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path: root/chapitres/cohomologie-groupes.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 11:17:23 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-01 11:17:23 (GMT)
commit3b779bfbdcfdf1fc4626df162f7c80790cc648af (patch)
tree3b33525d607e6c5288dc0d6340c22156d1da4552 /chapitres/cohomologie-groupes.tex
parente0c77f6dc4c6ab7e8a13a635b1b7c1322386c515 (diff)
downloadgalois-3b779bfbdcfdf1fc4626df162f7c80790cc648af.zip
galois-3b779bfbdcfdf1fc4626df162f7c80790cc648af.tar.gz
galois-3b779bfbdcfdf1fc4626df162f7c80790cc648af.tar.bz2
Transformation en LuaTeX : encore des chapitres(?) oubliés.
Je ne sais pas bien ce que sont ces fichiers ! Je renonce à faire compiler cohomologie-groupes.tex (trop cassé).
Diffstat (limited to 'chapitres/cohomologie-groupes.tex')
-rw-r--r--chapitres/cohomologie-groupes.tex86
1 files changed, 33 insertions, 53 deletions
diff --git a/chapitres/cohomologie-groupes.tex b/chapitres/cohomologie-groupes.tex
index cd2e384..2a6d47a 100644
--- a/chapitres/cohomologie-groupes.tex
+++ b/chapitres/cohomologie-groupes.tex
@@ -1,33 +1,13 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
-\input{../configuration/numerotation}
-\input{../configuration/formules}
-\input{../configuration/encoredesmacros}
-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-%\usepackage{makeidx}
-\usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
-\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
-%\usepackage{pxfonts}
-
-\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
+\title{Ensembles simpliciaux et cohomologie des groupes}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{KAS}
-%\makeindex
-
-\title{Ensembles simpliciaux et cohomologie des groupes}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -42,15 +22,15 @@
Il faut au moins qu'il y ait les résultats suivants,
copiés-collés depuis le livre de Serre.
-ection{Extensions}
+\subsection{Extensions}
-\begin{defi}
+\begin{definition2}
Soient $A$ et $G$ deux groupes. On dit que $E$ est une
\emph{extension} de $G$ par $A$ si l'on a une suite exacte
$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] & E \ar[r] & G \ar[r] &
\{1\}}$$
avec $A$ normal dans $E$.
-\end{defi}
+\end{definition2}
\rmq Dans ce \S, on suppose $A$ commutatif.
\bigskip Toute extension $E$ de $G$ par $A$ d\'{e}finit une
@@ -96,12 +76,12 @@ Soit $E$ une extension de $G$ par $A$; on a une surjection
$\pi$
de $E$ sur $G$.
-\begin{defi}
+\begin{definition2}
Une \emph{section} $h$ de $\pi$ est une application de $G$
dans
$E$ telle que $\pi\circ h=\Id_G$.
$$\xymatrix{E \ar[d]_\pi \\ G \ar@/_0.5cm/[u]_h}$$
-\end{defi}\label{section}
+\end{definition2}\label{section}
Au-dessus de $s\in G$, on choisit un point dans la fibre
$\pi^{-1}(s)$. Tout \'{e}l\'{e}ment $e\in E$ s'\'{e}crit
@@ -165,13 +145,13 @@ section $h$ telle que $f_h(s,t)=1$ pour tous $s,t\in G$,
i.e. que
$h$ est un homomorphisme.
-\begin{defi}
+\begin{definition2}
Une extension $E$ de $G$ par $A$ est dite \emph{triviale}
s'il
existe un homomorphisme $h:G\rightarrow E$ telle que
$\pi\circ
h=\Id_G$ (ou, de fa\c{c}on \'{e}quivalente, si $e=0$).
-\end{defi}
+\end{definition2}
Examinons une telle extension: tout \'{e}l\'{e}ment de $E$
s'\'{e}crit $ah(s)$ de mani\`{e}re unique et
@@ -192,11 +172,11 @@ triviale de
$G$ par $A$, qui est le produit semi-direct de $G$ par $A$
d\'{e}fini par l'action de $G$ sur $A$.
-\begin{thm}
+\begin{theoreme2}
L'application $f_h$ est un $2$-cocycle de $G$ \`{a} valeurs
dans
$A$.
-\end{thm}
+\end{theoreme2}
Il faut v\'{e}rifier que $f_h$ appartient au noyau de $d$,
l'homomorphisme de cobord. L'\'{e}criture est ici
@@ -219,11 +199,11 @@ $$df_h(u,v,w)=1.\eqno\square$$
Nous allons enfin voir:
-\begin{thm}\label{th4.3}
+\begin{theoreme2}\label{th4.3}
Toute classe de cohomologie de $H^2(G,A)$ correspond \`{a}
une
extension de $G$ par $A$.
-\end{thm}
+\end{theoreme2}
On va reconstruire la situation pr\'{e}c\'{e}dente: soit
$f\in
@@ -294,14 +274,14 @@ l'\'{e}l\'{e}ment de $C^0(G,A)$ correspondant \`{a} $a$).
Donc $l$
doit \^{e}tre un cobord. D'o\`{u}:
-\begin{thm}
+\begin{theoreme2}
Les classes de conjugaison (par les \'{e}l\'{e}ments de $A$,
ou de
$G$) des sections de $E$ qui sont des homomorphismes
correspondent
bijectivement aux \'{e}l\'{e}ments du groupe de cohomologie
$H^1(G,A)$.
-\end{thm}
+\end{theoreme2}
[Noter que cette correspondance \emph{d\'{e}pend} du choix
de $h$.
