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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-02-21 13:48:00 +0100
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[Fin,Cons] gros copié-collé Cons ⤳ Fin (sommes de Gauß, hypersurfaces diagonales)
À faire : — relire/réécrire cette partie du texte — mieux faire le lien avec [ACF] (réciprocité quadratique) et [Cons] constructibilité ζ_p — rédiger démo Hasse-Davenport, formule pour nombre de points hypersurface diagonale La fonction ζ a proprement parlé sera introduite en [AC] seulement sans doute.
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+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -15,6 +15,7 @@
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{srcltx}
+\synctex=1
\title{Corps finis}
@@ -1313,13 +1314,14 @@ C'est une variante de la méthode d'Euclide pour montrer
qu'il existe une infinité de nombres premiers. Supposons
que les $P(n)$, $n ∈ 𝐍$ n'aient qu'un nombre fini de
diviseurs premiers $ℓ₁,ℓ₂,…,ℓ_r$. Pour chaque $n ∈ 𝐍$,
-l'entier $P(n ℓ₁ℓ₂\ cdots ℓ_r)$ est congru à $P(0)=±1$
-modulo chaque $ℓ_i$. En particulier, il est premier à
-chacun d'entre eux. Or, si $n$ est grand, $P(n ℓ₁ℓ₂\ cdots ℓ_r)$
+l'entier $P(n ℓ₁ℓ₂\ cdots ℓ_r)$ est congru à $P(0)$
+modulo chaque $ℓ_i$. Si $P(0)=±1$, il en résulte
+que $P(nℓ₁ℓ₂\ cdots ℓ_r)$ est premier à
+chacun des $ℓ_i$. Or, si $n$ est grand, $P(n ℓ₁ℓ₂\ cdots ℓ_r)$
est grand (en valeur absolue) donc a un diviseur premier.
Absurde. Dans le cas général, on observe que si $a=P(0)$,
on a $P(aX)=aQ(X)$ où $Q(0)=1$. Si $Q$ a une racine
-modulo $p$, il en est de même de $P$.
+modulo un nombre premier $p$, il en est de même de $P$.
\end{démo}
\begin{corollaire2}
@@ -1780,7 +1782,658 @@ $p=7$&$p^n=7$&$h_1 = X + 4$\\
\end{tabular}
\end{center}
+\section{Hypersurfaces diagonales ; réciprocité quadratique}
+
+\subsection{Dualité dans les groupes abéliens finis}
+
+\subsubsection{}Soit $G$ un groupe. Un morphisme $χ∈\Hom(G,𝐔)$,
+où $𝐔=\{z∈𝐂, |z|=1\}≅𝐑/𝐙$, est appelé un \emph{caractère} du groupe $G$ ;
+on note $\chap{G}$ leur ensemble, qui est naturellement un groupe \emph{abélien} : $(χχ')(g)=χ(g)χ'(g)$.
+C'est le \emph{dual} de $G$.
+
+\subsubsection{}Le lecteur trouvera dans la littérature des variantes : on
+aurait pu considérer $\Hom(G,𝐂^×)$ (on parle alors parfois de
+\emph{quasi-caractères} ou caractères généralisés), $\Hom(G,E^×)$ (où $E$ est un corps contenant
+les racines $\# G$-ème de l'unité, ou bien encore l'ensemble $\Hom(G,𝐐/𝐙)$.
+Enfin, si $G$ est un groupe
+topologique localement compact, %donc séparé
+on pourrait considérer plutôt l'ensemble des caractères \emph{continus}. Muni de la topologie dite \emph{compacte ouverte}
+c'est à nouveau un groupe topologique localement compact (dualité
+de Pontryagin). Dans le cas des groupes finis, ces notions sont toutes équivalentes.
+Par commodité nous préférons voir nos caractères comme à valeurs dans le cercle
+unité complexe.
+
+\subsubsection{}Par composition des fonctions, tout morphisme $H→G$ de groupes
+induit un morphisme de groupes abéliens $\chap{G}→\chap{H}$.
+
+\begin{lemme2}\label{lemme-Q-sur-Z-est-injectif}
+Soit $K→G$ une \emph{injection} de groupes abéliens finis.
+Le morphisme dual $\chap{G}→\chap{K}$ est une \emph{surjection}.
+\end{lemme2}
+
+On note $K^{\perp}$ son noyau ; en symboles, $K^{\perp}=\{χ∈\chap{G}, χ(K)=\{1\}\}$.
+Le morphisme $K^\perp→\chap{G/K}$ est une bijection :
+tout caractère de $G$ trivial sur $K$ induit un caractère de $G/K$ et
+réciproquement.
