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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-03-07 16:49:50 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-03-07 16:49:50 +0100
commit36c6c91c50bb0b0e49f942bc5665c02dc9301817 (patch)
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--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -622,7 +622,7 @@ sous la forme exacte, on peut obtenir une seconde
démonstration de \ref{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}.
Il suffit en effet de montrer que pour chaque entier $r$,
on a l'inégalité
-$\displaystyle ∑_{d|r \atop μ(r/d)=1} q^d ≠ ∑_{d|r \atop μ(r/d)=-1} q^d$.
+$\displaystyle ∑_{\substack{d|r \\ μ(r/d)=1}} q^d ≠ ∑_{\substack{d|r \\ μ(r/d)=-1}} q^d$.
Or, cela résulte de l'unicité de la décomposition d'un entier en
base $q$, elle-même s'observant par exemple par réduction modulo la plus
petite puissance de $q$ apparaissant dans l'une des deux
@@ -644,7 +644,7 @@ $𝐅_p[X]$ qui sont \emph{irréductibles} (resp.
On a vu que le nombre d'éléments primitifs de $𝐅_{p^d}$
sur $𝐅_p$ est minoré
\[
-p^d-∑_{m|d \atop m ≠ d} p^m ≥ p^d - ∑_{m=1}^{d-1}p^m >
+p^d-∑_{\substack{m|d \\ m ≠ d}} p^m ≥ p^d - ∑_{m=1}^{d-1}p^m >
p^d-\frac{p^d}{p-1}=p^d ⋅ \frac{p-2}{p-1}.
\]
Le nombre de polynômes irréductibles \emph{unitaires}
@@ -2652,7 +2652,7 @@ de solution de cette équation dans $F$ et ses sur-corps. On note $A$ la $F$-al
Soit $L$ la forme linéaire sur $A$ définie par $L(a)=∑_i c_i a_i$, où
$a=(a₀,\dots,a_d)∈F^{d+1}$.
\subsubsection{}L'égalité suivante est tautologique :
-$$N=∑_{a∈A\atop L(a)=b} N(X₀^{n₀}=a₀)\cdots N(X_d^{n_d}=a_d).$$
+$$N=∑_{\substack{a∈A\\ L(a)=b}} N(X₀^{n₀}=a₀)\cdots N(X_d^{n_d}=a_d).$$
D'après les résultats des paragraphes précédents, chaque
entier $N(X_i^{n_i}=a_i)$ est égal à la somme
$∑_{χ∈\chap{F^×}[n_i]} χ(a_i)$.
@@ -2667,7 +2667,7 @@ Ainsi, en développant l'expression $\big(∑_{χ₀^{n₀}=1} χ(a₀)\big)\cdo
\big(∑_{χ_d^{n_d}=1} χ(a_d)\big)$ et en sommant sur les $a∈A$ tels que $L(a)=b$,
on trouve :
$$
-(\star)\ N=(\# F)^d+∑_{χ=(χ₀,\dots,χ_d)≠1} \big(∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)\big),
+(\star)\ N=(\# F)^d+∑_{χ=(χ₀,\dots,χ_d)≠1} \big(∑_{\substack{a∈A\\ L(a)=b}} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)\big),
$$
où la première somme porte sur les caractères comme ci-dessus, supposés
non tous triviaux. En effet, la contribution de $χ₀=\cdots=χ_d=1$
@@ -2677,7 +2677,7 @@ Par commodité, on notera par la suite $χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)=:χ(a)$.
\begin{lemme2}
Si certains des $χ_i$ sont triviaux, mais pas tous, la somme
-$$∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)$$ est \emph{nulle}.
+$$∑_{\substack{a∈A\\ L(a)=b}} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)$$ est \emph{nulle}.
\end{lemme2}
\begin{démo}
@@ -2685,7 +2685,7 @@ Soit $χ=(χ₀,\dots,χ_d)$ comme dans l'énoncé et considérons
l'algèbre quotient $A↠A'$ de $A$ correspondant aux facteurs non triviaux.
Tautologiquement, $χ(a)=χ'(a')$ où $a'$ est l'image de $a$ dans $A'$ et $χ'$
est la famille de caractères (tous) non triviaux correspondante.
-La somme à évaluer est donc égale à $∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ'(a')$.
+La somme à évaluer est donc égale à $∑_{\substack{a∈A\\ L(a)=b}} χ'(a')$.
Elle est égale à $∑_{a'∈A'} \big(χ'(a')\cdot \#\{a∈A,a\mapsto a', L(a)=b\}\big)$.
Puisque pour tout $a'$, $\{a∈A,a\mapsto a', L(a)=b\}$ est un espace
affine non vide (car $A'≠A$) de dimension donc de cardinal indépendants de $a'$,
@@ -2724,7 +2724,7 @@ Utilisant cette remarque et le lemme précédent, on peut donc
écrire :
$$
-N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n]\atop χ≠1} χ^{-1}(c)\big( ∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b}
+N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\substack{\mathtextrm{nouv}}[n]\\ χ≠1}} χ^{-1}(c)\big( ∑_{\substack{a∈A^×\\ \Tr(a)=b}}
χ(a)\big).
$$
@@ -2735,13 +2735,12 @@ plongé diagonalement, de sorte que $χ_{|F^×}(x)=∏_i χ_i(x)$.
