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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 20:42:55 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 20:42:55 +0100
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index 36eb5df..0156580 100644
--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -373,7 +373,7 @@ $\FF_q \subseteq
La seconde affirmation est alors claire : $\FF_q \cap \FF_{q'}$ est un
corps fini qui contient le corps fini à $p^{r_1}$ éléments si et
seulement si $r_1 | r$ et $r_1 | r'$, c'est-à-dire si et seulement si
-$r_1 | r_0$ où $r_0 = \pgcd(r,r')$ --- autrement dit, il s'agit
+$r_1 | r_0$ où $r_0 = \pgcd(r,r')$ — autrement dit, il s'agit
justement de $\FF_{q_0}$.
\end{proof}
@@ -435,7 +435,7 @@ corps de décomposition est $\FF_{q^r}$ où $r$ est le plus petit
commun multiple des degrés des facteurs irréductibles de $h$}.
De plus, on vient de voir que l'ordre de $\Frob_q$ agissant sur $x$
---- ou, par conséquent, sur $\FF_q(x)$ --- est exactement le degré $s$
+— ou, par conséquent, sur $\FF_q(x)$ — est exactement le degré $s$
de $x$ sur $\FF_q$. En utilisant le théorème de l'élément
primitif (\refext{Alg}{element-primitif}), on peut conclure que
$\Frob_q$ agissant sur $\FF_{q^r}$ est d'ordre exactement $r$ ; on
@@ -580,7 +580,7 @@ fixé), ce nombre vaut $\frac{1}{n} q^n + O(q^{n/2})$.
\end{corollaire2}
\begin{proof}
Pour ce qui est de la première affirmation, en notant $M(n)$ le nombre
---- qu'on cherche à calculer --- d'unitaires irréductibles de
+— qu'on cherche à calculer — d'unitaires irréductibles de
degré $n$ sur $\FF_q$, la formule d'inversion de Möbius montre qu'il
suffit de prouver $q^n = \sum_{d|n} d\,M(d)$ : or c'est justement la
deuxième affirmation de l'énoncé de la
@@ -590,7 +590,7 @@ Pour ce qui est de l'estimation asymptotique, remarquons que dans la
somme exacte, le terme $d=n$ vaut $\frac{1}{n} q^n$, le terme
$d=\frac{n}{2}$, s'il existe (c'est-à-dire, si $n$ est pair), vaut
$-\frac{1}{n} q^{n/2}$, et tous les autres termes, dont le nombre est
-au plus $n$, sont chacun $O(q^{n/3})$ --- leur somme est donc
+au plus $n$, sont chacun $O(q^{n/3})$ — leur somme est donc
bien $O(q^{n/2})$.
\end{proof}
@@ -807,7 +807,7 @@ h \equiv -2X^4 + X^2 - 3X - 2 \pmod{-2X^5 + 3X^4 - X^3 - X^2 + 2X}\\
-2 X^2 - 2 \equiv -3 \pmod{-2 X - 3}\\
\end{array}
\]
---- ce qui conclut la vérification du critère de Rabin. Tous ces
+— ce qui conclut la vérification du critère de Rabin. Tous ces
calculs montrent donc que $h = X^6 -2 X^4 + 3 X^3 - X^2 - X - 2$ est
irréductible dans $\FF_7[X]$.
@@ -894,7 +894,7 @@ coefficient constant non nul est premier avec un multiple nul de
l'indéterminée). On calcule alors la matrice de l'endomorphisme
$\Frob_7 - \Id$ sur la base $1, X, X^2, \ldots, X^5$ de
$\FF_7[X]/(h)$, en calculant successivement $X^7, X^{14}, \ldots,
-X^{35}$ modulo $h$ --- les calculs sont donc très semblables à ceux
+X^{35}$ modulo $h$ — les calculs sont donc très semblables à ceux
menés au début de \ref{exemple-numerique-critere-rabin} et conduisent
à :
\[
@@ -1264,7 +1264,7 @@ degré de $\Phi_n$ est $\varphi(n)$. La formule $\Phi_n(X)
= \prod_\zeta (X-\zeta)$ pour $\zeta$ parcourant l'ensemble des
racines primitives $n$-ièmes de l'unité est encore valable dans
n'importe quel corps, de caractéristique ne divisant pas $n$, où il
-existe une --- et donc $\varphi(n)$ --- racine primitive $n$-ième de
+existe une — et donc $\varphi(n)$ — racine primitive $n$-ième de
l'unité.
Si $q$ et $n$ sont premiers entre eux où $q$ est une puissance d'un
@@ -2102,7 +2102,7 @@ Soient $p,q$ deux nombres premiers impairs distincts. On a alors :
\[
\Legendre{p}{q} \Legendre{q}{p} = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}
\]
---- c'est-à-dire $\Legendre{q}{p} = \Legendre{p}{q}$ sauf si
+— c'est-à-dire $\Legendre{q}{p} = \Legendre{p}{q}$ sauf si
$p,q \equiv 3 \pmod{4}$ auquel cas $\Legendre{q}{p} =
-\Legendre{p}{q}$.
\end{theoreme2}
@@ -2203,7 +2203,7 @@ Soit $p$ un nombre premier impair. On a alors :
\[
\Legendre{2}{p} = (-1)^{(p^2-1)/8}
\]
---- c'est-à-dire $\Legendre{2}{p} = 1$ si $p\equiv 1,7 \pmod{8}$ et
+— c'est-à-dire $\Legendre{2}{p} = 1$ si $p\equiv 1,7 \pmod{8}$ et
$\Legendre{2}{p} = -1$ si $p\equiv 3,5 \pmod{8}$.
\end{proposition2}
\begin{proof}[Première démonstration]
@@ -3047,7 +3047,7 @@ ramène le problème à la constructibilité des sommes de Jacobi.
Ces dernières appartiennent à $𝐐(μ_{p-1})$ ; elles sont donc constructibles.
(Le cas $m=0$, c'est-à-dire $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.)
-Selon la légende, c'est cette découverte --- sensationnelle à l'époque ---
+Selon la légende, c'est cette découverte — sensationnelle à l'époque —
qui aurait décidé Gauß (alors âgé d'un peu moins de 19 ans) à devenir mathématicien, et non linguiste.
Sa démonstration est exposée en détail dans ses \emph{disquisitiones arithmeticæ} (recherches
arithmétiques) \cite{Disquisitiones@Gauss}, §7. La découverte elle-même