remarque2}
+
+\begin{definition2}
+Si $\categ{C}$ est une catégorie, une \emph{sous-catégorie}
+de $\categ{C}$ est la donnée d'un ensemble d'objets de $\categ{C}$ et
+d'un ensemble de morphismes de $\categ{C}$ tels que ces objets et ces
+morphismes (considérés comme des morphismes de même source et de même
+but que dans $\categ{C}$, et avec les mêmes identités et la même
+composition) forment une catégorie. Une sous-catégorie $\categ{D}$
+d'une catégorie $\categ{C}$ telle que, pour tous objets $X$ et $Y$
+de $\categ{D}$, le sous-ensemble $\Hom_{\categ{D}}(X,Y)$ de
+$\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ soit $\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ tout entier, est
+appelée \emph{sous-catégorie pleine} de $\categ{C}$.
+\end{definition2}
+
+Par exemple, la catégorie des groupes abéliens forme une
+sous-catégorie pleine de celle des groupes.
+
+\begin{definition2}
+Si $\categ{C}$ est une catégorie, la \emph{catégorie opposée}
+à $\categ{C}$, notée $\categ{C}\op$, est la catégorie dont les objets
+sont les mêmes que ceux de $\categ{C}$ (soit $\ob(\categ{C}\op) =
+\ob(\categ{C})$) mais dont les flèches sont inversées, c'est-à-dire
+que pour $X,Y$ deux objets, $\Hom_{\categ{C}\op}(Y,X) =
+\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ et, si $u\in\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ et
+$v\in\Hom_{\categ{C}}(Y,Z)$ sont deux morphismes dans $\categ{C}$,
+alors la composée $u\circ v$ de $u\in\Hom_{\categ{C}\op}(Y,X)$ et
+$v\in\Hom_{\categ{C}\op}(Z,Y)$ dans $\categ{C}\op$ est définie comme
+la composée $v\circ u$ dans $\categ{C}$. On identifie de façon
+évidente $(\categ{C}\op)\op$ avec $\categ{C}$.
+\end{definition2}
+
+\begin{definition2}
+Si $(\categ{C})_{i\in I}$ est une famille de catégories, la
+\emph{catégorie produit} des $\categ{C}_i$, notée $\prod_{i\in I}
+\categ{C}_i$, est la catégorie dont les objets sont les familles
+$(X_i)_{i\in I}$ avec $X_i \in \ob\categ{C}_i$, autrement dit $\ob
+\prod_{i\in I} \categ{C}_i = \prod_{i\in I} \ob \categ{C}_i$, et dont
+les flèches $(X_i) \to (Y_i)$ sont les familles $(u_i)_{i\in I}$ avec
+$u_i\colon X_i \to Y_i$ pour chaque $i$, autrement dit
+$\Hom_{\prod_{i\in I} \categ{C}_i} ((X_i),(Y_i)) = \prod_{i\in I}
+\Hom_{\categ{C}_i} (X_i, Y_i)$.
+
+Lorsque $(\categ{C}_i)$ est la famille constante de valeur $\categ{C}$
+(une catégorie quelconque), la catégorie produit se note $\categ{C}^I$
+et s'appelle catégorie puissance, ou catégorie des familles indicées
+par $I$ d'objets de $\categ{C}$.
+\end{definition2}
+
+\begin{definition2}\label{definition-categorie-au-dessus}
+Si $\categ{C}$ est une catégorie et $S$ un objet de $\categ{C}$, on
+appelle \emph{catégorie des objets de $\categ{C}$ au-dessus de $S$},
+et on note $\categ{C}\downarrow S$, la catégorie dont les objets sont
+les morphismes $X \to S$, avec $X$ un objet de $\categ{C}$, les
+morphismes de $h\colon X \to S$ vers $h'\colon X' \to S$ (vus comme deux
+objets de $\categ{C} \downarrow S$) étant les morphismes $u\colon X
+\to X'$ dans $\categ{C}$ tels que $h = h'\circ u$. Dualement, si $T$
+est un objet de $\categ{C}$, on a la catégorie $T\uparrow\categ{C}$
+des \emph{objets sous $T$} dont les objets sont les morphismes $T \to
+X$ avec $X$ un objet de $\categ{C}$.
+\end{definition2}
+
+(On verra en \ref{definition-categorie-au-dessus-generalisation} une
+généralisation de cette définition.)
+
+La catégorie $\categ{C}\downarrow S$ possède un objet terminal, à
+savoir l'identité $S \to S$ (et si $\categ{C}$ possède un objet
+initial $\top$ alors $\categ{C}\downarrow S$ en a aussi un, à savoir
+l'unique flèche $\top \to S$). Dualement, $T\uparrow\categ{C}$
+possède un objet initial $\Id_T\colon T \to T$ (et a un objet terminal
+si $\categ{C}$ en a un).
+
+\begin{exemple2}
+Si $I$ est un ensemble, la catégorie $\Ens\downarrow I$ des ensembles
+sur $I$ peut être identifiée à la catégorie $\Ens^I$ des familles
+d'ensembles indicées par $I$ en identifiant un objet $h\colon X\to I$
+dans $\Ens\downarrow I$ avec la famille $(X_i)_{i \in I}$ où $X_i =
+h^{-1}(\{i\})$ : en effet, la donnée d'une application $f\colon X \to
+Y$ qui composée à $\psi\colon Y \to I$ égale $h\colon X\to I$ équivaut
+précisément à la donnée pour chaque $i \in I$ d'une application $f_i
+\colon X_i \to Y_i$ (où $Y_i = \psi^{-1}(\{i\})$ et $X_i =
+h^{-1}(\{i\})$). La formulation vague « peut être identifiée » sera
+rendue plus précise plus bas (\ref{definition-equivalence-categories})
+par l'introduction de la notion d'équivalence de catégories.
+\end{exemple2}
+
+
+
+\subsection{Foncteurs}
+
+\begin{definition2}\label{definition-foncteur}
+Soient $\categ{C}$ et $\categ{D}$ deux catégories : on appelle
+\emph{foncteur (covariant)} de $\categ{C}$ dans $\categ{D}$, et on
+note $F\colon \categ{C} \to \categ{D}$ la donnée d'une application
+$\ob\categ{C} \to \ob\categ{D}$ (également notée $F$), et pour tous
+objets $X,Y \in \ob\categ{C}$, d'une application
+$\Hom_{\categ{C}}(X,Y) \to \Hom_{\categ{D}}(F(X), F(Y))$ (également
+notée $F$), telle que si $X$ est un objet de $\categ{C}$ alors
+$F(\Id_X) = \Id_{F(X)}$, et si $X,Y,Z$ sont trois objets
+de $\categ{C}$ et $u\colon X\to Y$ et $v\colon Y\to Z$ deux morphismes
+dans $\categ{C}$, alors $F(v\circ u) = F(v)\circ F(u)$.
+\end{definition2}
+
+\begin{exemples2}
+Si $\categ{C}$ est une catégorie de structures algébriques telle que
+groupes, groupes abéliens, $A$-modules (pour $A$ un anneau fixé),
+anneaux, etc., on dispose d'un foncteur $F\colon \categ{C} \to \Ens$
+vers la catégorie $\Ens$ des ensembles, qui à tout objet $X$
+de $\categ{C}$ associe son ensemble sous-jacent, et à tout morphisme
+$X \to Y$ associe l'application en question sur les ensembles
+sous-jacents. Ce foncteur s'appelle \emph{foncteur d'oubli} (de la
+structure en question vers les ensembles). On peut également définir
+des foncteurs d'oubli partiels, par exemple de la catégorie des
+anneaux vers la catégorie des groupes abéliens en ne retenant que la
+structure de groupe abélien pour l'addition (en oubliant la
+multiplication).
+\end{exemples2}
+
+Lorsque $F \colon \categ{C} \to \categ{D}$ est un foncteur, si $X$ et
+$Y$ sont deux objets isomorphes de $\categ{C}$ alors $F(X)$ et $F(Y)$
+sont eux aussi isomorphes (puisque si $u\colon X \to Y$ et $v \colon Y
+\to X$ vérifient $v\circ u = \Id_X$ et $u\circ v = \Id_Y$ alors $F(u)
+\colon F(X) \to F(Y)$ et $F(v)\colon F(Y) \to F(X)$ vérifient
+$F(v)\circ F(u) = \Id_{F(X)}$ et $F(u) \circ F(v) = \Id_{F(Y)}$).
+Cette observation justifie l'intérêt des définitions suivantes :
+
+\begin{definition2}
+On dit qu'un foncteur $F \colon \categ{C} \to \categ{D}$ est
+\emph{fidèle} (resp. \emph{plein}, resp. \emph{pleinement fidèle})
+lorsque pour tous objets $X,Y \in \ob\categ{C}$ l'application
+$\Hom_{\categ{C}}(X,Y) \to \Hom_{\categ{D}}(F(X),F(Y))$ est injective
+(resp. surjective, resp. bijective).
+\end{definition2}
+
+Ainsi, si $\categ{D}$ est une sous-catégorie d'une
+catégorie $\categ{C}$, le foncteur d'inclusion $\categ{D} \to
+\categ{C}$ (envoyant un objet de $\categ{D}$ sur le même objet vu
+comme objet de $\categ{C}$, et un morphisme dans $\categ{D}$ sur le
+même morphisme vu dans $\categ{C}$) est toujours fidèle ; il est plein
+exactement lorsque $\categ{D}$ est une sous-catégorie pleine
+de $\categ{C}$.
+
+\begin{definition2}
+On dit qu'un foncteur $F \colon \categ{C} \to \categ{D}$ est
+\emph{essentiellement injectif} (resp. \emph{essentiellement
+ surjectif}) lorsque pour deux objets $X,Y \in \ob \categ{C}$, si
+$F(X)$ et $F(Y)$ sont isomorphes alors $X$ et $Y$ le sont (resp. pour
+tout objet $Y$ de $\categ{D}$, il existe $X \in \ob\categ{C}$ tel que
+$Y$ soit isomorphe à $F(X)$).
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}\label{pleinement-fidele-est-essentiellement-injectif}
+Un foncteur pleinement fidèle est essentiellement injectif. Plus
+précisément, si $F$ est pleinement fidèle, alors $F$ établit une
+bijection entre isomorphismes $X \buildrel\sim\over\to Y$ et
+isomorphismes $F(X) \buildrel\sim\over\to F(Y)$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Supposons $F \colon \categ{C} \to \categ{D}$ un foncteur pleinement
+fidèle. Si, pour $X,Y \in \ob\categ{C}$ deux objets, $F(X)$ et $F(Y)$
+sont isomorphes, alors il existe $u'\colon F(X) \to F(Y)$ et $v'\colon
+F(Y) \to F(X)$ tels que $v'\circ u' = \Id_{F(X)}$ et $u'\circ v' =
+\Id_{F(Y)}$, alors puisque $F$ est plein on peut trouver $u\colon X
+\to Y$ et $v\colon Y\to X$ tels que $u' = F(u)$ et $v' = F(v)$, et
+puisque $F(v\circ u) = v'\circ u' = \Id_{F(X)} = F(\Id_X)$, le
+foncteur $F$ étant fidèle, on a $v\circ u = \Id_X$, et de même $u\circ
+v = \Id_Y$. Donc $X$ et $Y$ sont isomorphes.
+\end{proof}
+
+En fait, la définition de foncteur essentiellement injectif n'a
+réellement d'intérêt que comme conséquence de la pleine fidélité comme
+donnée par la proposition ci-dessus. Il n'y aurait guère d'intérêt à
+définir les foncteurs \emph{essentiellement bijectifs} (à la fois
+essentiellement injectifs et essentiellement surjectifs). En
+revanche, d'après la proposition ci-dessus, la propriété suivante est
+plus forte :
+
+\begin{definition2}\label{definition-equivalence-categories}
+Une \emph{équivalence de catégories} est un foncteur pleinement fidèle
+et essentiellement surjectif.
+\end{definition2}
+
+(On verra en \ref{equivalence-categories} que cette notion donne bien
+une relation d'équivalence.)
+
+\begin{definition2}
+Si $F\colon \categ{C} \to \categ{D}$ et $G\colon \categ{D} \to
+\categ{E}$ sont deux foncteurs (covariants), on définit leur
+\emph{composée}, notée $G\circ F$ ou simplement $GF$ (ou parfois
+$G\boxempty F$ pour des raisons qui apparaîtront plus loin), comme le
+foncteur $\categ{C} \to \categ{E}$ envoyant un objet $X$
+de $\categ{C}$ sur $G(F(X))$ et un morphisme $u\colon X\to Y$
+dans $\categ{C}$ sur $G(F(u)) \colon G(F(X)) \to G(F(Y))$.
+
+On définit également le \emph{foncteur identité} sur une
+catégorie $\categ{C}$ quelconque comme le foncteur envoyant tout
+objet $X \in \ob\categ{C}$ sur lui-même et toute flèche $u \colon X\to
+Y$ de $\categ{C}$ sur elle-même. On le note $\Id_{\categ{c}}$.
+
+Enfin, si $\categ{C}$ et $\categ{D}$ sont deux catégories, et $Y$ un
+objet de $\categ{D}$, on définit le \emph{foncteur constant}
+$\categ{C} \to \categ{D}$ de valeur $Y$ comme le foncteur associant
+$Y$ à tout objet de $\categ{C}$, et $\Id_Y$ à tout morphisme de $X$.
+On peut le noter $\Delta(X)$ ou parfois simplement $X$ (dans les cas
+où cette dernière notation ne peut pas prêter à confusion).
+\end{definition2}
+
+Pour généraliser la définition \ref{definition-categorie-au-dessus},
+on peut poser :
+\begin{definition2}\label{definition-categorie-au-dessus-generalisation}
+Si $\categ{E},\categ{C},\categ{D}$ sont trois catégories, et
+$T\colon\categ{E}\to\categ{C}$ et $S\colon\categ{D}\to\categ{C}$ deux
+foncteurs, on définit la \emph{catégorie des objets sous $T$ et
+ sur $S$}, notée $T\uparrow\categ{C}\downarrow S$, comme la catégorie
+dont les objets sont des triplets $(X,Y,h)$ avec $X$ un objet
+de $\categ{E}$, $Y$ un objet de $\categ{D}$, et $h\colon T(X) \to
+S(Y)$ un morphisme de $\categ{C}$, les morphismes $(X,Y,h) \to
+(X',Y',h')$ étant définis comme les paires de morphismes $(u,v)$ avec
+$u\colon X\to X'$ (un morphisme dans $\categ{E}$) et $v\colon Y\to Y'$
+(un morphisme dans $\categ{D}$) telles que $S(v)\circ h = h'\circ
+T(u)$, c'est-à-dire faisant commuter le diagramme suivant :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+T(X)&T(X')\\S(Y)&S(Y')\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$h$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$h'$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$T(u)$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$S(v)$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+Lorsque $T$ ou $S$ (mais pas les deux simultanément) est le foncteur
+identité sur $\categ{C}$, on pourra l'omettre dans la notation (on
+écrira donc simplement $\categ{C}\downarrow S$ ou $T\uparrow
+\categ{C}$ selon le cas) ; lorsque $T$ ou $S$ est un objet
+de $\categ{C}$, on donnera un sens à $T \uparrow \categ{C} \downarrow
+S$ en identifiant cet objet de $\categ{C}$ au foncteur constant
+$\categ{1} \to \categ{C}$ (partant de la catégorie singleton) de
+valeur l'objet en question.
+\end{definition2}
+
+On vérifie que ces conventions recouvrent les définitions déjà
+faites : par exemple, si $S$ est un objet de $\categ{C}$, identifié au
+foncteur constant $\categ{1} \to \categ{C}$ de valeur cet objet, et si
+$T\colon \categ{C}\to \categ{C}$ est le foncteur identité, alors
+$\categ{C} \downarrow S$ est la catégorie dont les objets sont les
+morphismes $X \to S$ dans $\categ{C}$.
+
+Lorsque $T$ et $S$ sont tous les deux le foncteur identité
+sur $\categ{C}$, la catégorie
+$\Id_{\categ{C}}\uparrow\categ{C}\downarrow \Id_{\categ{C}}$ s'appelle
+\emph{catégorie des flèches} de $\categ{C}$ : ses objets sont les
+flèches $X \to Y$ dans $\categ{C}$, un morphisme de $X\to Y$
+vers $X'\to Y'$ dans la catégorie des flèches étant la donnée de deux
+morphismes $u\colon X\to X'$ et $v\colon Y\to Y'$ faisant commuter le
+diagramme évident. Comme on le verra plus loin, cette catégorie des
+flèches peut également se définir comme la catégorie de foncteurs
+$\Hom(\vec{\categ{2}}, \categ{C})$, où $\vec{\categ{2}} =
+(\astrosun\to\leftmoon)$ désigne la catégorie ayant deux objets, et
+une unique flèche hors des identités sur ces objets.
+
+Remarquons que tout foncteur $F\colon \categ{C} \to \categ{D}$ définit
+de façon évidente un foncteur $\categ{C}\op \to \categ{D}\op$.
+
+\begin{definition2}
+Un \emph{foncteur contravariant} d'une catégorie $\categ{C}$ vers une
+catégorie $\categ{D}$ est un foncteur (covariant) de la
+catégorie $\categ{C}\op$ vers $\categ{D}$.
+
+Si $G$ est un foncteur covariant de $\categ{D}$ vers $\categ{E}$ et
+$F$ un foncteur contravariant de $\categ{C}$ vers $\categ{D}$, on
+définit la composée $G\circ F$ comme le foncteur contravariant défini
+par la composée de $F \colon \categ{C}\op \to \categ{D}$ et de $G
+\colon \categ{D} \to \categ{E}$.
+
+Si $G$ est un foncteur contravariant de $\categ{D}$ vers $\categ{E}$
+et $F$ un foncteur covariant (resp. contravariant) de $\categ{C}$
+vers $\categ{D}$, on définit la composée $G\circ F$ comme le foncteur
+contravariant (resp. covariant) défini par la composée de
+$\categ{C}\op \to \categ{D}\op$ (resp. $\categ{C} \to \categ{D}\op$)
+déduit évidemment de $F$, et de $G \colon \categ{D}\op \to \categ{E}$.
+\end{definition2}
+
+Ainsi, la composée d'un foncteur covariant et d'un foncteur
+contravariant constitue un foncteur contravariant, tandis que la
+composée de deux foncteurs contravariant (comme évidemment de deux
+foncteurs covariants) constitue un foncteur covariant.
+
+\begin{exemple2}
+Si $A$ est un anneau (commutatif), l'application qui à un $A$-module
+$M$ associe son dual $M^\vee = \Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(M,A)$ et
+à un morphisme $u \colon M \to N$ (qu'on peut voir comme un morphisme
+dans l'autre sens dans la catégorie opposée à celle des $A$-modules)
+associe sa transposée $u^\vee \colon N^\vee \to M^\vee$ (définie par
+$u^\vee(\lambda) = \lambda\circ u$ pour toute forme linéaire $\lambda
+\in N^\vee$) constitue un foncteur contravariant de la catégorie
+$A\traitdunion\categ{Mod}$ des $A$-modules vers elle-même (le
+\emph{foncteur dual}).
+
+La composée de ce foncteur contravariant avec lui-même est le
+\emph{foncteur bidual}, covariant, qui à un $A$-module $M$ associe son
+bidual $M^{\vee\vee}$ et à un morphisme $u \colon M\to N$ associe sa
+bitransposée $u^{\vee\vee} \colon M^{\vee\vee} \to N^{\vee\vee}$.
+\end{exemple2}
+
+\begin{definition2}
+Si $(\categ{C}_i)_{i\in I}$ est une famille de catégories, un
+\emph{foncteur (covariant) à plusieurs variables} des catégories
+$\categ{C}_i$ vers une catégorie $\categ{D}$ est un foncteur
+$\prod_{i\in I} \categ{C}_i \to \categ{D}$. On définit de façon
+évidente un foncteur à plusieurs variables, covariante en certaines et
+contravariantes en d'autres.
+
+Lorsque $F$ est un foncteur à plusieurs variables (de variances
+quelconques) depuis des catégories $\categ{C}_i$ (pour $i\in I$) vers
+une catégorie $\categ{D}$ et que $A_i$ sont des objets
+de $\categ{C}_i$ pour certains $i$ (disons pour $i\in J$ avec $J
+\subseteq I$), on définit l'\emph{application partielle} de $F$ à
+ces $A_i$ comme le foncteur du reste des variables (depuis les
+$\categ{C}_i$ avec $i \in I\setminus J$) vers $\categ{D}$ qui envoie
+une famille $(X_i)_{i\in I\setminus J}$ d'objets vers $F((A_i)_{i\in
+ J},(X_i)_{i \not\in J})$ et une famille $(u_i)_{i\in I\setminus J}$
+de morphismes vers $F((\Id_{A_i})_{i\in J},(u_i)_{i \not\in J})$.
+\end{definition2}
+
+\begin{exemple2}
+Si $\categ{C}$ est une catégorie quelconque, le foncteur $\categ{C}\op
+\times \categ{C} \to \Ens$ qui à un couple d'objets $(X,Y)$ associe
+$\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$, et à un couple de flèches $(u,v)$ avec $u \in
+\Hom_{\categ{C}}(X',X)$ (qu'on peut voir comme $u \in
+\Hom_{\categ{C}\op}(X,X')$) et $v \in \Hom_{\categ{C}}(Y,Y')$ associe
+l'application d'ensembles $\Hom_{\categ{C}}(X,Y) \to
+\Hom_{\categ{C}}(X',Y')$ donnée par $f \mapsto v\circ f \circ u$,
+constitue un foncteur à deux variables, toutes deux de $\categ{C}$,
+contravariant en la première et covariant en la seconde, et à valeurs
+dans les ensembles. Ce foncteur s'appelle (ou se note) le
+\emph{foncteur $\Hom$} pour la catégorie $\categ{C}$.
+
+L'application partielle de ce foncteur $\Hom$ à un objet $A$
+de $\categ{C}$ en la première variable définit un foncteur
+$\Hom(A,\tiret)$ covariant de $\categ{C}$ vers $\categ{C}$ envoyant un
+objet $Y$ sur $\Hom(A,Y)$ et une flèche $v\colon Y\to Y'$ sur
+$\Hom(A,Y) \to \Hom(A,Y')$ donné par $f \mapsto v\circ f$.