+
+\begin{démo}[Démonstration du lemme]
+Soit $χ:K→\mathbf{U}$ un caractère de $K$ ; il faut montrer qu'il s'étend
+à $G$, \cad qu'il existe un caractère $χ':G→\mathbf{U}$ dont la restriction
+à $K$ soit $χ$. Supposons $K≠G$ sans quoi le résultat est trivial et
+considérons $x∈G-K$. Soient $r$ le plus petit entier non nul tel que
+$x^r∈K$ et $z$ une racine $r$-ème de $χ(x^r)$ dans $𝐂$. On
+a donc $χ(x^{rα})=z^{rα}$ pour tout $α∈ℕ$.
+Il en résulte immédiatement que l'application $χ':⟨K,x⟩→\mathbf{U}$, $kx^i\mapsto χ(k)z^i$
+est bien définie ; c'est un caractère du groupe $⟨K,x⟩$.
+De proche en proche, on peut donc étendre le caractère initial à $G$ tout entier.
+(De façon précise : procéder par récurrence sur l'indice $(G:K)$.)
+\end{démo}
+
+L'énoncé dual est trivial : si $G→H$ est une \emph{surjection},
+le morphisme induit $\chap{H}→\chap{G}$ est une injection. (Cet
+énoncé, de nature ensembliste, est vrai sans hypothèse sur $G$ ou $H$.)
+
+Il en résulte que pour toute suite \emph{exacte} de groupes abéliens finis $1→K→G→H→1$,
+la suite $1→\chap{H}→\chap{G}→\chap{K}→1$ est également exacte. En effet,
+$K^\perp:=\mathrm{Ker}(\chap{G}→\chap{K})$ est naturellement
+en bijection avec $\chap{G/K}$.
+
+\begin{lemme2}
+Soit $G$ un groupe fini abélien. Le morphisme d'évaluation
+$G→\chap{\chap{G}}$, $g\mapsto \big(\mathrm{\acute{e}v}_g:χ\mapsto χ(g)\big)$ est un isomorphisme.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+On procède à nouveau par récurrence sur $\# G$, en remarquant
+que l'énoncé est trivial pour un groupe cyclique (exercice).
+Dans le cas général, on considère comme précédemment le diagramme
+de suites exactes :
+$$
+\xymatrix{
+1 \ar[d] \ar[r] & K \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \ar[r] & H \ar[d] \ar[r] & 1 \ar[d] \\
+1 \ar[r] & \chap{\chap{K}} \ar[r] & \chap{\chap{G}} \ar[r] & \chap{\chap{H}} \ar[r] & 1
+}
+$$
+Par hypothèse de récurrence, $K→\chap{\chap{K}}$ et $H→\chap{\chap{H}}$ sont
+des isomorphismes ; il en est donc de même de $G→\chap{\chap{G}}$
+(chasse au diagramme).
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+Tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit
+de groupes cycliques.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soit $ω=∏ p_i^{r_i}$ le p.g.c.d des ordres d'éléments de $G$.
+Pour tout $i$, il existe un élément $g_i$ d'ordre un multiple de $p_i^{r_i}$ ;
+quitte à l'élever à une puissance convenable, on peut le supposer d'ordre
+exactement $p_i^{r_i}$. Le produit $g=∏g_i$ est alors d'ordre exactement $ω$.
+Soient $ζ_ω$ une racine primitive $ω$-ème de l'unité dans $𝐂$ et $χ:⟨g⟩→\mathbf{U}$
+le caractère défini par $χ(g)=ζ_ω$. Il s'étend en un caractère $χ'$ de $G$.
+Son noyau $\Ker(χ')$ est d'indice $ω$ (le cardinal de son image) et $\Ker(χ')⋂⟨g⟩=\{e\}$
+de sorte que $G≅⟨g⟩×\Ker(χ')$. On peut donc démontrer la proposition par
+récurrence sur l'ordre du groupe.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+Si $G$ un groupe abélien fini il existe un isomorphisme
+entre $G$ et $\chap{G}$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Le résultat étant évident pour un groupe cyclique, il suffit de vérifier
+que le dual d'un produit $K×K'$ est isomorphe au produit $\chap{K}×\chap{K'}$
+des duaux. C'est immédiat. (Pour les groupes abéliens, le produit cartésien est
+la somme directe (comme $𝐙$-module).)
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+\label{lemme-orthogonalite-caracteres}
+Soient $G$ un groupe abélien fini et $g∈G$.
+Alors, $∑_{χ∈\chap{G}} χ(g)$ est égal à $0$ si $g≠e$ et $|G|$ sinon.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Le résultat est trivial si $g=e$. Supposons
+$g≠e$. Puisque le morphisme $G→\chap{\chap{G}}$ est un
+isomorphisme, il est donc injectif : $\mathrm{\acute{e}v}_g≠e$.
+En d'autres termes, il existe un caractère $χ'∈\chap{G}$
+tel que $χ'(g)≠1$. Soit $S=∑_χ χ(g)$. On a $χ'(g)S=∑_χ (χ'χ)(g)=S$.
+Puisque $χ'(g)≠1$, on a bien $S=0$.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+\label{variante-orthogonalite-caracteres}
+Soit $G$ un groupe abélien fini et $χ∈\chap{G}$.
+Alors, $∑_{g∈G} χ(g)$ est égal à $0$ si $χ=1$
+et $|G|$ sinon.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Cela résulte de l'égalité $∑_g χ(g)=∑_g \mathrm{\acute{e}v}_g(χ)$,
+du lemme précédent, et du fait que tout caractère de $\chap{G}$ est
+de la forme $\mathrm{\acute{e}v}_g$ pour un unique $g∈G$.
+\end{démo}
+
+\subsection{Équation $X^n=g$ dans un groupe abélien fini ; application}
+
+Pour tout groupe abélien $G$ (en notation multiplicative) et
+tout entier $n$, notons $G[n]:=\{g∈G, g^n=1\}$ et $nG=\{g^n, g∈G\}$.
+La surjection $G→G/nG$ induit une \emph{injection}
+$\chap{G/nG}↪\chap{G}[n]$ : un caractère composé $G→G/nG→\mathbf{U}$
+est tué par $n$. Le premier groupe a pour cardinal $(G:nG)$ ; celui de droite
+$(\chap{G}:n\chap{G})$. D'après la proposition ci-dessus, $G≅\chap{G}$,
+de sorte que $(\chap{G}:n\chap{G})=(G:nG)$ et, finalement,
+$$
+\chap{G/nG}\iso \chap{G}[n].
+$$
+
+Soit $g∈G$ et notons $\sur{g}$ son image dans $G/nG$.
+Cette image est nulle \ssi pour tout $\sur{χ}∈\chap{G/nG}$, $\sur{χ}(\sur{g})=1$.
+Soit $χ$ l'image de $\sur{χ}$ par l'isomorphisme précédent ; on
+a par définition $χ(g)=\sur{χ}(\sur{g})$.
+
+\begin{corollaire2}
+Soient $G$ un groupe abélien fini, $g∈G$ et $n$ un entier.
+Les conditions suivantes sont équivalentes.
+\begin{enumerate}
+\item $g∈nG$ ;
+\item $\chap{G}[n](g)=\{1\}$.
+\end{enumerate}
+\end{corollaire2}
+
+\begin{corollaire2}
+Soient $G$ un groupe abélien fini, $g∈G$ et $n$ un entier. Alors,
+$$
+N(X^n=g)=∑_{χ∈\chap{G}[n]} χ(g),
+$$
+où $N(X^n=g)$ désigne le nombre de solution de l'équation $X^n=g$ dans $G$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Le terme de gauche est égal à $0$ si $g∉nG$ ;
+il est égal à $\#G[n]$ dans le cas contraire car deux solutions
+diffèrent d'un élément de $G[n]$.
+Notons $\sur{g}$ l'image de $g$ dans $G/nG$.
+Le terme de droite se réécrit
+$$
+∑_{\sur{χ}∈\chap{G/nG}} \sur{χ}(\sur{g}).
+$$
+D'après \ref{lemme-orthogonalite-caracteres}, cette somme vaut $0$ si $\sur{g}≠e$
+(\cad $g∉nG$) et $\#\chap{G/nG}$ sinon. Puisque $\chap{G/nG}≅\chap{G}[n]≅G[n]$,
+l'égalité avec le terme de gauche en résulte.
+\end{démo}
+
+
+
+\subsubsection{}
+Soit $F$ un corps \emph{fini}. Rappelons que le groupe multiplicatif $F^×$ est \emph{cyclique}
+(\ref{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps}).
+%Si $n$ est un entier, la condition $n|d$
+%du paragraphe précédent est équivalente à l'égalité $\#μ_n(F)=n$ ou encore à l'inclusion
+%$μ_n(\sur{F})⊂F$.
+Fixons un entier $d≥0$, des coefficients $c₀,\dots,c_d,b∈F^×$ et des exposants
+$n=(n₀,\dots,n_d)$ tous non nuls. On s'intéresse dorénavant au nombre $N=N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_d X_d^{n_d}=b)$
+de solution de cette équation dans $F$ et ses sur-corps. On note $A$ la $F$-algèbre $F^{d+1}$.
+Soit $L$ la forme linéaire sur $A$ définie par $L(a)=∑_i c_i a_i$, où
+$a=(a₀,\dots,a_d)∈F^{d+1}$.
+\subsubsection{}L'égalité suivante est tautologique :
+$$N=∑_{a∈A\atop L(a)=b} N(X₀^{n₀}=a₀)\cdots N(X_d^{n_d}=a_d).$$
+D'après les résultats des paragraphes précédents, chaque
+entier $N(X_i^{n_i}=a_i)$ est égal à la somme
+$∑_{χ∈\chap{F^×}[n_i]} χ(a_i)$.
+
+\begin{quote}
+\emph{A priori}, cette formule n'a
+de sens que pour $a_i≠0$, elle reste pourtant vraie si l'on décrète que $χ(0)$
+est nul si $χ≠1$ et égal à un sinon.