@@ -312,11 +292,11 @@ espace
principal homog\`{e}ne (\og torseur\fg) sous l'action de
$H^1(G,A)$.]
-\begin{coro}
+\begin{corollaire2}
Pour que les sections de $\pi$ qui sont des homomorphismes
soient
conjugu\'{e}es, il faut et il suffit que $H^1(G,A)=\{0\}$.
-\end{coro}
+\end{corollaire2}
\section{Groupes finis: un crit\`{e}re de
nullit\'{e}}\label{4.3}
@@ -324,9 +304,9 @@ nullit\'{e}}\label{4.3}
Soit $G$ un groupe \`{a} $m$ \'{e}l\'{e}ments et soit $A$ un
$G$-module.
-\begin{thm}
+\begin{theoreme2}
Soient $n\geqslant 1$ et $x\in H^n(G,A)$. On a $mx=0$.
-\end{thm}
+\end{theoreme2}
Soit $f\in Z^n(G,A)$ un $n$-cocycle repr\'{e}sentant $x$. Il
faut
@@ -364,12 +344,12 @@ On pose donc $F=(-1)^n F_1$ qui v\'{e}rifie $dF=mf$,
d'o\`{u} le
r\'{e}sultat.~\findem
-\begin{coro}
+\begin{corollaire2}
Si l'application $a\mapsto ma$ est un automorphisme de $A$
($m$
\'{e}tant l'ordre de $G$) alors $H^n(G,A)=\{0\}$ pour tout
$n\geqslant 1$.
-\end{coro}
+\end{corollaire2}
En effet, $x\mapsto mx$ est alors un automorphisme de
$C^n(G,A)$ qui
@@ -379,15 +359,15 @@ passage au quotient. Or c'est dans ce cas l'application
nulle
d'o\`{u} $H^n(G,A)=\{0\}$.~\findem
-\begin{coro}
+\begin{corollaire2}
Si $G$ et $A$ sont finis d'ordres premiers entre eux alors
$H^n(G,A)=\{0\}$ pour tout $n\geqslant 1$.
-\end{coro}
+\end{corollaire2}
En effet $a\mapsto ma$ est alors un automorphisme de
$A$.~\findem
-\begin{coro}
+\begin{corollaire2}
Si $G$ et $A$ sont finis d'ordres premiers entre eux alors:
\begin{enumerate}
\item[(1)] Toute extension $E$ de $G$ par $A$ est triviale.
@@ -396,7 +376,7 @@ Si $G$ et $A$ sont finis d'ordres premiers entre eux alors:
sont
conjugu\'{e}s par un \'{e}l\'{e}ment de $A$.
\end{enumerate}
-\end{coro}
+\end{corollaire2}
On a $H^n(G,A)=\{0\}$ si $n\geqslant 1$. Le cas $n=2$ donne
$(1)$ et
@@ -412,7 +392,7 @@ d'un groupe $G$ par un groupe $A$ commutatif au cas o\`{u}
$A$ est
r\'{e}soluble ou m\^{e}me quelconque.
-\begin{thm}[Zassenhaus]\label{Zassen}
+\begin{theoreme2}[Zassenhaus]\label{Zassen}
Soient $A$ et $G$ deux groupes finis d'ordres premiers entre
eux et
consid\'{e}rons une extension $\{1\}\rightarrow A\rightarrow
@@ -430,7 +410,7 @@ sont conjugu\'{e}s par un \'{e}l\'{e}ment de $A$ (ou de $E$,
cela
revient au m\^{e}me).
\end{enumerate}
-\end{thm}
+\end{theoreme2}
On raisonne par r\'{e}currence sur $|E|$; on peut supposer
$A$ et
@@ -439,7 +419,7 @@ $G$ distincts de $\{1\}$.
{\it Premier cas: $A$ est r\'{e}soluble.} On d\'{e}montre
d'abord le
-\begin{lemme}\label{4.4.2}
+\begin{lemme2}\label{4.4.2}
Soit $X$ un groupe r\'{e}soluble non r\'{e}duit \`{a}
$\{1\}$. Il
existe un nombre premier $p$ et un $p$-sous-groupe $Y$ de
@@ -447,7 +427,7 @@ $X$
distinct de $\{1\}$ tel que $Y$ soit ab\'{e}lien
\'{e}l\'{e}mentaire
et caract\'{e}ristique.
-\end{lemme}
+\end{lemme2}
On rappelle qu'un $p$-groupe ab\'{e}lien est dit
\emph{\'{e}l\'{e}mentaire} si ses \'{e}l\'{e}ments distincts
@@ -665,7 +645,7 @@ conjugu\'{e}s par $(1,a)\in E_\varphi$. Le \S\ \ref{4.4}
donne alors
le
-\begin{thm}
+\begin{theoreme2}
Soit $\{1\}\rightarrow A\rightarrow E \rightarrow
\Phi\rightarrow\{1\}$ une suite exacte et soit $\varphi$ un
homomorphisme d'un groupe $G$ dans le groupe $\Phi$.
@@ -680,7 +660,7 @@ rel\`{e}ve $\varphi$.
homomorphismes
sont conjugu\'{e}s par un \'{e}l\'{e}ment de $A$.
\end{enumerate}
-\end{thm}
+\end{theoreme2}
\App On se donne un homomorphisme $\varphi: G\rightarrow
\mathbf{GL}_n(\ZM/p\ZM)$ o\`{u} $p$ ne divise pas l'ordre de