+L'application partielle de $\Hom$ à un objet $B$ de $\categ{C}$ en la
+seconde variable définit un foncteur $\Hom(\tiret,B)$ contravariant
+de $\categ{C}$ vers $\categ{C}$ envoyant un objet $X$ sur $\Hom(X,B)$
+et une flèche $u\colon X'\to X$ (dans $\categ{C}$) sur $\Hom(X,B) \to
+\Hom(X',B)$ donné par $f \mapsto f\circ u$.
+\end{exemple2}
+
+\begin{remarque2}
+Dans la définition du foncteur $\Hom \colon \categ{C}\op \times
+\categ{C} \to \Ens$ intervient implicitement le choix d'une catégorie
+d'ensembles (par exemple, si on a adopté une solution aux difficultés
+ensemblistes consistant à parler d'univers, cela signifie que pour
+chaque univers $\mathfrak{U}$ contenant tous les $\Hom(X,Y)$ avec
+$X,Y$ objets de $\categ{C}$, on a un foncteur $\Hom_{\mathfrak{U}}
+\colon \categ{C}\op \times \categ{C} \to \Ens_{\mathfrak{U}}$
+aboutissant dans les ensembles appartenant à $\mathfrak{U}$) : toute
+affirmation ou définition raisonnable faisant intervenir ce foncteur
+ne doit, évidemment, pas dépendre du choix de cette catégorie $\Ens$.
+(Par exemple, dans la
+définition \ref{definition-foncteur-representable} plus bas, il est
+trivial que le fait qu'un foncteur soit représentable ne change pas
+lorsqu'on le considère à valeurs dans une catégorie d'ensembles plus
+grosse ; de même, le lemme de Yoneda (\ref{lemme-de-yoneda}) sera
+vrai pour n'importe quel choix de $\Ens$.)
+\end{remarque2}
+
+
+\subsection{Transformations naturelles}
+
+\begin{definition2}\label{definition-transformation-naturelle}
+Soient $F,G\colon \categ{C} \to \categ{D}$ deux foncteurs (covariants)
+entre les deux mêmes catégories. Une \emph{transformation naturelle},
+ou simplement un \emph{morphisme (fonctoriel)}, $h$, de $F$ vers $G$
+(noté $h\colon F \to G$) est la donnée pour tout objet $X \in
+\ob\categ{C}$ d'un morphisme $h(X)$ (ou $h_X$) de source $F(X)$ et
+but $G(X)$, tel que pour tout morphisme $z \colon X \to Y$
+dans $\categ{C}$ le diagramme suivant commute :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+F(X)&F(Y)\\G(X)&G(Y)\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$h(X)$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$h(Y)$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$F(z)$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$G(z)$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+--- autrement dit, $G(z)\circ h(X) = h(Y)\circ F(z)$.
+\end{definition2}
+
+\begin{exemple2}
+Si $A$ est un anneau (commutatif), on a défini le foncteur bidual, qui
+à un $A$-module $M$ associe son bidual $M^{\vee\vee}$ et à un
+morphisme $u \colon M\to N$ associe sa bitransposée $u^{\vee\vee}
+\colon M^{\vee\vee} \to N^{\vee\vee}$. La donnée pour tout $M$ de
+l'application $A$-linéaire $M \to M^{\vee\vee}$ envoyant $x \in M$ sur
+$\lambda \mapsto \lambda(x)$ (application $A$-linéaire $M^\vee \to A$,
+donc élément de $M^{\vee\vee}$) constitue une transformation naturelle
+du foncteur identité vers ce foncteur bidual.
+\end{exemple2}
+
+Étant donné que les foncteurs contravariants, et les foncteurs à
+plusieurs variables, ont été définis à l'aide des foncteurs covariants
+à une seule variable, on obtient du même coup la définition de
+transformations naturelles entre tels foncteurs.
+
+\begin{exemple2}
+On peut définir un foncteur $R\colon \Ens\op\times\Ens \to \Ens$, qui
+à deux ensembles $X,Y$ associe l'ensemble $R(X,Y)$ des relations entre
+$X$ et $Y$, c'est-à-dire les parties de $X\times Y$, et qui à deux
+applications $(u,v)$ avec $u\colon X'\to X$ et $v\colon Y\to Y'$,
+associe l'application $R(X,Y) \to R(X',Y')$ envoyant $\rho \subseteq
+X\times Y$ sur $R(u,v)(\rho) = \{(x',y') \in X'\times Y' : (\exists y
+\in Y) \, \penalty-500 ((u(x'),y)\in \rho \land y'=v(y))\}$. Alors la
+donnée, pour deux ensembles $X,Y$, de l'application $\Hom(X,Y) \to
+R(X,Y)$ envoyant une application $f \colon X \to Y$ sur son graphe
+$\Gamma_f \subseteq X\times Y$, constitue une transformation naturelle du
+foncteur $\Hom$ (contravariant en sa première variable et covariant en
+la seconde) vers le foncteur $R$.
+\end{exemple2}
+
+\begin{definition2}
+Si $F,G,H\colon \categ{C} \to \categ{D}$ sont trois foncteurs et
+$u\colon F \to G$ et $v\colon G \to H$ deux transformations
+naturelles, on définit leur \emph{composée} (« verticale »), notée
+$v\circ u\colon F \to H$ (ou simplement $vu$), comme la transformation
+naturelle qui à un objet $X$ de~$\categ{C}$ associe le morphisme $v(X)
+\circ u(X) \colon F(X) \to H(X)$ (dans~$\categ{D}$).
+
+On définit également la \emph{transformation identité} du foncteur
+$F\colon \categ{C} \to \categ{D}$, qu'on note $\Id_F$, comme la
+transformation naturelle associant à un objet $X$ de~$\categ{C}$ le
+morphisme identité $\Id_{F(X)}\colon F(X) \to F(X)$.
+\end{definition2}
+
+La terminologie de « composée verticale » fait référence à la façon
+suivante de présenter les flèches impliquées dans la situation :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+\categ{C}&\categ{D}\\};
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=80,in=100] node [auto=false] (F) {} node [pos=0.45] {$\scriptstyle F$} (diag-1-2);
+%\draw[->] (diag-1-1) to node [auto=false] (G) {} node [pos=0.25,auto=false,fill=white,draw] {$\scriptstyle G$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-1) to node [auto=false] (G) {} node [pos=0.25] {$\scriptstyle G$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=-80,in=-100] node [auto=false] (H) {} node [pos=0.45,swap] {$\scriptstyle H$} (diag-1-2);
+\draw[->] (F) -- node{$\scriptstyle u$} (G);
+\draw[->] (G) -- node{$\scriptstyle v$} (H);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+Le diagramme commutatif utilisé pour prouver que $v\circ u$ est une
+transformation naturelle s'obtient en empilant les diagrammes de $v$
+et de~$u$ :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+F(X)&F(Y)\\G(X)&G(Y)\\H(X)&H(Y)\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$u(X)$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$u(Y)$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node[swap]{$v(X)$} (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$v(Y)$} (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$F(z)$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$G(z)$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-3-1) -- node{$H(z)$} (diag-3-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+On verra plus loin une autre composition, « horizontale », sur les
+transformations naturelles.
+
+Il est évident que la composition (« verticale ») des transformations
+naturelles est associative et que l'identité est neutre à gauche et à
+droite, c'est-à-dire que, si $\categ{C}$ et $\categ{D}$ sont deux
+catégories, on peut munir l'ensemble $\Hom(\categ{C},\categ{D})$ des
+foncteurs $\categ{C}\to\categ{D}$ d'une structure de catégorie dont
+les morphismes sont les transformations naturelles et la composition
+et les identités celles que nous venons de définir. En particulier,
+on a la notion d'isomorphisme entre foncteurs :
+
+\begin{definition2}\label{definition-isomorphisme-naturel}
+On appelle \emph{isomorphisme naturel} (ou simplement
+\emph{isomorphisme} de foncteurs) une transformation naturelle $u
+\colon F\to G$ entre foncteurs $F,G\colon \categ{C} \to \categ{D}$
+pour laquelle il existe une transformation naturelle $v\colon G\to F$
+telle que $v\circ u = \Id_F$ et $u\circ v = \Id_G$ : la transformation
+$v$ est dite \emph{réciproque} de~$u$. Lorsqu'il existe un
+isomorphisme entre deux foncteurs, on dit qu'ils sont
+\emph{isomorphes}.
+\end{definition2}
+
+On vérifie immédiatement que, dans les conditions de cette définition,
+la transformation réciproque $v$ de~$u$ est définie uniquement, et
+elle est elle-même un isomorphisme, dont $u$ est la réciproque.
+
+\begin{proposition2}\label{isomorphismes-naturels}
+Une transformation naturelle $u\colon F \to G$ entre foncteurs
+$F,G\colon \categ{C} \to \categ{D}$ est un isomorphisme naturel si et
+seulement si pour tout objet $X$ de~$\categ{C}$ le morphisme $u(X)
+\colon F(X) \to G(X)$ est un isomorphisme.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+L'implication « seulement si » est évidente : si $v$ est la
+transformation réciproque de~$u$, alors $v(X)$ définit l'isomorphisme
+réciproque de~$u(X)$ pour tout~$X$. Supposons maintenant que $u(X)$
+soit un isomorphisme pour tout~$X$ : en appelant $v(X)$ sa réciproque,
+il s'agit de montrer qu'on a bien défini une transformation naturelle,
+c'est-à-dire que si $z\colon X\to Y$ est un morphisme dans~$\categ{C}$
+alors $v(Y)\circ G(z) = F(z)\circ v(X)$. Or cette égalité résulte de
+$G(z)\circ u(X) = u(Y)\circ F(z)$ en composant par $v(Y)$ à gauche et
+par $u(X)$ à droite.
+\end{proof}
+
+Les notions de composition de transformations naturelles, de
+transformation naturelle identité et d'isomorphisme naturel, que nous
+avons énoncées pour des foncteurs covariants d'une seule variable, se
+transportent immédiatement à des foncteurs de plusieurs variables (de
+variances quelconques) puisque ces derniers peuvent être considérés
+comme des foncteurs depuis une catégorie produit idoine.
+
+\begin{exemple2}
+Dans la catégorie des ensembles, le foncteur $F\colon (X,Y,Z) \mapsto
+\Hom(X\times Y,Z)$, contravariant en ses deux premières variables et
+covariant en la troisième, qui à trois ensembles $X,Y,Z$ fait
+correspondre l'ensemble des applications $X\times Y \to Z$ (et à trois
+applications $u\colon X'\to X$, $v\colon Y'\to Y$ et $w\colon Z\to Z'$
+fait correspondre $\Hom(X\times Y,Z) \to \Hom(X'\times Y',Z')$ donné
+par $f \mapsto w\circ f\circ (u\times v)$), et le foncteur $G \colon
+(X,Y,Z) \mapsto \Hom(X, \Hom(Y,Z))$, également contravariant en ses
+deux premières variables et covariant en la troisième, qui à trois
+ensembles $X,Y,Z$ fait correspondre l'ensemble des applications $X \to
+\Hom(Y,Z)$ (et à trois applications $u\colon X'\to X$, $v\colon Y'\to
+Y$ et $w\colon Z\to Z'$ fait correspondre $\Hom(X,\Hom(Y,Z)) \to
+\Hom(X',\Hom(Y',Z'))$ donné par $f \mapsto (x' \mapsto w\circ f(u(x))
+\circ v)$), sont isomorphes : un isomorphisme est donné par la
+transformation naturelle $h$ qui à un trois ensembles $X,Y,Z$ fait
+correspondre la bijection $\Hom(X\times Y,Z) \to \Hom(X,\Hom(Y,Z))$
+donnée par $f \mapsto (x \mapsto f(x,\tiret))$.
+\end{exemple2}
+
+\begin{definition2}\label{composition-horizontale-transformations-naturelles}
+Si $F,F'\colon \categ{C} \to \categ{D}$ et $G,G'\colon \categ{D} \to
+\categ{E}$ sont des foncteurs et $u\colon F \to F'$ et $v\colon G \to
+G'$ deux transformations naturelles, on définit la \emph{composée
+ horizontale} de ces dernières, qu'on pourra noter $v\boxempty
+u\colon G\circ F \to G'\circ F'$, comme la transformation naturelle qui
+à un objet $X$ de~$\categ{C}$ associe le morphisme $G'(u(X)) \circ
+v(F(X)) = v(F'(X)) \circ G(u(X)) \colon G(F(X)) \to G'(F'(X))$
+(dans~$\categ{E}$).
+\end{definition2}
+
+(La notation $v\boxempty u$ est introduite pour ce chapitre : elle
+sera redéfinie selon le besoin.)
+
+L'égalité $G'(u(X)) \circ v(F(X)) = v(F'(X)) \circ G(u(X))$ affirmée dans la définition ci-dessus traduit la
+commutativité du diagramme suivant qui résulte de la naturalité
+de $v$ :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+G(F(X))&G(F'(X))\\G'(F(X))&G'(F'(X))\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$v(F(X))$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$v(F'(X))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$G(u(X))$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$G'(u(X))$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+La terminologie de « composée horizontale » fait référence à la façon
+suivante de présenter les flèches impliquées dans la situation :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=5em,row sep=5ex]{
+\categ{C}&\categ{D}&\categ{E}\\};
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=40,in=140] node [auto=false] (F) {} node {$\scriptstyle F$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=-40,in=-140] node [auto=false] (F') {} node [swap] {$\scriptstyle F'$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-2) to [out=40,in=140] node [auto=false] (G) {} node {$\scriptstyle G$} (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-1-2) to [out=-40,in=-140] node [auto=false] (G') {} node [swap] {$\scriptstyle G'$} (diag-1-3);
+\draw[->] (F) -- node{$\scriptstyle u$} (F');
+\draw[->] (G) -- node{$\scriptstyle v$} (G');
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+Le diagramme commutatif utilisé pour prouver que $v\boxempty u$ est
+une transformation naturelle s'obtient en empilant le diagramme de $v$
+transformé par $G$ et celui de~$u$ appliqué à $F(z)$ :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=5em,row sep=5ex]{
+G(F(X))&G(F(Y))\\G(F'(X))&G(F'(Y))\\G'(F'(X))&G'(F'(Y))\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$G(u(X))$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$G(u(Y))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node[swap]{$v(F'(X))$} (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$v(F'(Y))$} (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$G(F(z))$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$G(F'(z))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-3-1) -- node{$G'(F'(z))$} (diag-3-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+(on peut également utiliser $G'(F(z))$ au lieu de $G(F'(z))$ comme
+ligne médiane).
+
+Un cas particulier important de la composition horizontale des
+transformations naturelles est celui où l'une des transformations est
+l'identité sur un foncteur :
+\begin{itemize}
+\item Si $F,F'\colon \categ{C} \to \categ{D}$ et $G\colon \categ{D}
+ \to \categ{E}$ sont des foncteurs et $h\colon F \to F'$ une
+ transformation naturelle, on définit $G\boxempty h = \Id_G\boxempty
+ h$, également notée $Gh$ si aucune confusion ne peut en résulter (on
+ trouve également la notation $G\circ h$, même si elle est peu
+ souhaitable). Il s'agit de la transformation naturelle qui à tout
+ objet $X$ de $\categ{C}$ associe $G(h(X))$ (c'est-à-dire l'image du
+ morphisme $h(X)$ par le foncteur $G$).
+\item Si $F\colon \categ{C} \to \categ{D}$ et $G,G'\colon \categ{D}
+ \to \categ{E}$ sont des foncteurs et $h\colon G \to G'$ une
+ transformation naturelle, on définit $h\boxempty F = h\boxempty
+ \Id_F$, également notée $hF$ si aucune confusion nee peut en
+ résulter (on trouve également la notation $h \circ F$, même si elle
+ est peu souhaitable). Il s'agit de la transformation naturelle qui
+ à tout objet $X$ de $\categ{C}$ associe $h(F(X))$ (c'est-à-dire le
+ morphisme associé par la transformation naturelle $h$ à
+ l'objet $F(X)$).
+\end{itemize}
+Ces deux cas particuliers permettent de retrouver le cas général,
+puisque l'égalité contenue dans la
+définition \ref{composition-horizontale-transformations-naturelles}
+stipule que, avec les notations de cette dernière, on a $v\boxempty u
+= (G'\boxempty u) \circ (v\boxempty F) = (v\boxempty F') \circ
+(G\boxempty u)$. La proposition qui suit généralise ce fait :
+
+\begin{proposition2}\label{composition-croisee-transformations-naturelles}
+Si $F,F',F''\colon \categ{C} \to \categ{D}$ et $G,G',G''\colon
+\categ{D} \to \categ{E}$ sont des foncteurs et $u\colon F \to F'$,
+$u'\colon F' \to F''$ et $v\colon G \to G'$, $v'\colon G' \to G''$ des
+transformations naturelles, on a $(v'\circ v) \boxempty (u'\circ u) =
+(v'\boxempty u') \circ (v\boxempty u)$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour tout objet $X$ de~$\categ{C}$, on a le diagramme commutatif
+suivant (dont les lignes sont obtenues en appliquant $G,G',G''$ à
+$u,u'$, et les colonnes sont données par $v,v'$ en
+$F(X),F'(X),F''(X)$) :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+G(F(X))&G(F'(X))&G(F''(X))\\G'(F(X))&G'(F'(X))&G'(F''(X))\\
+G''(F(X))&G''(F'(X))&G''(F''(X))\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-2-2) -- (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-2-3) -- (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-3-1) -- (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-2-2) -- (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-3-2) -- (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[pos=0.3,sloped]{$\scriptstyle(v\boxempty u)(X)$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node[pos=0.3,sloped]{$\scriptstyle(v'\boxempty u')(X)$} (diag-3-3);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+La diagonale supérieure gauche est, par définition, $(v\boxempty
+u)(X)$ et la diagonale inférieure droite est, de même, $(v'\boxempty
+u')(X)$ : or la diagonale de l'ensemble du carré est $((v'\circ
+v)\boxempty (u'\circ u))(X)$, qui vaut donc aussi $((v'\boxempty
+u')(X)) \circ ((v\boxempty u)(X))$ : ceci montre la relation annoncée.
+\end{proof}
+
+On peut voir la proposition précédente de la façon suivante : si
+$\categ{C},\categ{D},\categ{E}$ sont trois catégories, et
+$\Hom(\categ{C},\categ{D})$, $\Hom(\categ{D},\categ{E})$ et
+$\Hom(\categ{C},\categ{E})$ les \emph{catégories} de foncteurs entre
+ces catégories (les morphismes étant les transformations naturelles),
+alors on a un \emph{foncteur} $\boxempty \colon
+\Hom(\categ{C},\categ{D}) \times \Hom(\categ{D},\categ{E}) \to
+\Hom(\categ{C},\categ{E})$ (covariant dans ses deux variables), qui
+envoie un couple $(F,G)$ de foncteurs sur le foncteur composé $G\circ
+F$ (également noté $G\boxempty F$ dans ce contexte), et un couple
+$(u,v)$ de transformations naturelles sur la composée horizontale
+$v\boxempty u$ de celles-ci.
+
+En particulier, si deux foncteurs $F,F'\colon \categ{C}\to\categ{D}$
+sont isomorphes et que deux foncteurs $G,G'\colon
+\categ{D}\to\categ{E}$ sont isomorphes, alors les composées $G\circ F$
+et $G'\circ F'$ sont également isomorphes (l'isomorphisme en question
+étant donné par la composée horizontale des deux isomorphismes censés
+exister par hypothèse).
+
+\begin{exemple2}
+Si $T\colon\categ{E}\to\categ{C}$ et $S\colon\categ{D}\to\categ{C}$
+sont deux foncteurs, en introduisant la catégorie $\categ{P} =
+T\uparrow\categ{C}\downarrow S$ définie
+en \ref{definition-categorie-au-dessus-generalisation}, on a deux
+foncteurs $\Pi_{\categ{E}}\colon \categ{P} \to \categ{E}$ et
+$\Pi_{\categ{D}}\colon \categ{P} \to \categ{D}$ envoyant un objet
+$(X,Y,h)$ de $\categ{P}$ (avec $h\colon T(X) \to S(Y)$) sur $X$ et $Y$
+respectivement, et une flèche $(u,v)\colon (X,Y,h)\to (X',Y',h')$
+(avec $u\colon X\to X'$ dans $\categ{E}$ et $v\colon Y\to Y'$
+dans $\categ{D}$) sur $u$ et $v$ respectivement ; on a aussi une
+transformation naturelle $q\colon T\circ \Pi_{\categ{E}} \to S\circ
+\Pi_{\categ{D}}$, qui à chaque objet $(X,Y,h)$ de $\categ{P}$ associe
+le morphisme $h\colon T(X)\to S(Y)$.
+
+On peut vérifier que, donnée une autre catégorie $\categ{B}$ et des
+foncteurs $A_{\categ{E}}\colon \categ{B} \to \categ{E}$ et
+$A_{\categ{D}} \colon \categ{B} \to \categ{D}$ ainsi qu'une
+transformation naturelle $b\colon T\circ A_{\categ{E}} \to S\circ
+A_{\categ{D}}$, il existe un unique foncteur $Z \colon \categ{B} \to
+\categ{P}$ tel que $A_{\categ{E}} = \Pi_{\categ{E}}\circ Z$ et
+$A_{\categ{D}} = \Pi_{\categ{D}}\circ Z$ et $b = h\boxempty Z$
+(concrètement, $Z$ est défini en envoyant un objet $B \in
+\ob\categ{B}$ sur l'objet $(A_{\categ{E}}(B), A_{\categ{D}}(B), b(B))$
+de $\categ{P}$, et un morphisme $\beta\colon B \to B'$ sur
+$(A_{\categ{E}}(\beta), A_{\categ{D}}(\beta'))$).
+\end{exemple2}
+
+Le lemme suivant assure, notamment, que la composition à gauche ou à
+droite d'une transformation naturelle par une équivalence de catégorie
+est une opération simplifiable (la composition à droite d'une
+transformation naturelle par un foncteur admettant un quasi-inverse à
+droite est simplifiable, comme l'est la composition à gauche par un
+foncteur admettant un quasi-inverse à gauche) :
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-simplification-foncteurs}
+\begin{enumerate}
+\item Soient $\categ{B},\categ{C},\categ{D}$ des catégories,
+ $F\colon\categ{D} \to\categ{C}$, $G\colon\categ{C}\to\categ{D}$ et
+ $B,B'\colon\categ{C}\to\categ{B}$ des foncteurs, et $z_1,z_2\colon
+ B\to B'$ des transformations naturelles. On suppose que les
+ foncteurs $\Id_{\categ{C}}$ et $F\circ G$ sont isomorphes : alors
+ $z_1 \boxempty F = z_2 \boxempty F$ implique $z_1 = z_2$.
