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+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
+\input{commun}
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+
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+
+\title{Ensembles simpliciaux et cohomologie des groupes}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Ensembles simpliciaux et cohomologie des groupes}
+\fi
+
+\section{Ensembles simpliciaux et leur cohomologie}
+
+\section{Cohomologie des groupes finis}
+
+Il faut au moins qu'il y ait les résultats suivants,
+copiés-collés depuis le livre de Serre.
+
+ection{Extensions}
+
+\begin{defi}
+Soient $A$ et $G$ deux groupes. On dit que $E$ est une
+\emph{extension} de $G$ par $A$ si l'on a une suite exacte
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] & E \ar[r] & G \ar[r] &
+\{1\}}$$
+avec $A$ normal dans $E$.
+\end{defi}
+\rmq Dans ce \S, on suppose $A$ commutatif.
+
+\bigskip Toute extension $E$ de $G$ par $A$ d\'{e}finit une
+action de
+$G$ sur $A$ de la mani\`{e}re suivante: remarquons d'abord
+que $E$
+agit sur $A$ par automorphismes int\'{e}rieurs (puisque $A$
+est
+normal dans $E$); on a un homomorphisme
+$$\left\{\!\!\begin{array}{rcl}
+E & \longrightarrow & \Aut(A)\\
+e & \longmapsto & \Int(e)_{|A},\\
+\end{array}\right.$$
+qui passe au quotient $G$: en effet, si $s\in G$, on choisit
+$e\in
+E$ qui rel\`{e}ve $s$; alors $\Int(e)$ ne d\'{e}pend pas du
+choix du
+rel\`{e}vement de $s$; changer $e$ en $e'$ au dessus de $s$
+revient
+en effet \`{a} le multiplier par un \'{e}l\'{e}ment $a$ de
+$A$, or
+$a$ agit trivialement sur $A$ par automorphismes
+int\'{e}rieurs
+puisque $A$ est ab\'{e}lien. Donc $G$ agit sur $A$:
+$$\xymatrix{ E
+\ar[rr] \ar[rd] && \Aut(A) \\ & G \ar[ur]}$$
+
+On va donc consid\'{e}rer $A$ comme un $G$-module; les lois
+de
+groupe \'{e}tant \'{e}crites multiplicativement, la loi
+d'action de
+$G$ sur $A$ sera \'{e}crite ${}^s\!a$ pour $a\in A$ et $s\in
+G$. On
+va associer \`{a} toute extension de $G$ par $A$ une classe
+de
+cohomologie de $H^2(G,A)$ qui d\'{e}termine cette extension
+\`{a}
+isomorphisme pr\`{e}s. Et l'on verra que tout
+\'{e}l\'{e}ment de
+$H^2(G,A)$ peut \^{e}tre obtenu ainsi, cf. th. \ref{th4.3}.
+
+Soit $E$ une extension de $G$ par $A$; on a une surjection
+$\pi$
+de $E$ sur $G$.
+
+\begin{defi}
+Une \emph{section} $h$ de $\pi$ est une application de $G$
+dans
+$E$ telle que $\pi\circ h=\Id_G$.
+$$\xymatrix{E \ar[d]_\pi \\ G \ar@/_0.5cm/[u]_h}$$
+\end{defi}\label{section}
+
+Au-dessus de $s\in G$, on choisit un point dans la fibre
+$\pi^{-1}(s)$. Tout \'{e}l\'{e}ment $e\in E$ s'\'{e}crit
+alors de
+mani\`{e}re unique $ah(x)$, avec $a\in A$ et $x\in G$ (en
+fait
+$x=\pi(e)$).
+
+Cherchons \`{a} mettre sous la forme $ch(z)$
+l'\'{e}l\'{e}ment
+$ah(x)bh(y)$. On a
+$$ah(x)bh(y)=ah(x)bh(x)^{-1}h(x)h(y).$$
+L'action de $x\in G$ sur $A$ est donn\'{e}e par l'action de
+l'automorphisme int\'{e}rieur d'un \'{e}l\'{e}ment de $E$
+au-dessus
+de $x$, par exemple $h(x)$. Donc $h(x)bh(x)^{-1}={}^xb$ (qui
+est
+dans $A$, puisque $A$ est normal). Posons
+$$h(x)h(y)=f_h(x,y)h(xy).$$ On a
+$f_h(x,y)\in A$ puisque $h(x)h(y)$ et $h(xy)$ ont m\^{e}me
+image
+dans $G$ par $\pi$. On a finalement obtenu:
+$$ah(x)bh(y)=a\,{}^xbf_h(x,y)h(xy)$$ avec
+$a\,{}^xbf_h(x,y)\in A$.