+\end{quote}
+
+Ainsi, en développant l'expression $\big(∑_{χ₀^{n₀}=1} χ(a₀)\big)\cdots
+\big(∑_{χ_d^{n_d}=1} χ(a_d)\big)$ et en sommant sur les $a∈A$ tels que $L(a)=b$,
+on trouve :
+$$
+(\star)\ N=(\# F)^d+∑_{χ=(χ₀,\dots,χ_d)≠1} \big(∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)\big),
+$$
+où la première somme porte sur les caractères comme ci-dessus, supposés
+non tous triviaux. En effet, la contribution de $χ₀=\cdots=χ_d=1$
+est égale au cardinal de l'hyperplan affine $L^{-1}(b)$.
+
+Par commodité, on notera par la suite $χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)=:χ(a)$.
+
+\begin{lemme2}
+Si certains des $χ_i$ sont triviaux, mais pas tous, la somme
+$$∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)$$ est \emph{nulle}.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soit $χ=(χ₀,\dots,χ_d)$ comme dans l'énoncé et considérons
+l'algèbre quotient $A↠A'$ de $A$ correspondant aux facteurs non triviaux.
+Tautologiquement, $χ(a)=χ'(a')$ où $a'$ est l'image de $a$ dans $A'$ et $χ'$
+est la famille de caractères (tous) non triviaux correspondante.
+La somme à évaluer est donc égale à $∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ'(a')$.
+Elle est égale à $∑_{a'∈A'} \big(χ'(a')\cdot \#\{a∈A,a\mapsto a', L(a)=b\}\big)$.
+Puisque pour tout $a'$, $\{a∈A,a\mapsto a', L(a)=b\}$ est un espace
+affine non vide (car $A'≠A$) de dimension donc de cardinal indépendants de $a'$,
+il suffit de montrer que $∑_{a'∈A'} χ'(a')=0$.
+Puisque les constituants de $χ'$ sont tous non triviaux, elle
+est égale à $∑_{a'∈{A'}^×} χ'(a')$. D'après
+\ref{variante-orthogonalite-caracteres}, cette somme est nulle.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{Nouveaux caractères}Soit $A↠A'$ comme dans la démonstration. En passant aux unités,
+on obtient un morphisme induit $A^×↠{A'}^×$ d'où une injection
+$\chap{{A'}^×}↪\chap{A^×}$. La proposition précédente affirme
+que la contribution d'un caractère de l'image est nulle.
+En d'autres termes, seuls contribuent les caractères qui ne sont pas induits
+par une sous-algèbre quotient \emph{stricte}.
+(On a vu en \ref{algebre-diagonalisable} que tous ces quotients sont du type
+envisagé dans la démonstration.)
+
+On note $\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ l'\emph{ensemble} de ces caractères (par oppositions
+aux \emph{anciens}, provenant d'une plus petite algèbre).
+Généralisant quelque peu la notation habituelle,
+on pose $\chap{A^×}[n]:=\{χ=(χ₀,\dots,χ_d)∈\chap{A^×}, χ_i^{n_i}=1\}$.
+(Si $n₀=\dots=n_d$, on retombe sur la définition précédente.)
+Enfin, si $E⊂\chap{A^×}$, on note $E[n]$ (resp. $E^{\mathrm{nouv}}$ resp.
+$E^{\mathrm{nouv}}[n]$) son intersection avec le sous-ensemble correspondant
+de $\chap{A^×}$.
+Remarquons que si $d+1=\dim_F(A)>1$, tout nouveau caractère de $A^×$ est non
+trivial.
+
+\subsubsection{Réécriture de l'égalité ($\star$)}
+Si l'on pose $a'=ca$ (\cad $a'_i=c_i a_i$ pour $0≤i≤d$), on a bien sûr
+$χ(a)=χ(c)^{-1}χ(a')$, ce qui complique un peu les choses,
+mais la condition $L(a)=b$ s'écrit $∑_i a'_i=b$, \cad $\Tr_{A/F}(a')=b$.
+
+Utilisant cette remarque et le lemme précédent, on peut donc
+écrire :
+
+$$
+N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}[n]\atop χ≠1} χ^{-1}(c)\big( ∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b}
+χ(a)\big).
+$$
+
+Rappelons que le terme $(\# F)^d$ correspond au caractère $χ=1$.
+
+Notons $χ_{|F^×}$ la restriction d'un caractère $χ$ de $A^×$ au sous-groupe $F^×$
+plongé diagonalement, de sorte que $χ_{|F^×}(x)=∏_i χ_i(x)$.
+En écrivant $a_i=a₀a'_i$ ($0<i≤d$), on trouve immédiatement,
+pour tout caractère $χ$ de $A^×$ :
+$$
+∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b} χ(a)=∑_{x∈F^×} \Big(χ_{|F^×}(x) \big(∑_{a'∈{A'}^×\atop
+\Tr(a')=\frac{b}{x}-1} χ'(a')\big)\Big),
+$$
+où $χ'=(χ₁,\dots,χ_d)$.