+\item Soient $\categ{C},\categ{D},\categ{E}$ des catégories,
+ $F\colon\categ{D} \to\categ{C}$, $G\colon\categ{C}\to\categ{D}$ et
+ $E,E'\colon\categ{E}\to\categ{D}$ des foncteurs, et $z_1,z_2\colon
+ E\to E'$ des transformations naturelles. On suppose que les
+ foncteurs $\Id_{\categ{D}}$ et $G\circ F$ sont isomorphes : alors $F
+ \boxempty z_1 = F \boxempty z_2$ implique $z_1 = z_2$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Pour plus de clarté, on notera, dans cette démonstration, $F\boxempty
+G$ plutôt que $F\circ G$, la composée des foncteurs.
+
+Montrons la première affirmation : si $z_1 \boxempty F = z_2 \boxempty
+F$ alors $z_1 \boxempty F \boxempty G = z_2 \boxempty F \boxempty G$.
+En appelant $e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to F\boxempty
+G$ un isomorphisme comme on en a supposé l'existence, on a donc $(z_1
+\boxempty F \boxempty G) \circ (B\boxempty e) = (z_2 \boxempty F
+\boxempty G) \circ (B\boxempty e)$. Mais $(z_i \boxempty F \boxempty
+G) \circ (B\boxempty e) = z_i \boxempty e = (B'\boxempty e) \circ
+z_i$. Comme $B'\boxempty e$ est un isomorphisme (de réciproque
+$B'\boxempty(e^{-1})$), on en déduit bien $z_1 = z_2$.
+
+La seconde affirmation est tout à fait analogue : si $F\boxempty z_1 =
+F\boxempty z_2$ alors $G\boxempty F\boxempty z_1 = G\boxempty
+F\boxempty z_2$ donc, en appelant $h\colon \Id_{\categ{D}}
+\buildrel\sim\over\to G\boxempty F$ un isomorphisme, comme on a
+$(G\boxempty F\boxempty z_i) \circ (h\boxempty E) = h\boxempty z_i =
+(h\boxempty E') \circ z_i$, et comme $h\boxempty E'$ est un
+isomorphisme, on en déduit $z_1 = z_2$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-passage-transformations-naturelles-foncteur-fidele}
+Soit $F\colon\categ{D}\to\categ{C}$ un foncteur \emph{fidèle}, et soit
+$G\colon \categ{C}\to\categ{D}$ un foncteur quelconque. Si $e\colon
+\Id_{\categ{C}} \to F\circ G$ est une transformation naturelle et que,
+pour chaque objet $X$ de $\categ{D}$, on a un morphisme $h(X) \colon X
+\to G(F(X))$ vérifiant $F(h(X)) = e(F(X))$, alors $h$ est une
+transformation naturelle.
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Si $z\colon X\to Y$ est un morphisme dans $\categ{D}$, puisque $e$ est
+une transformation naturelle, on a $F(G(F(z)))\circ e(F(X)) =
+e(F(Y))\circ F(z)$, c'est-à-dire $F(G(F(z)))\circ F(h(X)) =
+F(h(Y))\circ F(z)$, ce qui assure, puisque $F$ est fidèle, que
+$G(F(z)) \circ h(X) = h(Y) \circ z$, ce qui permet bien d'affirmer que
+$h$ est une transformation naturelle.
+\end{proof}
+
+On peut maintenant revenir sur la notion d'équivalence de catégories,
+déjà introduite :
+\begin{proposition2}\label{equivalence-categories}
+Un foncteur $F\colon \categ{D}\to\categ{C}$ est une équivalence de
+catégories si et seulement si il existe $G\colon
+\categ{C}\to\categ{D}$ tel que $G\circ F \cong \Id_{\categ{D}}$ et
+$F\circ G \cong \Id_{\categ{C}}$.
+\end{proposition2}
+
+Utilise fonction de choix sur l'univers. \XXX
+
+\begin{proof}
+Montrons d'abord l'implication « si » : supposons que $h\colon
+\Id_{\categ{D}} \to \penalty1000 {G\circ F}$ et $h^{-1}\colon {G\circ
+ F} \to \penalty1000 \Id_{\categ{D}}$ soient des isomorphismes
+naturels réciproques et de même $e\colon \Id_{\categ{C}} \to F\circ G$
+et $e^{-1}\colon F\circ G \to \Id_{\categ{C}}$. Pour tout morphisme
+$z\colon X\to Y$ dans $\categ{D}$, la naturalité de $h$ assure que
+$G(F(z))\circ h(X) = h(Y)\circ z$, c'est-à-dire $G(F(z)) = h(Y) \circ
+z \circ h^{-1}(X)$. Or l'application $\Hom(X,Y) \to
+\Hom(G(F(X)),G(F(Y)))$ donnée par $z \mapsto h(Y) \circ z \circ
+h^{-1}(X)$ est une bijection (de réciproque $z \mapsto h^{-1}(Y) \circ
+z \circ h(X)$) : on a donc montré que $G\circ F\colon \Hom(X,Y) \to
+\Hom(G(F(X)),G(F(Y)))$ est une bijection. Il s'ensuit au moins que
+$F$ est fidèle ; et par symétrie de la situation, $G$ l'est également.
+Pour voir que $F$ est plein, considérons un morphisme $t\colon F(X)
+\to F(Y)$ : alors le morphisme $z = h^{-1}(Y)\circ G(t) \circ h(X)$
+vérifie $G(F(z)) = G(t)$, et comme on vient de voir que $G$ est
+fidèle, on a $t = F(z)$, ce qui montre que $F$ est plein. Enfin, $F$
+est essentiellement surjectif puisque tout objet $Y$ de $\categ{C}$
+est isomorphe à $F(X)$ avec $X = G(Y)$ (par $e(Y)\colon Y
+\buildrel\sim\over\to F(G(Y))$).
+
+Montrons maintenant l'implication « seulement si » : soit donc $F$ un
+foncteur pleinement fidèle et essentiellement surjectif.
+
+Pour tout objet $X$ de $\categ{C}$, choisissons un objet $G(X)$
+de $\categ{D}$ tel que $X$ soit isomorphe à $F(G(X))$, et $e(X) \colon
+X \buildrel\sim\over\to F(G(X))$ un tel isomorphisme, de réciproque
+notée $e(X)^{-1}$. Pour tout morphisme $z\colon X\to Y$
+dans $\categ{D}$, définissons $G(z)$ comme antécédent de $e(Y)\circ z
+\circ e(X)^{-1}$ par $F\colon \Hom(G(X),G(Y)) \to \Hom(F(G(X)),
+F(G(Y)))$ (on utilise le fait que $F$ est plein), de sorte qu'on a
+$F(G(z)) = e(Y) \circ z \circ e(X)^{-1}$.
+
+Pour voir que $G$ est un foncteur, on veut voir d'une part que
+$G(\Id_X) = \Id_{G(X)}$ pour tout objet $X$ de $\categ{D}$ : or $e(X)
+\circ \Id_X \circ e(X)^{-1} = \Id_{F(G(X))}$ donc $F(G(\Id_X)) =
+F(\Id_{G(X)})$, donc (puisque $F$ est fidèle) on a bien $G(\Id_X) =
+\Id_{G(X)}$. D'autre part, on veut voir que si $z_1\colon X_0 \to
+X_1$ et $z_2 \colon X_1 \to X_2$ alors $G(z_2 \circ z_1) = G(z_2)
+\circ G(z_1)$ : or $e(X_2) \circ (z_2 \circ z_1) \circ e(X_0)^{-1}
+\penalty-1000 = \penalty-2000 (e(X_2) \circ z_2 \circ e(X_1)^{-1})
+\penalty-500 \circ \penalty-1000 (e(X_1) \circ z_1 \circ
+e(X_0)^{-1})$, ce qui montre $F(G(z_2 \circ z_1)) = F(G(z_2)) \circ
+F(G(z_1))$, donc (puisque $F$ est fidèle) on a bien $G(z_2 \circ z_1)
+= G(z_2) \circ G(z_1)$.
+
+Étant désormais acquis que $G$ est un foncteur, le fait que $F(G(z))
+\circ e(X) = e(Y) \circ z$ pour tout morphisme $z\colon X\to Y$
+de $\categ{D}$ montre que $e$ définit bien une transformation
+naturelle $\Id_{\categ{D}} \to F\circ G$, qui est
+(d'après \ref{isomorphismes-naturels}) un isomorphisme.
+
+Enfin, si $X$ est un objet de $\categ{D}$, on appelle $h(X) \colon X
+\to G(F(X))$ l'antécédent de $e(F(X))\colon F(X) \to F(G(F(X)))$ par
+$F\colon \Hom(X,G(F(X))) \to \Hom(F(X),F(G(F(X))))$ (cet antécédent
+existe puisque $F$ est plein). D'après le
+lemme \ref{lemme-passage-transformations-naturelles-foncteur-fidele},
+$h$ est une transformation naturelle. Comme chaque $h(X)$ est un
+isomorphisme (puisque $F(h(X)) = e(F(X))$ l'est, et en utilisant de
+nouveau le fait que $F$ est pleinement fidèle), $h$ est un
+isomorphisme naturel (toujours d'après \ref{isomorphismes-naturels}).
+\end{proof}
+
+Cette démonstration prend plus de sens en remarquant que $G$ est, à
+isomorphisme près, uniquement déterminé par $F$ --- on dit qu'ils sont
+\emph{quasi-inverses} ---, et aussi que tout foncteur isomorphe à un
+foncteur pleinement fidèle est lui-même pleinement fidèle.
+
+On pourra désormais dire que deux catégories sont équivalentes quand
+il existe une équivalence de catégories de l'une vers l'autre : la
+proposition assure qu'il s'agit bien d'une relation d'équivalence.
+
+Lorsque deux foncteurs $F\colon \categ{D} \to \categ{C}$ et $G\colon
+\categ{C} \to \categ{D}$ sont quasi-inverses, il n'existe pas de
+cohérence automatique particulière entre un isomorphisme $h\colon
+\Id_{\categ{D}} \buildrel\sim\over\to G\circ F$ et un isomorphisme
+$e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to F\circ G$. Cependant,
+on verra plus loin en \ref{equivalence-est-adjonction-inversible}, en
+réinterprétant les foncteurs quasi-inverses comme des adjoints, que
+les conditions $G \boxempty e = h \boxempty G$ et $e \boxempty F = F
+\boxempty h$ sont équivalentes, et que pour tout isomorphisme $h\colon
+\Id_{\categ{D}} \buildrel\sim\over\to G\circ F$ il existe un unique
+$e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to F\circ G$ (\emph{dans
+ la mesure où} il existe un isomorphisme $\Id_{\categ{C}}
+\buildrel\sim\over\to F\circ G$, c'est-à-dire que $F$ et $G$ sont bien
+quasi-inverses) vérifiant ces conditions équivalentes, et de même pour
+tout $e$ il existe un unique $h$ vérifiant ces conditions.
+
+
+\subsection{Foncteurs représentables, lemme de Yoneda}
+
+\begin{definition2}\label{definition-foncteur-representable}
+Soit $\categ{C}$ une catégorie : un foncteur $F \colon \categ{C}\op
+\to \Ens$ contravariant de la catégorie $\categ{C}$ vers la catégorie
+des ensembles est dit \emph{représentable} par un objet $X$
+de $\categ{C}$ lorsqu'il existe un isomorphisme $h \colon
+\Hom(\tiret,X) \buildrel\sim\over\to F$ (pour être plus précis, on
+devrait dire que $F$ est représentable par l'objet $X$ et
+l'isomorphisme $h$ --- ou, comme on le verra
+en \ref{foncteur-representable-element}, par l'élément $h(X)(\Id_X)
+\in F(X)$). Un foncteur $F \colon \categ{C} \to \Ens$ covariant de
+$\categ{C}$ vers les ensembles est dit représentable par un objet $X$
+lorsqu'il existe $h \colon \Hom(X,\tiret) \buildrel\sim\over\to F$.
+\end{definition2}
+
+\begin{exemple2}
+Si $A$ est un anneau (commutatif), le foncteur covariant d'oubli $F$
+de la catégorie des $A$-modules vers celle des ensembles, c'est-à-dire
+le foncteur qui à un $A$-module $M$ associe l'ensemble sous-jacent à
+$M$ et à une application $A$-linéaire entre $A$-modules associe
+l'application ensembliste sous-jacente, est représentable par le
+$A$-module $A$ lui-même, l'isomorphisme $h\colon \Hom(A,\tiret) \to F$
+étant (par exemple) celui qui, pour un $A$-module $M$ donné, envoie
+une application linéaire $\ell\colon A\to M$ sur l'élément $h(A)(\ell)
+= \ell(1)$ de (l'ensemble sous-jacent à) $M$, l'application linéaire
+$\ell$ pouvant se reconstruire à partir de $s = \ell(1)$ comme
+$\ell(a) = ax$. De façon plus informelle, ceci traduit le fait que
+les applications $A$-linéaires $A \to M$ correspondent bijectivement
+(et \emph{naturellement}) aux éléments de $M$.
+\end{exemple2}
+
+Plus généralement, il existe de nombreuses structures algébriques
+telles que le foncteur d'oubli vers la catégorie des ensembles soit
+représentable : dans la catégorie des groupes ou des groupes abéliens,
+il l'est par le groupe $\ZZ$, dans la catégorie des monoïdes par le
+monoïde $\NN$, dans la catégorie des anneaux par l'anneau $\ZZ[s]$
+(des polynômes à coefficients entiers et à une indéterminée ici
+notée $s$), dans la catégorie des $k$-algèbres (pour $k$ un corps ou
+plus généralement un anneau) par la $k$-algèbre $k[s]$.
+
+\begin{proposition2}[lemme de Yoneda]\label{lemme-de-yoneda}
+Soit $\categ{C}$ une catégorie :
+\begin{itemize}
+\item Quels que soient l'objet $X$ de $\categ{C}$ et le foncteur $F
+ \colon \categ{C}\op \to \Ens$, l'application ensembliste
+ $\Hom(\Hom(\tiret,X),F) \to F(X)$ envoyant une transformation
+ naturelle $h\colon \Hom(\tiret, X) \to F$ sur l'élément $h(X)(\Id_X)
+ \in F(X)$, est une bijection.
+\item Si on note $\yone \colon \categ{C} \to \Hom(\categ{C}\op,
+ \Ens)$ le foncteur covariant (de la catégorie $\categ{C}$ vers la
+ catégorie des foncteurs contravariants de $\categ{C}$ vers les
+ ensembles) envoyant un objet $X$ de $\categ{C}$ sur le foncteur
+ (contravariant) $\Hom(\tiret,X)$ qu'il représente, et un morphisme
+ $z\colon X \to Y$ dans $\categ{C}$ sur la transformation naturelle
+ $\Hom(\tiret,X) \to \Hom(\tiret,Y)$ donnée (pour tout objet $T$
+ de $\categ{C}$) par la composition à gauche par $z$ (soit
+ $z\circ\tiret \colon \Hom(T,X) \to \Hom(T,Y)$), alors ce foncteur
+ $\yone$ est pleinement fidèle.
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour prouver le premier point, nous allons exhiber la bijection
+réciproque. Si $s \in F(X)$, on définit une transformation naturelle
+$h\colon \Hom(\tiret,X) \to F$ qui, pour un objet $T$ de $\categ{C}$,
+envoie l'élément $z\colon T\to X$ de $\Hom(T,X)$ sur l'élément
+$h(T)(z) = F(z)(s)$ de $F(T)$ ; pour vérifier que $h$ est bien une
+transformation naturelle, il s'agit de voir que si $t\colon T\to T'$
+et $z\colon T'\to X$ sont deux morphismes dans $\categ{C}$, alors
+$F(t)(F(z)(s)) = F(z\circ t)(s)$, ce qui est bien le cas.
+Manifestement, $h(X)(\Id_X) = s$ ; et réciproquement, si $h\colon
+\Hom(\tiret,X) \to F$ est une transformation naturelle quelconque,
+alors la naturalité de $h$ appliquée à un morphisme $z\colon T\to X$
+donne $h(T)(z) = F(z)(h(\Id_X))$ pour tout objet $T$ de $\categ{C}$,
+donc $h$ est bien la transformation naturelle qu'on a construite à
+partir de $s \in F(X)$.
+
+Prouvons le second point : donnés deux objets $X$ et $Y$
+de $\categ{C}$, le foncteur $\yone$ envoie un morphisme $z\colon
+X\to Y$ sur la transformation naturelle $z\circ\colon \Hom(\tiret,X)
+\to \Hom(\tiret,Y)$ de composition à gauche par $z$. Or le point
+précédent, appliqué au foncteur $F = \Hom(\tiret,Y)$, assure que
+l'application $\Hom(\Hom(\tiret,X),\Hom(\tiret,Y)) \to \Hom(X,Y)$
+envoyant une transformation naturelle $h\colon \Hom(\tiret,X) \to
+\Hom(\tiret,Y)$ sur $h(X)(\Id_X)$, est bijective, et cette application
+envoie la transformation naturelle « composition à gauche par $z$ »
+sur $z$, donc est la réciproque de l'application du
+foncteur $\yone$. Ceci prouve bien que $\yone$ est
+pleinement fidèle.
+\end{proof}
+
+Le lemme de Yoneda permet donc de voir toute catégorie $\categ{C}$
+comme une sous-catégorie pleine de la catégorie $\Hom(\categ{C}\op,
+\Ens)$ (des foncteurs contravariants de $\categ{C}$ vers les
+ensembles), à savoir justement la sous-catégorie pleine dont les
+objets sont les $\yone(X) = \Hom(\tiret,X)$. La catégorie $\categ{C}$ est donc
+équivalente à celle des foncteurs représentables (i.e., ceux
+isomorphes à un $\Hom(\tiret,X)$). L'usage du lemme de Yoneda permet
+par exemple d'affirmer que deux objets $X$ et $Y$ d'une catégorie sont
+isomorphes lorsque les foncteurs contravariants $\yone(X) = \Hom(\tiret,X)$
+et $\yone(Y) = \Hom(\tiret,Y)$ qu'ils représentent sont eux-mêmes isomorphes.
+
+On peut évidemment aussi appliquer le lemme de Yoneda à la catégorie
+opposée, c'est-à-dire « en inversant les flèches » : par exemple, ceci
+permet d'affirmer que deux objets $X$ et $Y$ d'une catégorie sont
+isomorphes lorsque les foncteurs covariants $\yoneDA(X) = \Hom(X,\tiret)$
+et $\yoneDA(Y) = \Hom(Y,\tiret)$ qu'ils représentent sont isomorphes. On a préféré
+citer le lemme de Yoneda sous la forme de \ref{lemme-de-yoneda}
+ci-dessus de façon à mettre en évidence un plongement de la catégorie
+$\categ{C}$ elle-même (plutôt que sa catégorie opposée) ; en
+contrepartie, on doit la plonger dans la catégorie des foncteurs
+contravariants.
+
+\begin{convention2}\label{notation-yoneda}
+Lorsque $\categ{C}$ est une catégorie, on notera $\yone \colon
+\categ{C} \to \Hom(\categ{C}\op,\Ens)$ le foncteur $X \mapsto
+\Hom(\tiret,X)$ introduit en \ref{lemme-de-yoneda}, et $\yoneDA \colon
+\categ{C}\op \to \Hom(\categ{C},\Ens)$ le foncteur $X \mapsto
+\Hom(X,\tiret)$. On notera également $X_\yone = \yone(X) =
+\Hom(\tiret,X)$ et $X^\yoneDA = \yoneDA(X) = \Hom(X,\tiret)$.
+\end{convention2}
+
+\begin{corollaire2}\label{yoneda-corollaire-isomorphismes}
+Si $Y,Y'$ sont deux objets d'une catégorie $\categ{D}$ tels que les
+foncteurs $\Hom(\tiret,Y),\Hom(\tiret,Y')\colon \categ{D}\op\to\Ens$
+soient isomorphes, alors $Y,Y'$ eux-mêmes sont isomorphes : plus
+précisément, pour tout isomorphisme $\varphi\colon \Hom(\tiret,Y)
+\buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,Y')$ il existe un unique $h\colon Y
+\buildrel\sim\over\to Y'$ tel que $\varphi = \yone(h)$.
+
+Si $G,G'\colon \categ{C} \to \categ{D}$ sont deux foncteurs tels que
+les foncteurs $\Hom(\tiret,G(\tiret)),\Hom(\tiret,G'(\tiret)) \colon
+\categ{D}\op \times \categ{C} \to \Ens$ soient isomorphes, alors
+$G,G'$ eux-mêmes sont isomorphes : plus précisément, pour tout
+isomorphisme $\varphi\colon \Hom(\tiret,G(\tiret))
+\buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,G'(\tiret))$ il existe un unique
+$h\colon G \buildrel\sim\over\to G'$ tel que $\varphi(\tiret,Y) =
+\yone(h(Y))$ pour tout objet $Y$ de $\categ{C}$.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+La première affirmation est une conséquence immédiate du lemme de
+Yoneda (le foncteur $\yone$ étant pleinement fidèle, il établit une
+bijection (cf. \ref{pleinement-fidele-est-essentiellement-injectif})
+entre isomorphismes $Y \buildrel\sim\over\to Y'$ et isomorphismes
+$\Hom(\tiret,Y) \buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,Y')$.