+
+\bigskip Nous allons maintenant voir comment $f_h$ varie
+avec $h$.
+Soient donc $h$ et $h'$ deux sections de $\pi$
+($h,h':G\rightarrow
+E$). Alors $h(s)$ et $h'(s)$ diff\`{e}rent par un
+\'{e}l\'{e}ment de
+$A$. Posons $h'(s)=l(s)h(s)$; l'application $l$ est une
+$1$-cocha\^{i}ne de $G$ \`{a} valeurs dans $A$. Calculons
+$f_{h'}$
+\`{a} l'aide de $l$ et de $f_h$. On a
+$$h'(s)h'(t)=f_{h'}(s,t)h'(st)=f_{h'}(s,t)l(st)h(st),$$
+mais
+\begin{eqnarray*}
+h'(s)h'(t) & = & l(s)h(s)l(t)h(t)\\
+{} & = & l(s)h(s)l(t)h(s)^{-1}h(s)h(t)\\
+{} & = & l(s)\,{}^sl(t)f_h(s,t)h(st),
+\end{eqnarray*}
+d'o\`{u} l'on tire
+\begin{eqnarray*}
+f_{h'}(s,t) & = & l(s)\,{}^sl(t)f_h(s,t)l(st)^{-1}\\
+{} & = & f_h(s,t)\,{}^sl(t)l(s)l(st)^{-1},
+\end{eqnarray*}
+car $A$ est commutatif. Or, en notation multiplicative, on a
+$$dl(s,t)={}^sl(t)l(s)l(st)^{-1}.$$
+D'o\`{u}
+$$f_{h'}=f_h\,dl.$$
+Donc, quand $h$ varie, $f_h$ ne change que par
+multiplication par un
+cobord. On peut donc associer \`{a} $E$ la classe de
+cohomologie de
+$f_h$ dans $H^2(G,A)$; appelons $e$ cette classe. Quand
+trouve-t-on
+$e=0$? Cela signifie (en notation multiplicative) qu'il
+existe une
+section $h$ telle que $f_h(s,t)=1$ pour tous $s,t\in G$,
+i.e. que
+$h$ est un homomorphisme.
+
+\begin{defi}
+Une extension $E$ de $G$ par $A$ est dite \emph{triviale}
+s'il
+existe un homomorphisme $h:G\rightarrow E$ telle que
+$\pi\circ
+h=\Id_G$ (ou, de fa\c{c}on \'{e}quivalente, si $e=0$).
+\end{defi}
+
+Examinons une telle extension: tout \'{e}l\'{e}ment de $E$
+s'\'{e}crit $ah(s)$ de mani\`{e}re unique et
+$ah(s)bh(t)=a\,{}^sbh(st)$. Donc on conna\^{i}t $E$ d\`{e}s
+qu'on
+conna\^{i}t $A$, $G$ et l'action de $G$ sur $A$. Le groupe
+$E$ est
+isomorphe au groupe des couples $(a,s)$ avec $a\in A$ et
+$s\in G$,
+muni de la loi
+$$(a,s)(b,t)=(a\,{}^sb,st).$$
+
+On appelle un tel $E$ un \emph{produit
+semi-direct}\label{semidirect1} de $G$ par $A$. On vient de
+voir: la
+classe nulle de $H^2(G,A)$ correspond \`{a} l'extension
+triviale de
+$G$ par $A$, qui est le produit semi-direct de $G$ par $A$
+d\'{e}fini par l'action de $G$ sur $A$.
+
+\begin{thm}
+L'application $f_h$ est un $2$-cocycle de $G$ \`{a} valeurs
+dans
+$A$.
