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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-12 21:25:24 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-12 21:25:24 +0100
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+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -220,14 +220,14 @@ Commençons par un lemme général.
\begin{lemme3}\label{points-algebre-entiere}
Soient $K\bo k$ une sous-extension de $Ω\bo k$ et $A$ une $K$-algèbre.
\begin{enumerate}
-\item L'application « noyau » $\Hom_K(A,K)=A^{\japmath{田}}(K)→\Spec(A)$, $φ↦𝔭_φ=\Ker(φ)$ est
+\item L'application « noyau » $\Hom_K(A,K)=\japmath{田}A(K)→\Spec(A)$, $φ↦𝔭_φ=\Ker(φ)$ est
injective.
\item Si $A\bo K$ est \emph{entière} (\refext{Alg}{entiers cas
-corps}), l'application « noyau » $\Hom_K(A,Ω)=A^{\japmath{{\japmath{田}}}}(Ω)→\Spec(A)$ est
+corps}), l'application « noyau » $\Hom_K(A,Ω)=\japmath{田}A(Ω)→\Spec(A)$ est
surjective et $\Spec(A)=\Specmax(A)$.
\end{enumerate}
-L'injection $A^{\japmath{{\japmath{田}}}}(K)↪A^{\japmath{{\japmath{田}}}}(Ω)$ est une bijection
-\ssi pour tout $𝔭∈\Spec(A)$, le morphisme $K→ κ(𝔭):=A/𝔭$ est
+L'injection $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$ est une bijection
+\ssi pour tout $𝔭∈\Spec(A)$, le morphisme $K→ κ(𝔭):=A/𝔭$ est
un isomorphisme.
\end{lemme3}
@@ -253,13 +253,12 @@ Si l'on applique le lemme précédent à la $K$-algèbre $K⊗_k K$
(entière d'après \refext{Alg}{entier sur corps stable par cb}),
on obtient l'équivalence entre la condition (v) et la condition
\begin{quote}
-(v)' : $\Hom_K(K⊗_k K,K)=(K⊗_k K)^{\japmath{{\japmath{田}}}}(K)↪\Hom_K(K⊗_k K,Ω)=(K⊗_k K)^{\japmath{{\japmath{田}}}}(Ω)$ est une bijection.
+(v)' : $\Hom_K(K⊗_k K,K)=\japmath{田}(K⊗_k K)(K)↪\Hom_K(K⊗_k K,Ω)=\japmath{田}(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection.
\end{quote}
(En d'autres termes : « les $Ω$-points de $K⊗_k K$ sont rationnels ».)
-
-Le lemme ci-dessous, appliqué à $B=K$ et $B=Ω$, identifie cette application
-à l'application $A^{\japmath{{\japmath{田}}}}(K)↪A^{\japmath{{\japmath{田}}}}(Ω)$ (càd $\Aut_k(K)↪\Hom_K(K,Ω)$). Les conditions
+Le lemme ci-dessous, appliqué à $B=K$ et $B=Ω$, identifie cette application
+à l'application $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$ (càd $\Aut_k(K)↪\Hom_K(K,Ω)$). Les conditions
(v)' et (ii) sont donc équivalentes.
\begin{lemme3}
@@ -680,17 +679,17 @@ ou égal à celui de $k(x)$, on a $k(z)=k(x)$ et, finalement $y∈k(x)$. CQFD.
\end{démo}
\begin{exercice2}\label{théorème de Dedekind}
-Démontrer la généralisation
+Démontrer la généralisation
suivante (« théorème de Dedekind ») de \ref{indépendance linéaire des
automorphismes} :
\begin{quote}
Soient $k$ un corps, $k'\bo k$ une extension et $A$ une $k$-algèbre.
-L'ensemble $A^{\japmath{田}}(k')$ est une partie $k'$-libre de
+L'ensemble $\japmath{田}A(k')$ est une partie $k'$-libre de
$\Hom_{k\traitdunion\mathrm{ev}}(A,k')$.
\end{quote}
(On pourra commencer par montrer, en utilisant le théorème chinois
-et l'isomorphisme $A^{\japmath{田}}(k')⥲A_{k'}^{\japmath{田}}(k')$ que pour toute partie finie
-$U$ de $A^{\japmath{田}}(k')$ l'application $A_{k'}→{k'}^{U}$, $(a⊗1)↦\big(u(a)\big)_{u∈U}$
+et l'isomorphisme $\japmath{田}A(k')⥲\japmath{田}A_{k'}(k')$ que pour toute partie finie
+$U$ de $\japmath{田}A(k')$ l'application $A_{k'}→{k'}^{U}$, $(a⊗1)↦\big(u(a)\big)_{u∈U}$
est surjective.)
\end{exercice2}
@@ -728,16 +727,41 @@ si le morphisme
est un isomorphisme.
\end{définition2}
-
-Cette condition est équivalente à la suivante :
-dans la catégorie $\Hom(\Alg,\Ens)$,
-le morphisme naturel
-\[\japmath{田}(B) × G → \japmath{田}(B) ×_{\japmath{田}(A)} \japmath{田}(B)\]
-correspondant sur les points à $(y,g) ↦ (g(y),y)$
-(cf. \refext{Cat}{lemme-de-yoneda}) est un isomorphisme.
-De cette façon, on peut définir la notion
+\begin{remarques2}\label{rmqs pseudo-torseurs}
+\begin{enumerate}
+\item Soit $B$ une $A$-algèbre. Notons $\japmath{田}B ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$
+le foncteur de Yoneda : $\japmath{田}B(T)=\Hom_{A\traitdunion\Alg}(B,T)$
+pour toute $A$-algèbre test $T$. Si $B$ est muni d'une action
+de $G$ par $A$-automorphismes, $G$ s'envoie naturellement dans
+$\End(\japmath{田}B)$ : si $f ∈ \japmath{田}B(T)$, $g ⋅f:b ↦ f(g^{-1}b)$.
+Notons $\japmath{田}B × G ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$
+(resp. $\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A} \japmath{田}B$)
+le foncteur envoyant une $A$-algèbre $T$ sur
+le produit cartésien (resp. fibré) d'ensembles
+$\japmath{田}B(T) × G$ (resp. $\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A}
+\japmath{田}B$). Ce sont des cas particuliers
+des notions de coproduit, indicé par $G$, et de produit fibré
+respectivement dans la catégorie $\Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$.
+L'action de $G$ sur $\japmath{田}B$ induit
+un morphisme de foncteurs $\japmath{田}B × G → \japmath{田}B(T)
+×_{\japmath{田}A(T)} \japmath{田}B(T)$, correspondant
+sur les points à l'application $(y,g) ↦ (g ⋅ y, y)$.
+Il résulte du lemme de Yoneda \refext{Cat}{lemme-de-yoneda}
+et du fait que, par définition du produit scalaire
+$\japmath{田}(B ⊗_A B)=\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A} \japmath{田}B$,
+que ce morphisme est un isomorphisme si et seulement
+si $B$ est un pseudo-$G$-torseur sur $A$.
+Cette approche permet de définir la notion
de pseudo-$G$-torseur dans des catégories plus générales
que $\Hom(\Alg,\Ens)$.
+\item Si $B$ est un pseudo-$G$-torseur sur $A$,
+et $B → B ′$ un morphisme d'algèbres, le morphisme
+\[m:B ⊗_A B ′ → ∏_{g ∈ G} B ′=\Hom_{\Ens}(G,B ′)\]
+\[λ ⊗ μ ′ ↦ \big(g(λ)μ ′\big)_g\]
+est également un isomorphisme.
+\end{enumerate}
+\end{remarques2}
+
\begin{définition2}\label{décomposition-inertie}
Soient $B$ un anneau et $G$ un groupe fini agissant par
@@ -820,7 +844,7 @@ sera dite \emph{galoisienne sur $A$} s'il existe un sous-groupe $G$
non spécifié de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$ tel que
$B$ soit galoisienne de groupe $G$ sur $A$.
-\begin{miseengarde2}Une $A$-algèbre
+\begin{miseengarde2}\label{meg-torseurs}Une $A$-algèbre
galoisienne peut l'être pour des groupes non-isomorphes,
quoique nécessairement de même ordre.
Faisons par exemple agir un générateur de $G₁=𝐙/4$
@@ -839,6 +863,18 @@ ci-dessus est donc satisfait : $B$ est une $𝐑$-algèbre
galoisienne de groupe à la fois $𝐙/4$ et $𝐙/2 × 𝐙/2$.
\end{miseengarde2}
+\begin{exercice2}
+Démontrer la généralisation suivante
+de l'observation \ref{meg-torseurs}.
+Soient $H$ un groupe et $n ≥ 1$ un entier.
+Montrer qu'il existe un corps $k$ et une
+$k$-algèbre $A$ telle que pour tout groupe
+$G$ contenant un sous-groupe d'indice $n$
+isomorphe à $H$, on puisse munir
+$A$ d'une action galoisienne du groupe $G$.
+\XXX
+\end{exercice2}
+
On a malgré tout le résultat positif suivant.
\begin{proposition2}\label{connexe implique G=Aut}
@@ -848,6 +884,15 @@ et est \emph{connexe} alors $G=\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$.
Cette proposition s'applique notamment lorsque $B$ est intègre.
+\begin{lemme2}
+$\End_{A}(A^X) → \End_{\Ens}(X)$ via connexité/spectre.
+compatible avec composition ; cas où $X=G$ ou $G$-ensemble.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}.
+\end{démo}
+
\begin{démo}
Pour toute $A$-algèbre $A ′$, notons
$H(A ′)$ l'ensemble $\Hom_{A ′\traitdunion\Alg}(B_{A ′}, B_{A′})$
@@ -860,13 +905,13 @@ Calculons $H(B)$. On a par hypothèse un isomorphisme canonique
$B_B = B^G$ donc $H(B) = \Hom_B(B^G,B^G)$. La propriété
universelle du produit cartésien nous donne : $H(B)=\Hom_B(B^G,B)^G$.
Enfin, si $B$ est connexe, on a (\refext{Spec}{produit=somme})
-$H(B)=(∐_G \Hom_B(B,B))^G=G^G$. L'image de $H(A)$ dans $H(B)$
+$H(B)=(∐_G \Hom_B(B,B))^G=\End_{\Ens}(G)$. L'image de $H(A)$ dans $H(B)$
est $G$-invariante, où l'action de $G$ sur $H(B)$ vient
de l'action de $G$ sur $B$ et de la fonctorialité
-de $H$. On vérifie immédiatement que cette action
-sur $H(B)$ correspond, par l'isomorphisme
-$H(B) = G^G$ ci-dessus, à l'action de translation de $G$ sur
-les fonctions \XXX.
+de $H$. On vérifie immédiatement que le morphisme
+$H(B) → \End_{\Ens}(G)$ est un morphisme d'anneaux
+respectant l'action naturelle de $G$ sur $\End_{\Ens}(G)$
+par $g ⋅ f : h ↦ g f(h)$ \XXX.
En particulier, l'ensemble des points fixes
est de cardinal $♯G$. On a donc $♯H(A)= ♯G$ d'où
les égalités $G=\End_A(B)=\Aut_A(B)$.
@@ -880,18 +925,30 @@ Tout $A$-morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres galoisiennes de gro
est un isomorphisme.
\end{proposition2}
-%On dit que la catégorie des $G$-algèbres galoisiennes
-%est un \emph{groupoïde}.
+On dit que la catégorie des $G$-algèbres galoisiennes
+est un \emph{groupoïde}.
\begin{démo}
-Par changement de base trivialisant les deux algèbres \XXX,
-il suffit de montrer que tout $A$-morphisme $G$-équivariant
-de $A^G$ vers $A^G$ est un isomorphisme. Un module
+Soient $B₁$ et $B₂$ deux $A$-algèbres comme dans l'énoncé
+et $C=B₁ ⊗_A B₂$. D'après l'observation \ref{rmqs
+pseudo-torseurs} (ii), les morphismes naturels
+$B_i ⊗_A C → C^G$ sont des $C$-isomorphismes.
+D'autre part, $C$ étant fidèlement plate
+sur $A$, une application $A$-linéaire $f ∈
+\Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B₁,B₂)$ est un isomorphisme
+si et seulement si $f ⊗_A C$ l'est.
+Il suffit donc de montrer que tout $A$-morphisme $G$-équivariant
+de $A^G$ vers $A^G$ est un isomorphisme. Or, un morphisme
entre $A$-module libre est inversible si et seulement si
son déterminant est une unité. Ce critère se teste après
-réduction modulo $𝔪$ pour $𝔪 ∈ \Specmax(X)$. On peut
-donc finalement supposer que $A$ est un corps et en particulier
-connexe. Cela résulte alors de la proposition précédente.\XXX
+réduction modulo $𝔪$ pour $𝔪 ∈ \Specmax(A)$. On peut
+donc finalement supposer que $A$ est un corps donc
+connexe si bien que l'anneau non nécessairement commutatif
+$\Hom_{A\traitdunion\Alg}(A^G,A^G)$ est naturellement
+isomorphe à $\End_{\Ens}(G)$, comme on l'a vu au cours
+de la démonstration de la proposition précédente.
+Il suffit alors d'observer qu'un élément $G$-équivariant de $\End_{\Ens}(G)$
+est nécessairement surjectif donc bijectif. CQFD.
\end{démo}
\begin{démo}[Démonstration du théorème \ref{algèbres galoisiennes conditions équivalentes}]