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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 16:36:31 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 16:36:31 +0100
commitdab454d6594f533f1fcbe0c44f08b7865742625f (patch)
treee69aa7a89278adec4f312eb69a54ce93a723939a /chapitres/corps-finis.tex
parent8b7b8eb62f578837c67478c1e65939104614d43c (diff)
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-rw-r--r--chapitres/corps-finis.tex55
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diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex
index 82248d5..36eb5df 100644
--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -1,29 +1,12 @@
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
-\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
-\input{../configuration/commun}
-\input{../configuration/smf}
-\input{../configuration/adresse}
-\input{../configuration/gadgets}
-\input{../configuration/francais}
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-
-\usepackage{stmaryrd}
-\usepackage{wasysym}
-\usepackage{graphics}
-\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
-
-\usepackage{srcltx}
-\synctex=1
-
+\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
+\input{../config/preambule}
+\input{../config/macros}
\title{Corps finis}
-
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{algo-corps-finis}
\externaldocument{correspondance-galois}
-
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
@@ -2507,7 +2490,7 @@ réciproquement.
\begin{démo}[Démonstration du lemme]
Soit $χ:K→\mathbf{U}$ un caractère de $K$ ; il faut montrer qu'il s'étend
-à $G$, \cad qu'il existe un caractère $χ':G→\mathbf{U}$ dont la restriction
+à $G$, c'est-à-dire qu'il existe un caractère $χ':G→\mathbf{U}$ dont la restriction
à $K$ soit $χ$. Supposons $K≠G$ sans quoi le résultat est trivial et
considérons $x∈G-K$. Soient $r$ le plus petit entier non nul tel que
$x^r∈K$ et $z$ une racine $r$-ème de $χ(x^r)$ dans $𝐂$. On
@@ -2537,12 +2520,13 @@ On procède à nouveau par récurrence sur $\# G$, en remarquant
que l'énoncé est trivial pour un groupe cyclique (exercice).
Dans le cas général, on considère comme précédemment le diagramme
de suites exactes :
-$$
-\xymatrix{
-1 \ar[d] \ar[r] & K \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \ar[r] & H \ar[d] \ar[r] & 1 \ar[d] \\
-1 \ar[r] & \chap{\chap{K}} \ar[r] & \chap{\chap{G}} \ar[r] & \chap{\chap{H}} \ar[r] & 1
-}
-$$
+\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
+%$$
+%\xymatrix{
+%1 \ar[d] \ar[r] & K \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \ar[r] & H \ar[d] \ar[r] & 1 \ar[d] \\
+%1 \ar[r] & \chap{\chap{K}} \ar[r] & \chap{\chap{G}} \ar[r] & \chap{\chap{H}} \ar[r] & 1
+%}
+%$$
Par hypothèse de récurrence, $K→\chap{\chap{K}}$ et $H→\chap{\chap{H}}$ sont
des isomorphismes ; il en est donc de même de $G→\chap{\chap{G}}$
(chasse au diagramme).
@@ -2619,7 +2603,7 @@ $$
$$
Soit $g∈G$ et notons $\sur{g}$ son image dans $G/nG$.
-Cette image est nulle \ssi pour tout $\sur{χ}∈\chap{G/nG}$, $\sur{χ}(\sur{g})=1$.
+Cette image est nulle si et seulement si pour tout $\sur{χ}∈\chap{G/nG}$, $\sur{χ}(\sur{g})=1$.
Soit $χ$ l'image de $\sur{χ}$ par l'isomorphisme précédent ; on
a par définition $χ(g)=\sur{χ}(\sur{g})$.
@@ -2650,7 +2634,7 @@ $$
∑_{\sur{χ}∈\chap{G/nG}} \sur{χ}(\sur{g}).
$$
D'après \ref{lemme-orthogonalite-caracteres}, cette somme vaut $0$ si $\sur{g}≠e$
-(\cad $g∉nG$) et $\#\chap{G/nG}$ sinon. Puisque $\chap{G/nG}≅\chap{G}[n]≅G[n]$,
+(c'est-à-dire $g∉nG$) et $\#\chap{G/nG}$ sinon. Puisque $\chap{G/nG}≅\chap{G}[n]≅G[n]$,
l'égalité avec le terme de gauche en résulte.