+\end{thm}
+
+Il faut v\'{e}rifier que $f_h$ appartient au noyau de $d$,
+l'homomorphisme de cobord. L'\'{e}criture est ici
+multiplicative; il
+faut donc voir que
+$$df_h(u,v,w)=1$$ pour tous $u,v,w\in G$; or $df_h$
+s'\'{e}crit
+$$df_h(u,v,w)={}^u\!f_h(v,w)f_h(u,vw)f_h(uv,w)^{-1}f_h(u,v)^{-1}.$$
+Nous allons \'{e}crire $h(u)h(v)h(w)$ sous la forme
+$ah(uvw)$ avec
+$a\in A$ de deux mani\`{e}res diff\'{e}rentes en utilisant
+l'associativit\'{e}
+de la loi de groupe dans $E$.\\
+On a $$\big(h(u)h(v)\big)h(w)=f_h(u,v)f_h(uv,w)h(uvw)$$ et
+$$h(u)\big(h(v)h(w)\big)={}^u\!f_h(v,w)f_h(u,vw)h(uvw)$$
+d'o\`{u}
+$${}^u\!f_h(v,w)f_h(u,vw)=f_h(u,v)f_h(uv,w)$$
+ce qui est bien
+$$df_h(u,v,w)=1.\eqno\square$$
+
+Nous allons enfin voir:
+
+\begin{thm}\label{th4.3}
+Toute classe de cohomologie de $H^2(G,A)$ correspond \`{a}
+une
+extension de $G$ par $A$.
+\end{thm}
+
+On va reconstruire la situation pr\'{e}c\'{e}dente: soit
+$f\in
+Z^2(G,A)$. D\'{e}finissons $E$ ensemblistement par
+$E=A\times G$. On
+d\'{e}finit la loi de $E$ par
+$$(a,s)(b,t)=\big(a\,{}^sbf(s,t),st\big).$$
+Tout d'abord $E$ est un groupe:\\
+$\bullet$ La loi est associative: le calcul fait ci-dessus
+pour voir
+que $f_h$ est un $2$-cocycle \`{a} partir de
+l'associativit\'{e} de
+la loi de $E$ se reprend \`{a} l'envers.\\
+$\bullet$ Si $\varepsilon=f(1,1)^{-1}$, alors
+l'\'{e}l\'{e}ment
+$(\varepsilon,1)$ est \'{e}l\'{e}ment neutre. En effet,
+$$(a,s)(\varepsilon,1)=\big(a{}^s\!\varepsilon
+f(s,1),s\big)$$
+or $f$ est un $2$-cocycle donc $df=1$ et
+$$df(s,1,1)={}^s\!f(1,1)f(s,1)^{-1}f(s,1)f(s,1)$$
+donc
+$$1=df(s,1,1)={}^s\!\varepsilon^{-1}f(s,1)^{-1}$$
+et $(\varepsilon,1)$ est bien \'{e}l\'{e}ment neutre.\\
+$\bullet$ On fait de m\^{e}me le calcul de l'inverse.\\
+On a un homomorphisme surjectif \'{e}vident de $E$ dans $G$:
+$$\left\{\!\!
+\begin{array}{rcl}
+E & \longrightarrow & G\\
+(a,s) & \longmapsto & s
+\end{array}\right.$$
+et l'application
+$$\left\{\!\!
+\begin{array}{rcl}
+A & \longrightarrow & E\\
+a & \longmapsto & (a\varepsilon ,1)
+\end{array}\right.$$
+est un homorphisme (car $A$ est ab\'{e}lien) \'{e}videmment
+injectif.
+
+Finalement on a bien:
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] & E \ar[r] & G \ar[r] &
+\{1\}.}\eqno\square$$
+
+\bigskip{\it Interpr\'{e}tation de $H^1(G,A)$ en termes
+d'extensions.} Soit $E$ une extension triviale de $G$ par
+$A$.
+Choisissons une section $h:G\rightarrow E$ qui soit un
+homomorphisme
+(ce qui identifie $E$ au produit semi-direct $G.A$). Soit
+$h'$ une
+autre section; on peut \'{e}crire $h'$ de fa\c{c}on unique
+comme
+$h'=l.h$, o\`{u} $l$ est une $1$-cocha\^{i}ne $G\rightarrow
+A$. On a
+$f_{h'}=f_h.dl=dl$ puisque $f_h=1$. Pour que $h'$ soit un
+homomorphisme, il faut et il suffit que $f_{h'}=1$, i.e. que
+$dl=1$,
+autrement dit que $l$ soit un $1$-cocycle.
+
+D'autre part, si on conjugue $h$ par un \'{e}l\'{e}ment $a$
+de $A$,
+on obtient une section qui est un homomorphisme. Soit $h'$
+cette
+section. A quoi cela correspond-il en termes de $l$? On a
+$$h'(x)=ah(x)a^{-1}=l(x)h(x)$$
+avec $l(x)=a{}^x\!a^{-1}$. Donc $l=df_a$ (o\`{u} $f_a$ est
+l'\'{e}l\'{e}ment de $C^0(G,A)$ correspondant \`{a} $a$).