+
+La seconde affirmation s'en déduit : si $\varphi\colon
+\Hom(\tiret,G(\tiret)) \buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,G'(\tiret))$
+est un isomorphisme, alors pour chaque objet $Y$ de $\categ{C}$,
+l'isomorphisme $\varphi(\tiret,Y)\colon \Hom(\tiret,G(Y))
+\buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,G'(Y))$ (naturel en la première
+variable, anonyme) provient, d'après la première partie du corollaire,
+d'un (unique) isomorphisme $h(Y)\colon G(Y) \buildrel\sim\over\to
+G'(Y)$ par application du foncteur $\yone$ de Yoneda. La naturalité
+de $\varphi$ en la seconde variable ($Y$) et la fidélité de $\yone$
+montrent alors immédiatement que $h$ est naturel, donc on a bien un
+isomorphisme naturel $h\colon G \buildrel\sim\over\to G'$, qui
+visiblement était le seul possible puisque chaque $\varphi(\tiret,Y)$
+détermine $h(Y)$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{}\label{foncteur-representable-element} Le lemme
+de Yoneda a notamment comme conséquence que dans la
+définition \ref{definition-foncteur-representable}, la donnée de
+l'isomorphisme $h \colon \Hom(\tiret,X) \buildrel\sim\over\to F$
+attestant qu'un foncteur contravariant $F$ est représentable peut se
+réduire à la donnée de l'élément $s = h(X)(\Id_X) \in F(X)$. Ainsi,
+on peut dire qu'un foncteur $F$ est représentable par un objet $X$ et
+un élément $s \in F(X)$ lorsque, pour tout objet $T$ de $\categ{C}$,
+l'application $\Hom(T,X) \to F(T)$ envoyant $z$ sur $F(z)(s)$ est une
+bijection ; c'est-à-dire encore que l'objet $X$ muni de l'élément $s
+\in F(X)$ a la \emph{propriété universelle} que pour tout objet $T$ et
+tout $t \in F(T)$, il existe un unique $z\colon T \to X$ tel que
+$F(z)(s) = t$.
+
+En inversant les flèches, on obtient la définition analogue pour un
+foncteur covariant : le foncteur covariant $F \colon \categ{C} \to
+\Ens$ est dit représentable par un objet $X$ et un élément $s \in
+F(X)$ lorsque, pour tout objet $T$ et tout $t \in F(T)$, il existe un
+unique $z\colon X \to T$ tel que $F(z)(s) = t$.
+
+Avec cette définition, le foncteur d'oubli de la catégorie des groupes
+(ou des groupes abéliens) vers les ensembles est représentable par le
+groupe $\ZZ$ et l'élément $s = 1$ de celui-ci ; le foncteur d'oubli de
+la catégorie des anneaux vers les ensembles est représentable par
+l'anneau $\ZZ[s]$ et l'élément $s$ de celui-ci, etc.
+
+\begin{proposition2}\label{unicite-objet-representant-foncteur}
+Si un foncteur $F$ contravariant d'une catégorie $\categ{C}$ vers les
+ensembles est représentable par un objet $X$ de $\categ{C}$ et un
+élément $s \in F(X)$, et aussi par un objet $X'$ de $\categ{C}$ et un
+élément $s' \in F(X')$, alors $X$ et $X'$ sont isomorphes par un
+isomorphisme dont l'image par $F$ envoie $s'$ sur $s$, cet
+isomorphisme étant uniquement déterminé par cette condition.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le fait que $F$ soit représenté par $X$ et $s \in F(X)$ permet
+d'affirmer qu'il existe un unique morphisme $z\colon X' \to X$ tel que
+$F(z)(s) = s'$, et symétriquement il existe un unique morphisme
+$z'\colon X \to X'$ tel que $F(z')(s') = s$. On a alors $F(z\circ
+z')(s) = s$ donc $z\circ z' = \Id_X$, et de même $z'\circ z =
+\Id_{X'}$. Ainsi, $z$ et $z'$ sont bien des isomorphismes réciproques
+dont les images par $F$ envoient bien $s$ sur $s'$ et réciproquement,
+et ils sont uniquement déterminés (même comme simples morphismes) par
+ces conditions.
+\end{proof}
+
+Pour mieux mettre en lumière cette démonstration, si l'on préfère, on
+peut faire intervenir, donné un foncteur $F \colon \categ{C}\op \to
+\Ens$, la catégorie dont les objets sont les couples $(X,s)$ avec $X$
+un objet de $\categ{C}$ et $s$ un élément de (l'ensemble) $F(X)$, un
+morphisme de $(T,t)$ vers $(X,s)$ étant la donnée d'un morphisme
+$z\colon T \to X$ dans $\categ{C}$ tel que $F(z)(s) = t$ (et la
+composition des flèches provenant de celle de $\categ{C}$) : avec
+cette définition, un objet $X$ (ou plus exactement, une
+donnée $(X,s)$) représentant $F$ est un objet initial de la catégorie
+en question, et l'unicité qu'on vient d'affirmer n'est autre que
+l'unicité --- à isomorphisme unique près --- de l'objet universel.
+Les remarques faites en \ref{blabla-unicite-objet-universel} plus haut
+justifie qu'on parle, dans ce cas de \emph{l}'objet représentant le
+foncteur $F$. On peut évidemment faire les mêmes remarques pour la
+représentation des foncteurs covariants.
+
+
+
+\section{Limites et colimites}
+
+\subsection{Définition de la limite}
+
+\begin{definition2}\label{definition-systeme-projectif}
+Si $\categ{I}$ est une catégorie, un \emph{système projectif indicé
+ par $\categ{I}$} dans une catégorie $\categ{C}$ est un foncteur
+$\categ{I} \to \categ{C}$ ; la catégorie $\categ{C}^{\categ{I}}$ des
+systèmes projectifs de $\categ{C}$ indicés par $\categ{I}$ n'est autre
+que la catégorie des foncteurs $\categ{I} \to \categ{C}$. On appelle
+\emph{foncteur diagonal} $\Delta \colon \categ{C} \to
+\categ{C}^{\categ{I}}$ le foncteur envoyant un objet $X$
+de $\categ{C}$ sur le foncteur $\Delta(X)$ constant de valeur $X$
+(envoyant tout objet $i$ de $\categ{I}$ sur $X$ et tout morphisme $i
+\to j$ de $\categ{I}$ sur $\Id_X$) et un morphisme $z\colon X \to Y$
+de $\categ{C}$ sur la transformation naturelle $\Delta(z) \colon
+\Delta(X) \to \Delta(Y)$ qui à tout objet $i$ de $\categ{I}$ associe
+le morphisme $z\colon X\to Y$ lui-même.
+\end{definition2}
+
+Certains auteurs définissent les systèmes projectifs comme des
+foncteurs contravariants plutôt que covariants : quitte à remplacer la
+catégorie d'indices par son opposée, on voit que cela ne fait pas de
+différence.
+
+\begin{definition2}
+Si $P$ est un système projectif de $\categ{C}$ indicé par $\categ{I}$,
+un objet $X$ de $\categ{C}$ représentant le foncteur contravariant (de
+$\categ{C}$ vers les ensembles)
+$\Hom_{\categ{C}^{\categ{I}}}(\Delta(\tiret),P)$, muni de l'élément $s
+\in \Hom_{\categ{C}^{\categ{I}}}(\Delta(X),P)$ (une transformation
+naturelle $\Delta(X) \to P$) témoignant de ce fait, est appelé
+\emph{limite} (ou \emph{limite projective}) du système projectif $P$,
+et se note $\prlim P$ (ou $\prlim_{i\in\categ{I}} P(i)$).
+\end{definition2}
+
+Autrement dit, une limite du système projectif $P$ est la donnée d'un
+objet $X$ de $\categ{C}$ et d'une transformation naturelle $s\colon
+\Delta(X) \to P$ tels que pour tout objet $T$ de $\categ{C}$ et toute
+transformation naturelle $t\colon \Delta(T) \to P$ il existe un unique
+morphisme $z \colon T\to X$ pour lequel $t = s\circ \Delta(z)$.
+
+Les transformations naturelles $t\colon \Delta(T) \to P$ s'appellent
+parfois les \emph{cônes} de \emph{sommet $T$} et de \emph{base $P$} :
+on peut donc dire, informellement, que la limite de $P$ est le sommet
+universel d'un cône de base $P$.
+
+Plutôt que de dire que la limite d'un système projectif $P \colon
+\categ{I} \to \categ{C}$ « existe » dans la catégorie $\categ{C}$, on
+préfère généralement (en pensant à
+$\Hom_{\categ{C}^{\categ{I}}}(\Delta(\tiret),P)$ lui-même comme étant
+la limite) dire qu'elle \emph{est représentable} dans $\categ{C}$. Le
+fait que cette terminologie soit cohérente avec la philosophie du
+lemme de Yoneda sera démontré dans la
+proposition \ref{limites-et-yoneda} plus bas.
+
+On peut également souhaiter voir la limite d'un système projectif
+comme un objet terminal dans une certaine catégorie : pour cela, si $P
+\colon \categ{I} \to \categ{C}$ est un système projectif, on introduit
+la catégorie (qu'on peut décrire comme $\Delta \uparrow
+\Hom(\categ{I},\categ{C}) \downarrow P$ avec les notations
+de \ref{definition-categorie-au-dessus-generalisation}) dont les
+objets sont les cônes de base $P$, c'est-à-dire les données formées
+d'un objet $X$ de $\categ{C}$ et d'une transformation
+naturelle $s\colon \Delta(X) \to P$, les morphismes de $(T,t)$
+vers $(X,s)$ étant les morphismes $z\colon T \to X$ dans $\categ{C}$
+tels que $t = s\circ \Delta(z)$. Alors une limite de $P$ n'est autre
+qu'un objet terminal dans la catégorie en question : il s'agit du cône
+terminal de base $P$.
+
+La proposition \ref{unicite-objet-representant-foncteur} ou, compte
+tenu de la description qu'on vient de faire de la limite comme un
+objet terminal, l'unicité de l'objet terminal, permettent de dire que
+la limite --- comme toute solution de problème universel --- est
+unique à isomorphisme près, cet isomorphisme étant unique compte tenu
+des contraintes imposées (en l'occurrence, les morphismes $P(i)$).
+Les remarques faites en \ref{blabla-unicite-objet-universel} plus haut
+justifie qu'on parle, donc, de \emph{la} limite d'un système projectif
+(plutôt que simplement d'\emph{une} limite).
+
+Plus concrètement, un système projectif $P$ est la donnée pour chaque
+objet $i$ de $\categ{I}$ d'un objet $P(i)$ de $\categ{C}$ et pour
+chaque morphisme $i \to j$ de $\categ{I}$ d'un morphisme correspondant
+$P(i\to j)$ de $\categ{C}$ de façon compatible aux identités et à la
+composition ; la limite d'un tel système est la donnée (« cône ») d'un
+objet $X$ de $\categ{C}$ et pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$ d'un
+morphisme $s(i)\colon X \to P(i)$, de façon à commuter aux morphismes
+$P(i\to j)$ imposés par le système, de sorte que pour n'importe quelle
+autre donnée (« cône ») d'un objet $T$ et d'une collection compatible
+$t$ de morphismes $t(i)\colon T\to P(i)$ il existe un unique morphisme
+$z\colon T\to X$ pour lequel on ait $t(i) = s(i) \circ z$ pour
+tout $i$.
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+&&P(i)\\T&X&\\&&P(j)\\};
+\draw[->] (diag-2-1) to [out=60,in=180] node{$\scriptstyle t(i)$} (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node[auto=false,above left=-.5ex]{$\scriptstyle s(i)$} (diag-1-3);
+\draw[->] (diag-2-1) to [out=300,in=180] node[swap]{$\scriptstyle t(j)$} (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap,auto=false,below left=-.5ex]{$\scriptstyle s(j)$} (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node{$\scriptstyle P(i\to j)$} (diag-3-3);
+\draw[->,dotted] (diag-2-1) -- node{$\scriptstyle z$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+\subsection{Cas particuliers de limites}
+
+Le foncteur identité $\Id_{\categ{C}}\colon \categ{C} \to \categ{C}$
+d'une catégorie $\categ{C}$ possède une limite si et seulement si la
+catégorie $\categ{C}$ admet un objet initial $\bot$, auquel cas la
+limite est justement cet objet $\bot$, muni de la transformation
+naturelle $\Delta(\bot) \to \Id_{\categ{C}}$ qui à chaque objet $i$
+de $\categ{C}$ associe l'unique morphisme $\bot \to i$.
+
+Lorsque la catégorie d'indice $\categ{I}$ possède un objet
+initial $\bot$, alors tout système projectif $P$ indicé
+par $\categ{I}$ (à valeurs dans n'importe quelle catégorie) admet une
+limite, à savoir $P(\bot)$, muni des morphismes $s(i) \colon P(\bot)
+\to P(i)$ déduits de $\bot \to i$ (unique morphisme ayant cette source
+et ce but) par application de $P$. En effet, donné tout autre
+objet $T$ et toute autre collection compatible de morphismes $t(i)
+\colon T \to P(i)$, on a notamment un $z = t(\bot) \colon T \to
+P(\bot)$, qui vérifie $t(i) = s(i) \circ z$ par hypothèse, et qui est
+manifestement le seul à pouvoir le vérifier (puisque notamment ceci
+implique $t(\bot) = z$).
+
+\subsubsection{Limites indicées par un ensemble (pré)ordonné}\label{limite-indices-ensemble-preordonne}
+Lorsque la catégorie d'indice $\categ{I}$ est un ensemble
+(pré)ordonné $I$, considéré comme une catégorie en décrétant qu'il y a
+une seule flèche $j \to i$ lorsque $i \leq j$ (on notera que la
+convention faite ici, habituelle pour les systèmes projectifs, est
+l'opposée de celle faite
+en \ref{exemple-categorie-ensemble-preordonne}), on obtient la notion
+de limite projective indicée par l'ensemble (pré)ordonné $I$. La
+donnée du système est donc celle d'une famille $(P_i)$ d'objets
+de $\categ{C}$ et d'une famille $f_{ij} \colon P_j \to P_i$ de
+flèches, indicée par les couples $(i,j)$ tels que $i \leq j$, et
+vérifiant $f_{ij} \circ f_{jk} = f_{ik}$ lorsque $i\leq j \leq k$ ; la
+limite d'un tel système est alors la donnée d'un objet $X$
+de $\categ{C}$ ainsi que pour chaque $i$ d'un morphisme $p_i \colon X
+\to P_i$ tels que $f_{ij} \circ p_j = p_i$ pour tous $i\leq j$ et tels
+que pour toute autre donnée d'un objet $T$ et de morphismes $t_i
+\colon T \to P_i$ vérifiant la même relation $f_{ij} \circ t_j = t_i$
+il existe un unique $z \colon T \to X$ vérifiant $t_i = p_i \circ z$
+pour chaque $i$.
+
+Un cas particulier\label{limite-produit} est obtenu lorsque l'ensemble ordonné $I$ est muni
+de l'ordre trivial, c'est-à-dire qu'on n'a $i \leq j$ que lorsque $i =
+j$, la catégorie n'ayant donc que les morphismes identité : un système
+projectif indicé par $I$ n'est alors qu'une famille indicée par $I$
+d'objets $P_i$, et la limite porte dans ce cas aussi le nom de
+\emph{produit}, et se note $\prod_{i \in I} P_i$.
+Autrement dit, le produit d'une famille $(P_i)$
+d'objets de $\categ{C}$ est la donnée d'un objet $X$ de $\categ{C}$
+ainsi que pour chaque $i$ d'un morphisme $p_i \colon X \to P_i$ tels
+que pour toute donnée d'un objet $T$ de $\categ{C}$ et d'un morphisme
+$t_i \colon T \to P_i$ pour chaque $i \in I$ il existe un unique $z
+\colon T \to X$ vérifiant $t_i = p_i\circ z$ pour chaque $i$.
+
+\begin{exemple3}
+Dans la catégorie des ensembles, le produit d'une famille $(P_i)$
+d'ensembles est le produit cartésien usuel $X = \prod_{i\in I} P_i$ :
+les applications $s_i \colon X \to P_i$ dont il est muni étant les
+projections sur les différents facteurs.
+
+Toujours dans la catégorie des ensembles, la limite d'un système
+projectif $((P_i),(f_{ij}))$ indicé par un ensemble ordonné (ou
+simplement préordonné) $I$ est le sous-ensemble $X$ de $\prod_{i\in I}
+P_i$ formé des $(x_i) \in \prod_{i\in I} P_i$ tels quel $f_{ij}(x_j) =
+x_i$ pour tous $i\in j$. (On verra dans la
+proposition \ref{limites-ensembles} comment construire de façon plus
+générale les limites dans les ensembles.)
+
+Ces descriptions fonctionnent encore dans différentes catégories de
+structures algébriques : groupes, groupes abéliens, $A$-modules,
+anneaux, etc. : le produit (ou, en fait, plus généralement, toute
+limite projective) dans la catégorie des groupes a pour ensemble
+sous-jacent le produit (ou plus généralement la limite) des ensembles
+sous-jacents des facteurs du produit (ou de la limite). (On
+expliquera plus loin une raison pour laquelle, comme on vient de le
+décrire, le foncteur d'oubli de ces catégories algébriques vers la
+catégorie des ensembles préserve les limites.)
+\end{exemple3}
+
+\subsubsection{Points fixes}
+Lorsque la catégorie $\categ{I}$ a un unique objet $\bullet$ et que
+l'ensemble des morphismes $\bullet \to \bullet$ forme un groupe $G$
+(cf. exemple \ref{exemple-categorie-groupe-groupoide}), la donnée d'un
+système projectif indicé par $\categ{I}$ dans une
+catégorie $\categ{C}$ équivaut à celle d'un objet $P = P_\bullet$
+de $\categ{C}$ ainsi que d'une \emph{action} de $G$ sur $P$,
+c'est-à-dire d'un morphisme de groupe $\varphi\colon G \to
+\Aut_{\categ{C}}(P)$. La limite d'un tel système se note $\Fix_G(P)$
+(certains auteurs utilisent $P^G$) et s'appelle objet des points fixes
+pour l'action donnée de $G$ sur $P$ : il s'agit donc de la donnée d'un
+objet $X$ de $\categ{C}$ et d'un morphisme $s\colon X \to P$ tel que
+$g s = s$ pour tout $g \in G$ (en notant, par abus de langage, $g s$
+pour $\varphi(g)\circ s$) et tel que pour tout autre morphisme $t
+\colon T \to P$ vérifiant $g t = t$ pour tout $g\in G$ il existe un
+unique $z \colon T \to X$ pour lequel $t = s \circ z$. Dans la
+catégorie des ensembles, on a bien $\Fix_G(P) = \{x \in P : (\forall
+g\in G) \, gx = x\}$ (sous-entendu muni de l'inclusion $s \colon
+\Fix_G(P) \to P$ de cet ensemble dans l'ensemble $P$ tout entier).
+
+\subsubsection{Égalisateurs}\label{egalisateur}
+Lorsque la catégorie $\categ{I}$ est la catégorie
+$\tikz[auto,baseline=(o1.base)]{\node(o1) at (0,0) {$\astrosun$};
+ \node(o2) at (3.5em,0) {$\leftmoon$}; \draw[->] (o1) to
+ [out=15,in=165] (o2); \draw[->] (o1) to [out=-15,in=-165]
+ (o2);}$ ayant deux objets $\astrosun$ et $\leftmoon$ et
+seulement deux flèches du premier vers le second, c'est-à-dire
+$\Hom(\astrosun, \astrosun) = \{\Id_{\astrosun}\}$, $\Hom(\leftmoon,
+\leftmoon) = \{\Id_{\leftmoon}\}$, $\Hom(\leftmoon, \astrosun) =
+\varnothing$ et $\Hom(\astrosun, \leftmoon) = \{\star_1, \star_2\}$,
+alors la donnée d'un système projectif indicé par $\categ{I}$ dans une
+catégorie $\categ{C}$ équivaut à la donnée de deux morphismes
+$f_1,f_2\colon P_{\astrosun} \to P_{\leftmoon}$ entre les deux mêmes
+objets $P_{\astrosun},P_{\leftmoon}$ de $\categ{C}$. Une limite d'un
+tel système est la donnée d'un objet $X$ et d'un morphisme
+$s_{\astrosun} \colon X \to P_{\astrosun}$ (ou souvent, on dira que
+$s_{\astrosun}$ lui-même est l'égalisateur) vérifiant $f_1 \circ
+s_{\astrosun} = f_2 \circ s_{\astrosun}$ (les deux constituant la
+donnée de $s_{\leftmoon} \colon X \to P_{\leftmoon}$) tels que pour
+tout objet $T$ et tout morphisme $t_{\astrosun} \colon T \to
+P_{\astrosun}$ vérifiant $f_1 \circ t_{\astrosun} = f_2 \circ
+t_{\astrosun}$ il existe un unique $z\colon T\to X$ vérifiant
+$t_{\astrosun} = s_{\astrosun} \circ z$ : on dit alors que $X$, et le
+morphisme $s_{\astrosun}\colon X\to P_{\astrosun}$ donné avec lui,
+s'appelle un \emph{égalisateur} des deux morphismes $f_1,f_2$.
+
+Plus généralement, l'égalisateur d'une famille quelconque $(f_i)_{i\in
+ I}$ de morphismes $P_{\astrosun} \to P_{\leftmoon}$ dans une
+catégorie $\categ{C}$ est la limite du système projectif indicé par la
+catégorie $\categ{I}$ ayant deux objets $\astrosun$ et $\leftmoon$ et,
+outre les identités sur ceux-ci, exactement une flèche $\star_i \colon
+\astrosun \to \leftmoon$ pour chaque $i\in I$, et qui envoie
+$\astrosun$ sur $P_{\astrosun}$ et $\leftmoon$ sur $P_{\leftmoon}$ et
+chaque $\star_i$ sur $f_i$ ; c'est-à-dire que l'égalisateur est la
+donnée d'un objet $X$ de $\categ{C}$ et d'un morphisme
+$s_{\astrosun}\colon X \to P_{\astrosun}$ pour lequel $s_{\leftmoon} =
+f_i \circ s_{\astrosun}$ ne dépend pas de $i$ et tel que pour toute
+autre donnée d'un morphisme $t_{\astrosun} \colon T \to P_{\astrosun}$
+où $f_i \circ t_{\astrosun}$ ne dépende pas de $i$, il existe un
+unique $z\colon T\to X$ vérifiant $t_{\astrosun} = s_{\astrosun} \circ
+z$.
+
+\begin{exemple3}
+Dans la catégorie des ensembles, l'égalisateur d'une famille
+$f_i\colon P_{\astrosun} \to P_{\leftmoon}$ d'applications entre deux
+mêmes ensembles n'est autre que le sous-ensemble $X$
+de $P_{\astrosun}$ formé des $x \in P_{\astrosun}$ tels que $f_i(x)$
+soit une fonction constante de $i$, l'application $s_{\astrosun}\colon
+X \to P_{\astrosun}$ étant alors simplement l'inclusion.
+
+De nouveau, cette construction fonctionne encore dans diverses
+catégories de structures algébriques : groupes, anneaux, etc.
