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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-06 20:40:05 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-03-06 20:40:05 +0100
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Introduction de macros \mathtextrm, \mathtextsf et \mathtexttt
Le but est de résoudre le problème des accents qui n'apparaissaient pas, par exemple, dans \mathrm{Dér} (parce qu'Unicode ne définit pas les caractères accentués dans les alphabets mathématiques et, concrètement, parce que le package unicode-math ne leur donne pas des \mathcode appropriés, et ne fournit d'ailleurs pas de 'é' sans-sérif ou autre truc du genre). Ces macros servent donc à écrire du texte dans des formules mathématiques, de façon un peu « intermédiaire » entre \mathrm et \textrm : elles créent du vrai mode maths (donc qui change de taille en exposant et indice, contrairement à \textrm) mais en allant chercher dans une police orientée texte et _sans_ aller prendre dans les alphabets « mathématiques » d'Unicode. Attention : à cause de l'usage de \emitmathchars, le paramètre passé à ces macros ne doit pas contenir de commande quelle qu'elle soit, uniquement des caractères.
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-rw-r--r--chapitres/corps-finis.tex80
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index 6c98f73..6684a32 100644
--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -2507,12 +2507,12 @@ le morphisme induit $\chap{H}→\chap{G}$ est une injection. (Cet
Il en résulte que pour toute suite \emph{exacte} de groupes abéliens finis $1→K→G→H→1$,
la suite $1→\chap{H}→\chap{G}→\chap{K}→1$ est également exacte. En effet,
-$K^\perp:=\mathrm{Ker}(\chap{G}→\chap{K})$ est naturellement
+$K^\perp:=\Ker(\chap{G}→\chap{K})$ est naturellement
en bijection avec $\chap{G/K}$.
\begin{lemme2}
Soit $G$ un groupe fini abélien. Le morphisme d'évaluation
-$G→\chap{\chap{G}}$, $g\mapsto \big(\mathrm{\acute{e}v}_g:χ\mapsto χ(g)\big)$ est un isomorphisme.
+$G→\chap{\chap{G}}$, $g\mapsto \big(\mathtextrm{év}_g:χ\mapsto χ(g)\big)$ est un isomorphisme.
\end{lemme2}
\begin{démo}
@@ -2570,7 +2570,7 @@ Alors, $∑_{χ∈\chap{G}} χ(g)$ est égal à $0$ si $g≠e$ et $|G|$ sinon.
\begin{démo}
Le résultat est trivial si $g=e$. Supposons
$g≠e$. Puisque le morphisme $G→\chap{\chap{G}}$ est un
-isomorphisme, il est donc injectif : $\mathrm{\acute{e}v}_g≠e$.
+isomorphisme, il est donc injectif : $\mathtextrm{év}_g≠e$.
En d'autres termes, il existe un caractère $χ'∈\chap{G}$
tel que $χ'(g)≠1$. Soit $S=∑_χ χ(g)$. On a $χ'(g)S=∑_χ (χ'χ)(g)=S$.
Puisque $χ'(g)≠1$, on a bien $S=0$.
@@ -2584,9 +2584,9 @@ et $|G|$ sinon.
\end{corollaire2}
\begin{démo}
-Cela résulte de l'égalité $∑_g χ(g)=∑_g \mathrm{\acute{e}v}_g(χ)$,
+Cela résulte de l'égalité $∑_g χ(g)=∑_g \mathtextrm{év}_g(χ)$,
du lemme précédent, et du fait que tout caractère de $\chap{G}$ est
-de la forme $\mathrm{\acute{e}v}_g$ pour un unique $g∈G$.
+de la forme $\mathtextrm{év}_g$ pour un unique $g∈G$.
\end{démo}
\subsection{Équation $X^n=g$ dans un groupe abélien fini ; application}
@@ -2704,13 +2704,13 @@ par une sous-algèbre quotient \emph{stricte}.
(On a vu en \ref{algebre-diagonalisable} que tous ces quotients sont du type
envisagé dans la démonstration.)
-On note $\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ l'\emph{ensemble} de ces caractères (par oppositions
+On note $\chap{A^×}^{\mathtextrm{nouv}}$ l'\emph{ensemble} de ces caractères (par oppositions
aux \emph{anciens}, provenant d'une plus petite algèbre).
Généralisant quelque peu la notation habituelle,
on pose $\chap{A^×}[n]:=\{χ=(χ₀,\dots,χ_d)∈\chap{A^×}, χ_i^{n_i}=1\}$.
(Si $n₀=\dots=n_d$, on retombe sur la définition précédente.)
-Enfin, si $E⊂\chap{A^×}$, on note $E[n]$ (resp. $E^{\mathrm{nouv}}$ resp.
-$E^{\mathrm{nouv}}[n]$) son intersection avec le sous-ensemble correspondant
+Enfin, si $E⊂\chap{A^×}$, on note $E[n]$ (resp. $E^{\mathtextrm{nouv}}$ resp.
+$E^{\mathtextrm{nouv}}[n]$) son intersection avec le sous-ensemble correspondant
de $\chap{A^×}$.
Remarquons que si $d+1=\dim_F(A)>1$, tout nouveau caractère de $A^×$ est non
trivial.
@@ -2724,7 +2724,7 @@ Utilisant cette remarque et le lemme précédent, on peut donc
écrire :
$$
-N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}[n]\atop χ≠1} χ^{-1}(c)\big( ∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b}
+N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n]\atop χ≠1} χ^{-1}(c)\big( ∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b}
χ(a)\big).
$$
@@ -2757,7 +2757,7 @@ Soient $F$ un corps fini de cardinal $q$, $d≥0$ un entier, $c₀,\dots,c_d∈F
Alors,
$$
N(∑_i c_i X_i^{n_i}=0)=q^d+(q-1)∑_{x∈A^×/F^×,\Tr(a)=0 \atop
-χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n], χ≠1} χ(c)χ^{-1}(x).
+χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n], χ≠1} χ(c)χ^{-1}(x).
$$
\end{proposition2}
@@ -2795,7 +2795,7 @@ reformule :
$$
N=q^d+(-1)^{d-1}(q-1)∑_χ χ(c)J(χ),
$$
-où $χ$ parcourt le sous-ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n]$.
+où $χ$ parcourt le sous-ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n]$.
\subsubsection{Le cas $b$ quelconque}\label{formule-b-quelconque}
Comme pour $x∈F^×$, on a $x^{q-1}=1$, il vient :
@@ -2809,8 +2809,8 @@ $$
N=q^d+(-1)^d\big(∑_{χ'} χ'(c,-b)J(χ')-∑_χ χ(c)J(χ)\big),
$$
où la première somme se fait relativement à l'algèbre $A'=A×F$,
-$χ'$ parcourt l'ensemble $\chap{{A'}^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[(n,q-1)]$
-et $χ$ parcourt l'ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n]$.
+$χ'$ parcourt l'ensemble $\chap{{A'}^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[(n,q-1)]$
+et $χ$ parcourt l'ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n]$.
(Remarquer que $q^{d+1}-q^d=(q-1)q^d$.)
@@ -2822,10 +2822,10 @@ un unique $a∈F$ tel que $ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(ax)}$.
\begin{démo}
On se ramène immédiatement à montrer que toute forme linéaire $f:F→\FF_p$ est
-de la forme $x\mapsto \mathrm{Tr}_{F/\FF_p}(ax)$. Cela résulte du fait que
+de la forme $x\mapsto \Tr_{F/\FF_p}(ax)$. Cela résulte du fait que
la trace est non-dégénérée (l'extension $F/\FF_p$ est étale ; cf.
\refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net} (v)).
-% si $\mathrm{Tr}_{F/\FF_p}(ax)=0$ pour tout $x∈F$, alors, $a=0$.
+% si $\Tr_{F/\FF_p}(ax)=0$ pour tout $x∈F$, alors, $a=0$.
%Ce dernier point résulte à son tour du fait que la trace est surjective
%et, de façon équivalente, non nulle : le polynôme $X+X^p+\cdots+X^{p^{r-1}}$,
%qui a au plus $p^{r-1}$ racines dans $F$ (supposé de degré $r$ sur $\FF_p$),
@@ -2887,7 +2887,7 @@ $$
\begin{proposition2}
Soient $A$ une $F$-algèbre étale, $ψ$ un caractère (additif) non trivial
-de $F$ et $χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ non trivial.
+de $F$ et $χ∈\chap{A^×}^{\mathtextrm{nouv}}$ non trivial.
Alors,
$$
|𝔤(χ,ψ)|=\sqrt{\# A}.
@@ -2898,7 +2898,7 @@ $$
En faisant le changement de variable $y=xz$ dans la
formule
$$
-|𝔤(χ,ψ)|²=𝔤(χ,ψ)\sur{𝔤(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\mathrm{Tr}_{A'/F}(x-y)\big),
+|𝔤(χ,ψ)|²=𝔤(χ,ψ)\sur{𝔤(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\Tr_{A'/F}(x-y)\big),
$$
on trouve immédiatement
$$
@@ -2961,8 +2961,8 @@ réciprocité quadratique}
\subsubsection{Notations}
Soit $F$ un corps fini cardinal $q$ et de caractéristique $p≠2$. Le groupe $F^×$ a donc un unique
-sous-groupe d'indice deux ; on note $χ_{\mathrm{quad}}$ le caractère
-correspondant. On a donc $χ_{\mathrm{quad}}(x)=1$ si $x∈{F^×}²$ et $-1$ sinon.
+sous-groupe d'indice deux ; on note $χ_{\mathtextrm{quad}}$ le caractère
+correspondant. On a donc $χ_{\mathtextrm{quad}}(x)=1$ si $x∈{F^×}²$ et $-1$ sinon.
C'est le seul caractère non trivial de $2$-torsion, de sorte que l'ensemble
des nouveaux caractères de $2$-torsion de $F^d$ est soit vide soit réduit à un seul
@@ -2970,7 +2970,7 @@ des nouveaux caractères de $2$-torsion de $F^d$ est soit vide soit réduit à
Dans tout ce paragraphe, nous fixons une racine primitive $p$-ème
de l'unité $ζ_p$ et considérons le caractère additif non trivial associé :
-$ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(x)}$. Nous notons $g_{\mathrm{quad}}$ la
+$ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(x)}$. Nous notons $g_{\mathtextrm{quad}}$ la
somme de Gauß associée à ce caractère additif et au caractère (multiplicatif) quadratique.
\begin{proposition2}
@@ -2978,36 +2978,36 @@ somme de Gauß associée à ce caractère additif et au caractère (multiplicati
Soient $d≥0$ un entier et $N$ le nombre de solutions de l'équation
$X₀²+\cdots+X_d²=1$.
\begin{enumerate}
-\item $g_{\mathrm{quad}}²=qχ_{\mathrm{quad}}(-1)$ ;
-\item $χ_{\mathrm{quad}}(-1)=(-1)^{\frac{q-1}{2}}$ ;
-\item $N=q^d+χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}} q^{\frac{d}{2}}$ si $d$ est
+\item $g_{\mathtextrm{quad}}²=qχ_{\mathtextrm{quad}}(-1)$ ;
+\item $χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)=(-1)^{\frac{q-1}{2}}$ ;
+\item $N=q^d+χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}} q^{\frac{d}{2}}$ si $d$ est
pair ;
-\item $N=q^d+χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d+1}{2}} q^{\frac{d-1}{2}}$ si $d$ est
+\item $N=q^d+χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^{\frac{d+1}{2}} q^{\frac{d-1}{2}}$ si $d$ est
impair.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
-Rappelons que $χ_{\mathrm{quad}}(-1)^n=χ_{\mathrm{quad}}\big((-1)^n\big)$ vaut
+Rappelons que $χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^n=χ_{\mathtextrm{quad}}\big((-1)^n\big)$ vaut
$1$ si $(-1)^n$ est un carré dans $F$, $-1$ sinon.
\begin{démo}
(i) résulte de la formule générale :
$$𝔤(χ,ψ)𝔤(\sur{χ},ψ)=χ(-1)^{-1}𝔤(χ,ψ)\sur{𝔤(χ,ψ)}=χ(-1)q.$$
(ii) Si $x∈{F^×}²$, $x^{\frac{q-1}{2}}=1$ et vice-versa pour des raisons
-de cardinalité. Ainsi, $χ_{\mathrm{quad}}(x)=x^{\frac{q-1}{2}})$,
+de cardinalité. Ainsi, $χ_{\mathtextrm{quad}}(x)=x^{\frac{q-1}{2}})$,
égalité ayant lieu dans $\{±1\}$, plongé dans $\mathbf{U}$ (terme
de gauche) et $F^×$ (terme de droite).
(iii) et (iv) résultent de la formule générale exprimant $N$ comme
une somme, de l'égalité $qJ=g$.
Pour (iii), on utilise également l'égalité
-$χ_{\mathrm{quad}}(-1)\frac{g_{\mathrm{quad}}^{d+2}}{p}=χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}}q^{\frac{d}{2}}$,
+$χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)\frac{g_{\mathtextrm{quad}}^{d+2}}{p}=χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}}q^{\frac{d}{2}}$,
qui découle de (i). L'égalité (iv) est semblable et laissée au lecteur.
\end{démo}
\begin{remarque2}
Insistons sur le caractère élémentaire de ces formules.
-Puisque $N(X²=a)=1+χ_{\mathrm{quad}}(a)$, en tire
-$N=q^d+∑_{a₀+\cdots+a_d=1} ∏_i χ_{\mathrm{quad}}(a_i)$. Le second
+Puisque $N(X²=a)=1+χ_{\mathtextrm{quad}}(a)$, en tire
+$N=q^d+∑_{a₀+\cdots+a_d=1} ∏_i χ_{\mathtextrm{quad}}(a_i)$. Le second
terme est, au signe près, une somme de Jacobi.
Ce calcul a été fait bien avant le cas d'une hypersurface diagonale
générale, dû à Weil.
@@ -3066,38 +3066,38 @@ explicite lorsque $p=17$.
Cf. \ref{reciprocite-quadratique}.
Soit $ℓ≠p$ un nombre premier impair.
-Notons $χ=(χ_{\mathrm{quad}},\dots,χ_{\mathrm{quad}})$
+Notons $χ=(χ_{\mathtextrm{quad}},\dots,χ_{\mathtextrm{quad}})$
le caractère de ${F^{ℓ+1}}^×$, où $F=\FF_p$. Il est nouveau, non trivial
-mais diagonalement trivial car $χ_{\mathrm{quad}}^{ℓ+1}=1$.
+mais diagonalement trivial car $χ_{\mathtextrm{quad}}^{ℓ+1}=1$.
Il résulte de la formule $pJ=g$ (\ref{proposition-Gauss-Jacobi}) et
du calcul de $g²$ (\ref{proposition-cardinal-spheres}, (i-ii)) que l'on a
l'égalité :
-$$p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ+1}{2})}=J(χ)=χ_{\mathrm{quad}}(-1)^ℓ∑_{∑x_i=1}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots
-χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ).
+$$p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ+1}{2})}=J(χ)=χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^ℓ∑_{∑x_i=1}χ_{\mathtextrm{quad}}(x₁)\cdots
+χ_{\mathtextrm{quad}}(x_ℓ).
$$
L'égalité de droite est une traduction immédiate de la définition
des sommes de Jacobi. (On utilise le fait que
-$χ_{\mathrm{quad}}=χ_{\mathrm{quad}}^{-1}$.)
-En faisant passer le terme $χ_{\mathrm{quad}}(-1)^ℓ$ à gauche, on trouve :
+$χ_{\mathtextrm{quad}}=χ_{\mathtextrm{quad}}^{-1}$.)
+En faisant passer le terme $χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^ℓ$ à gauche, on trouve :
$$
p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}=∑_{∑x_i=1\atop
-x_i∈𝐅_p^×}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots
-χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ).
+x_i∈𝐅_p^×}χ_{\mathtextrm{quad}}(x₁)\cdots
+χ_{\mathtextrm{quad}}(x_ℓ).
$$
La somme de droite est une somme d'entiers égaux à $±1$.
-Elle est congrue à $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)$ modulo $ℓ$ pour
+Elle est congrue à $χ_{\mathtextrm{quad}}(ℓ)$ modulo $ℓ$ pour
la raison suivante. L'ensemble de sommation est naturellement un $𝐙/ℓ$-ensemble (action
par permutation cyclique des coordonnées) et la fonction
sommée est invariante par cette action. Il en résulte que,
modulo $ℓ$, seuls les points fixes contribuent. L'unique point
fixe est donné par $x₁=\cdots=x_ℓ=\frac{1}{ℓ}∈F^×$. Sa
-contribution est $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)∈\{±1\}$.
+contribution est $χ_{\mathtextrm{quad}}(ℓ)∈\{±1\}$.
-Puisque $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)=(\frac{ℓ}{p})$ et que d'autre part,
+Puisque $χ_{\mathtextrm{quad}}(ℓ)=(\frac{ℓ}{p})$ et que d'autre part,
modulo $ℓ$, $p^{\frac{ℓ-1}{2}}\equiv (\frac{p}{ℓ})$, on en tire :
\[