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path: root/chapitres/corps-finis.tex
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authorFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-29 15:00:53 +0200
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-29 15:00:53 +0200
commit02a3009d53bf992553e33fa1f0b8382c9bb176de (patch)
treedac69d3dfd2469be72402ca8c72b4f51f0b402d6 /chapitres/corps-finis.tex
parent534494679cf3c77b5da883e113bc3324b9767248 (diff)
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[Fin] minoration uniforme proportion polyn^omes irr'eductibles dans F_p
Utile pour montrer que presque tous les polyn^omes de degr'e fix'e et `a coefficients entiers sont irr'educibles.
Diffstat (limited to 'chapitres/corps-finis.tex')
-rw-r--r--chapitres/corps-finis.tex31
1 files changed, 31 insertions, 0 deletions
diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex
index 4a8491c..1081cd5 100644
--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -627,6 +627,37 @@ sommes. On verra en \ref{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps} un résultat
plus fin : l'existence d'éléments ou de polynômes
\emph{primitifs}.
+On peut préciser le corollaire précédent sous la forme
+suivante.
+
+\begin{corollaire2}
+\label{estimation-uniforme-proportion-polynomes-irreductibles-dans-Fp}
+Soit $p ≥ 3$ un nombre premier et soit $d ≥ 1$ un nombre
+entier. La proportion des polynômes de degré $d$ dans
+$𝐅_p[X]$ qui sont \emph{irréductibles} est au moins
+égale à $\frac{1}{3d}$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+On a vu que le nombre d'éléments primitifs de $𝐅_{p^d}$
+sur $𝐅_p$ est minoré
+\[
+p^d-∑_{m|d \atop m ≠ d} p^m ≥ p^d - ∑_{m=1}^{d-1}p^m >
+p^d-\frac{p^d}{p-1}=p^d ⋅ \frac{p-2}{p-1}.
+\]
+Le nombre de polynômes irréductibles \emph{unitaires}
+de degré $d$ est donc minoré par un $d$-ième
+de cette quantité, et celui des polynômes irréductibles
+non nécessairement unitaires (donc de coefficient
+dominant arbitraire dans $𝐅_p^×$) par
+$p-1$ fois cette dernière quantité.
+Ainsi, la proportion recherchée est minorée par
+\[
+\frac{1}{d}\frac{p^d(p-2)}{p^{d+1}} = \frac{1-2/p}{d} ≥
+\frac{1-2/3}{d}=\frac{1}{3d}.
+\]
+
+\end{démo}
\subsection{Critères d'irréductibilité}