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path: root/chapitres/corps-finis.tex
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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-28 14:04:07 +0100
committerFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-28 14:04:07 +0100
commitf615e5445f1e5579bbbb5463d5ba1d0e1cd68b16 (patch)
tree8df33cfef126d9ed856cf2393e6da00e1d1bf70e /chapitres/corps-finis.tex
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[Fin] ajout remarque sur existence polynômes irréductibles + un commentaire (n versus r)
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-rw-r--r--chapitres/corps-finis.tex33
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diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex
index af2dba2..c1c4776 100644
--- a/chapitres/corps-finis.tex
+++ b/chapitres/corps-finis.tex
@@ -550,6 +550,7 @@ f(n) = \sum_{d|n} \mu\big(\frac{n}{d}\big)\, g(d)
\end{proposition2}
\begin{corollaire2}\label{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}
+\commentaire{changer $r$ en $n$ ? (cf. infra)}
Le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré $n$
sur $\FF_q$ vaut
\[
@@ -593,14 +594,22 @@ $q^4 > q^2 + q$ et $q^3 > q$ et $q^2 > q$ (et $q > 0$...) pour tout $q
\geq 2$.
\end{proof}
-On verra en \ref{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps} un résultat
-plus fin : l'existence d'éléments ou de polynômes \emph{primitifs}.
-
-Avec les remarques qui
-suivent \ref{racines-polynome-minimal-corps-fini}, ceci montre
-notamment que $\Frob_q$ agissant sur $\FF_{q^r}$ est d'ordre
+Avec les remarques qui suivent \ref{racines-polynome-minimal-corps-fini},
+ceci montre notamment que $\Frob_q$ agissant sur $\FF_{q^r}$ est d'ordre
exactement $r$.
+\subsubsection{}Si l'on utilise la formule de Möbius,
+sous la forme exacte, on peut obtenir une seconde
+démonstration de \ref{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}.
+Il suffit en effet de montrer que pour chaque entier $r$,
+on a l'inégalité
+$\displaystyle ∑_{d|r \atop μ(r/d)=1} q^d ≠ ∑_{d|r \atop μ(r/d)=-1} q^d$.
+Or, cela résulte de l'unicité de la décomposition d'un entier en
+base $q$. On verra en \ref{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps} un résultat
+plus fin : l'existence d'éléments ou de polynômes
+\emph{primitifs}.
+
+
\subsection{Critères d'irréductibilité}
\begin{proposition2}[critère d'irréductibilité de Rabin]\label{critere-rabin}
@@ -1027,10 +1036,14 @@ Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique.
En particulier, le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique.
\end{théorème2}
-\begin{exercice2}
-En déduire une seconde démonstration de \ref{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}.
-\XXX
-\end{exercice2}
+\begin{remarque2}
+Soient $r$ un entier et $x$ un générateur du groupe
+multiplicatif $𝐅_{q^r}^×$. On a $𝐅_{q^r}=𝐅_q(x)$ :
+l'élément $x$ est \emph{primitif}. En particulier, son
+polynôme minimal sur $𝐅_q$ est de degré $r$ ;
+il est irréductible et unitaire.
+Ceci fournit une nouvelle démonstration de \ref{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}.
+\end{remarque2}
\begin{démo}
Soient $K$ un corps et $G⊆K^×$ un sous-groupe fini. Pour tout entier