+\end{exemple3}
+
+\subsubsection{Produits fibrés}\label{limite-produit-fibre}
+
+Lorsque la catégorie $\categ{I}$ est la catégorie
+$\tikz[auto,baseline=(o1.base)]{\node(o1) at (0,0) {$\star_1$};
+ \node(o0) at (3em,0) {$\bullet$}; \node(o2) at (6em,0) {$\star_2$};
+ \draw[->] (o1) -- (o0); \draw[->] (o2) -- (o0);}$ ayant trois objets
+$\star_1,\star_2,\bullet$ et, outre les identités, exactement une
+flèche $\star_i \to \bullet$ pour chaque $i \in \{1,2\}$, un système
+projectif indicé par $\categ{I}$ dans une catégorie $\categ{I}$ est la
+donnée de trois objets $P_1,P_2,S$ de $\categ{C}$ ainsi que deux
+morphismes $f_1\colon P_1\to S$ et $f_2\colon P_2\to S$. La limite
+d'un tel système est la donnée d'un objet $X$ de $\categ{C}$ ainsi que
+de deux morphismes $p_1 \colon X \to P_1$ et $p_2 \colon X \to P_2$
+(et, si on veut, $p_S \colon X \to S$) vérifiant $f_1\circ p_1 = p_S =
+f_2\circ p_2$ et tels que pour toute donnée d'un autre objet $T$ et de
+morphismes $t_1\colon T \to P_1$ et $t_2\colon T\to P_2$ vérifiant
+$f_1\circ t_1 = f_2 \circ t_2$ il existe un unique $z\colon T \to X$
+pour lequel $t_1 = p_1\circ z$ et $t_2 = p_2\circ z$ :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+T&[-2em]&\\&X&P_1\\&P_2&S\\};
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$p_2$} (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-2-3) -- node{$f_1$} (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$p_1$} (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-3-2) -- node{$f_2$} (diag-3-3);
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=0,in=135] node{$t_1$} (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-1-1) to [swap,out=270,in=135] node{$t_2$} (diag-3-2);
+\draw[->,dotted] (diag-1-1) -- node{$z$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+Dans ces conditions, l'objet $X$ muni des deux morphismes $p_1$ et
+$p_2$ est appelé \emph{produit fibré} de $P_1$ et $P_2$ au-dessus
+de $S$ par les morphismes $f_1$ et $f_2$ : on le note $P_1 \times_S
+P_2$ ; on dit encore parfois que $p_2\colon P_1 \times_S P_2 \to P_2$
+est le \emph{tiré en arrière} de $f_1\colon P_1 \to S$ par $f_2 \colon
+P_2 \to S$.
+
+On peut facilement vérifier que, si on suppose exister le produit $P_1
+\times P_2$ des objets $P_1$ et $P_2$, dont on notera $\pi_1\colon P_1
+\times P_2 \to P_1$ et $\pi_2\colon P_1\times P_2 \to P_2$ les
+morphismes dont il est muni, alors l'unique application $e\colon P_1
+\times_S P_2 \to P_1 \times P_2$ telle que $p_1 = \pi_1\circ e$ et
+$p_2 = \pi_2\circ e$ est l'égalisateur des morphismes $f_1\circ \pi_1$
+et $f_2\circ \pi_2$ : cette remarque permettant de comprendre le
+produit fibré $P_1 \times_S P_2$ à partir du produit simple $P_1
+\times P_2$ et de l'égalisateur de deux morphismes $P_1 \times P_2 \to
+S$ est un cas particulier d'un résultat général qui sera démontré
+en \ref{limites-par-produits-et-egalisateurs} plus bas.
+
+On peut également vérifier que le morphisme $p_S\colon P_1\times_S P_2
+\to S$ (égal à la fois à $f_1\circ p_1$ et $f_2\circ p_2$) est le
+produit, dans la catégorie $\categ{C}\downarrow S$, des morphismes
+$f_1$ et $f_2$ vus comme des objets de $\categ{C}\downarrow S$.
+
+Ces résultats se généralisent aisément aux produits fibrés d'une
+famille quelconque d'objets au-dessus d'un objet $S$.
+
+\subsection{Fonctorialité des limites}
+
+\begin{proposition2}
+Soient $P,P' \colon \categ{I} \to \categ{C}$ deux systèmes projectifs
+ayant mêmes catégories d'indice et de valeurs, et soit $h\colon P \to
+P'$ un isomorphisme entre eux. Alors un objet $X$ de $\categ{C}$ muni
+d'un morphisme $s\colon \Delta(X) \to P$ est limite de $P$ si et
+seulement si $X$ muni de $h\circ s\colon \Delta(X) \to P'$ est limite
+de $P'$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Supposons que $P$ admette une limite donnée par $X$ muni de $s\colon
+\Delta(X) \to P$, et on va montrer que ce même $X$ muni de $h\circ s
+\colon \Delta(X) \to P'$ est limite de $P'$. Si $t\colon \Delta(T)
+\to P'$ est un morphisme, alors, en notant $h^{-1}$ la réciproque
+de $h$, on a une flèche $h^{-1}\circ t \colon \Delta(T) \to P$, et
+d'après la propriété universelle de $(X,s)$, il existe un unique
+$z\colon T \to X$ tel que $h^{-1} \circ t = s \circ \Delta(z)$,
+c'est-à-dire $t = h\circ s \circ \Delta(z)$, ce qu'on voulait
+démontrer.
+
+Pour montrer l'implication réciproque, il suffit d'utiliser la
+symétrie de la situation en appliquant ce qui précède à $h^{-1}$ avec
+$h\circ s$ et $h^{-1}\circ (h\circ s) = s$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{}\label{introduction-fonctorialite-limites-indices}
+On se demande maintenant, si on dispose d'un système projectif
+$P\colon \categ{I} \to \categ{C}$ et d'un foncteur $V\colon
+\categ{I}'\to \categ{I}$, ce qu'on peut dire des limites de $P$ et $P
+\circ V$ l'une par rapport à l'autre. Remarquons que si les deux
+limites existent, disons que $X$ muni de $s\colon
+\Delta_{\categ{I}}(X) \to P$ soit limite de $P$ et $X'$ muni de
+$s'\colon \Delta_{\categ{I}'}(X') \to P\circ V$ limite de $P\circ V$,
+alors en appliquant la propriété universelle de $s'$ au morphisme
+$s\boxempty V \colon \Delta_{\categ{I}'}(X) \to P\circ V$, on voit
+qu'il existe un morphisme uniquement défini $\varsigma \colon X \to
+X'$ tel que $s\boxempty V = s' \circ \Delta_{\categ{I}'}(\varsigma)$.
+On va définir une propriété sur $V$ qui assure que (1) l'existence
+d'une quelconque des limites garantit celle de l'autre et (2) lorsque
+c'est le cas, le morphisme $\varsigma$ en question est un
+isomorphisme.
+
+\begin{definition2}\label{definition-foncteur-initial}
+Un foncteur $V\colon \categ{I}' \to \categ{I}$ est dit \emph{initial}
+lorsque, pour chaque $i \in \ob\categ{I}$, la catégorie
+$V\uparrow\categ{I}\downarrow i$ (définie
+en \ref{definition-categorie-au-dessus-generalisation}) est non vide
+et (faiblement) connexe (cf. \ref{definition-categorie-connexe}).
+Autrement dit, cela signifie que pour chaque objet $i$
+de $\categ{I}$ : (a) il existe un objet $i'$ de $\categ{I}'$ et un
+morphisme $V(i') \to i$ (dans $\categ{I}$), et (b) pour deux telles
+données $V(i') \to i$ et $V(i'') \to i$, il est possible de les
+compléter en un diagramme
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2.5em,row sep=5ex]{
+V(i')&V(i'_2)&V(i'_3)&\;\vphantom{V(i')}\cdots\;&V(i'_{2n-1})&V(i'_{2n})&V(i'')\\
+i&i&i&\;\vphantom{i}\cdots\;&i&i&i\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-1-5) -- (diag-2-5);
+\draw[->] (diag-1-6) -- (diag-2-6);
+\draw[->] (diag-1-7) -- (diag-2-7);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\scriptstyle V(\alpha_1)$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node[swap]{$\scriptstyle V(\beta_1)$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node{$\scriptstyle V(\alpha_2)$} (diag-1-4);
+\draw[->] (diag-1-5) -- node[swap]{$\scriptstyle V(\beta_{n-1})$} (diag-1-4);
+\draw[->] (diag-1-5) -- node{$\scriptstyle V(\alpha_n)$} (diag-1-6);
+\draw[->] (diag-1-7) -- node[swap]{$\scriptstyle V(\beta_n)$} (diag-1-6);
+\draw[double] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+\draw[double] (diag-2-3) -- (diag-2-2);
+\draw[double] (diag-2-3) -- (diag-2-4);
+\draw[double] (diag-2-5) -- (diag-2-4);
+\draw[double] (diag-2-5) -- (diag-2-6);
+\draw[double] (diag-2-7) -- (diag-2-6);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{definition2}
+
+L'intérêt des foncteurs initiaux est la propriété suivante, qui
+s'exprime intuitivement en disant que les cônes sur $P\circ V$ et les
+cônes sur $P$ de même sommet se correspondent bijectivement, et
+surtout la propriété sur les limites qui en découlera :
+
+\begin{proposition2}\label{prolongement-cones-foncteur-initial}
+Soit $\categ{C}$ une catégorie et $P\colon \categ{I} \to \categ{C}$ un
+système projectif indicé par une catégorie $\categ{I}$. Soit $V\colon
+\categ{I}' \to \categ{I}$ un foncteur initial. Alors pour toute
+transformation naturelle $t\colon \Delta_{\categ{I}'}(T) \to P\circ V$
+(où $T$ est un objet de $\categ{C}$ et $\Delta_{\categ{I}'}(T)$ le
+foncteur constant $\categ{I}'\to \categ{C}$ de valeur $T$), il existe
+une unique transformation naturelle $\hat t \colon
+\Delta_{\categ{I}}(T) \to P$ vérifiant $t = \hat t\boxempty V$.
+
+De plus, si $\hat t_1\colon \Delta_{\categ{I}}(T_1) \to P$ et $\hat
+t_2\colon \Delta_{\categ{I}}(T_2) \to P$ sont deux transformations
+naturelles, et si on pose $t_1 = \hat t_1 \boxempty V$ et $t_2 = \hat
+t_2 \boxempty V$, alors un morphisme $z\colon T_1 \to T_2$ de
+$\categ{C}$ vérifie $t_1 = t_2 \circ \Delta_{\categ{I}'}(z)$ si et
+seulement si $\hat t_1 = \hat t_2 \circ \Delta_{\categ{I}}(z)$.
+
+(Ces deux affirmations se résument en disant que le foncteur de la
+catégorie $\Delta_{\categ{I}} \uparrow \Hom(\categ{I},\categ{C})
+\downarrow P$ des cônes de base $P$ vers la catégorie
+$\Delta_{\categ{I}'} \uparrow \Hom(\categ{I}',\categ{C}) \downarrow
+P\circ V$ des cônes de base $P\circ V$, qui à un cône $(T,\hat t)$
+(c'est-à-dire un objet $T$ de $\categ{C}$ et un morphisme $\hat
+t\colon \Delta_{\categ{I}}(T) \to P$) associe $(T, \hat t\boxempty
+V)$, et à un morphisme $z\colon (T_1, \hat t_1) \to (T_2, \hat t_2)$
+(c'est-à-dire un morphisme $z\colon T_1 \to T_2$ tel que $\hat t_1 =
+\hat t_2\circ \Delta_{\categ{I}}(z)$) associe $z\colon (T_1, \hat
+t_1\boxempty V) \to (T_2, \hat t_2\boxempty V)$, est un isomorphisme
+de catégories.)
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour plus de clarté, on notera, dans cette démonstration, $P\boxempty
+V$ plutôt que $P\circ V$, la composée des foncteurs.
+
+Montrons d'abord l'affirmation sur les objets $(T,t)$.
+
+Pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$, l'hypothèse faite sur $V$ assure
+qu'il existe un morphisme $V(i') \to i$ : choisissons un tel morphisme
+$\gamma'$, et posons $\hat t(i) = P(\gamma')\circ t(i')$ (comme cela
+est imposé par la condition recherchée). L'hypothèse de connexité de
+$V\uparrow\categ{I}\downarrow i$ assure que $\hat t(i)$ ne dépend pas
+du $V(i') \to i$ choisi : si $\gamma'' \colon V(i'') \to i$ est un
+autre tel choix, on a $P(\gamma'')\circ t(i'') = P(\gamma') \circ
+t(i')$, comme l'atteste le diagramme suivant
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=5em,row sep=5ex]{
+T&T\\P(V(i'))&P(V(i''))\\P(i)&P(i)\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle t(i')$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node[swap]{$\scriptstyle P(\gamma')$} (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\scriptstyle t(i'')$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$\scriptstyle P(\gamma'')$} (diag-3-2);
+\draw[double] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+\draw[draw=none] (diag-2-1) to node [pos=0.5,auto=false] (mid) {$\cdots$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (mid);
+\draw[->] (diag-2-2) -- (mid);
+\draw[double] (diag-3-1) -- (diag-3-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+En particulier, lorsque $i = V(i')$ pour un certain objet $i'$
+de $\categ{I}'$, on peut choisir $\gamma' = \Id_{V(i')}$ et on a $\hat
+t (V(i')) = t(i')$. Par ailleurs, si $\varphi\colon i_1 \to i_2$ est
+un morphisme de $\categ{I}$, alors une fois choisi $\gamma'_1\colon
+V(i') \to i_1$ comme ci-dessus, on peut considérer la composée
+$\gamma'_2 \colon V(i') \buildrel{\gamma'_1}\over\to i_1
+\buildrel\varphi\over\to i_2$ et la remarque faite ci-dessus assure
+que $P(\varphi)\circ \hat t(i_1) = \hat t(i_2)$ : c'est-à-dire que
+$\hat t$ est bien une transformation naturelle. On a déjà remarqué
+que pour tout $i'$ on a $t(V(i')) = t(i')$, c'est-à-dire $\hat t
+\boxempty V = t$. Enfin, comme la condition $\hat t(i) =
+P(\gamma')\circ t(i')$ (lorsque $\gamma'\colon V(i') \to i$ est un
+morphisme), était imposée par le fait que $\hat t$ soit une
+transformation naturelle $\Delta_{\categ{I}}(T) \to P$ vérifiant
+$t(i') = \hat t(V(i'))$, le $\hat t$ qu'on vient de construire était
+le seul possible.
+
+Montrons maintenant l'affirmation sur les morphismes $(T_1,t_1) \to
+(T_2,t_2)$. Avec les notations de l'énoncé, si $z$ vérifie $\hat t_1
+= \hat t_2 \circ \Delta_{\categ{I}}(z)$, on a évidemment $(\hat
+t_1\boxempty V) = (\hat t_2 \boxempty V) \, \circ \,
+(\Delta_{\categ{I}}(z) \boxempty V)$, c'est-à-dire $t_1 = t_2 \circ
+\Delta_{\categ{I}'}(z)$. Réciproquement, si cette dernière égalité
+est vraie, alors $\hat t_1$ et $\hat t_2 \circ \Delta_{\categ{I}}(z)$
+sont deux transformations naturelles $\Delta_{\categ{I}}(T) \to P$
+dont la $\boxempty$-composition à droite par $V$ donne le même $t_1 =
+t_2 \circ \Delta_{\categ{I}'}(z) \colon \Delta_{\categ{I}'}(T) \to
+P\boxempty V$, et d'après ce qu'on vient de prouver, cela implique
+$\hat t_1 = \hat t_2 \circ \Delta_{\categ{I}}(z)$.
+\end{proof}
+
+\begin{corollaire2}\label{limites-indices-foncteur-initial}
+Soit $\categ{C}$ une catégorie et $P\colon \categ{I} \to \categ{C}$ un
+système projectif indicé par une catégorie $\categ{I}$. Soit $V\colon
+\categ{I}' \to \categ{I}$ un foncteur
+initial (cf. \ref{definition-foncteur-initial}). Alors :
+\begin{itemize}
+\item le système projectif $P$ a une limite si et seulement si $P\circ
+ V$ en a une,
+\item lorsque c'est le cas, si $X$ muni de $s \colon
+ \Delta_{\categ{I}}(X) \to P$ est limite de $P$ et $X'$ muni de $s'
+ \colon \Delta_{\categ{I}'}(X) \to P \circ V$ est limite de $P\circ
+ V$, alors l'unique morphisme $\varsigma \colon X \to X'$ tel que
+ $s\boxempty V = s' \circ \Delta_{\categ{I}'}(\varsigma)$
+ (cf. \ref{introduction-fonctorialite-limites-indices}) est un
+ isomorphisme ;
+\item plus précisément, un objet $X$ de $\categ{C}$ muni d'un
+ morphisme $s\colon \Delta_{\categ{I}}(X) \to P$ est limite de $P$ si
+ et seulement si ce même $X$ muni de $s\boxempty V\colon
+ \Delta_{\categ{I}'}(X) \to P\circ V$ est limite de $P\circ V$,
+\item de façon équivalente, un objet $X$ de $\categ{C}$ muni d'un
+ morphisme $s'\colon \Delta_{\categ{I}'}(X) \to P\circ V$ est limite
+ de $P\circ V$ si et seulement si ce même $X$ muni de l'unique $\hat
+ s'\colon \Delta_{\categ{I}}(X) \to P$ tel que $s' = \hat s'\boxempty
+ V$ (dont l'existence est garantie par la
+ proposition \ref{prolongement-cones-foncteur-initial}) est limite
+ de $P\circ V$.
+\end{itemize}
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+Le lemme \ref{prolongement-cones-foncteur-initial} assure que la
+catégorie des cônes $\hat t\colon \Delta_{\categ{I}}(X) \to P$ sur $P$
+et celle des cônes $t\colon \Delta_{\categ{I}'}(X) \to P\boxempty V$
+sont isomorphes par le foncteur envoyant $\hat t$ sur $t = \hat t
+\boxempty V$. Comme la limite de $P$ et celle de $P\circ V$ sont
+définies comme les objets terminaux de ces deux catégories, toutes les
+affirmations énoncées sont claires.
+\end{proof}
+
+Une façon de prouver qu'un foncteur est initial est d'utiliser la
+proposition suivante :
+
+\begin{proposition2}\label{foncteur-presque-quasi-inverse-initial}
+Soient $V\colon \categ{I}\to\categ{I}'$ et $V'\colon
+\categ{I}\to\categ{I}'$ deux foncteurs et soit $k\colon V\circ V' \to
+\Id_{\categ{I}}$ une transformation naturelle : alors $V$ est un
+foncteur initial.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si $i$ est un objet de $\categ{I}$, on dispose d'une flèche $k(i)
+\colon V(i') \to i$ où $i' = V'(i)$. Si $\lambda\colon V(i'') \to i$
+est un autre morphisme avec $i''$ un objet de $\categ{I}'$, la
+naturalité de $k$ montre $k(i)\circ V(V'(\lambda)) = \lambda\circ
+k(V(i''))$. Autrement dit, le diagramme suivant commute :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+V(i'')&V(V'(V(i'')))&V(i')\\
+i&i&i\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle \lambda$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node{$\scriptstyle k(i)$} (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node[swap]{$\scriptstyle k(V(i''))$} (diag-1-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\scriptstyle V(V'(\lambda))$} (diag-1-3);
+\draw[double] (diag-2-2) -- (diag-2-1);
+\draw[double] (diag-2-2) -- (diag-2-3);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+\end{proof}
+
+En particulier, une équivalence de catégories est un foncteur initial
+(cf. la proposition \ref{equivalence-categories} et les commentaires
+qui suivent sa démonstration).
+
+\subsection{Existence de limites}
+
+Il n'est évidemment pas vrai que tout foncteur $P \colon \categ{I} \to
+\categ{C}$ admette une limite : par exemple, dans toute catégorie
+n'admettant pas d'objet initial (et il est facile d'en donner : celle
+des ensembles non vides par exemple), le foncteur identité n'admet pas
+de limite.
+
+Dans la catégorie des ensembles, cependant, toutes les limites
+existent, à ceci près qu'il faut tenir compte des difficultés sur la
+taille des objets signalées plus haut en \ref{blabla-univers} :
+
+\begin{proposition2}\label{limites-ensembles}
+Soit $\Ens$ la catégorie des ensembles, et $\categ{I}$ une catégorie
+« petite » en ce sens qu'elle appartient à $\ob\Ens$ en tant
+qu'ensemble\footnote{Selon la solution adoptée pour les problèmes
+ ensemblistes, cela peut signifier que $\categ{I}$ est un ensemble
+ plutôt qu'une classe propre, ou bien que $\categ{I}$ appartient à
+ l'univers $\mathfrak{U}$ sous-entendu par $\Ens$. Concrètement, on
+ a besoin de pouvoir former $\prod_i P_i$ pour toute famille $P_i$
+ d'objets de $\Ens$ indicée par les objets ou par les flèches
+ de $\categ{I}$.}, ou même simplement équivalente à une catégorie
+« petite » : alors tout système projectif $P\colon \categ{I} \to
+\categ{Ens}$ admet une limite.
+
+Plus précisément, si $\categ{I}$ est une catégorie « petite » et
+$P\colon\categ{I} \to\Ens$ un foncteur, alors $\prlim P$ peut être
+décrit comme l'ensemble des familles $(x_i)$, indicées par les
+objets $i$ de $\categ{I}$, d'éléments de $P(i)$, « compatibles » au
+sens que si $u\colon j \to i$ est une flèche dans $\categ{I}$, alors
+$P(u)(x_j) = x_i$, muni du morphisme $s\colon \Delta_{\categ{I}}(X)
+\to P$ envoyant, pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$, la famille
+$(x_j)_{j \in \ob\categ{I}}$ sur $x_i$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{proof}
+En supposant que $\categ{I}$ est petite, soit $Q = \prod_{i \in
+ \ob\categ{I}} P(i)$ le produit des $P(i)$ pour tout objet $i$
+de $\categ{I}$, et $X$ le sous-ensemble de $Q$ formé des familles
+$(x_i) \in Q$ telles que pour toute flèche $u\colon j \to i$
+de $\categ{I}$ on ait $x_i = P(u)(x_j)$. Enfin, appelons $s(i)\colon X
+\to P(i)$ l'application envoyant $(x_i) \in X$ sur $x_i \in P(i)$. La
+définition de $X$ (comme sous-ensemble de $Q$) fait que $s$ est bien
+une transformation naturelle $\Delta(X) \to P$. Si $t \colon
+\Delta(T) \to P$ est une autre transformation naturelle, alors on peut
+définir une application $T \to Q$ par $\tau \mapsto (t(i)(\tau))_{i
+ \in \ob\categ{I}}$ pour tout $\tau \in T$ : le fait que $t$ soit
+naturelle garantit précisément que la famille $(t(i)(\tau))$ tombe en
+fait dans $X$, c'est-à-dire qu'on a défini une application $z\colon T
+\to X$, qui vérifie $t = s \circ \Delta(z)$ par construction, et qui
+était la seule à pouvoir vérifier cette relation. Ceci prouve bien
+que $X$ est la limite recherchée.