+Donc $l$
+doit \^{e}tre un cobord. D'o\`{u}:
+
+\begin{thm}
+Les classes de conjugaison (par les \'{e}l\'{e}ments de $A$,
+ou de
+$G$) des sections de $E$ qui sont des homomorphismes
+correspondent
+bijectivement aux \'{e}l\'{e}ments du groupe de cohomologie
+$H^1(G,A)$.
+\end{thm}
+
+[Noter que cette correspondance \emph{d\'{e}pend} du choix
+de $h$.
+Une fa\c{c}on plus intrins\`{e}que de s'exprimer consiste
+\`{a} dire
+que l'ensemble des classes de sections-homomorphismes est un
+espace
+principal homog\`{e}ne (\og torseur\fg) sous l'action de
+$H^1(G,A)$.]
+
+\begin{coro}
+Pour que les sections de $\pi$ qui sont des homomorphismes
+soient
+conjugu\'{e}es, il faut et il suffit que $H^1(G,A)=\{0\}$.
+\end{coro}
+
+\section{Groupes finis: un crit\`{e}re de
+nullit\'{e}}\label{4.3}
+
+Soit $G$ un groupe \`{a} $m$ \'{e}l\'{e}ments et soit $A$ un
+$G$-module.
+
+\begin{thm}
+Soient $n\geqslant 1$ et $x\in H^n(G,A)$. On a $mx=0$.
+\end{thm}
+
+Soit $f\in Z^n(G,A)$ un $n$-cocycle repr\'{e}sentant $x$. Il
+faut
+construire $F\in
+C^{n-1}(G,A)$ tel que $dF=mf$.\\
+Prenons $F_1(s_1,\dots,s_{n-1})=\sum_{s\in
+G}{f(s_1,\dots,s_{n-1},s)}$. Comme $f\in Z^n(G,A)$, on a
+$df=0$.
+Or
+$$\begin{array}{rcl}
+df(s_1,\dots,s_{n+1}) & = &
+\displaystyle
+s_1f(s_2,\dots,s_{n+1})-f(s_1s_2,s_3,\dots,s_{n+1})+\cdots\\
+{} & {} & {}\\
+{} & {} &
+\hfill{{}
++(-1)^nf(s_1,\dots,s_ns_{n+1})+(-1)^{n+1}f(s_1,\dots,s_n)}
+\\
+{} & = & 0.
+\end{array}$$
+Donc
+$$\begin{array}{rcl}
+\displaystyle \sum_{s_{n+1}\in G}{df(s_1,\dots,s_{n+1})} & =
+&
+s_1F_1(s_2,\dots,s_n)-F_1(s_1s_2,\dots,s_n)+\cdots\\
+{} & {} & \hfill{{}
++(-1)^nF_1(s_1,\dots,s_{n-1})+(-1)^{n+1}mf(s_1,\dots,s_n).}
+\end{array}$$
+
+On a utilis\'{e} le fait que si $s_{n+1}$ parcourt $G$,
+$s_ns_{n+1}$
+aussi ($s_n$ \'{e}tant fix\'{e}). On a ainsi obtenu
+$$(-1)^nmf(s_1,\dots,s_n)=dF_1(s_1,\dots,s_n).$$
+On pose donc $F=(-1)^n F_1$ qui v\'{e}rifie $dF=mf$,
+d'o\`{u} le
+r\'{e}sultat.~\findem
+
+\begin{coro}
+Si l'application $a\mapsto ma$ est un automorphisme de $A$
+($m$
+\'{e}tant l'ordre de $G$) alors $H^n(G,A)=\{0\}$ pour tout
+$n\geqslant 1$.
+\end{coro}
+
+En effet, $x\mapsto mx$ est alors un automorphisme de
+$C^n(G,A)$ qui
+commute \`{a} $d$. Donc c'est un automorphisme de $H^n(G,A)$
+par
+passage au quotient. Or c'est dans ce cas l'application
+nulle
+d'o\`{u} $H^n(G,A)=\{0\}$.~\findem
+
+\begin{coro}
+Si $G$ et $A$ sont finis d'ordres premiers entre eux alors
+$H^n(G,A)=\{0\}$ pour tout $n\geqslant 1$.
+\end{coro}
+
+En effet $a\mapsto ma$ est alors un automorphisme de
+$A$.~\findem
+
+\begin{coro}
+Si $G$ et $A$ sont finis d'ordres premiers entre eux alors:
+\begin{enumerate}
+\item[(1)] Toute extension $E$ de $G$ par $A$ est triviale.
