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path: root/chapitres/corps-finis.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-01 09:12:13 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-01 09:12:13 +0100
commit75831772ebc64f1f003ba802223423507c944afe (patch)
treef6d53002e7860a23ce61bf8fd7a5ef82fd4638c8 /chapitres/corps-finis.tex
parent26aa14d219e0689cdf2acdd84c4863ab40b9be28 (diff)
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[Fin] g → 𝔤 pour sommes de Gauß pour compatibilité avec notation du [LC]
C'est aussi l'occasion de tester la commande git stash apply :)
Diffstat (limited to 'chapitres/corps-finis.tex')
-rw-r--r--chapitres/corps-finis.tex28
1 files changed, 14 insertions, 14 deletions
diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex
index 30e9b32..0b6714a 100644
--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -2788,7 +2788,7 @@ Soit $A$ une $F$-algèbre étale de rang $d$, $ψ$ un caractère
(\emph{additif}) non trivial de $F$ et $χ$ un caractère de $A^×$.
On pose
$$
-g(χ,ψ)=(-1)^{d}∑_{a∈A^×} ψ\big(\Tr_{A/F}(a)\big)χ^{-1}(a).
+𝔤(χ,ψ)=(-1)^{d}∑_{a∈A^×} ψ\big(\Tr_{A/F}(a)\big)χ^{-1}(a).
$$
\end{définition2}
@@ -2796,11 +2796,11 @@ Une telle somme est appelée \emph{somme de Gauß}. Elles semblent
avoir été introduites par Cauchy.
Par la suite, nous noterons $ψ_A$ le caractère (additif) $ψ\circ \Tr_{A/F}$.
-Remarquons que $g(χ,ψ)∈𝐐(ζ_p,ζ_{q-1})$.
+Remarquons que $𝔤(χ,ψ)∈𝐐(ζ_p,ζ_{q-1})$.
\subsubsection{}\label{factorisation-somme-Gauss}Si $A$ est un produit de corps $K_i$, de degré $d_i$ sur $F$, on montre immédiatement l'égalité
$$
-g(χ,ψ)=ε(A)∏_i g(χ_i,ψ_{K_i}),
+𝔤(χ,ψ)=ε(A)∏_i 𝔤(χ_i,ψ_{K_i}),
$$
où $ε(A)=(-1)^{∑_i (d_i+1)}$.
@@ -2815,21 +2815,21 @@ Pour tout un caractère non trivial $χ$ de $A^×/F^×$,
et tout caractère (additif) non trivial $ψ$ de $F$,
on a l'égalité suivante :
$$
-qJ(χ)=g(χ,ψ).
+qJ(χ)=𝔤(χ,ψ).
$$
\end{proposition2}
\begin{démo}
On a :
$$
-g(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}∑_{x∈A^×/F^×} \big(χ^{-1}(x)∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)\big),
+𝔤(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}∑_{x∈A^×/F^×} \big(χ^{-1}(x)∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)\big),
$$
où $a$ parcourt l'ensemble des relèvements de $x$ à $A^×$.
Si $\Tr(x)=0$, $∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)=(q-1)$ ; dans le
cas contraire, elle vaut $∑_{t∈F^×} ψ(t)=-1$ (car $∑_{t∈F} ψ(t)=0$).
Ainsi,
$$
-g(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}\big(q ∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x) -
+𝔤(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}\big(q ∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x) -
\underbrace{∑_{x∈A^×/F^×} χ^{-1}(x)}_{0}\big).
$$
\end{démo}
@@ -2839,7 +2839,7 @@ Soient $A$ une $F$-algèbre étale, $ψ$ un caractère (additif) non trivial
de $F$ et $χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ non trivial.
Alors,
$$
-|g(χ,ψ)|=\sqrt{\# A}.
+|𝔤(χ,ψ)|=\sqrt{\# A}.
$$
\end{proposition2}
@@ -2847,11 +2847,11 @@ $$
En faisant le changement de variable $y=xz$ dans la
formule
$$
-|g(χ,ψ)|²=g(χ,ψ)\sur{g(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\mathrm{Tr}_{A'/F}(x-y)\big),
+|𝔤(χ,ψ)|²=𝔤(χ,ψ)\sur{𝔤(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\mathrm{Tr}_{A'/F}(x-y)\big),
$$
on trouve immédiatement
$$
-|g(χ,ψ)|^2=∑_{x,z∈{A'}^×} χ(z)ψ(x(1-z))=∑_z χ(z)\Big(∑_x ψ\big(x(1-z)\big)\Big).
+|𝔤(χ,ψ)|^2=∑_{x,z∈{A'}^×} χ(z)ψ(x(1-z))=∑_z χ(z)\Big(∑_x ψ\big(x(1-z)\big)\Big).
$$
Si $z=1$, la somme $∑_x ψ\big(x(1-z)\big)=∑_x 1$ vaut $\# {A'}^×$.
Si $A'$ est un \emph{corps} et $z≠1$, elle vaut $∑_{y∈{A'}^×}
@@ -2895,7 +2895,7 @@ le cas $b≠0$.
\label{Hasse-Davenport}
Soit $F'$ une extension finie de $F$ de degré $r$. Alors,
$$
-g(χ_{F'},ψ_{F'})=g(χ,ψ)^r.
+𝔤(χ_{F'},ψ_{F'})=𝔤(χ,ψ)^r.
$$
\end{théorème2}
@@ -2941,7 +2941,7 @@ $1$ si $(-1)^n$ est un carré dans $F$, $-1$ sinon.
\begin{démo}
(i) résulte de la formule générale :
-$$g(χ,ψ)g(\sur{χ},ψ)=χ(-1)^{-1}g(χ,ψ)\sur{g(χ,ψ)}=χ(-1)q.$$
+$$𝔤(χ,ψ)𝔤(\sur{χ},ψ)=χ(-1)^{-1}𝔤(χ,ψ)\sur{𝔤(χ,ψ)}=χ(-1)q.$$
(ii) Si $x∈{F^×}²$, $x^{\frac{q-1}{2}}=1$ et vice-versa pour des raisons
de cardinalité. Ainsi, $χ_{\mathrm{quad}}(x)=x^{\frac{q-1}{2}})$,
égalité ayant lieu dans $\{±1\}$, plongé dans $\mathbf{U}$ (terme
@@ -2977,7 +2977,7 @@ nous allons démontrer qu'il existe sous cette hypothèse une
suite d'extensions $𝐐=K₀⊂\cdots ⊂K_i ⊂ K_{i+1} ⊂\cdots ⊂K_n=𝐐(ζ_p)$,
avec $[K_{i+1}:K_i]=2$.
-Posons $S=∑_χ g(χ,ψ)$, où $χ$ parcourt $\chap{F^×}$.
+Posons $S=∑_χ 𝔤(χ,ψ)$, où $χ$ parcourt $\chap{F^×}$.
Par définition, $S=-∑_{x∈F^×} \big( ∑_χ χ(x)\big) ψ(x)$.
Puisque $∑_χ χ(x)=0$ pour $x≠1$, $p-1$ sinon, et $ψ(1)=ζ_p$, on a donc
l'égalité
@@ -2987,11 +2987,11 @@ $$
de sorte que $𝐐(ζ_p)=𝐐(S)$.
Une somme de nombres constructibles étant constructible \XXX, il suffit donc de démontrer
-que chaque $g(χ,ψ)$ est constructible, si $p-1$ est une puissance de deux, ce que nous supposerons dorénavant.
+que chaque $𝔤(χ,ψ)$ est constructible, si $p-1$ est une puissance de deux, ce que nous supposerons dorénavant.
Observons que pour tout entier $m≥1$, un nombre $g$ est constructible \ssi $g^{2^m}$ l'est.
Or, tout caractère de $F^×$ est d'ordre divisant $p-1$ donc de la forme $2^m$,
-$m≥0$, si bien que l'égalité $g(χ,ψ)^{2^m}=pJ((χ,\dots,χ))$ (cf. \ref{proposition-Gauss-Jacobi})
+$m≥0$, si bien que l'égalité $𝔤(χ,ψ)^{2^m}=pJ((χ,\dots,χ))$ (cf. \ref{proposition-Gauss-Jacobi})
ramène le problème à la constructibilité des sommes de Jacobi.
Ces dernières appartiennent à $𝐐(μ_{p-1})$ ; elles sont donc constructibles.
(Le cas $m=0$, \cad $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.)