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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 12:47:31 +0100
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 12:47:31 +0100
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[CG,versel] échange digression sur extensions galoisiennes d'anneaux
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-rw-r--r--chapitres/correspondance-galois.tex114
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index e906448..a81e1dd 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -692,6 +692,120 @@ $K$-linéairement indépendants.
\end{quote}
\end{exercice2}
+\subsection{¶ G-algèbres galoisiennes sur un anneau}\label{G-algèbres galoisiennes sur un anneau}
+
+Le contenu de ce paragraphe ne sera pas utilisé avant la fin
+du chapitre [Versel].
+
+\begin{définition2}Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre
+et $G$ un sous-groupe fini de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$.
+On dit que $B$ est \emph{galoisienne de groupe $G$} sur $A$
+si les conditions suivantes sont satisfaites :
+\begin{enumerate}
+\item le morphisme $A → B$ est injectif et $A=\Fix_G(B)$ ;
+\item le morphisme
+\[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B),\]
+\[λ ⊗ μ ↦ \big(g(λ)μ\big)_g\]
+est un isomorphisme.
+\end{enumerate}
+\end{définition2}
+
+Nous renvoyons à \refext{Tens}{} pour la définition du
+produit tensoriel $B ⊗_A B$ ainsi que ses propriétés
+générales.
+
+Remarque : on peut remplacer (i) par : (i') le morphisme $A → B$ est fidèlement plat.
+(i') ⇒ (i) : $b ∈ B$ si et seulement si $1 ⊗ b=b ⊗ 1$
+(par fidèle platitude) ce qui revient à $b=g(b)$ pour
+tout $g ∈ G$. Réciproquement
+
+\begin{exemple2}
+Si $L\bo K$ est une extension fini galoisienne de
+groupe $G$, la $K$-algèbre $L$ est galoisienne
+de groupe $G$ au sens précédent.
+\end{exemple2}
+
+\begin{lemme2}
+Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $B\{G\}$
+l'\emph{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent
+est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit
+étant défini par la condition $h ⋅ (bg)=h(b)(hg)$.
+Le morphisme $B\{G\} → \End_A(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
+est un isomorphisme.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $\Tr_{B \bo A}$ la \emph{trace} $b ↦ ∑_g g(b)$, $B → A$.
+Le morphisme $A$-linéaire $B → B^{\vee}=\Hom_A(B,A)$, $b ↦ \Tr_{B\bo
+A}(b ⋅)$, est un isomorphisme.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $M$ un $A$-module.
+Le morphisme $A$-linéaire $\Hom_A(B,A)⊗_A M → \Hom(B,M)$,
+$f ⊗ m ↦ \big( b ↦ f(b)m\big)$ est un isomorphisme.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+La condition (\textrm{\textbf{ii}}) est équivalente
+à la condition (\textrm{\textbf{ii}}′) suivante :
+il existe des éléments $(b_h)_{h ∈ G}$ et $(b ′_h)_{h ∈ G}$ dans $B$ tels
+que, pour tout $g ∈ G$,
+\[
+∑_h b_h g(b ′_h)=δ^1_g,
+\]
+où $δ$ est la fonction delta de Kronecker.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+L'implication (iii) ⇒ (iii′) est triviale : il suffit
+d'écrire $d^{-1}\big((δ_g^1)\big)$ sous la forme $∑_h b_h ⊗ b ′_h$.
+
+Pour montrer l'implication opposée, on utilise les trois
+lemmes précédents. \XXX
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+Notion stable par changement de base.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{proposition2}\label{algèbre galoisienne est projective}
+$B$ est projectif sur $A$.
+Pour tout $𝔪 ∈ \Specmax(A)$, $B/𝔪$ est de rang
+fini $♯G$ sur le corps $A/𝔪$. Plus généralement,
+$A → K$ est un morphisme de but un corps,
+la $K$-algèbre $B_K=B ⊗_A K$ est de dimension $♯G$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+
+En effet, $(B ⊗_A B)⊗_A K$ est d'une part (canoniquement) isomorphe à $B_K ⊗_K B_K$
+et, par hypothèse, isomorphe à $B_K^{(G)}$ ; on a donc $\dim_K(B_K)²=\dim(B_K
+⊗_K B_K)=\dim_K(B_K)⋅\#G$.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide}
+Tout morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres
+galoisiennes de groupe $G$ est un isomorphisme.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
\section{Groupe de Galois d'un polynôme}\label{groupe Gal poly}
\subsection{Définition et premières propriétés}Soit $f∈K[X]$ un polynôme unitaire.