\end{démo}
@@ -2732,9 +2716,9 @@ Remarquons que si $d+1=\dim_F(A)>1$, tout nouveau caractère de $A^×$ est non
trivial.
\subsubsection{Réécriture de l'égalité ($\star$)}
-Si l'on pose $a'=ca$ (\cad $a'_i=c_i a_i$ pour $0≤i≤d$), on a bien sûr
+Si l'on pose $a'=ca$ (c'est-à-dire $a'_i=c_i a_i$ pour $0≤i≤d$), on a bien sûr
$χ(a)=χ(c)^{-1}χ(a')$, ce qui complique un peu les choses,
-mais la condition $L(a)=b$ s'écrit $∑_i a'_i=b$, \cad $\Tr_{A/F}(a')=b$.
+mais la condition $L(a)=b$ s'écrit $∑_i a'_i=b$, c'est-à-dire $\Tr_{A/F}(a')=b$.
Utilisant cette remarque et le lemme précédent, on peut donc
écrire :
@@ -2759,7 +2743,7 @@ où $χ'=(χ₁,\dots,χ_d)$.
Supposons $b=0$. La somme sur $a'$ ne dépend pas de $x$ et
$∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=0} χ(a)$ est un multiple de $∑_{x∈F^×} χ_{|F^×}(x)$,
nul si $χ_{|F^×}$ est non trivial. On peut donc se restreindre pour le calcul de $N$
-aux caractères de $A^×$ \emph{diagonalement triviaux}, \cad
+aux caractères de $A^×$ \emph{diagonalement triviaux}, c'est-à-dire
aux caractères de $A^×/F^×$.
La condition $\Tr(a)=0$ ($a∈A^×$) étant invariante par multiplication
@@ -3056,12 +3040,12 @@ de sorte que $𝐐(ζ_p)=𝐐(S)$.
Une somme de nombres constructibles étant constructible \XXX, il suffit donc de démontrer
que chaque $𝔤(χ,ψ)$ est constructible, si $p-1$ est une puissance de deux, ce que nous supposerons dorénavant.
-Observons que pour tout entier $m≥1$, un nombre $g$ est constructible \ssi $g^{2^m}$ l'est.
+Observons que pour tout entier $m≥1$, un nombre $g$ est constructible si et seulement si $g^{2^m}$ l'est.
Or, tout caractère de $F^×$ est d'ordre divisant $p-1$ donc de la forme $2^m$,
$m≥0$, si bien que l'égalité $𝔤(χ,ψ)^{2^m}=pJ((χ,\dots,χ))$ (cf. \ref{proposition-Gauss-Jacobi})
ramène le problème à la constructibilité des sommes de Jacobi.
Ces dernières appartiennent à $𝐐(μ_{p-1})$ ; elles sont donc constructibles.
-(Le cas $m=0$, \cad $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.)
+(Le cas $m=0$, c'est-à-dire $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.)
Selon la légende, c'est cette découverte --- sensationnelle à l'époque ---
qui aurait décidé Gauß (alors âgé d'un peu moins de 19 ans) à devenir mathématicien, et non linguiste.
@@ -3070,8 +3054,9 @@ arithmétiques) \cite{Disquisitiones@Gauss}, §7. La découverte elle-même
semble dater du 30 mars 1796. C'est la première entrée dans son
fameux \emph{Tagebuch} (\cite{Tagebuch@Gauss}) :
\begin{quote}
+{\addfontfeatures{Ligatures=Historic}
Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitas eiusdem
-geometrica in septemdecim partes etc.
+geometrica in septemdecim partes etc.}
\end{quote}
On trouvera dans \refext{Radicaux}{racine-17e-de-1} un calcul