+
+Si $\categ{I}$ est seulement supposée équivalente à une petite
+catégorie $\categ{I}_0$, le
+corollaire \ref{limites-indices-foncteur-initial}
+(cf. \ref{foncteur-presque-quasi-inverse-initial} et la remarque qui
+suit) permet de conclure.
+\end{proof}
+
+L'hypothèse que $\categ{I}$ soit petite ne peut évidemment pas être
+omise dans cette proposition : si $I$ est une catégorie qui n'est pas
+petite et qui n'a pas d'autre morphismes que les identités sur les
+objets (c'est-à-dire, selon les conventions ensemblistes faites, une
+classe propre vue comme une catégorie, ou bien un ensemble
+n'appartenant pas à l'univers provisoirement choisi), alors le produit
+du système projectif défini par le foncteur constant $\categ{I} \to
+\Ens$ envoyant chaque élément sur l'ensemble à deux éléments serait en
+bijection avec l'ensemble des parties (des objets) de $\categ{I}$.
+
+\begin{proposition2}\label{limites-point-par-point}
+Soient $\categ{H}$ et $\categ{C}$ deux catégories, et $\Hom(\categ{H},
+\categ{C})$ la catégorie des foncteurs $\categ{H} \to \categ{C}$.
+Soit enfin $\categ{I}$ une catégorie d'indices et soit $P \colon
+\categ{I} \to \Hom(\categ{H}, \categ{C})$ un système projectif indicé
+par $\categ{I}$ à valeurs dans $\Hom(\categ{H}, \categ{C})$. On
+suppose que, pour tout objet $a$ de $\categ{H}$, le système projectif
+$P(a) \colon \categ{I} \to \categ{C}$ (obtenu par application
+partielle à $a$ de $P$ vu comme foncteur de deux variables $\categ{I}
+\times \categ{H} \to \categ{C}$) admet une limite $L(a)$, munie d'un
+morphisme $s(a)\colon \Delta(L(a)) \to P(a)$ (de foncteurs $\categ{I}
+\to \categ{C}$) : alors il existe une unique façon de faire de $L$ un
+foncteur $\categ{H} \to \categ{C}$ de façon que les morphismes
+$s(a)\colon \Delta(L(a)) \to P(a)$ donnés avec les limites $L(a)$
+constituent une transformation naturelle $s\colon \Delta(L) \to P$, et
+le foncteur $L$ ainsi constitué (et muni de la transformation
+naturelle $s$) est la limite du système projectif $P$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+À tout morphisme $\varphi\colon a \to b$ dans $\categ{H}$, on doit
+associer un morphisme $L(\varphi)\colon L(a) \to L(b)$ de façon à
+faire commuter le diagramme (traduisant la naturalité de $s$) :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+\Delta(L(a))&\Delta(L(b))\\P(a)&P(b)\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$s(a)$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$s(b)$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\Delta(L(\varphi))$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$P(\varphi)$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+Le morphisme diagonal de ce diagramme est déterminé comme $P(\varphi)
+\circ s(a)$, et d'après la propriété universelle de $L(b)$ comme
+limite de $P(b)$, il existe un unique morphisme, qu'on peut noter
+$L(\varphi)$, tel que $s(b) \circ \Delta(L(\varphi)) = P(\varphi)
+\circ s(a)$, c'est-à-dire que ce diagramme commute. La fonctorialité
+de $L$ est alors facile : le fait que $L(\Id_a) = \Id_{L(a)}$ pour
+tout objet $a$ de $\categ{H}$ est évident, et si $\varphi\colon a\to
+b$ et $\psi\colon b\to c$ sont deux morphismes de $\categ{H}$, on a
+$P(\psi\circ\varphi) \circ s(a) = P(\psi)\circ P(\varphi) \circ s(a)$,
+et d'après l'unicité dans la propriété universelle de $L(c)$, on en
+déduit $L(\psi\circ\varphi) = L(\psi) \circ L(\varphi)$.
+
+Montrons à présent que $L$ ainsi construit, muni du $s\colon \Delta(L)
+\to P$ qui l'accompagne, est bien la limite de $P$. Pour cela, soit
+$T \colon \categ{H} \to \categ{C}$ et $t\colon \Delta(T) \to P$ : on
+veut montrer qu'il existe un unique $z\colon L \to T$ tel que $t =
+s\circ \Delta(z)$. En particulier, on devra avoir $t(a) = s(a)\circ
+\Delta(z(a))$ pour tout objet $a$ de $\categ{H}$ : or la propriété
+universelle de $L(a)$ assure qu'il existe bien un unique $z(a)\colon
+T(a) \to L(a)$ pour laquelle cette égalité vaut. Il reste simplement
+à vérifier que ces morphismes $z(a)$ définissent bien une
+transformation naturelle $T \to L$ : si $\varphi\colon a\to b$ est un
+morphisme dans $\categ{H}$, dans le diagramme suivant
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+\Delta(T(a))&\Delta(T(b))\\\Delta(L(a))&\Delta(L(b))\\P(a)&P(b)\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\Delta(z(a))$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\Delta(z(b))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node[swap]{$s(a)$} (diag-3-1);
+\draw[->] (diag-2-2) -- node{$s(b)$} (diag-3-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\Delta(T(\varphi))$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$\Delta(L(\varphi))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-3-1) -- node{$P(\varphi)$} (diag-3-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+le carré d'en bas est commutatif par construction, le rectangle
+omettant la ligne du milieu est commutatif par naturalité de $t$, et
+comme il y a unicité dans la définition de $z$, le carré d'en haut
+commute, donc $z$ est bien naturelle.
+\end{proof}
+
+Pour paraphraser ce résultat, si $P\colon \categ{I} \times \categ{H}
+\to \categ{C}$ est un foncteur, et si $\prlim_{i \in \categ{I}}
+P(i,a)$ existe pour tout objet $a$ de $\categ{H}$, alors $\prlim_{i
+ \in \categ{I}} P(i,\tiret)$ existe et vaut $a \mapsto \prlim_{i \in
+ \categ{I}} P(i,a)$ sur les objets de $\categ{H}$. On résume souvent
+ce fait en affirmant que « les limites dans les catégories de foncteur
+ se calculent point par point » (ou « ...commutent à l'évaluation »).
+(\XXX Il n'est probablement pas vrai que la seule existence de
+$\prlim_{i \in \categ{I}} P(i,\tiret)$ suffise à entraîner celle des
+$\prlim_{i \in \categ{I}} P(i,a)$ ou quelque chose comme ça : trouver
+un contre-exemple éclairant !)
+
+\begin{proposition2}\label{limites-et-yoneda}
+Soient $\categ{I}$ et $\categ{C}$ deux catégories, la
+catégorie $\categ{I}$ étant « petite » au sens
+de \ref{limites-ensembles}, et $P\colon \categ{I} \to \categ{C}$ un
+système projectif. Alors :
+\begin{itemize}
+\item le foncteur $\yone\circ P\colon \categ{I} \to
+ \Hom(\categ{C}\op, \Ens)$ qui à un objet $i$ de $\categ{I}$ associe
+ $\Hom(\tiret, P(i))$, admet une limite $L$ dans $\Hom(\categ{C}\op,
+ \Ens)$,
+\item le foncteur $L$ est représentable si et seulement si la limite
+ de $P$ existe dans $\categ{C}$, et
+\item lorsque c'est le cas, si $X$, muni de $s\colon \Delta(X) \to P$,
+ est cette limite, alors $\yone(X) = \Hom(\tiret,X)$, muni de
+ $\yone\boxempty s \colon \Delta(\yone(X)) \to \yone\circ P$,
+ est limite de $\yone\circ P$ (dans $\Hom(\categ{C}\op, \Ens)$).
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+La première affirmation résulte de la
+proposition \ref{limites-point-par-point}, la
+proposition \ref{limites-ensembles} assurant que chacun des systèmes
+$\Hom(A, P(i))\colon \categ{I} \to \Ens$ admettent une limite $L(A)$.
+
+Montrons de même la troisième affirmation : plus exactement, si $X$
+muni de $s\colon \Delta(X) \to P$ est limite de $P$, on veut voir que
+$L = \yone(X)$ muni de $\yone\boxempty s$ est limite
+de $\yone\circ P$. Toujours
+d'après \ref{limites-point-par-point}, il suffit pour cela de montrer
+que pour tout objet $A$ de $\categ{C}$ (tantôt vu comme un objet
+de $\categ{C}\op$), l'ensemble $\yone(X)(A) = \Hom(A,X)$, muni de
+$(\yone\boxempty s)(A)$ (c'est-à-dire la transformation naturelle
+$\Delta_I(\yone(X)(A)) \to (\yone\circ P)(A)$ qui à chaque
+objet $i$ de $\categ{I}$ associe l'application $\Hom(A,X) \to
+\Hom(A,P(i))$ envoyant $z\colon A\to X$ sur $s(i)\circ z$), est limite
+de $(\yone\circ P)(A)$. D'après \ref{limites-ensembles}, ceci
+signifie que $(\yone\boxempty s)(A)$ devrait identifier l'ensemble des
+morphismes $A\to X$ avec l'ensemble des familles compatibles de
+morphismes $A \to P(i)$ ; mais de telles familles compatibles sont
+précisément la donnée d'une transformation naturelle $\Delta(A) \to
+P$, et la transformation naturelle $\Delta(A) \to P$ résultant de
+l'application de $(\yone\boxempty s)(A)$ à un $z\colon A\to X$ s'écrit
+encore comme $s\circ \Delta(z)$ : l'affirmation est donc équivalente
+au fait que $X$ muni de $s$ soit limite de $P$.
+
+Le paragraphe précédent prouve le « seulement si » de la seconde
+affirmation (puisque si $L$ est isomorphe à $\yone(X)$, comme on
+vient de voir que $\yone(X)$ est une limite, $L$ en est aussi
+une).
+
+Réciproquement, on souhaite montrer, donné un objet $X$ de $\categ{C}$
+et un morphisme $s\colon \Delta(X) \to P$, que si $L = \yone(X)$
+muni de $\yone\boxempty s$ est limite de $\yone\circ P$,
+alors $X$ muni de $s$ est limite de $P$. Mais si $t\colon \Delta(T)
+\to P$ est un autre morphisme, alors on peut appliquer la définition
+de la limite à $\yone\boxempty t \colon \Delta(\yone(T)) \to
+\yone\circ P$ : il existe un unique $\hat z\colon \yone(T)
+\to \yone(X)$ tel que $\yone\boxempty t =
+(\yone\boxempty s) \circ \Delta(z)$ ; or le lemme de Yoneda
+\ref{lemme-de-yoneda} assure que les morphismes $\hat z\colon
+\yone(T) \to \yone(X)$ s'identifient (par le
+foncteur $\yone$) aux morphismes $z\colon T \to X$, la condition
+$\yone\boxempty t = (\yone\boxempty s) \circ \Delta(\hat z)$
+devenant alors $t = s \circ \Delta(z)$ : on voit qu'il existe bien un
+unique telle $z$, et on a ainsi prouvé que $X$ muni de $s$ est limite
+de $P$.
+
+Le paragraphe précédent prouve le « si » de la seconde affirmation
+(puisque $L$ et $\yone(X)$ sont isomorphes).
+\end{proof}
+
+La proposition précédente se résume généralement par l'affirmation
+(quelque peu elliptique) : $\yone(\prlim_{i\in \categ{I}} P(i)) =
+\prlim_{i\in \categ{I}} \yone(P(i))$ --- tout en retenant que,
+d'après \ref{limites-point-par-point}, on a aussi $(\prlim_{i\in
+ \categ{I}} \yone(P(i)))(T) = \prlim_{i\in \categ{I}}
+(\yone(P(i))(T))$.
+
+L'énoncé suivant, qui explique comment les coproduits et les
+égalisateurs de deux flèches permettent de construire toutes les
+limites, est moins intéressant pour lui-même que parce qu'il illustre
+la manière dont les résultats précédents permettent de ramener des
+affirmations au cas des ensembles.
+
+\begin{proposition2}\label{limites-par-produits-et-egalisateurs}
+Soit $P\colon \categ{I} \to \categ{C}$ un système projectif. Si les
+produits indicés par l'ensemble des objets ou l'ensemble des flèches
+de $\categ{I}$ sont représentables dans $\categ{C}$, ainsi que
+l'égalisateur de deux morphismes quelconques (cf. \ref{egalisateur}),
+alors la limite de $P$ est représentable dans $\categ{C}$.
+
+Plus précisément, si l'objet $Q$ de $\categ{C}$, muni des morphismes
+$q_i\colon Q \to P(i)$ est le produit des $P(i)$ pour $i\in
+\ob\categ{I}$ et que $R$ muni des morphismes $r_{i\to j}\colon R \to
+P(i)$ est le produit des $P(i)$ pour $i\to j$ parcourant les flèches
+de $\categ{I}$, et si $f,g$ désignent les deux morphismes $Q \to R$
+uniquement définies par les conditions $r_{i\to j} \circ f = q_i$ et
+$r_{i\to j} \circ g = P(i\to j) \circ q_j$, alors l'égalisateur de
+$f,g$ est représentable dans $\categ{C}$ si et seulement si la limite
+de $P$ l'est : si $e\colon X \to Q$ est l'égalisateur de $f,g$, alors
+la donnée pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$ de la flèche $s_i = q_i
+\circ e$ constitue une transformation naturelle $s\colon \Delta(X) \to
+P$, et $X$ muni de ce $s$ est limite de $P$, et réciproquement, si un
+objet $X$ muni de $s\colon \Delta(X) \to P$ est limite de $P$, alors
+ce même $X$ muni de l'unique $e\colon X \to Q$ tel que $s_i = q_i\circ
+e$ pour tout $i$ est l'égalisateur de $f,g$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+On va montrer la seconde affirmation. Supposons dans un premier temps
+que $\categ{I}$ soit « petite ».
+
+Pour tout objet $T$ de $\categ{C}$, on a une bijection entre
+$\Hom(T,Q)$ et $\prod_{i\in\ob\categ{I}} \Hom(T,P(i))$, naturelle
+en $T$, en envoyant $t \colon T \to Q$ sur la famille $(q_i\circ
+t)_{i\in \ob\categ{I}}$, et de même entre $\Hom(T,R)$ et $\prod_{i \to
+ j} \Hom(T,P(i))$ en envoyant $t \colon T \to R$ sur $(r_{i\to j}
+\circ t)_{i \to j}$. Pour tout objet $T$ de $\categ{C}$, la limite
+$L(T)$ de $\Hom(T,P(\tiret))\colon \categ{I} \to \Ens$ (munie de $\hat
+s(T)\colon \Delta(L(T)) \to \Hom(T, P(\tiret))$) existe et peut être
+décrite d'après \ref{limites-ensembles} comme le sous-ensemble de
+$\prod_{i\in\ob\categ{I}} \Hom(T,P(i))$ formé des familles
+$(x_i)_{i\in \ob\categ{I}}$ (avec $x_i\colon T \to P(i)$) qui
+vérifient $P(i\to j) \circ x_i = x_j$ pour tout morphisme $i\to j$
+dans $\categ{I}$ (et où $\hat s(T)_i$ envoie chaque telle famille
+$(x_j)_{j \in\ob\categ{I}}$ sur $x_i$). En composant avec les
+bijections qu'on vient d'expliciter, on voit que $L(T)$ peut aussi se
+définir comme la partie de $\Hom(T,Q)$ formée des $t \colon T\to Q$
+tels que $P(i\to j) \circ q_i\circ t = q_j \circ t$ pour tout $i\to
+j$, c'est-à-dire que $r_{i\to j}\circ g \circ t = r_{i\to j} \circ f
+\circ t$ pour tous $i\to j$, ou encore simplement que $g\circ t =
+f\circ t$ : autrement dit, $L(T)$, muni de son inclusion $\hat e(T)
+\colon L(T) \to \Hom(T,Q)$ (qui vérifie $\hat s(T)_i = q_i \circ \hat
+e(T)$), est l'égalisateur de ${f\circ}, {g\circ} \colon \Hom(T,Q) \to
+\Hom(T,R)$.
+
+D'après \ref{limites-point-par-point}, il existe une unique façon de
+faire de $L$ un foncteur $\categ{C}\op \to \Ens$ de façon que $\hat e$
+soit une transformation naturelle, et alors $\hat s_i = q_i \circ \hat
+e$ en est aussi une (par rapport à la variable $T$
+dans $\categ{C}\op$, la naturalité par rapport à $i$ dans $\categ{I}$
+étant déjà connue) ; et $L$ muni de $\hat s \colon \Delta(L) \to
+\yone \circ P$ est limite de $\yone\circ P$, et $L$ muni de
+$\hat e \colon L \to \yone(Q)$ est égalisateur de
+$\yone(f),\yone(g)$. D'après \ref{limites-et-yoneda}, ce
+foncteur $L$ est représentable exactement lorsque $P$ a une limite
+dans $\categ{C}$, ou exactement lorsque $f,g$ ont un égalisateur
+dans $\categ{C}$, donc toutes ces conditions sont équivalentes ; si
+$e\colon X \to Q$ est l'égalisateur de $f,g$, alors, quitte à
+identifier $L$ à $\yone(X)$ (en composant par un isomorphisme),
+on a $\yone(e) = \hat e$, et la collection de morphismes $s_i$
+définie par $\yone(s_i) = \hat s_i$ vérifie $s_i = q_i \circ e$
+et $X$ muni de ces $s_i$ est limite de $P$ ; réciproquement, si
+$s_i\colon X \to P(i)$ témoignent du fait que $X$ est limite
+des $P(i)$, alors, quitte à identifier $L$ à $\yone(X)$, on a
+$\yone(s)_i = \hat s_i$, et le $e\colon X\to Q$ défini par
+$\yone(e) = \hat e$ vérifie $s_i = q_i \circ e$ pour tout $i$, et
+ce $e\colon X\to Q$ est l'égalisateur de $f,g$.
+
+L'hypothèse que $\categ{I}$ soit « petite » n'est pas essentielle.
+Pour le voir, et si les choix faits pour résoudre les difficultés
+ensemblistes le permettent (il suffit de trouver un univers
+suffisamment gros), on peut par exemple supposer la catégorie $\Ens$
+suffisamment grosse pour qu'elle le devienne (or la catégorie $\Ens$
+n'intervient pas dans la conclusion). On peut aussi faire comme si
+une telle catégorie suffisamment grosse existait et constater en
+déroulant la démonstration que celle-ci ne dépend pas vraiment, en
+fait, de son existence en tant qu'ensemble. Enfin, on peut examiner
+plus finement l'utilisation des propositions
+\ref{limites-ensembles} et \ref{limites-et-yoneda} dans ce qu'on vient
+de dire : puisque $\prod_{i\in\ob\categ{I}} \Hom(T,P(i))$ existe dans
+les ensembles (c'est $\Hom(T,Q)$, qui est supposé exister) et de même
+$\prod_{i \to j} \Hom(T,P(i))$, on n'a pas besoin de supposer
+$\categ{I}$ petite dans \ref{limites-ensembles} pour voir que
+$\Hom(T,P(\tiret))$ a une limite ; et la démonstration faite de la
+partie utilisée de \ref{limites-et-yoneda} (à savoir que si un
+foncteur représentable est une limite de foncteurs représentables,
+alors les objets représentés sont aussi un cône limite) n'utilise pas
+d'hypothèse de petitesse (puisque tous les foncteurs impliqués sont
+déjà représentés et que les limites d'ensembles déjà supposées
+exister).
+\end{proof}
+
+Cette démonstration, décrite ici de façon fastidieuse, peut être
+résumée en disant que « la proposition \ref{limites-ensembles} décrit
+ les limites dans les ensembles comme un égalisateur de deux flèches,
+ par conséquent ceci vaut encore d'après
+ \ref{limites-point-par-point} pour une limite de foncteurs
+ représentables, et d'après \ref{limites-et-yoneda} ceci s'applique à
+ n'importe quelle catégorie ».
+
+L'intérêt des considérations ensemblistes à la fin de la démonstration
+ci-dessus est très douteux puisque, si tant est que les limites non
+« petites » présentent une utilité, l'hypothèse d'existence du produit
+des $P(i)$ suffit généralement à imposer que $\categ{I}$ soit
+petite...
+
+\subsection{Colimites}
+
+\begin{definition2}\label{definition-systeme-inductif}
+Si $\categ{I}$ est une catégorie, un \emph{système inductif indicé
+ par $\categ{I}$} dans une catégorie $\categ{C}$ est un foncteur
+$\categ{I} \to \categ{C}$. La \emph{colimite} (ou \emph{limite
+ inductive}) d'un tel système $F \colon \categ{I} \to \categ{C}$
+n'est autre que la limite, si elle existe, du système projectif
+$F\op\colon \categ{I}\op \to \categ{C}\op$ qui s'en déduit en
+inversant le sens des flèches : elle se note $\colim F$ (ou
+$\colim_{i\in\categ{I}} F(i)$).
+\end{definition2}
+
+Autrement dit, une colimite du système inductif $F$ est la donnée d'un
+objet $X$ de $\categ{C}$ et d'une transformation naturelle $s\colon F
+\to \Delta(X)$ tels que pour tout objet $T$ de $\categ{C}$ et toute
+transformation naturelle $t\colon F \to \Delta(T)$ il existe un unique
+morphisme $z \colon X\to T$ pour lequel $t = \Delta(z) \circ s$. Les
+transformations naturelles $t\colon F \to \Delta(T)$ s'appellent
+parfois les \emph{cocônes} de \emph{(co)sommet $T$} et de
+\emph{(co)base $F$} : la colimite est donc l'objet initial dans la
+catégorie des cocônes de base $F$.
