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path: root/chapitres/corps-finis.tex
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authorFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-29 16:33:14 +0200
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-29 16:33:14 +0200
commit6903b3a59c6b42ab78d28282b70e94e0883bf50e (patch)
tree5f2315827163926b98f31a1df3e8fe145a6cea67 /chapitres/corps-finis.tex
parent02a3009d53bf992553e33fa1f0b8382c9bb176de (diff)
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[Fin] la plupart des polyn^omes sont irr'eductibles
Diffstat (limited to 'chapitres/corps-finis.tex')
-rw-r--r--chapitres/corps-finis.tex53
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diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex
index 1081cd5..3552907 100644
--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -626,16 +626,15 @@ petite puissance de $q$ apparaissant dans l'une des deux
sommes. On verra en \ref{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps} un résultat
plus fin : l'existence d'éléments ou de polynômes
\emph{primitifs}.
-
-On peut préciser le corollaire précédent sous la forme
-suivante.
+On peut préciser le corollaire précédent sous la forme suivante.
\begin{corollaire2}
\label{estimation-uniforme-proportion-polynomes-irreductibles-dans-Fp}
Soit $p ≥ 3$ un nombre premier et soit $d ≥ 1$ un nombre
entier. La proportion des polynômes de degré $d$ dans
-$𝐅_p[X]$ qui sont \emph{irréductibles} est au moins
-égale à $\frac{1}{3d}$.
+$𝐅_p[X]$ qui sont \emph{irréductibles} (resp.
+\emph{irréductibles unitaires}) est au moins
+égale à $\frac{1}{3d}$ (resp. $\frac{1}{2d}$).
\end{corollaire2}
\begin{démo}
@@ -651,14 +650,50 @@ de cette quantité, et celui des polynômes irréductibles
non nécessairement unitaires (donc de coefficient
dominant arbitraire dans $𝐅_p^×$) par
$p-1$ fois cette dernière quantité.
-Ainsi, la proportion recherchée est minorée par
+La conclusion résulte alors des inégalités
+$\frac{p-2}{p-1} ≥ ½$ et $1-\frac{2}{p} ≥ ⅓$.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}[Dörge (1925), van der Waerden (1933)]
+\label{polynomes-presque-tous-irreductibles}
+Soit $d ≥ 1$ un entier. Parmi les polynômes $f ∈ 𝐙[X]$
+unitaires de degré $d$ à coefficients dans un intervalle
+$[-N,N]$, la proportion de ceux qui sont
+\emph{réductibles} tend vers $0$ lorsque $N$ tend
+vers $+∞$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Soit $ε>0$ ; il existe un entier $r ≥ 1$ tel que
+$2^d(1-\frac{1}{2d})^r ≤ ε$.
+Soit $P=p₁…p_r$ un produit de nombres premiers distincts
+et supérieurs ou égaux à $3$ (par exemple, $P=3 ⋅ 5 ⋅ 7
+\cdots$). Vérifions que si $N ≥ P$, la proportion
+des polynômes comme dans l'énoncé est au plus $ε$.
+L'application envoyant un polynôme $f ∈ 𝐙[X]$ à coefficients
+dans $[-N,N]$, unitaire de degré $d$, sur sa réduction $f \mod P ∈ 𝐙/P[X]$
+est à fibres de cardinal au plus $(\frac{2N+1}{P}+1)^d$.
+Elle envoie un polynôme réductible (unitaire, de degré $d$)
+sur un polynôme réductible (unitaire, de degré $d$).
+D'autre part, il résulte du lemme chinois que l'application
+de réduction modulo chacun des $p_i$, $𝐙/P[X] → 𝐅_{p₁}[X]×…×
+𝐅_{p_r}[X]$, est un isomorphisme d'anneaux.
+Il en résulte que la proportion des
+polynômes \emph{réductibles} parmi les
+polynômes de $𝐙/P[X]$ unitaires de degré $d$ est majorée
+par $(1-\frac{1}{2d})^r$.
+Ainsi le nombre de polynômes réductibles comme
+dans l'énoncé est majoré par
\[
-\frac{1}{d}\frac{p^d(p-2)}{p^{d+1}} = \frac{1-2/p}{d} ≥
-\frac{1-2/3}{d}=\frac{1}{3d}.
+(1-\frac{1}{2d})^r × P^d × (\frac{2N+1}{P}+1)^d ≤ ε (2N+1)^d
\]
-
+car $2N+1+P ≤ 2(2N+1)$, $N$ étant supérieur ou égal à $P$.
\end{démo}
+On laisse le soin au lecteur de vérifier qu'il en est de
+même des polynômes de degré au plus $d$, non nécessairement
+unitaires.
+
\subsection{Critères d'irréductibilité}
\begin{proposition2}[critère d'irréductibilité de Rabin]\label{critere-rabin}