+
+\item[(2)] Deux homomorphismes sections de $G\rightarrow E$
+sont
+conjugu\'{e}s par un \'{e}l\'{e}ment de $A$.
+\end{enumerate}
+\end{coro}
+
+On a $H^n(G,A)=\{0\}$ si $n\geqslant 1$. Le cas $n=2$ donne
+$(1)$ et
+le cas $n=1$ donne $(2)$ d'apr\`{e}s l'\'{e}tude faite en
+\ref{extensions}.~\findem
+
+\section{Extensions de groupes d'ordres premiers entre
+eux}\label{4.4}
+
+Nous allons \'{e}tendre certains r\'{e}sultats sur les
+extensions
+d'un groupe $G$ par un groupe $A$ commutatif au cas o\`{u}
+$A$ est
+r\'{e}soluble ou m\^{e}me quelconque.
+
+\begin{thm}[Zassenhaus]\label{Zassen}
+Soient $A$ et $G$ deux groupes finis d'ordres premiers entre
+eux et
+consid\'{e}rons une extension $\{1\}\rightarrow A\rightarrow
+E\rightarrow G\rightarrow \{1\}$. Alors:
+\begin{enumerate}
+\item[(1)] Il existe un sous-groupe de $E$
+(\emph{suppl\'{e}mentaire
+de $A$}) qui se projette isomorphiquement sur $G$ ($E$ est
+produit
+semi-direct).
+
+\item[(2)] Si $A$ ou $G$ est r\'{e}soluble, deux tels
+sous-groupes
+sont conjugu\'{e}s par un \'{e}l\'{e}ment de $A$ (ou de $E$,
+cela
+revient au m\^{e}me).
+\end{enumerate}
+\end{thm}
+
+On raisonne par r\'{e}currence sur $|E|$; on peut supposer
+$A$ et
+$G$ distincts de $\{1\}$.
+
+{\it Premier cas: $A$ est r\'{e}soluble.} On d\'{e}montre
+d'abord le
+
+\begin{lemme}\label{4.4.2}
+Soit $X$ un groupe r\'{e}soluble non r\'{e}duit \`{a}
+$\{1\}$. Il
+existe un nombre premier $p$ et un $p$-sous-groupe $Y$ de
+$X$
+distinct de $\{1\}$ tel que $Y$ soit ab\'{e}lien
+\'{e}l\'{e}mentaire
+et caract\'{e}ristique.
+\end{lemme}
+
+On rappelle qu'un $p$-groupe ab\'{e}lien est dit
+\emph{\'{e}l\'{e}mentaire} si ses \'{e}l\'{e}ments distincts
+de $1$
+sont d'ordre $p$ et qu'un sous-groupe d'un groupe $X$ est
+caract\'{e}ristique s'il est stable par tout automorphisme
+de $X$.
+
+\bigskip {\it D\'{e}monstration du lemme. } Soient $D^i(X)$
+les d\'{e}riv\'{e}s successifs de $X$. Comme $X$ est
+r\'{e}soluble,
+il existe $i$ tel que $D^i(X)$ est distinct de $\{1\}$ et
+$D^{i+1}(X)$ est r\'{e}duit \`{a} $\{1\}$. Alors $D^i(X)$
+est un
+sous-groupe de $X$ ab\'{e}lien et diff\'{e}rent de $\{1\}$.