En écrivant $a_i=a₀a'_i$ ($0<i≤d$), on trouve immédiatement,
pour tout caractère $χ$ de $A^×$ :
$$
-∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b} χ(a)=∑_{x∈F^×} \Big(χ_{|F^×}(x) \big(∑_{a'∈{A'}^×\atop
-\Tr(a')=\frac{b}{x}-1} χ'(a')\big)\Big),
+∑_{\substack{a∈A^×\\ \Tr(a)=b}} χ(a)=∑_{x∈F^×} \Big(χ_{|F^×}(x) \big(∑_{\substack{a'∈{A'}^×\\ \Tr(a')=\frac{b}{x}-1}} χ'(a')\big)\Big),
$$
où $χ'=(χ₁,\dots,χ_d)$.
Supposons $b=0$. La somme sur $a'$ ne dépend pas de $x$ et
-$∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=0} χ(a)$ est un multiple de $∑_{x∈F^×} χ_{|F^×}(x)$,
+$∑_{\substack{a∈A^×\\ \Tr(a)=0}} χ(a)$ est un multiple de $∑_{x∈F^×} χ_{|F^×}(x)$,
nul si $χ_{|F^×}$ est non trivial. On peut donc se restreindre pour le calcul de $N$
aux caractères de $A^×$ \emph{diagonalement triviaux}, c'est-à-dire
aux caractères de $A^×/F^×$.
@@ -2756,8 +2755,7 @@ Nous avons établi la proposition suivante.
Soient $F$ un corps fini de cardinal $q$, $d≥0$ un entier, $c₀,\dots,c_d∈F^×$, et $n₀,\dots,n_d≥1$.
Alors,
$$
-N(∑_i c_i X_i^{n_i}=0)=q^d+(q-1)∑_{x∈A^×/F^×,\Tr(a)=0 \atop
-χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n], χ≠1} χ(c)χ^{-1}(x).
+N(∑_i c_i X_i^{n_i}=0)=q^d+(q-1)∑_{\substack{x∈A^×/F^×,\Tr(a)=0 \\ χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mathtextrm{nouv}}[n], χ≠1}} χ(c)χ^{-1}(x).
$$
\end{proposition2}
@@ -2776,7 +2774,7 @@ avec la terminologie introduite en \refext{Alg}{etale}.
Soit $A$ une $F$-algèbre \emph{étale} de rang $d+1$.
Pour tout caractère non trivial $χ∈\chap{A^×/F^×}$, on pose
$$
-J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x).
+J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{\substack{x∈A^×/F^×\\ \Tr(x)=0}} χ^{-1}(x).
$$
\end{définition2}
@@ -2786,7 +2784,7 @@ Le cas qui nous intéresse particulièrement ici est le cas où $A=F^{d+1}$.
À $χ$ correspondent $d+1$ caractères $(χ₀,\dots,χ_d)$ de $F^×$, non tous triviaux,
de produit trivial. Dans ce cas,
$$
-J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{x₁,\dots,x_d∈F^×\atop ∑_i x_i=-1} χ₁^{-1}(x₁)\cdots
+J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{\substack{x₁,\dots,x_d∈F^×\\ ∑_i x_i=-1}} χ₁^{-1}(x₁)\cdots
χ_d^{-1}(x_d).
$$
@@ -2880,7 +2878,7 @@ Si $\Tr(x)=0$, $∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)=(q-1)$ ; dans le
cas contraire, elle vaut $∑_{t∈F^×} ψ(t)=-1$ (car $∑_{t∈F} ψ(t)=0$).
Ainsi,
$$
-𝔤(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}\big(q ∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x) -
+𝔤(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}\big(q ∑_{\substack{x∈A^×/F^×\\ \Tr(x)=0}} χ^{-1}(x) -
\underbrace{∑_{x∈A^×/F^×} χ^{-1}(x)}_{0}\big).
$$
\end{démo}
@@ -2908,7 +2906,7 @@ Si $z=1$, la somme $∑_x ψ\big(x(1-z)\big)=∑_x 1$ vaut $\# {A'}^×$.
Si $A'$ est un \emph{corps} et $z≠1$, elle vaut $∑_{y∈{A'}^×}
ψ(y)=\big(∑_{y∈A'}ψ(y)\big)-1=-1$. Finalement, si $A'$ est un corps,
$$
-|g|²=\# {A'}^× - ∑_{z≠1\atop z∈{A'}^×} χ(z)=\# {A'}^×+1=\# A'.
+|g|²=\# {A'}^× - ∑_{\substack{z≠1\\ z∈{A'}^×}} χ(z)=\# {A'}^×+1=\# A'.
$$
Le cas général se ramène à ce cas particulier grâce à la formule
\ref{factorisation-somme-Gauss}.
@@ -3083,8 +3081,7 @@ des sommes de Jacobi. (On utilise le fait que
$χ_{\mathtextrm{quad}}=χ_{\mathtextrm{quad}}^{-1}$.)
En faisant passer le terme $χ_{\mathtextrm{quad}}(-1)^ℓ$ à gauche, on trouve :
$$
-p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}=∑_{∑x_i=1\atop
-x_i∈𝐅_p^×}χ_{\mathtextrm{quad}}(x₁)\cdots
+p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}=∑_{\substack{∑x_i=1\\ x_i∈𝐅_p^×}}χ_{\mathtextrm{quad}}(x₁)\cdots
χ_{\mathtextrm{quad}}(x_ℓ).
$$