+
+Supposons $b=0$. La somme sur $a'$ ne dépend pas de $x$ et
+$∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=0} χ(a)$ est un multiple de $∑_{x∈F^×} χ_{|F^×}(x)$,
+nul si $χ_{|F^×}$ est non trivial. On peut donc se restreindre pour le calcul de $N$
+aux caractères de $A^×$ \emph{diagonalement triviaux}, \cad
+aux caractères de $A^×/F^×$.
+
+La condition $\Tr(a)=0$ ($a∈A^×$) étant invariante par multiplication
+par un scalaire $λ∈F^×$, il est licite de considérer la condition
+$\Tr(x)=0$ dans $A^×/F^×$.
+
+Nous avons établi la proposition suivante.
+
+\begin{proposition2}
+Soient $F$ un corps fini de cardinal $q$, $d≥0$ un entier, $c₀,\dots,c_d∈F^×$, et $n₀,\dots,n_d≥1$.
+Alors,
+$$
+N(∑_i c_i X_i^{n_i}=0)=q^d+(q-1)∑_{x∈A^×/F^×,\Tr(a)=0 \atop
+χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n], χ≠1} χ(c)χ^{-1}(x).
+$$
+\end{proposition2}
+
+Le facteur $(q-1)$ provient du fait que chaque $x∈A^×/F^×$,
+a exactement $(q-1)$ antécédents dans $A^×$.
+
+
+\subsection{Sommes de Jacobi, sommes de Gauß}
+
+Dans tout ce paragraphe, $F$ désigne un corps fini, de cardinal $q$.
+Nous dirons qu'une $F$-algèbre isomorphe à un produit fini de corps
+finis est une « $F$-algèbre étale ». Ceci est conforme
+avec la terminologie introduite en \refext{Alg}{etale}.
+
+\begin{définition2}\label{definition-somme-Jacobi}
+Soit $A$ une $F$-algèbre \emph{étale} de rang $d+1$.
+Pour tout caractère non trivial $χ∈\chap{A^×/F^×}$, on pose
+$$
+J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x).
+$$
+\end{définition2}
+
+Une telle somme est appelée \emph{somme de Jacobi}.
+
+Le cas qui nous intéresse particulièrement ici est le cas où $A=F^{d+1}$.
+À $χ$ correspondent $d+1$ caractères $(χ₀,\dots,χ_d)$ de $F^×$, non tous triviaux,
+de produit trivial. Dans ce cas,
+$$
+J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{x₁,\dots,x_d∈F^×\atop ∑_i x_i=-1} χ₁^{-1}(x₁)\cdots
+χ_d^{-1}(x_d).
+$$
+
+Dans ce langage, la proposition précédente (où l'on suppose $b=0$) se
+reformule :
+$$
+N=q^d+(-1)^{d-1}(q-1)∑_χ χ(c)J(χ),
+$$
+où $χ$ parcourt le sous-ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n]$.
+
+\subsubsection{Le cas $b$ quelconque}\label{formule-b-quelconque}
+Comme pour $x∈F^×$, on a $x^{q-1}=1$, il vient :
+$$
+N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_{d}X_d^{n_d}-bX_{d+1}^{q-1}=0)=
+(q-1)N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_{d}X_d^{n_d}=b)+N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_{d}X_d^{n_d}=0).
+$$
+
+D'où (pour $b$ non nul)
+$$
+N=q^d+(-1)^d\big(∑_{χ'} χ'(c,-b)J(χ')-∑_χ χ(c)J(χ)\big),
+$$
+où la première somme se fait relativement à l'algèbre $A'=A×F$,
+$χ'$ parcourt l'ensemble $\chap{{A'}^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[(n,q-1)]$
+et $χ$ parcourt l'ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n]$.
+
+(Remarquer que $q^{d+1}-q^d=(q-1)q^d$.)
+
+\begin{lemme2}
+Soit $ζ_p$ une racine primitive $p$-ème de l'unité.
+Pour tout caractère \emph{additif} $ψ$ de $F$, il existe
+un unique $a∈F$ tel que $ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(ax)}$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+On se ramène immédiatement à montrer que toute forme linéaire $f:F→\FF_p$ est
+de la forme $x\mapsto \mathrm{Tr}_{F/\FF_p}(ax)$. Cela résulte du fait que
+la trace est non-dégénérée (l'extension $F/\FF_p$ est étale ; cf.
+\refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net} (v)).
+% si $\mathrm{Tr}_{F/\FF_p}(ax)=0$ pour tout $x∈F$, alors, $a=0$.
+%Ce dernier point résulte à son tour du fait que la trace est surjective
+%et, de façon équivalente, non nulle : le polynôme $X+X^p+\cdots+X^{p^{r-1}}$,
+%qui a au plus $p^{r-1}$ racines dans $F$ (supposé de degré $r$ sur $\FF_p$),
+%ne peut donc s'annuler identiquement sur $F$. (C'est vrai plus généralement pour
+%toute extension finie séparable de corps.)
