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author | David A. Madore <david@procyon> | 2012-03-15 17:34:36 +0100 |
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committer | David A. Madore <david@procyon> | 2012-03-15 17:34:36 +0100 |
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[Fin] Coquille (certains q^r n'étaient pas en indice).
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-rw-r--r-- | chapitres/corps-finis.tex | 12 |
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diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex index 6fccc61..4a8491c 100644 --- a/chapitres/corps-finis.tex +++ b/chapitres/corps-finis.tex @@ -1572,9 +1572,9 @@ impair. On renvoie à \refext{Alg}{trace-et-norme} pour les généralités sur la trace et la norme dans une algèbre quelconque sur un corps. On se préoccupera ici d'une extension $\FF_{q^r}\bo \FF_q$ de corps finis : -la \emph{trace} $\Tr_{\FF{q^r}\bo\FF_q}(x)$, -la \emph{norme} $\N_{\FF{q^r}\bo\FF_q}(x)$, et le \emph{polynôme -caractéristique} $\chi_{\FF{q^r}\bo\FF_q}(x,X)$ d'un élément +la \emph{trace} $\Tr_{\FF_{q^r}\bo\FF_q}(x)$, +la \emph{norme} $\N_{\FF_{q^r}\bo\FF_q}(x)$, et le \emph{polynôme +caractéristique} $\chi_{\FF_{q^r}\bo\FF_q}(x,X)$ d'un élément $x \in \FF_{q^r}$ sont respectivement la trace, la norme, et le polynôme caractéristique de l'application $\FF_q$-linéaire $z \mapsto xz$ de multiplication par $x$ sur $\FF_{q^r}$, ce dernier étant vu @@ -1582,10 +1582,10 @@ comme un $\FF_q$-espace vectoriel de dimension $r$. \begin{proposition2}\label{trace-et-norme-corps-finis} Soit $x \in \FF_{q^r}$ : alors on a -\[\chi_{\FF{q^r}\bo\FF_q}(x,X) = \prod_{i=0}^{r-1} (X-\Frob_q^i(x))\] +\[\chi_{\FF_{q^r}\bo\FF_q}(x,X) = \prod_{i=0}^{r-1} (X-\Frob_q^i(x))\] et en particulier -\[\Tr_{\FF{q^r}\bo\FF_q}(x) = \sum_{i=0}^{r-1} \Frob_q^i(x)\] -\[\N_{\FF{q^r}\bo\FF_q}(x) = \prod_{i=0}^{r-1} \Frob_q^i(x) = x^{(q^r-1)/(q-1)}\] +\[\Tr_{\FF_{q^r}\bo\FF_q}(x) = \sum_{i=0}^{r-1} \Frob_q^i(x)\] +\[\N_{\FF_{q^r}\bo\FF_q}(x) = \prod_{i=0}^{r-1} \Frob_q^i(x) = x^{(q^r-1)/(q-1)}\] \end{proposition2} \begin{proof} Considérons d'abord le cas où $x$ engendre $\FF_{q^r}$ sur $\FF_q$, |