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author | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-02-28 14:04:07 +0100 |
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committer | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-02-28 14:04:07 +0100 |
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[Fin] ajout remarque sur existence polynômes irréductibles + un commentaire (n versus r)
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-rw-r--r-- | chapitres/corps-finis.tex | 33 |
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diff --git a/chapitres/corps-finis.tex b/chapitres/corps-finis.tex index af2dba2..c1c4776 100644 --- a/chapitres/corps-finis.tex +++ b/chapitres/corps-finis.tex @@ -550,6 +550,7 @@ f(n) = \sum_{d|n} \mu\big(\frac{n}{d}\big)\, g(d) \end{proposition2} \begin{corollaire2}\label{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis} +\commentaire{changer $r$ en $n$ ? (cf. infra)} Le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré $n$ sur $\FF_q$ vaut \[ @@ -593,14 +594,22 @@ $q^4 > q^2 + q$ et $q^3 > q$ et $q^2 > q$ (et $q > 0$...) pour tout $q \geq 2$. \end{proof} -On verra en \ref{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps} un résultat -plus fin : l'existence d'éléments ou de polynômes \emph{primitifs}. - -Avec les remarques qui -suivent \ref{racines-polynome-minimal-corps-fini}, ceci montre -notamment que $\Frob_q$ agissant sur $\FF_{q^r}$ est d'ordre +Avec les remarques qui suivent \ref{racines-polynome-minimal-corps-fini}, +ceci montre notamment que $\Frob_q$ agissant sur $\FF_{q^r}$ est d'ordre exactement $r$. +\subsubsection{}Si l'on utilise la formule de Möbius, +sous la forme exacte, on peut obtenir une seconde +démonstration de \ref{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}. +Il suffit en effet de montrer que pour chaque entier $r$, +on a l'inégalité +$\displaystyle ∑_{d|r \atop μ(r/d)=1} q^d ≠ ∑_{d|r \atop μ(r/d)=-1} q^d$. +Or, cela résulte de l'unicité de la décomposition d'un entier en +base $q$. On verra en \ref{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps} un résultat +plus fin : l'existence d'éléments ou de polynômes +\emph{primitifs}. + + \subsection{Critères d'irréductibilité} \begin{proposition2}[critère d'irréductibilité de Rabin]\label{critere-rabin} @@ -1027,10 +1036,14 @@ Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique. En particulier, le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique. \end{théorème2} -\begin{exercice2} -En déduire une seconde démonstration de \ref{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}. -\XXX -\end{exercice2} +\begin{remarque2} +Soient $r$ un entier et $x$ un générateur du groupe +multiplicatif $𝐅_{q^r}^×$. On a $𝐅_{q^r}=𝐅_q(x)$ : +l'élément $x$ est \emph{primitif}. En particulier, son +polynôme minimal sur $𝐅_q$ est de degré $r$ ; +il est irréductible et unitaire. +Ceci fournit une nouvelle démonstration de \ref{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}. +\end{remarque2} \begin{démo} Soient $K$ un corps et $G⊆K^×$ un sous-groupe fini. Pour tout entier |