+
+Plus concrètement, un système inductif $F$ est la donnée pour chaque
+objet $i$ de $\categ{I}$ d'un objet $F(i)$ de $\categ{C}$ et pour
+chaque morphisme $i \to j$ de $\categ{I}$ d'un morphisme correspondant
+$F(i\to j)$ de $\categ{C}$ de façon compatible aux identités et à la
+composition ; la colimite d'un tel système est la donnée (« cocône »)
+d'un objet $X$ de $\categ{C}$ et pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$
+d'un morphisme $s(i)\colon F(i) \to X$, de façon à commuter aux
+morphismes $F(i\to j)$ imposés par le système, de sorte que pour
+n'importe quelle autre donnée (« cocône ») d'un objet $T$ et d'une
+collection compatible $t$ de morphismes $t(i)\colon F(i) \to T$ il
+existe un unique morphisme $z\colon X\to T$ pour lequel on ait $t(i) =
+z \circ s(i)$ pour tout $i$.
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+F(i)&&\\&X&T\\F(j)&&\\};
+\draw[->] (diag-1-1) to [out=0,in=120] node{$\scriptstyle t(i)$} (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[auto=false,above right=-.5ex]{$\scriptstyle s(i)$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-3-1) to [out=0,in=240] node[swap]{$\scriptstyle t(j)$} (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-3-1) -- node[swap,auto=false,below right=-.5ex]{$\scriptstyle s(j)$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle F(i\to j)$} (diag-3-1);
+\draw[->,dotted] (diag-2-2) -- node{$\scriptstyle z$} (diag-2-3);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+(De même que pour les systèmes projectifs, on pourrait définir les
+systèmes inductifs comme des foncteurs contravariants plutôt que
+covariants : de nouveau, quitte à remplacer la catégorie d'indices par
+son opposée, on voit que cela ne fait pas de différence.)
+
+Les résultats concernant les limites se traduisent, en passant à la
+catégorie opposée, en des résultats duaux sur les limites. Il faut
+toutefois prendre garde à quelques subtilités d'ordre mathématique ou
+simplement terminologique :
+
+\subsubsection{} La notion duale de celle de produit d'une famille
+d'objets (définie en \ref{limite-produit}) est celle de
+\emph{coproduit} d'une famille $F_i$, qui se note $\coprod_{i \in I}
+F_i$ : concrètement, le coproduit des $F_i$ est donc un objet $X$ muni
+d'un morphisme $s_i\colon F_i \to X$ pour chaque $i$ et tel que pour
+toute autre donnée d'un objet $T$ et d'un morphisme $t_i \colon F_i
+\to T$ pour chaque $i$ il existe un unique morphisme $z\colon X \to T$
+vérifiant $t_i = z \circ s_i$ pour chaque $i$. On peut aussi définit
+la notion duale de celle de produit
+fibré (\ref{limite-produit-fibre}), qui est celle de \emph{somme
+ amalgamée} (ou \emph{coproduit amalgamé}), notée $F_1 \amalg_G F_2$
+pour le cas de deux morphismes $G \to F_1$ et $G \to F_2$.
+
+La notion duale de la notion d'égalisateur (\ref{egalisateur}) est
+celle de coégalisateur : le coégalisateur d'une famille de morphismes
+$f_i\colon F_{\astrosun} \to F_{\leftmoon}$ est un morphisme
+$s_{\leftmoon}\colon F_{\leftmoon} \to X$ (ou l'objet $X$ muni de ce
+morphisme) tel que tous les $s_{\leftmoon}\circ f_i$ soient égaux et
+que pour toute donnée d'un autre morphisme $t_{\leftmoon}\colon
+F_{\leftmoon} \to T$ tel que tous les $t_{\leftmoon}\circ f_i$ soient
+égaux il existe un unique $z\colon X \to T$ vérifiant $t_{\leftmoon} =
+z \circ s_{\leftmoon}$.
+
+\subsubsection{} Lorsque $I$ est un ensemble (pré)ordonné, on définit
+la notion de système inductif indicé par $I$ comme indicé par la
+catégorie $\categ{I}$ dont les objets sont les éléments de $I$ et où
+on convient qu'il y a une seule flèche $i \to j$ lorsque $i \leq j$ :
+il s'agit ici de la même convention que faite
+en \ref{exemple-categorie-ensemble-preordonne}, qui est l'opposée de
+celle faite en \ref{limite-indices-ensemble-preordonne} pour les
+limites projectives. La raison de ce choix, qui permet de le retenir,
+est qu'on souhaite obtenir des limites et colimites intéressantes
+indicées par l'ensemble $\NN$ des entiers naturels, muni de son ordre
+usuel (il s'agit donc que la catégorie par laquelle on indice ces
+limites et colimites --- puisqu'on a choisi de parler de limites et
+colimites pour des foncteurs covariants --- n'ait pas d'objet initial
+dans le cas des limites, et n'ait pas d'objet terminal dans le cas des
+colimites ; ainsi, on doit inverser l'ordre dans un cas par rapport à
+l'autre) ; dans tous les cas, on tâchera de rappeler la convention
+utilisée pour éviter toute confusion.
+
+\subsubsection{} La notion duale de celle de foncteur initial (donnée
+en \ref{definition-foncteur-initial}) est celle, sans doute plus
+utilisée, de foncteur \emph{final}. Autrement dit, un foncteur
+$V\colon \categ{I}' \to \categ{I}$ est dit final lorsque, pour chaque
+$i \in \ob\categ{I}$, la catégorie $i\uparrow\categ{I}\downarrow V$
+est non vide et (faiblement) connexe
+(cf. \ref{definition-categorie-connexe}). Autrement dit, cela
+signifie que pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$ : (a) il existe un
+objet $i'$ de $\categ{I}'$ et un morphisme $i \to V(i')$
+(dans $\categ{I}$), et (b) pour deux telles données $i \to V(i')$ et
+$i \to V(i'')$, il est possible de les compléter par une succession de
+flèches $V(i') \rightarrow \leftarrow V(i'')$ au-dessous de l'identité
+sur $i$. L'énoncé dual de \ref{limites-indices-foncteur-initial}
+affirme alors essentiellement que si $V$ est un foncteur final, un
+système projectif $F$ possède une limite inductive si et seulement si
+$F \circ V$ en possède une, auquel cas ces limites sont isomorphes.
+
+\subsubsection{} Les colimites « petites » dans la catégorie des
+ensembles existent au même titre que les limites
+(proposition \ref{limites-ensembles}), et elles admettent une
+description comme le quotient de la réunion disjointe des ensembles
+$F(i)$ par la relation d'équivalence engendrée par tous les couples
+$(x, F(i \to j)(x))$ (où $i \to j$ est un morphisme de $\categ{I}$ et
+$x$ un élément de l'ensemble $F(i)$). On peut déduire cette
+description du dual de la
+proposition \ref{limites-par-produits-et-egalisateurs} et d'une
+description des coproduits dans la catégorie des ensembles (qui sont
+les sommes disjointes) ainsi que des coégalisateurs (le coégalisateur
+d'une famille d'applications $f_i\colon F_{\astrosun} \to
+F_{\leftmoon}$ entre ensembles est le quotient de $F_{\leftmoon}$ par
+la relation d'équivalence engendrée par tous les couples $(f_i(x),
+f_j(x))$).
+
+Néanmoins, cette description, et de façon générale les colimites
+d'ensembles, ne possède que beaucoup moins d'intérêt que la
+description duale des limites. La raison en est que si les limites
+dans les ensembles permettent de décrire les limites dans n'importe
+quelle catégorie par le moyen des propositions
+\ref{limites-point-par-point} et \ref{limites-et-yoneda}, il n'en va
+pas de même des colimites : s'il est vrai que le résultat dual de
+\ref{limites-point-par-point} permet essentiellement d'identifier
+$(\colim_{i\in \categ{I}} \yone(F(i)))(T)$ avec $\colim_{i\in
+ \categ{I}} (\yone(F(i))(T))$ si $F\colon \categ{I} \to \categ{C}$
+est un système inductif (et plus généralement pour $F\colon \categ{I}
+\times \categ{H} \to \categ{C}$, d'identifier $\colim_{i\in \categ{I}}
+F(i,\tiret)$ avec $a \mapsto \colim_{i\in \categ{I}} F(i,a)$ si le
+second existe), en revanche il n'est généralement pas vrai que
+$\colim_{i\in \categ{I}} \yone(F(i))$ coïncide avec
+$\yone(\colim_{i\in \categ{I}} F(i))$, même lorsque les deux ont un
+sens. Même dans le cas très simple du coproduit $F_1 \amalg F_2$
+(c'est-à-dire, de la réunion disjointe) de deux ensembles $F_1$ et
+$F_2$ (qu'on pourra imaginer réduits à un singleton), l'ensemble
+$\Hom(T,F_1\amalg F_2)$ des applications de $T$ vers $F_1 \amalg F_2$
+n'est pas (pour tout ensemble $T$) la réunion disjointe des ensembles
+$\Hom(T,F_1)$ et $\Hom(T,F_2)$. En revanche, il est vrai (par la
+définition même du coproduit) que $\Hom(F_1\amalg F_2, T)$ peut être
+(naturellement en $T$) identifié avec le produit de $\Hom(F_1,T)$ et
+$\Hom(F_2,T)$, c'est-à-dire que $\yoneDA(F_1\amalg F_2) =
+\Hom(F_1\amalg F_2,\tiret)$ est produit de $\yoneDA(F_1) =
+\Hom(F_1,\tiret)$ et de $\yoneDA(F_2) = \Hom(F_2,\tiret)$. Plus
+généralement l'utilisation du lemme de Yoneda permet de décrire les
+colimites dans une catégorie quelconque au moyen des \emph{limites}
+dans la catégorie des ensembles (puisque les colimites sont des
+limites dans la catégorie opposée et que la
+proposition \ref{limites-et-yoneda} décrit les limites de n'importe
+quelle catégorie au moyen des limites dans les ensembles) : le
+résultat suivant est dual de \ref{limites-et-yoneda} :
+
+\begin{proposition2}\label{colimites-et-yoneda}
+Soient $\categ{I}$ et $\categ{C}$ deux catégories, la
+catégorie $\categ{I}$ étant « petite » au sens
+de \ref{limites-ensembles}, et $F\colon \categ{I} \to \categ{C}$ un
+système inductif. Alors :
+\begin{itemize}
+\item le foncteur $\yoneDA\circ F\op\colon \categ{I}\op \to
+ \Hom(\categ{C}, \Ens)$ qui à un objet $i$ de $\categ{I}$ associe
+ $\Hom(F(i), \tiret)$, admet une limite $L$ dans $\Hom(\categ{C},
+ \Ens)$,
+\item le foncteur $L$ est représentable si et seulement si la colimite
+ de $F$ existe dans $\categ{C}$, et
+\item lorsque c'est le cas, si $X$, muni de $s\colon F \to
+ \Delta_{\categ{I}}(X)$, est cette colimite, alors $\yoneDA(X) =
+ \Hom(X,\tiret)$, muni de $\yoneDA\boxempty s \colon
+ \Delta_{\categ{I}\op}(\yoneDA(X)) \to \yoneDA\circ F\op$, est limite
+ de $\yoneDA\circ F\op$ (dans $\Hom(\categ{C}, \Ens)$).
+\end{itemize}
+\end{proposition2}
+
+\subsection{Colimites filtrantes}
+
+\begin{definition2}\label{definition-categorie-filtrante}
+Une catégorie $\categ{I}$ est dite \emph{filtrante} lorsqu'elle
+vérifie les trois conditions suivantes :
+\begin{itemize}
+\item $\categ{I}$ est non vide,
+\item pour tous objets $i,j$ de $\categ{I}$, il existe un objet $k$ et
+ des morphismes $i\to k$ et $j\to k$,
+\item pour tous morphismes $u,v\colon i \to j$ de $\categ{I}$ ayant
+ même source et même but, il existe un morphisme $w\colon j\to k$
+ de $\categ{I}$ tel que $w\circ u = w\circ v$.
+\end{itemize}
+\end{definition2}
+
+\begin{proposition2}
+Une catégorie $\categ{I}$ est filtrante si et seulement si tout
+système inductif $F\colon \categ{D} \to \categ{I}$ fini (c'est-à-dire,
+indicé par une catégorie $\categ{D}$ finie) est la base d'un cocône $F
+\to \Delta(k)$ (cf. les remarques suivant la
+définition \ref{definition-systeme-inductif}).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Les conditions trois de la
+définition \ref{definition-categorie-filtrante} traduisent précisément
+le fait que tout système inductif $F\colon \categ{D} \to \categ{I}$
+soit la base d'un cocône lorsque $\categ{D}$ vaut respectivement l'une
+des catégories : $\varnothing$, $\categ{2}$ et $\vec{\categ{2}}$. Il
+est donc clair que si tout système inductif fini à valeurs
+dans $\categ{I}$ est la base d'un cocône, alors $\categ{I}$ est
+filtrante.
+
+Réciproquement, supposons $\categ{I}$ filtrante, et soit $F\colon
+\categ{D} \to \categ{I}$ un système inductif fini. Si $\ob\categ{D} =
+\{d_1,\ldots,d_m\}$ alors en appliquant plusieurs fois la seconde
+condition de \ref{definition-categorie-filtrante} (ou bien la première
+si $m=0$), on voit qu'il existe un objet $k_0$ de $\categ{I}$ et des
+morphismes $u_{0,i}\colon F(d_i) \to k_0$ (auxquels on ne demande
+aucune relation de compatibilité particulière sinon qu'ils aient la
+même cible $k_0$). Supposons maintenant que
+$\delta_1,\ldots,\delta_n$ soient les morphismes de $\categ{D}$ : on
+construit par récurrence des objets $k_1,\ldots,k_r$ de $\categ{I}$,
+chacun muni de morphismes $u_{j,i}\colon F(d_i) \to k_i$ vérifiant
+$u_{j',i'} \circ F(\delta_{j}) = u_{j',i}$, pour tous $j'\geq j$, si
+$\delta_j \colon d_i \to d_{i'}$. Si $k_{j-1}$ et les $u_{j-1,i}$
+sont déjà construits, alors en appliquant la troisième condition
+de \ref{definition-categorie-filtrante} aux morphismes
+$u_{j-1,i}\colon F(d_i) \to k_{j-1}$ et $u_{j-1,i'}\circ
+F(\delta_j)\colon F(d_i) \to k_{j-1}$ où $\delta_j\colon d_i \to
+d_{i'}$, on obtient un morphisme $w\colon k_{j-1} \to k_j$ tel que si
+on pose $u_{j,i} = w\circ u_{j-1,i}$ alors on a $u_{j,i'} \circ
+F(\delta_j) = u_{j,i}$, et en fait $u_{j',i'} \circ F(\delta_j) =
+u_{j',i}$ pour tous $j'\geq j$. Les $u_{r,i}\colon F(d_i) \to k_r$
+constituent bien un cocône comme recherché.
+\end{proof}
+
+
+
+\section{Foncteurs adjoints}
+
+\subsection{Définition, unité et coünité}
+
+\begin{definition2}\label{definition-foncteurs-adjoints}
+Soient $\categ{C}$ et $\categ{D}$ deux catégories. Une
+\emph{adjonction de foncteur} entre $\categ{C}$ et $\categ{D}$ est la
+donnée d'un foncteur $F\colon \categ{D}\to\categ{C}$ (appelé membre
+gauche de l'adjonction, ou \emph{adjoint à gauche} de $G$), d'un
+foncteur $G\colon \categ{C}\to\categ{D}$ (appelé membre droit de
+l'adjonction, ou \emph{adjoint à droite} de $F$) et d'un isomorphisme
+naturel (l'adjonction proprement dite) $\theta\colon
+\Hom_{\categ{C}}(F \tiret, \tiret) \buildrel\sim\over\to
+\Hom_{\categ{D}}(\tiret, G\tiret)$ entre les foncteurs
+(contravariants en $X$ et covariants en $Y$, et à valeurs dans $\Ens$)
+$(X,Y) \mapsto \Hom_{\categ{C}}(F(X), Y)$ et $(X,Y) \mapsto
+\Hom_{\categ{D}}(X, G(Y))$.
+
+On note $F\dashv G$ et on dit que $F$ et $G$ sont des foncteurs
+adjoints (respectivement à gauche et à droite) l'un de l'autre : pour
+spécifier la transformation naturelle $\theta$ on peut noter $F
+\buildrel\theta\over\dashv G$ ou $\theta\colon F\dashv G$.
+\end{definition2}
+
+Le corollaire \ref{yoneda-corollaire-isomorphismes} justifie qu'on
+parle parfois de \emph{l}'adjoint --- à gauche ou à droite --- d'un
+foncteur : par exemple, si $F$ et $F'$ sont deux adjoints à gauche
+d'un même foncteur $G$, alors $\Hom(F\tiret,\tiret)$ et
+$\Hom(F'\tiret,\tiret)$ sont isomorphes (tous deux étant isomorphes à
+$\Hom(\tiret,G\tiret)$), par conséquent $F$ et $F'$ eux-mêmes le sont
+en vertu du corollaire cité.
+
+L'exemple d'adjonction suivant est archétypique et illustre le slogan
+« l'adjoint à gauche d'un foncteur d'oubli est un foncteur ``objet
+ libre'' » :
+
+\begin{exemple2}\label{exemple-adjonction-groupe-abelien-libre}
+Soit $\ZZ\traitdunion\categ{Mod}$ la catégorie des groupes abéliens et
+$\Ens$ la catégorie des ensembles. Soit $G\colon
+\ZZ\traitdunion\categ{Mod} \to \Ens$ le foncteur d'oubli (qui envoie
+un groupe abélien sur son ensemble sous-jacent et un morphisme de
+groupes abéliens sur l'application d'ensembles sous-jacente), et soit
+$F\colon \Ens \to \ZZ\traitdunion\categ{Mod}$ le foncteur qui à un
+ensemble $X$ associe le groupe abélien $\ZZ^{(X)}$ (groupe abélien
+libre sur $X$) des applications $X \to \ZZ$ à support fini
+(c'est-à-dire, nulles sauf sur un nombre fini d'éléments de $X$) et à
+une application ensembliste $h\colon X' \to X$ associe le morphisme
+$F(h)\colon \ZZ^{(X')} \to \ZZ^{(X)}$ envoyant $\alpha\colon X'\to\ZZ$
+à support fini sur $x \mapsto \sum_{x'\buildrel h\over\mapsto x}
+\alpha(x')$ (la somme étant prise sur l'ensemble des $x' \in X'$ tels
+que $h(x')=x$). Soit enfin, si $X$ est un ensemble et $Y$ un groupe
+abélien, $\theta(X,Y) \colon
+\Hom_{\ZZ\traitdunion\categ{Mod}}(\ZZ^{(X)}, Y) \to \Hom_{\Ens}(X, Y)$
+l'application ensembliste qui à une application un morphisme $u\colon
+\ZZ^{(X)}\to Y$ de groupes abéliens associe l'application $x\mapsto
+u(\delta_x)$ où $\delta_x \colon X \to \ZZ$ vaut $1$ en $x$ et $0$
+ailleurs. L'application $\theta(X,Y)$ est bijective, c'est-à-dire que
+la donnée d'un morphisme $u\colon \ZZ^{(X)}\to Y$ est déterminée
+uniquement par sa valeur sur les $\delta_x$, valeurs qui peuvent être
+arbitraires (ou, si $v\colon X\to G(Y)$ est une application ensembliste
+quelconque, on peut construire un morphisme $u\colon \ZZ^{(X)} \to Y$
+de groupes abéliens par $u(\alpha) = \sum_{x\in X} \alpha(x) \, v(x)$,
+qui vérifie $u(\delta_x) = v(x)$, et qui est le seul possible). La
+naturalité de $\theta$ par rapport à la variable $Y$ est évidente ;
+par rapport à la variable $X$ elle découle de ce que si $h\colon X'\to
+X$ est une application ensembliste, alors $F(h)(\delta_x) =
+\delta_{h(x)}$. On peut donc dire que le foncteur « groupe abélien
+ libre » $F$ est adjoint à gauche du foncteur d'oubli $G$.
+\end{exemple2}
+
+\begin{definition2}\label{definition-unite-adjonction}
+Avec les notations de la
+définition \ref{definition-foncteurs-adjoints}, la transformation
+naturelle $\eta\colon \Id_{\categ{D}} \to G\circ F$ définie par les
+morphismes $\eta(X) = \theta(X,F(X))(\Id_{F(X)}) \colon X \to
+G(F(X))$, s'appelle l'\emph{unité} de l'adjonction $\theta\colon F
+\dashv G$. La transformation naturelle $\varepsilon\colon F\circ G
+\to \Id_{\categ{C}}$ définie par $\varepsilon(Y) = \theta(G(Y),Y)^{-1}
+(\Id_{G(Y)}) \colon F(G(Y)) \to Y$ s'appelle \emph{coünité} de
+l'adjonction.
+\end{definition2}
+
+Pour se convaincre que $\eta$ défini comme ci-dessus est effectivement
+une transformation naturelle, on vérifie que le diagramme requis
+(cf. \ref{definition-transformation-naturelle}) est commutatif si
+$z\colon X \to X'$ :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+X&X'\\G(F(X))&G(F(X'))\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle \eta(X) = \theta(X,F(X))(\Id_{F(X)})$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\scriptstyle \eta(X') = \theta(X',F(X'))(\Id_{F(X')})$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\scriptstyle z$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$\scriptstyle G(F(z))$} (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+or ceci vient de la commutativité du diagramme suivant (qui traduit
+une partie de la naturalité de $\theta$) :
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto,
+ elem/.style={rectangle,draw=black!50,text height=1.5ex,text depth=.5ex},
+ isin/.style={pos=0.5,auto=false,sloped,allow upside down}]
+ % Le "allow upside down" est essentiel pour ne pas que les signes ∈ se
+ % retrouvent dans le mauvais sens !