+De plus,
+il est caract\'{e}ristique. Soit alors $p$ divisant l'ordre
+de
+$D^i(X)$ et soit $Y$ le groupe des \'{e}l\'{e}ments de
+$D^i(X)$
+d'ordre divisant $p$. Alors $Y$ est ab\'{e}lien,
+diff\'{e}rent de
+$\{1\}$, caract\'{e}ristique (un automorphisme de $X$
+transforme un
+\'{e}l\'{e}ment d'ordre $p$ en un autre de m\^{e}me ordre)
+et est un
+$p$-groupe \'{e}l\'{e}mentaire.~\findem
+
+\bigskip {\it Retour \`{a} la d\'{e}monstration du
+th\'{e}or\`{e}me. }
+Appliquons le lemme avec $X=A$ et $Y=A'$ et remarquons que
+$A'$ est
+normal dans $E$: un automorphisme int\'{e}rieur de $E$
+restreint
+\`{a} $A$ est un automorphisme de $A$ (car $A$ est normal
+dans $E$)
+et
+laisse donc $A'$, qui est caract\'{e}ristique, invariant.\\
+Si $A=A'$, alors $A$ est ab\'{e}lien et le th\'{e}or\`{e}me
+est
+connu. Sinon, comme $A'$ est normal dans $E$, on peut passer
+au
+quotient par $A'$ et on obtient la suite exacte
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A/A' \ar[r] & E/A' \ar[r] & G
+\ar[r] & \{1\}}.$$
+La situation se d\'{e}crit par le diagramme suivant:
+$$\xymatrix{& E \ar[d]\\ & E/A' \ar[d]\\ G \ar@{.>}[uur]
+\ar@{.>}[ur] \ar[r] & E/A}$$
+Comme $E/A'$ est de cardinal strictement inf\'{e}rieur \`{a}
+celui
+de $E$, l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence entra\^{i}ne que
+$G$ se
+rel\`{e}ve en un sous-groupe $G'$ de $E/A'$. Soit $E'$
+l'image
+r\'{e}ciproque de $G'$ par la projection $E\rightarrow
+E/A'$. Alors
+on a la suite exacte
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A' \ar[r] & E' \ar[r] & G' \ar[r]
+& \{1\}}.$$
+Or $A'$ est ab\'{e}lien. D'apr\`{e}s le \S\ \ref{4.3}, on
+peut donc
+relever $G'$ en un sous-groupe de $E'$. On obtient ainsi un
+rel\`{e}vement de $G$ dans $E$.
+
+Montrons que deux tels rel\`{e}vements $G'$ et $G''$ sont
+conjugu\'{e}s par un \'{e}l\'{e}ment de $A$. On a
+$$E=A.G'\;\mbox{ et }\; E=A.G''.$$
+L'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence, appliqu\'{e}e \`{a}
+$E/A'$,
+montre qu'il existe $a\in A$ tel que $aG'a^{-1}$ et $G''$
+aient
+m\^{e}me image dans $E/A'$. Quitte \`{a} remplacer $G'$ par
+$aG'a^{-1}$, on peut donc supposer que $A'.G'=A'.G''$. La
+conjugaison par un \'{e}l\'{e}ment de $A$ de $G'$ et $G''$
+r\'{e}sulte alors du cas ab\'{e}lien (cf. \S\ \ref{4.3}),
+appliqu\'{e} \`{a} $A'.G'=A'.G''$.
+
+\bigskip
+{\it Deuxi\`{e}me cas: assertion $(1)$ dans le cas
+g\'{e}n\'{e}ral.}
+Soit $p$ premier divisant l'ordre de $A$ et soit $S$ un
+$p$-Sylow de
+$A$ (cf. \S\ \ref{2.2}). Soit $E'$ le normalisateur dans $E$
+de $S$.
+D'apr\`{e}s le \S\ \ref{2.3}, on a $E=A.E'$. Soit $A'=E'\cap
+A$;
+$A'$ est normal dans $E'$ et l'on a la suite exacte
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A' \ar[r] & E' \ar[r] & G \ar[r]
+& \{1\}}.$$
+Distinguons deux cas:\\
+$\bullet$ Si $|E'|<|E|$, l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence
+permet de
+relever $G$ dans $E'$, donc dans $E$.\\
+$\bullet$ Si $|E'|=|E|$ alors $S$ est normal dans $E$ donc
+aussi
+dans $A$. On passe au quotient:
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A/S \ar[r] & E/S \ar[r] & G
+\ar[r] & \{1\}}$$
+avec $E/S$ de cardinal strictement inf\'{e}rieur \`{a} celui
+de $E$.
+Par l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence, $G$ se rel\`{e}ve en
+$G_1$ de
+$E/S$. Soit $E_1$ l'image r\'{e}ciproque de $G_1$ par la
+projection
+$E\rightarrow E/S$. On a la suite exacte
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & S \ar[r] & E_1 \ar[r] & G \ar[r]
+&\{1\}.}$$
+Or $S$ est un $p$-groupe donc est r\'{e}soluble et l'on est
+ramen\'{e} au premier cas.
