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author | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-03-29 15:00:53 +0200 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-03-29 15:00:53 +0200 |
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[Fin] minoration uniforme proportion polyn^omes irr'eductibles dans F_p
Utile pour montrer que presque tous les polyn^omes de degr'e
fix'e et `a coefficients entiers sont irr'educibles.
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-rw-r--r-- | chapitres/corps-finis.tex | 31 |
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diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex index 4a8491c..1081cd5 100644 --- a/chapitres/corps-finis.tex +++ b/chapitres/corps-finis.tex @@ -627,6 +627,37 @@ sommes. On verra en \ref{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps} un résultat plus fin : l'existence d'éléments ou de polynômes \emph{primitifs}. +On peut préciser le corollaire précédent sous la forme +suivante. + +\begin{corollaire2} +\label{estimation-uniforme-proportion-polynomes-irreductibles-dans-Fp} +Soit $p ≥ 3$ un nombre premier et soit $d ≥ 1$ un nombre +entier. La proportion des polynômes de degré $d$ dans +$𝐅_p[X]$ qui sont \emph{irréductibles} est au moins +égale à $\frac{1}{3d}$. +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +On a vu que le nombre d'éléments primitifs de $𝐅_{p^d}$ +sur $𝐅_p$ est minoré +\[ +p^d-∑_{m|d \atop m ≠ d} p^m ≥ p^d - ∑_{m=1}^{d-1}p^m > +p^d-\frac{p^d}{p-1}=p^d ⋅ \frac{p-2}{p-1}. +\] +Le nombre de polynômes irréductibles \emph{unitaires} +de degré $d$ est donc minoré par un $d$-ième +de cette quantité, et celui des polynômes irréductibles +non nécessairement unitaires (donc de coefficient +dominant arbitraire dans $𝐅_p^×$) par +$p-1$ fois cette dernière quantité. +Ainsi, la proportion recherchée est minorée par +\[ +\frac{1}{d}\frac{p^d(p-2)}{p^{d+1}} = \frac{1-2/p}{d} ≥ +\frac{1-2/3}{d}=\frac{1}{3d}. +\] + +\end{démo} \subsection{Critères d'irréductibilité} |