+\end{démo}
+
+
+\begin{définition2}\label{definition-somme-Gauss}
+Soit $A$ une $F$-algèbre étale de rang $d$, $ψ$ un caractère
+(\emph{additif}) non trivial de $F$ et $χ$ un caractère de $A^×$.
+On pose
+$$
+g(χ,ψ)=(-1)^{d}∑_{a∈A^×} ψ\big(\Tr_{A/F}(a)\big)χ^{-1}(a).
+$$
+\end{définition2}
+
+Une telle somme est appelée \emph{somme de Gauß}. Elles semblent
+avoir été introduites par Cauchy.
+Par la suite, nous noterons $ψ_A$ le caractère (additif) $ψ\circ \Tr_{A/F}$.
+
+Remarquons que $g(χ,ψ)∈𝐐(ζ_p,ζ_{q-1})$.
+
+\subsubsection{}\label{factorisation-somme-Gauss}Si $A$ est un produit de corps $K_i$, de degré $d_i$ sur $F$, on montre immédiatement l'égalité
+$$
+g(χ,ψ)=ε(A)∏_i g(χ_i,ψ_{K_i}),
+$$
+où $ε(A)=(-1)^{∑_i (d_i+1)}$.
+
+Le lien entre sommes de Jacobi et sommes de Gauß est donné par la formule
+suivante, qui nous permettra bientôt de calculer le module
+des sommes de Jacobi. Rappelons que si $A$ est une $F$-algèbre, tout caractère
+de $A^×/F^×$ peut-être vu comme un caractère de $A^×$.
+
+\begin{proposition2}\label{proposition-Gauss-Jacobi}
+Soient $A$ une $F$-algèbre étale
+Pour tout un caractère non trivial $χ$ de $A^×/F^×$,
+et tout caractère (additif) non trivial $ψ$ de $F$,
+on a l'égalité suivante :
+$$
+qJ(χ)=g(χ,ψ).
+$$
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+On a :
+$$
+g(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}∑_{x∈A^×/F^×} \big(χ^{-1}(x)∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)\big),
+$$
+où $a$ parcourt l'ensemble des relèvements de $x$ à $A^×$.
+Si $\Tr(x)=0$, $∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)=(q-1)$ ; dans le
+cas contraire, elle vaut $∑_{t∈F^×} ψ(t)=-1$ (car $∑_{t∈F} ψ(t)=0$).
+Ainsi,
+$$
+g(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}\big(q ∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x) -
+\underbrace{∑_{x∈A^×/F^×} χ^{-1}(x)}_{0}\big).
+$$
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+Soient $A$ une $F$-algèbre étale, $ψ$ un caractère (additif) non trivial
+de $F$ et $χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ non trivial.
+Alors,
+$$
+|g(χ,ψ)|=\sqrt{\# A}.
+$$
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+En faisant le changement de variable $y=xz$ dans la
+formule
+$$
+|g(χ,ψ)|²=g(χ,ψ)\sur{g(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\mathrm{Tr}_{A'/F}(x-y)\big),
+$$
+on trouve immédiatement
+$$
+|g(χ,ψ)|^2=∑_{x,z∈{A'}^×} χ(z)ψ(x(1-z))=∑_z χ(z)\Big(∑_x ψ\big(x(1-z)\big)\Big).
+$$
+Si $z=1$, la somme $∑_x ψ\big(x(1-z)\big)=∑_x 1$ vaut $\# {A'}^×$.
+Si $A'$ est un \emph{corps} et $z≠1$, elle vaut $∑_{y∈{A'}^×}
+ψ(y)=\big(∑_{y∈A'}ψ(y)\big)-1=-1$. Finalement, si $A'$ est un corps,
+$$
+|g|²=\# {A'}^× - ∑_{z≠1\atop z∈{A'}^×} χ(z)=\# {A'}^×+1=\# A'.
+$$
+Le cas général se ramène à ce cas particulier grâce à la formule
+\ref{factorisation-somme-Gauss}.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+$$
+|N(a₀X₀^{n₀}+\cdots+a_d X_d^{n_d}=0)-q^d|≤C_n q^{\frac{d+1}{2}},
+$$
+où $C_n$ est une constante explicite ne dépendant que de $n$.
+De plus, $C_n≤∏_i n_i$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Les deux propositions précédentes montrent que pour $A$ de dimension $d+1$ sur $F$,
+et tout nouveau caractère non trivial, $|qJ(χ)|=q^{\frac{d+1}{2}}$.
+La constante $C_n$ n'est autre que le cardinal des nouveaux
+caractères de ${F^{d+1}}^×/F^×$ tués par $n$ et non triviaux.
+C'est aussi le nombre de $(d+1)$-uplets de rationnels $0<α_i<1$
+tels que $n_i α_i∈𝐙$ et $∑_i α_i∈𝐙$.