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+\Hom(F(X),F(X))&\Hom(F(X),F(X'))&\Hom(F(X'),F(X'))\\
+\Hom(X,G(F(X)))&\Hom(X,G(F(X')))&\Hom(X',G(F(X')))\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle \theta(X,F(X))$} (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\scriptstyle \theta(X,F(X'))$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node{$\scriptstyle \theta(X',F(X''))$} (diag-2-3);
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\scriptstyle F(z)\circ\tiret$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-1-3) -- node[swap]{$\scriptstyle \tiret\circ F(z)$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$\scriptstyle G(F(z))\circ\tiret$} (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-2-3) -- node[swap]{$\scriptstyle \tiret\circ z$} (diag-2-2);
+\node[elem](elem-1-1) at ($ (diag-1-1)+(2em,4ex) $) {$\scriptstyle\Id_{F(X)}$};
+\node[elem](elem-1-2) at ($ (diag-1-2)+(0,4ex) $) {$\scriptstyle F(z)$};
+\node[elem](elem-1-3) at ($ (diag-1-3)+(-2em,4ex) $) {$\scriptstyle\Id_{F(X')}$};
+\draw[draw=none] (elem-1-1) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-1-1);
+\draw[draw=none] (elem-1-2) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-1-2);
+\draw[draw=none] (elem-1-3) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-1-3);
+\node[elem](elem-2-1) at ($ (diag-2-1)+(2em,-4ex) $) {$\scriptstyle\eta(X)$};
+\node[elem](elem-2-2) at ($ (diag-2-2)+(0,-4ex) $) {$\scriptstyle G(F(z))\circ \eta(X) = \eta(X') \circ z$};
+\node[elem](elem-2-3) at ($ (diag-2-3)+(-2em,-4ex) $) {$\scriptstyle\eta(X')$};
+\draw[draw=none] (elem-2-1) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-2-1);
+\draw[draw=none] (elem-2-2) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-2-2);
+\draw[draw=none] (elem-2-3) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-2-3);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+La naturalité de $\varepsilon$ se démontre de façon analogue.
+
+\begin{proposition2}\label{propriete-universelle-unite-adjonction}
+Avec les notations des définitions
+\ref{definition-foncteurs-adjoints} et \ref{definition-unite-adjonction},
+pour chaque objet $X$ de $\categ{D}$, le morphisme $\eta(X)$ possède
+la propriété universelle suivante : pour tout morphisme $v\colon X \to
+G(Y)$ (avec $Y$ un objet de $\categ{C}$), il existe un \emph{unique}
+morphisme $u \colon F(X) \to Y$ tel que $v = G(u) \circ \eta(X)$. Ce
+$u$ est donné explicitement par $u = \theta(X,Y)^{-1}(v)$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour tout morphisme $u \colon F(X) \to Y$, la relation de naturalité
+de $\theta$ par rapport à la seconde variable, soit $\theta(X,Y)
+(u\circ \tiret) = G(u) \circ \theta(X,F(X))(\tiret)$, donne en
+particulier $\theta(X,Y)(u) = G(u) \circ \eta(X)$. Autrement dit,
+$\theta(X,Y)(u) = v$ équivaut à $v = G(u) \circ \eta(X)$, ce qui
+prouve l'énoncé souhaité.
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-naturalite-adjonction-partielle}
+Soient $F\colon\categ{D}\to\categ{C}$ et
+$G\colon\categ{C}\to\categ{D}$ deux foncteurs, et $\eta\colon
+\Id_{\categ{D}} \to G\circ F$ une transformation naturelle. Si pour
+tous objets $X,Y$ de $\categ{D},\categ{C}$ respectivement, et tout
+morphisme $u\colon F(X)\to Y$, on pose $\theta(X,Y)(u) = G(u) \circ
+\eta(X)$, alors $\theta$ constitue une transformation naturelle (dans
+les deux variables $X$ et $Y$) entre les foncteurs $(X,Y) \mapsto
+\Hom_{\categ{C}}(F(X), Y)$ et $(X,Y) \mapsto \Hom_{\categ{D}}(X,
+G(Y))$ (vus comme des foncteurs $\categ{D} \times \categ{C}\op \to
+\Ens$).
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Le fait que $\theta$ soit naturel en sa seconde variable $Y$ est clair
+puisque $G$ est un foncteur (si $z\colon Y\to Y'$ alors $G(z\circ u)
+\circ \eta(X) = G(z) \circ G(u) \circ \eta(X)$). Pour montrer la
+naturalité en la première variable, il s'agit de voir que si $z \colon
+X' \to X$ est un morphisme, alors $G(u\circ F(z)) \circ \eta(X') =
+G(u) \circ \eta(X) \circ z$ : or on a $G(F(z))\circ \eta(X') = \eta(X)
+\circ z$ d'après la naturalité de $\eta$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{adjonction-determinee-par-unite}
+Les foncteurs $F\colon\categ{D}\to\categ{C}$ et
+$G\colon\categ{C}\to\categ{D}$ étant fixés, la donnée d'une adjonction
+$\theta\colon F\dashv G$ équivaut à celle de son unité $\eta\colon
+\Id_{\categ{D}} \to G\circ F$. Et pour qu'un foncteur $F \colon
+\categ{D}\to\categ{C}$ soit adjoint à gauche d'un foncteur $G \colon
+\categ{C}\to\categ{D}$, il faut et il suffit qu'il existe une
+transformation naturelle $\eta\colon \Id_{\categ{D}} \to G\circ F$
+(l'unité de l'adjonction)
+telle que pour chaque objet $X$ de $\categ{C}$, le morphisme $\eta(X)$
+possède la propriété universelle exprimée dans la
+proposition \ref{propriete-universelle-unite-adjonction} (l'adjonction
+elle-même étant donnée par la formule du
+lemme \ref{lemme-naturalite-adjonction-partielle}).
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Le fait que $\theta$ détermine $\eta$ résulte de sa définition
+($\eta(X) = \theta(X,F(X))(\Id_{F(X)})$ pour tout objet
+$X$ de $\categ{D}$). Le fait que $\eta$ détermine $\theta$ résulte de
+ce que, d'après \ref{propriete-universelle-unite-adjonction} (ou
+cf. également sa démonstration), on a $\theta(X,Y)(u) = G(u) \circ
+\eta(X)$ (pour tous objets $X,Y$ de $\categ{D},\categ{C}$
+respectivement, et tout morphisme $u\colon F(X)\to Y$).
+
+Supposons maintenant donnés deux foncteurs $F \colon
+\categ{D}\to\categ{C}$ et $G \colon \categ{C}\to\categ{D}$, et une
+transformation naturelle $\eta\colon \Id_{\categ{D}} \to G\circ F$
+vérifiant la propriété
+universelle \ref{propriete-universelle-unite-adjonction}. Pour tous
+objets $X,Y$ de $\categ{D},\categ{C}$ respectivement, et tout
+morphisme $u\colon F(X)\to Y$, on pose $\theta(X,Y)(u) = G(u) \circ
+\eta(X)$ : il s'agit de montrer que ceci définit bien un isomorphisme
+naturel $\theta\colon \Hom_{\categ{C}}(F \tiret, \tiret)
+\buildrel\sim\over\to \Hom_{\categ{D}}(\tiret, G\tiret)$. Le fait que
+$\theta(X,Y)$ soit (pour $X,Y$ fixés) une bijection entre
+$\Hom_{\categ{C}}(F(X), Y)$ et $\Hom_{\categ{D}}(X, G(Y))$ est
+précisément la propriété universelle qui a été supposée de $\eta$. Et
+le fait que $\theta$ soit une transformation naturelle est justement
+le contenu du lemme \ref{lemme-naturalite-adjonction-partielle}.
+\end{proof}
+
+Les propositions
+\ref{propriete-universelle-unite-adjonction} et \ref{adjonction-determinee-par-unite},
+portant sur l'unité $\eta$ d'une adjonction, ont évidemment des
+analogues portant sur la coünité. Plus précisément, la donnée d'une
+adjonction $\theta\colon F\dashv G$ équivaut à la donnée d'une
+transformation naturelle $\varepsilon \colon F\circ G \to
+\Id_{\categ{C}}$ vérifiant la propriété universelle suivante : pour
+tout morphisme $u\colon F(X) \to Y$ (avec $X$ un objet
+de $\categ{D}$), il existe un \emph{unique} morphisme $v \colon X \to
+G(Y)$ tel que $u = \varepsilon(Y) \circ F(v)$.
+
+\begin{exemple2}
+Dans l'exemple
+d'adjonction \ref{exemple-adjonction-groupe-abelien-libre} donné plus
+haut, l'unité $\eta$ est la donnée, pour chaque ensemble $X$, de
+l'application ensembliste $\eta_X\colon x \mapsto \delta_x$ de $X$
+vers l'ensemble sous-jacent $G(F(X))$ au groupe abélien libre $F(X) =
+\ZZ^{(X)}$ de base $X$, qui à chaque élément $x \in X$ associe
+l'élément de base $\delta_x$ correspondant de $\ZZ^{(X)}$. La
+propriété universelle \ref{propriete-universelle-unite-adjonction}
+affirme alors que toute application ensembliste $v \colon X \to G(Y)$
+(où $G(Y)$ est l'ensemble sous-jacent à un groupe abélien $Y$) se
+factorise de façon unique comme $G(u) \circ \eta_X$. Il s'agit de la
+propriété universelle du groupe abélien libre.
+
+Dans ce même exemple, la coünité $\varepsilon$ est la donnée, pour
+chaque groupe abélien $Y$, du morphisme $\varepsilon_Y \colon F(G(Y))
+\to Y$ de groupes abéliens envoyant une somme formelle $\alpha =
+\sum_{y\in Y} \alpha(y)\,\delta_y$ d'éléments de $Y$ sur la somme
+$\sum_{y\in Y} \alpha(y)\,y$ dans $Y$.
+\end{exemple2}
+
+\begin{proposition2}\label{identites-triangulaires-adjonction}
+Étant donnée une adjonction $F\dashv G$ entre foncteurs
+$F\colon\categ{D}\to\categ{C}$ et $G\colon\categ{C}\to\categ{D}$,
+l'unité $\eta\colon \Id_{\categ{D}} \to G\boxempty F$ et la coünité
+$\varepsilon \colon F\boxempty G \to \Id_{\categ{C}}$ (où on a noté
+par $\boxempty$ la composition des foncteurs) sont reliées par
+$(G\boxempty\varepsilon) \circ (\eta\boxempty G) = \Id_G$
+(c'est-à-dire, pour tout objet $Y$ de $\categ{C}$, que
+$G(\varepsilon(Y)) \circ \eta(G(Y)) = \Id_{G(Y)}$) ; sous l'hypothèse
+que $\eta$ est bien l'unité d'une adjonction $F\dashv G$, cette
+égalité caractérise la coünité $\varepsilon$ (\XXX --- mais
+caractérise-t-elle l'unité si on sait que $\varepsilon$ est la coünité
+d'une adjonction ?). On a aussi $(\varepsilon\boxempty F) \circ
+(F\boxempty\eta) = \Id_F$, et sous l'hypothèse que $\varepsilon$ est
+la coünité d'une adjonction, cette égalité caractérise l'unité.
+
+Enfin, étant donnés deux foncteurs $F\colon\categ{D}\to\categ{C}$ et
+$G\colon\categ{C}\to\categ{D}$ (dont on ne suppose pas \emph{a priori}
+qu'ils sont adjoints), les identités $(G\boxempty\varepsilon) \circ
+(\eta\boxempty G) = \Id_G$ et $(\varepsilon\boxempty F) \circ
+(F\boxempty\eta) = \Id_F$ conjointement garantissent de deux
+transformations naturelles $\eta\colon \Id_{\categ{D}} \to G\boxempty
+F$ et $\varepsilon \colon F\boxempty G \to \Id_{\categ{C}}$ qu'elles
+forment l'unité et la coünité d'une adjonction $F \dashv G$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Pour montrer la première affirmation, il suffit d'appliquer la
+proposition \ref{propriete-universelle-unite-adjonction} avec $v =
+\Id_{G(Y)}$ : on voit alors que $u = \theta(G(Y),Y)^{-1}(\Id_{G(Y)}) =
+\varepsilon(Y)$ vérifie $G(\varepsilon(Y)) \circ \eta(G(Y)) =
+\Id_{G(Y)}$. Comme la proposition citée garantit l'unicité de $u$
+sous ces conditions, l'identité $(\varepsilon\boxempty F) \circ
+(F\boxempty\eta) = \Id_F$ caractérise bien $\varepsilon$. Le cas de
+l'identité $(\varepsilon\boxempty F) \circ (F\boxempty\eta) = \Id_F$
+est dual.
+
+Supposons maintenant que deux transformations naturelles $\eta\colon
+\Id_{\categ{D}} \to G\boxempty F$ et $\varepsilon \colon F\boxempty G
+\to \Id_{\categ{C}}$ vérifient $(G\boxempty\varepsilon) \circ
+(\eta\boxempty G) = \Id_G$ et $(\varepsilon\boxempty F) \circ
+(F\boxempty\eta) = \Id_F$. Pour tous objets $X,Y$ de
+$\categ{D},\categ{C}$ respectivement, on pose $\theta(X,Y)(u) = G(u)
+\circ \eta(X)$ pour tout morphisme $u\colon F(X)\to Y$, et
+$\theta^\$(X,Y)(v) = \varepsilon(Y) \circ F(v)$ : alors le
+lemme \ref{lemme-naturalite-adjonction-partielle} assure que $\theta$
+est une transformation naturelle $\Hom_{\categ{C}}(F(\tiret), \tiret)
+\to \Hom_{\categ{D}}(\tiret, G(\tiret))$, et dualement $\theta^\$$ en
+est une $\Hom_{\categ{D}}(\tiret, G(\tiret)) \to
+\Hom_{\categ{C}}(F(\tiret), \tiret)$. Si $u \colon F(X) \to Y$, alors
+on a $(\theta^\$(X,Y) \circ \theta(X,Y))(u) = \varepsilon(Y) \circ
+F(G(u)) \circ F(\eta(X))$ et par la naturalité de $\varepsilon$ ceci
+vaut encore $u \circ \varepsilon_{F(X)} \circ F(\eta(X))$, ce qui par
+hypothèse égale $u$ : on a donc prouvé $\theta^\$ \circ \theta =
+\Id_{\Hom_{\categ{C}}(F(\tiret), \tiret)}$, et dualement $\theta \circ
+\theta^\$ = \Id_{\Hom_{\categ{D}}(\tiret, G(\tiret))}$. Ainsi,
+$\theta$ et $\theta^\$$ sont bien des isomorphismes naturels
+réciproques, et $\theta$ définit bien une adjonction (dont
+$\eta$ et $\varepsilon$ sont respectivement l'unité et la coünité).
+\end{proof}
+
+En particulier, on voit que si une adjonction $F \dashv G$ possède la
+propriété que sa coünité (disons) $\varepsilon$ soit un isomorphisme
+naturel, alors on peut dire de son unité $\eta$ que $\eta\boxempty G$
+et $F\boxempty\eta$ sont des isomorphismes (réciproques de
+$G\boxempty\varepsilon$ et $\varepsilon\boxempty F$ respectivement).
+
+Il se peut très bien que la coünité ou l'unité d'une adjonction soit
+un isomorphisme sans que l'autre le soit : par exemple, si $G$ est le
+foncteur (pleinement fidèle) d'inclusion de la catégorie des groupes
+dans la catégorie des groupes abéliens, alors $G$ admet pour adjoint à
+gauche le foncteur $F$ qui envoie un groupe $\Gamma$ sur son
+abélianisé $\Gamma/\Gamma'$ (c'est-à-dire le quotient de $\Gamma$ par
+le sous-groupe distingué $\Gamma'$ engendré par les commutateurs
+$xyx^{-1}y^{-1}$) avec pour unité le morphisme $\eta(\Gamma)$
+surjection canonique de $\Gamma$ sur $\Gamma/\Gamma'$, la coünité
+$\varepsilon$ étant alors l'isomorphisme $\Gamma/\Gamma'
+\buildrel\sim\over\to \Gamma$ si $\Gamma$ est un groupe abélien, alors
+que l'unité $\eta$ n'est un isomorphisme que sur les groupes abéliens.
+
+En revanche, si $\eta$ \emph{et} $\varepsilon$ sont des isomorphismes,
+on a affaire à des foncteurs quasi-inverses
+(cf. \ref{equivalence-categories} et la remarque qui suit), et on
+obtient une seconde adjonction de sens réciproque à partir de la
+première :
+\begin{proposition2}\label{adjonction-inversible-est-equivalence}
+Soit $\theta\colon F \dashv G$ une adjonction de foncteurs (avec $F
+\colon \categ{D}\to\categ{C}$ et $G \colon \categ{C}\to\categ{D}$)
+dont l'unité $\eta \colon \Id_{\categ{D}} \to G\circ F$ et la coünité
+$\varepsilon\colon F\circ G \to \Id_{\categ{C}}$ sont toutes deux des
+isomorphismes. Alors il existe une adjonction $\xi\colon G \dashv F$
+dont l'unité est l'isomorphisme $\varepsilon^{-1}$ réciproque de
+$\varepsilon$ et la coünité l'isomorphisme $\eta^{-1}$ réciproque
+de $\eta$.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+D'après la proposition \ref{identites-triangulaires-adjonction}, on a
+$(G\boxempty\varepsilon) \circ (\eta\boxempty G) = \Id_G$ et
+$(\varepsilon\boxempty F) \circ (F\boxempty\eta) = \Id_F$ ce qui,
+compte tenu du fait que tous les facteurs sont des isomorphismes,
+équivaut à $ (\eta^{-1} \boxempty G) \circ
+(G\boxempty\varepsilon^{-1}) = \Id_G$ et $(F\boxempty\eta^{-1}) \circ
+(\varepsilon^{-1}\boxempty F) = \Id_F$ : toujours d'après la même
+proposition, ceci permet d'affirmer que les transformations naturelles
+$\varepsilon^{-1} \colon G\circ F \to \Id_{\categ{D}}$ et $\eta^{-1}
+\colon \Id_{\categ{C}} \to F\circ G$ sont respectivement l'unité et la
+coünité d'une adjonction $\xi\colon G \dashv F$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition2}\label{equivalence-est-adjonction-inversible}
+Soient $F\colon \categ{D}\to\categ{C}$ et $G\colon
+\categ{C}\to\categ{D}$ deux foncteurs quasi-inverses. Alors $F$ est
+adjoint à gauche et à droite de $G$.
+
+Plus précisément, si $e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to
+F\circ G$ est un isomorphisme naturel (et qu'on suppose toujours qu'il
+existe un isomorphisme naturel $\Id_{\categ{D}} \buildrel\sim\over\to
+G\circ F$), alors $e$ est l'unité d'une adjonction $\xi \colon G
+\dashv F$, tandis que $e^{-1}$ est la coünité d'une adjonction $\theta
+\colon F \dashv G$.
+
+De plus, dans ces conditions et avec ces notations, les conditions
+suivantes sur une transformation naturelle $h\colon \Id_{\categ{D}}
+\to G\circ F$ sont équivalentes :
+\begin{itemize}
+\item $h \boxempty G = G \boxempty e$,
+\item $F \boxempty h = e \boxempty F$,
+\item $h$ est l'unité de l'adjonction $\theta$ (dont $e^{-1}$ est la coünité),
+\item $h$ est la réciproque de la coünité de l'adjonction $\xi$ (dont
+ $e$ est l'unité) ;
+\end{itemize}
+il existe un unique $h$ vérifiant ces conditions, et il s'agit d'un
+isomorphisme naturel.
+\end{proposition2}
+\begin{proof}
+Si $e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to F\circ G$ est un
+isomorphisme naturel, où $F\colon \categ{D}\to\categ{C}$ et $G\colon
+\categ{C}\to\categ{D}$ sont deux foncteurs quasi-inverses, alors si on
+appelle (pour $X$ un objet quelconque de $\categ{D}$) $h(X) \colon X
+\to G(F(X))$ l'antécédent de $e(F(X))\colon F(X) \to F(G(F(X)))$ par
+$F\colon \Hom(X,G(F(X))) \to \Hom(F(X),F(G(F(X))))$ (cet antécédent
+existe puisque $F$ est plein), le
+lemme \ref{lemme-passage-transformations-naturelles-foncteur-fidele}
+montre que $h$ est une transformation naturelle : cette transformation
+naturelle vérifie $h \boxempty G = G \boxempty e$. Comme chaque
+$h(X)$ est un isomorphisme (puisque $F(h(X)) = e(F(X))$ l'est, et en
+utilisant le fait que $F$ est pleinement fidèle), $h$ est un
+isomorphisme naturel. Pour tout morphisme $v \colon X \to G(Y)$, il
+existe un unique $u\colon F(X) \to Y$ (à savoir l'unique antécédent
+par $G$ de $v\circ h(X)^{-1}\colon G(F(X)) \to G(Y)$) tel que $v =
+G(u) \circ h(X)$ : on a donc prouvé sur $h$ la propriété universelle
+de l'unité d'une adjonction (cf. la
+proposition \ref{propriete-universelle-unite-adjonction}), et d'après
+la proposition \ref{adjonction-determinee-par-unite}, $h$ est l'unité
+d'une adjonction $\theta\colon F\vdash G$, dont l'égalité $h \boxempty
+G = G \boxempty e$ (soit $ (G \boxempty e^{-1}) \circ (h \boxempty G)
+= \Id_G$) assure alors d'après la
+proposition \ref{identites-triangulaires-adjonction} que $e^{-1}$ est
+la coünité, donc vérifie $(e^{-1}\boxempty F) \circ (F\boxempty h) =
+\Id_F$ c'est-à-dire $F\boxempty h = e \boxempty F$. Les deux égalités
+$(h^{-1} \boxempty G) \circ (G \boxempty e) = \Id_G$ et $(F\boxempty
+h^{-1}) \circ (e\boxempty F) \circ = \Id_F$ montrent alors (toujours
+d'après \ref{identites-triangulaires-adjonction}) qu'il existe une
+adjonction $\xi\colon G\dashv F$ dont $e$ est l'unité et $h^{-1}$ la
+coünité.
+
+Il reste enfin à démontrer que toute transformation naturelle $h'$
+vérifiant l'une des quatre conditions dont on veut prouver
+l'équivalence est, en fait, la transformation naturelle $h$ qu'on a
+construite (et qui vérifie les quatre). Pour ce qui est des deux
+premières, on utilise le lemme \ref{lemme-simplification-foncteurs} :
+si on a $h\boxempty G = h'\boxempty G$ ou bien $F\boxempty h =
+F\boxempty h'$ alors $h = h'$. Pour ce qui est des deux
+dernières\footnote{Notons que l'énoncé de ces conditions sous-entend
+ que $\theta,\xi$ sont bien définies, ce qui est justifié par la
+ proposition \ref{adjonction-determinee-par-unite}.}, l'une ou
+l'autre implique trivialement que $h' = h$ puisque $h$ est bien
+l'unité de $\theta$ et aussi la réciproque de la coünité de $\xi$.
+\end{proof}
+
+
+\tableofcontents
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi
+