+
+\bigskip
+{\it Troisi\`{e}me cas: assertion $(2)$ lorsque $G$ est
+r\'{e}soluble.} Soient $G$ et $G'$ deux rel\`{e}vements de
+$G$ dans
+$E$. On a
+$$E=A.G'\;\mbox{ et }\; E=A.G''.$$
+Soient $p$ un nombre premier et $I$ un sous-groupe
+ab\'{e}lien
+normal diff\'{e}rent de $\{1\}$ de $G$ (cf. lemme
+\ref{4.4.2}) et
+soit $\widetilde{I}$ son image r\'{e}ciproque dans $E$ par
+la
+projection $E\rightarrow G$. Soient $I'=\widetilde{I}\cap
+G'$ et
+$I''=\widetilde{I}\cap G''$. On a
+$$A.I'=A.I''\; (=\widetilde{I}).$$
+Les groupes $I'$ et $I''$ sont des $p$-Sylow de
+$\widetilde{I}$; il
+existe donc $x\in \widetilde{I}$ tel que $I''=xI'x^{-1}$; si
+on
+\'{e}crit $x$ sous la forme $ay$ avec $a\in A$ et $y\in I'$,
+on a
+$I''=aI'a^{-1}$. Quitte \`{a} remplacer $I'$ par
+$aI'a^{-1}$, on
+peut
+donc supposer $I''=I'$.\\
+Soit $N$ le normalisateur de $I'=I''$ dans $E$. On a
+$G'\subset N$
+et $G''\subset N$. Si $N$ est distinct de $E$,
+l'hypoth\`{e}se de
+r\'{e}currence appliqu\'{e}e \`{a} $N$ montre que $G'$ et
+$G''$ sont
+conjugu\'{e}s. Si $N=E$, autrement dit si $I'$ est normal
+dans $E$,
+l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence appliqu\'{e}e \`{a} $E/I'$
+montre
+qu'il existe $a\in A$ tel que $I'.aG'a^{-1}=I'.G''$. Puisque
+$I'$
+est normal et contenu \`{a} la fois dans $G'$ et $G''$, cela
+entra\^{i}ne
+$$aG'a^{-1}=G'',$$
+d'o\`{u} le r\'{e}sultat.~\findem
+
+\bigskip\rmq L'hypoth\`{e}se \og $A$ ou $G$ est
+r\'{e}soluble\fg\ faite
+dans $(2)$ est automatiquement satisfaite d'apr\`{e}s le
+th\'{e}or\`{e}me de Feit-Thompson (cf. \S\ \ref{grpe resol})
+disant
+que tout groupe d'ordre impair est r\'{e}soluble.
+
+\section{Rel\`{e}vements d'homomorphismes}\label{4.5}\label{obstruction relèvement morphisme}
+
+Soient $\{1\}\rightarrow A\rightarrow
+E\stackrel{\pi}{\rightarrow}
+\Phi\rightarrow\{1\}$ une suite exacte , $G$ un groupe et
+$\varphi$
+un homomorphisme de $G$ dans $\Phi$. Peut-on relever
+$\varphi$ en un
+homomorphisme $\psi$ de $G$ dans $E$?
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] & E \ar[r]^{\pi} & \Phi
+\ar[r] & \{1\}\\
+{} & {} & {} & G \ar[u]_\varphi \ar@{.>}[ul]^\psi}$$ La
+question
+\'{e}quivaut \`{a} celle du rel\`{e}vement de $G$ dans une
+extension
+$E_\varphi$ de $G$ par $A$ associ\'{e}e \`{a} $\varphi$,
+d\'{e}finie
+de la fa\c{c}on suivante:
+$$E_\varphi=\{(g,e)\in G\times E\ |\
+\varphi(g)=\pi(e)\}$$ muni de la loi de groupe habituelle
+pour le
+produit cart\'{e}sien. Alors $A$ se plonge dans $E_\varphi$
+par
+$a\mapsto (1,a)$ et $E_\varphi$ se projette sur $G$ par
+$(g,e)\mapsto g$.
+$$\xymatrix{E_\varphi \ar[r] \ar[d] & E \ar[d]^\pi\\ G
+\ar[r]^\varphi & \Phi}$$
+On a la suite exacte
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] & E_\varphi \ar[r] & G
+\ar[r] & \{1\}}.$$
+(on dit parfois que $E_\varphi$ est \emph{l'image
+r\'{e}ciproque}
+(\og pull-back\fg) de l'extension $E$ par l'homomorphisme
+$\varphi$).
+
+Voyons l'\'{e}quivalence des deux probl\`{e}mes. Soit $\psi$
+un
+rel\`{e}vement de $\varphi$. Alors l'ensemble
+$G_\psi=\{(g,\psi(g)),\ g\in G\}$
+est un sous-groupe de $E_\varphi$ qui est un rel\`{e}vement
+de $G$.\\
+Soit maintenant $G'$ un rel\`{e}vement de $G$. Alors $G'$
+est
+form\'{e} de couples $(g,e)$ avec $g\in G$ et $e\in E$,
+chaque $g\in
+G$ apparaissant dans un et un seul couple. Alors $\psi$
+d\'{e}fini
+par $\psi(g)=e$ est un homomorphisme
+qui rel\`{e}ve $\varphi$.\\
+De plus, deux rel\`{e}vements $\psi'$ et $\psi''$ sont
+conjugu\'{e}s
+par $a\in A$ si et seulement si $G_{\psi'}$ et $G_{\psi''}$
+sont
+conjugu\'{e}s par $(1,a)\in E_\varphi$. Le \S\ \ref{4.4}
+donne alors
+le
+
+\begin{thm}
+Soit $\{1\}\rightarrow A\rightarrow E \rightarrow
+\Phi\rightarrow\{1\}$ une suite exacte et soit $\varphi$ un
+homomorphisme d'un groupe $G$ dans le groupe $\Phi$.
+Supposons $G$
+et $A$ finis d'ordres premiers entre eux. Alors:
+\begin{enumerate}
+\item[(1)] Il existe un homomorphisme $\psi$ de $G$ dans $E$
+qui
+rel\`{e}ve $\varphi$.
+
+\item[(2)] Si $G$ ou $A$ est r\'{e}soluble, deux tels
+homomorphismes
+sont conjugu\'{e}s par un \'{e}l\'{e}ment de $A$.
+\end{enumerate}
+\end{thm}
+
+\App On se donne un homomorphisme $\varphi: G\rightarrow
+\mathbf{GL}_n(\ZM/p\ZM)$ o\`{u} $p$ ne divise pas l'ordre de
+$G$. On
+va voir qu'\emph{on peut relever $\varphi$ en
+$\varphi_\alpha:
+G\rightarrow \mathbf{GL}_n(\ZM/p^\alpha\ZM)$ pour tout
+$\alpha
+\geqslant 1$}.
+
+Commen\c{c}ons par relever $\varphi$ en $\varphi_2$. On a la
+suite
+exacte
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] &
+\mathbf{GL}_n(\ZM/p^2\ZM) \ar[r] & \mathbf{GL}_n(\ZM/p\ZM)
+\ar[r] & \{1\}}$$
+o\`{u} $A$ est form\'{e} des matrices de la forme $1+pX$
+avec $X$
+matrice $n\times n$ modulo $p$ et o\`{u} l'application de
+$\mathbf{GL}_n(\ZM/p^2\ZM)$ dans $\mathbf{GL}_n(\ZM/p\ZM)$
+est la
+r\'{e}duction modulo $p$. Le groupe $A$ est alors isomorphe
+\`{a}
+$\MM_n(\ZM/p\ZM)$ qui est un $p$-groupe ab\'{e}lien. On peut
+donc
+appliquer le th\'{e}or\`{e}me pr\'{e}c\'{e}dent et relever
+$\varphi$
+en
+$\varphi_2$ de mani\`{e}re essentiellement unique.\\
+Le m\^{e}me argument permet de relever $\varphi_\alpha$ en
+$\varphi_{\alpha+1}$. On a la suite exacte
+$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] &
+\mathbf{GL}_n(\ZM/p^{\alpha +1}\ZM) \ar[r] &
+\mathbf{GL}_n(\ZM/p^{\alpha}\ZM) \ar[r] & \{1\}\\
+&& G \ar[u]^{\varphi_{\alpha +1}}
+\ar[ur]_{\varphi_{\alpha}}}.$$ On
+peut passer \`{a} la limite projective: comme $\varprojlim
+{(\ZM/p^\alpha\ZM)}=\ZM_p$, on obtient une
+repr\'{e}sentation
+$$\varphi_\infty: \xymatrix{G \ar[r] & \mathbf{GL}_n(\ZM_p)\
+\ar@{^{(}->}[r] & \mathbf{GL}_n(\QM_p)}.$$
+Or $\QM_p$ est de caract\'{e}ristique $0$: ainsi, \`{a}
+partir d'une
+repr\'{e}sentation en caract\'{e}ristique $p$, on en obtient
+une en
+caract\'{e}risque $0$.
+
+
+
+
+
+\section{Cohomologie continue des groupes profinis}
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi