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author | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-03-02 11:53:18 +0100 |
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committer | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-03-02 11:53:18 +0100 |
commit | 85c1b46323cd24a1d7c882283e3bd6ffd4a76f49 (patch) | |
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[Fin] ajout exercice sur Φ₈
Déjà explicitement quelque part ?
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-rw-r--r-- | chapitres/corps-finis.tex | 20 |
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diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex index 19d2373..6fccc61 100644 --- a/chapitres/corps-finis.tex +++ b/chapitres/corps-finis.tex @@ -530,6 +530,22 @@ X(X+1)\penalty-100 (X^2+X+1)\penalty-100 (X^4+X+1)\penalty0 (X^4+X^3+1)\penalty-50 (X^4+X^3+X^2+X+1)$. \end{exemple2} +\begin{exercice2} +\label{exercice-Phi8} +\begin{enumerate} +\item Vérifier les factorisations dans $𝐂[X]$ +\[ +X^4+1=(X^2+i)(X^2-i)=(X^2-\sqrt{2} X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1)=(X^2+i\sqrt{2}X-1)(X^2-i\sqrt{2}-1). +\] +\item En déduire que $X^4+1$ est irréductible dans $𝐐[X]$. +\item Montrer que $X^4+1$ est réductible dans $𝐅_p[X]$ pour tout nombre +premier $p$. (Indication : on rappelle que l'ensemble des carrés de +$𝐅_p^×$ est un sous-groupe d'indice $2$ de sorte que $a,b ∈ 𝐅_p$, alors $a$, $b$ ou $ab$ +est un carré dans $𝐅_p$.) +Voir \ref{existence-p-Phin-irreductible-mod-p} pour un énoncé général. +\end{enumerate} +\end{exercice2} + \subsubsection{}\label{definition-fonction-de-Moebius} On appelle \emph{fonction de Möbius} la fonction $\mu \colon \NN \to \ZZ$ définie par $\mu(n) = 0$ si $n$ est multiple du carré d'un entier autre que $1$ et $\mu(n) = (-1)^t$ si $n = p_1\cdots p_t$ avec @@ -1523,12 +1539,16 @@ tel que $p \equiv b \pmod{n}$. On peut alors remarquer : \begin{proposition2} +\label{existence-p-Phin-irreductible-mod-p} Pour tout entier naturel $n$, il existe un nombre premier $p$ (ou, de façon équivalente, une puissance $q$ d'un nombre premier) tel que $\Phi_n$ soit irréductible dans $\FF_p$ (resp., dans $\FF_q$) si, et seulement si, $n$ vaut $2$, $4$, $\ell^k$ ou $2\ell^k$ pour $\ell$ premier impair. \end{proposition2} + +(Le cas $n=8$ a été considéré dans l'exercice \ref{exercice-Phi8}.) + \begin{proof} Démontrons le « si » : si $n$ est d'une des formes indiquées, alors $(\ZZ/n\ZZ)^\times$ est cyclique, donc il existe un élément $g \in |