+\end{démo}
+
+Le lecteur exhibera sans peine une majoration semblable dans
+le cas $b≠0$.
+
+\subsubsection{}À faire :
+
+— Lien Gauß ↔ transformée de Fourier discrète. Parseval. \XXX
+
+— Montrer que transformée de Gauß puissance $n$ = somme de Kloosterman
+
+— Hasse-Davenport \XXX
+
+\begin{théorème2}[Hasse-Davenport]
+\label{Hasse-Davenport}
+Soit $F'$ une extension finie de $F$ de degré $r$. Alors,
+$$
+g(χ_{F'},ψ_{F'})=g(χ,ψ)^r.
+$$
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Cf. \cite[chap. 11, §4]{Ireland-Rosen},
+ou, mieux, SGA4½, [Sommes trigonométriques], ¶1.15.
+\end{démo}
+
+\subsection{Applications : cardinal des sphères, polygones réguliers et
+réciprocité quadratique}
+
+\subsubsection{Notations}
+
+Soit $F$ un corps fini cardinal $q$ et de caractéristique $p≠2$. Le groupe $F^×$ a donc un unique
+sous-groupe d'indice deux ; on note $χ_{\mathrm{quad}}$ le caractère
+correspondant. On a donc $χ_{\mathrm{quad}}(x)=1$ si $x∈{F^×}²$ et $-1$ sinon.
+
+C'est le seul caractère non trivial de $2$-torsion, de sorte que l'ensemble
+des nouveaux caractères de $2$-torsion de $F^d$ est soit vide soit réduit à un seul
+élément, suivant la parité de $d$.
+
+Dans tout ce paragraphe, nous fixons une racine primitive $p$-ème
+de l'unité $ζ_p$ et considérons le caractère additif non trivial associé :
+$ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(x)}$. Nous notons $g_{\mathrm{quad}}$ la
+somme de Gauß associée à ce caractère additif et au caractère (multiplicatif) quadratique.
+
+\begin{proposition2}
+\label{proposition-cardinal-spheres}
+Soient $d≥0$ un entier et $N$ le nombre de solutions de l'équation
+$X₀²+\cdots+X_d²=1$.
+\begin{enumerate}
+\item $g_{\mathrm{quad}}²=qχ_{\mathrm{quad}}(-1)$ ;
+\item $χ_{\mathrm{quad}}(-1)=(-1)^{\frac{q-1}{2}}$ ;
+\item $N=q^d+χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}} q^{\frac{d}{2}}$ si $d$ est
+pair ;
+\item $N=q^d+χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d+1}{2}} q^{\frac{d-1}{2}}$ si $d$ est
+impair.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+Rappelons que $χ_{\mathrm{quad}}(-1)^n=χ_{\mathrm{quad}}\big((-1)^n\big)$ vaut
+$1$ si $(-1)^n$ est un carré dans $F$, $-1$ sinon.
+
+\begin{démo}
+(i) résulte de la formule générale :
+$$g(χ,ψ)g(\sur{χ},ψ)=χ(-1)^{-1}g(χ,ψ)\sur{g(χ,ψ)}=χ(-1)q.$$
+(ii) Si $x∈{F^×}²$, $x^{\frac{q-1}{2}}=1$ et vice-versa pour des raisons
+de cardinalité. Ainsi, $χ_{\mathrm{quad}}(x)=x^{\frac{q-1}{2}})$,
+égalité ayant lieu dans $\{±1\}$, plongé dans $\mathbf{U}$ (terme
+de gauche) et $F^×$ (terme de droite).
+(iii) et (iv) résultent de la formule générale exprimant $N$ comme
+une somme, de l'égalité $qJ=g$.
+Pour (iii), on utilise également l'égalité
+$χ_{\mathrm{quad}}(-1)\frac{g_{\mathrm{quad}}^{d+2}}{p}=χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}}q^{\frac{d}{2}}$,
+qui découle de (i). L'égalité (iv) est semblable et laissée au lecteur.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+Insistons sur le caractère élémentaire de ces formules.
+Puisque $N(X²=a)=1+χ_{\mathrm{quad}}(a)$, en tire
+$N=q^d+∑_{a₀+\cdots+a_d=1} ∏_i χ_{\mathrm{quad}}(a_i)$. Le second
+terme est, au signe près, une somme de Jacobi.
+Ce calcul a été fait bien avant le cas d'une hypersurface diagonale
+générale, dû à Weil.
+\end{remarque2}
+
+
+Généralisation : hypersurface diagonale.
+$N_r$ est une somme de puissance $r$-ièmes. \XXX.
+On verra en \refext{AC}{} une application à la rationalité
+de la fonction $ζ$.
+
+\subsubsection{Constructiblité des polygones réguliers}
+
+Dans ce court paragraphe, on donne une démonstration élémentaire
+de la constructiblité à la règle et au compas des polygones réguliers
+à $p$ côtés si $p-1$ est une puissance de deux :
+nous allons démontrer qu'il existe sous cette hypothèse une
+suite d'extensions $𝐐=K₀⊂\cdots ⊂K_i ⊂ K_{i+1} ⊂\cdots ⊂K_n=𝐐(ζ_p)$,
+avec $[K_{i+1}:K_i]=2$.
+
+Posons $S=∑_χ g(χ,ψ)$, où $χ$ parcourt $\chap{F^×}$.
+Par définition, $S=-∑_{x∈F^×} \big( ∑_χ χ(x)\big) ψ(x)$.
+Puisque $∑_χ χ(x)=0$ pour $x≠1$, $p-1$ sinon, et $ψ(1)=ζ_p$, on a donc
+l'égalité
+$$
+S=(1-p)ζ_p,
+$$
+de sorte que $𝐐(ζ_p)=𝐐(S)$.
+
+Une somme de nombres constructibles étant constructible \XXX, il suffit donc de démontrer
+que chaque $g(χ,ψ)$ est constructible, si $p-1$ est une puissance de deux, ce que nous supposerons dorénavant.
+
+Observons que pour tout entier $m≥1$, un nombre $g$ est constructible \ssi $g^{2^m}$ l'est.
+Or, tout caractère de $F^×$ est d'ordre divisant $p-1$ donc de la forme $2^m$,
+$m≥0$, si bien que l'égalité $g(χ,ψ)^{2^m}=pJ((χ,\dots,χ))$ (cf. \ref{proposition-Gauss-Jacobi})
+ramène le problème à la constructibilité des sommes de Jacobi.
+Ces dernières appartiennent à $𝐐(μ_{p-1})$ ; elles sont donc constructibles.
+(Le cas $m=0$, \cad $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.)
+
+Selon la légende, c'est cette découverte --- sensationnelle à l'époque ---
+qui aurait décidé Gauß (alors âgé d'un peu moins de 19 ans) à devenir mathématicien, et non linguiste.
+Sa démonstration est exposée en détail dans ses \emph{disquisitiones arithmeticæ} (recherches
+arithmétiques) \cite{Disquisitiones@Gauss}, §7. La découverte elle-même
+semble dater du 30 mars 1796. C'est la première entrée dans son
+fameux \emph{Tagebuch} (\cite{Tagebuch@Gauss}) :
+\begin{quote}
+Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitas eiusdem
+geometrica in septemdecim partes etc.
+\end{quote}
+
+On trouvera dans \refext{Cons}{} un calcul explicite lorsque $p=17$.
+
+\subsubsection{Réciprocité quadratique}
+Cf. \refext{ACF}{reciprocite-quadratique}.
+
+Soit $ℓ≠p$ un nombre premier impair.
+Notons $χ=(χ_{\mathrm{quad}},\dots,χ_{\mathrm{quad}})$
+le caractère de ${F^{ℓ+1}}^×$, où $F=\FF_p$. Il est nouveau, non trivial
+mais diagonalement trivial car $χ_{\mathrm{quad}}^{ℓ+1}=1$.
+
+Il résulte de la formule $pJ=g$ (\ref{proposition-Gauss-Jacobi}) et
+du calcul de $g²$ (\ref{proposition-cardinal-spheres}, (i-ii)) que l'on a
+l'égalité :
+
+$$p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ+1}{2})}=J(χ)=χ_{\mathrm{quad}}(-1)^ℓ∑_{∑x_i=1}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots
+χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ).
+$$
+
+L'égalité de droite est une traduction immédiate de la définition
+des sommes de Jacobi. (On utilise le fait que
+$χ_{\mathrm{quad}}=χ_{\mathrm{quad}}^{-1}$.)
+En faisant passer le terme $χ_{\mathrm{quad}}(-1)^ℓ$ à gauche, on trouve :
+$$
+p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}=∑_{∑x_i=1\atop
+x_i∈𝐅_p^×}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots
+χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ).
+$$
+
+La somme de droite est une somme d'entiers égaux à $±1$.
+Elle est congrue à $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)$ modulo $ℓ$ pour
+la raison suivante. L'ensemble de sommation est naturellement un $𝐙/ℓ$-ensemble (action
+par permutation cyclique des coordonnées) et la fonction
+sommée est invariante par cette action. Il en résulte que,
+modulo $ℓ$, seuls les points fixes contribuent. L'unique point
+fixe est donné par $x₁=\cdots=x_ℓ=\frac{1}{ℓ}∈F^×$. Sa
+contribution est $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)∈\{±1\}$.
+
+Puisque $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)=(\frac{ℓ}{p})$ et que d'autre part,
+modulo $ℓ$, $p^{\frac{ℓ-1}{2}}\equiv (\frac{p}{ℓ})$, on en tire :
+
+\[
+(\frac{ℓ}{p})(\frac{p}{ℓ})=(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}.
+\]
+
+C'est la fameuse \emph{loi de réciprocité quadratique}.
+
\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi