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author | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-04-05 13:24:40 +0200 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-04-05 13:24:40 +0200 |
commit | 1d36a0141ed47b79e720abbb07b89d515d4b7ea6 (patch) | |
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[Fin] proposition supprimée (déplacée vers [modp])
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-rw-r--r-- | chapitres/corps-finis.tex | 40 |
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diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex index 12ae0b3..474e228 100644 --- a/chapitres/corps-finis.tex +++ b/chapitres/corps-finis.tex @@ -654,46 +654,6 @@ La conclusion résulte alors des inégalités $\frac{p-2}{p-1} ≥ ½$ et $1-\frac{2}{p} ≥ ⅓$. \end{démo} -\begin{corollaire2} -\label{polynomes-presque-tous-irreductibles} -Soit $d ≥ 1$ un entier. Parmi les polynômes $f ∈ 𝐙[X]$ -unitaires de degré $d$ à coefficients dans un intervalle -$[-N,N]$, la proportion de ceux qui sont -\emph{réductibles} tend vers $0$ lorsque $N$ tend -vers $+∞$. -\end{corollaire2} - -\begin{démo} -Soit $ε>0$ ; il existe un entier $r ≥ 1$ tel que -$2^d(1-\frac{1}{2d})^r ≤ ε$. -Soit $P=p₁…p_r$ un produit de nombres premiers distincts -et supérieurs ou égaux à $3$ (par exemple, $P=3 ⋅ 5 ⋅ 7 -\cdots$). Vérifions que si $N ≥ P$, la proportion -des polynômes comme dans l'énoncé est au plus $ε$. -L'application envoyant un polynôme $f ∈ 𝐙[X]$ à coefficients -dans $[-N,N]$, unitaire de degré $d$, sur sa réduction $f \mod P ∈ 𝐙/P[X]$ -est à fibres de cardinal au plus $(\frac{2N+1}{P}+1)^d$. -Elle envoie un polynôme réductible (unitaire, de degré $d$) -sur un polynôme réductible (unitaire, de degré $d$). -D'autre part, il résulte du lemme chinois que l'application -de réduction modulo chacun des $p_i$, $𝐙/P[X] → 𝐅_{p₁}[X]×…× -𝐅_{p_r}[X]$, est un isomorphisme d'anneaux. -Il en résulte que la proportion des -polynômes \emph{réductibles} parmi les -polynômes de $𝐙/P[X]$ unitaires de degré $d$ est majorée -par $(1-\frac{1}{2d})^r$. -Ainsi le nombre de polynômes réductibles comme -dans l'énoncé est majoré par -\[ -(1-\frac{1}{2d})^r × P^d × (\frac{2N+1}{P}+1)^d ≤ ε (2N+1)^d -\] -car $2N+1+P ≤ 2(2N+1)$, $N$ étant supérieur ou égal à $P$. -\end{démo} - -On laisse le soin au lecteur de vérifier qu'il en est de -même des polynômes de degré au plus $d$, non nécessairement -unitaires. - \subsection{Critères d'irréductibilité} \begin{proposition2}[critère d'irréductibilité de Rabin]\label{critere-rabin} |