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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-01-12 21:25:24 +0100 |
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Les conditions +Le lemme ci-dessous, appliqué à $B=K$ et $B=Ω$, identifie cette application +à l'application $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$ (càd $\Aut_k(K)↪\Hom_K(K,Ω)$). Les conditions (v)' et (ii) sont donc équivalentes. \begin{lemme3} @@ -680,17 +679,17 @@ ou égal à celui de $k(x)$, on a $k(z)=k(x)$ et, finalement $y∈k(x)$. CQFD. \end{démo} \begin{exercice2}\label{théorème de Dedekind} -Démontrer la généralisation +Démontrer la généralisation suivante (« théorème de Dedekind ») de \ref{indépendance linéaire des automorphismes} : \begin{quote} Soient $k$ un corps, $k'\bo k$ une extension et $A$ une $k$-algèbre. -L'ensemble $A^{\japmath{田}}(k')$ est une partie $k'$-libre de +L'ensemble $\japmath{田}A(k')$ est une partie $k'$-libre de $\Hom_{k\traitdunion\mathrm{ev}}(A,k')$. \end{quote} (On pourra commencer par montrer, en utilisant le théorème chinois -et l'isomorphisme $A^{\japmath{田}}(k')⥲A_{k'}^{\japmath{田}}(k')$ que pour toute partie finie -$U$ de $A^{\japmath{田}}(k')$ l'application $A_{k'}→{k'}^{U}$, $(a⊗1)↦\big(u(a)\big)_{u∈U}$ +et l'isomorphisme $\japmath{田}A(k')⥲\japmath{田}A_{k'}(k')$ que pour toute partie finie +$U$ de $\japmath{田}A(k')$ l'application $A_{k'}→{k'}^{U}$, $(a⊗1)↦\big(u(a)\big)_{u∈U}$ est surjective.) \end{exercice2} @@ -728,16 +727,41 @@ si le morphisme est un isomorphisme. \end{définition2} - -Cette condition est équivalente à la suivante : -dans la catégorie $\Hom(\Alg,\Ens)$, -le morphisme naturel -\[\japmath{田}(B) × G → \japmath{田}(B) ×_{\japmath{田}(A)} \japmath{田}(B)\] -correspondant sur les points à $(y,g) ↦ (g(y),y)$ -(cf. \refext{Cat}{lemme-de-yoneda}) est un isomorphisme. -De cette façon, on peut définir la notion +\begin{remarques2}\label{rmqs pseudo-torseurs} +\begin{enumerate} +\item Soit $B$ une $A$-algèbre. Notons $\japmath{田}B ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$ +le foncteur de Yoneda : $\japmath{田}B(T)=\Hom_{A\traitdunion\Alg}(B,T)$ +pour toute $A$-algèbre test $T$. Si $B$ est muni d'une action +de $G$ par $A$-automorphismes, $G$ s'envoie naturellement dans +$\End(\japmath{田}B)$ : si $f ∈ \japmath{田}B(T)$, $g ⋅f:b ↦ f(g^{-1}b)$. +Notons $\japmath{田}B × G ∈ \ob \Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$ +(resp. $\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A} \japmath{田}B$) +le foncteur envoyant une $A$-algèbre $T$ sur +le produit cartésien (resp. fibré) d'ensembles +$\japmath{田}B(T) × G$ (resp. $\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A} +\japmath{田}B$). Ce sont des cas particuliers +des notions de coproduit, indicé par $G$, et de produit fibré +respectivement dans la catégorie $\Hom(A\traitdunion\Alg,\Ens)$. +L'action de $G$ sur $\japmath{田}B$ induit +un morphisme de foncteurs $\japmath{田}B × G → \japmath{田}B(T) +×_{\japmath{田}A(T)} \japmath{田}B(T)$, correspondant +sur les points à l'application $(y,g) ↦ (g ⋅ y, y)$. +Il résulte du lemme de Yoneda \refext{Cat}{lemme-de-yoneda} +et du fait que, par définition du produit scalaire +$\japmath{田}(B ⊗_A B)=\japmath{田}B ×_{\japmath{田}A} \japmath{田}B$, +que ce morphisme est un isomorphisme si et seulement +si $B$ est un pseudo-$G$-torseur sur $A$. +Cette approche permet de définir la notion de pseudo-$G$-torseur dans des catégories plus générales que $\Hom(\Alg,\Ens)$. +\item Si $B$ est un pseudo-$G$-torseur sur $A$, +et $B → B ′$ un morphisme d'algèbres, le morphisme +\[m:B ⊗_A B ′ → ∏_{g ∈ G} B ′=\Hom_{\Ens}(G,B ′)\] +\[λ ⊗ μ ′ ↦ \big(g(λ)μ ′\big)_g\] +est également un isomorphisme. +\end{enumerate} +\end{remarques2} + \begin{définition2}\label{décomposition-inertie} Soient $B$ un anneau et $G$ un groupe fini agissant par @@ -820,7 +844,7 @@ sera dite \emph{galoisienne sur $A$} s'il existe un sous-groupe $G$ non spécifié de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$ tel que $B$ soit galoisienne de groupe $G$ sur $A$. -\begin{miseengarde2}Une $A$-algèbre +\begin{miseengarde2}\label{meg-torseurs}Une $A$-algèbre galoisienne peut l'être pour des groupes non-isomorphes, quoique nécessairement de même ordre. Faisons par exemple agir un générateur de $G₁=𝐙/4$ @@ -839,6 +863,18 @@ ci-dessus est donc satisfait : $B$ est une $𝐑$-algèbre galoisienne de groupe à la fois $𝐙/4$ et $𝐙/2 × 𝐙/2$. \end{miseengarde2} +\begin{exercice2} +Démontrer la généralisation suivante +de l'observation \ref{meg-torseurs}. +Soient $H$ un groupe et $n ≥ 1$ un entier. +Montrer qu'il existe un corps $k$ et une +$k$-algèbre $A$ telle que pour tout groupe +$G$ contenant un sous-groupe d'indice $n$ +isomorphe à $H$, on puisse munir +$A$ d'une action galoisienne du groupe $G$. +\XXX +\end{exercice2} + On a malgré tout le résultat positif suivant. \begin{proposition2}\label{connexe implique G=Aut} @@ -848,6 +884,15 @@ et est \emph{connexe} alors $G=\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$. Cette proposition s'applique notamment lorsque $B$ est intègre. +\begin{lemme2} +$\End_{A}(A^X) → \End_{\Ens}(X)$ via connexité/spectre. +compatible avec composition ; cas où $X=G$ ou $G$-ensemble. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}. +\end{démo} + \begin{démo} Pour toute $A$-algèbre $A ′$, notons $H(A ′)$ l'ensemble $\Hom_{A ′\traitdunion\Alg}(B_{A ′}, B_{A′})$ @@ -860,13 +905,13 @@ Calculons $H(B)$. On a par hypothèse un isomorphisme canonique $B_B = B^G$ donc $H(B) = \Hom_B(B^G,B^G)$. La propriété universelle du produit cartésien nous donne : $H(B)=\Hom_B(B^G,B)^G$. Enfin, si $B$ est connexe, on a (\refext{Spec}{produit=somme}) -$H(B)=(∐_G \Hom_B(B,B))^G=G^G$. L'image de $H(A)$ dans $H(B)$ +$H(B)=(∐_G \Hom_B(B,B))^G=\End_{\Ens}(G)$. L'image de $H(A)$ dans $H(B)$ est $G$-invariante, où l'action de $G$ sur $H(B)$ vient de l'action de $G$ sur $B$ et de la fonctorialité -de $H$. On vérifie immédiatement que cette action -sur $H(B)$ correspond, par l'isomorphisme -$H(B) = G^G$ ci-dessus, à l'action de translation de $G$ sur -les fonctions \XXX. +de $H$. On vérifie immédiatement que le morphisme +$H(B) → \End_{\Ens}(G)$ est un morphisme d'anneaux +respectant l'action naturelle de $G$ sur $\End_{\Ens}(G)$ +par $g ⋅ f : h ↦ g f(h)$ \XXX. En particulier, l'ensemble des points fixes est de cardinal $♯G$. On a donc $♯H(A)= ♯G$ d'où les égalités $G=\End_A(B)=\Aut_A(B)$. @@ -880,18 +925,30 @@ Tout $A$-morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres galoisiennes de gro est un isomorphisme. \end{proposition2} -%On dit que la catégorie des $G$-algèbres galoisiennes -%est un \emph{groupoïde}. +On dit que la catégorie des $G$-algèbres galoisiennes +est un \emph{groupoïde}. \begin{démo} -Par changement de base trivialisant les deux algèbres \XXX, -il suffit de montrer que tout $A$-morphisme $G$-équivariant -de $A^G$ vers $A^G$ est un isomorphisme. Un module +Soient $B₁$ et $B₂$ deux $A$-algèbres comme dans l'énoncé +et $C=B₁ ⊗_A B₂$. D'après l'observation \ref{rmqs +pseudo-torseurs} (ii), les morphismes naturels +$B_i ⊗_A C → C^G$ sont des $C$-isomorphismes. +D'autre part, $C$ étant fidèlement plate +sur $A$, une application $A$-linéaire $f ∈ +\Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B₁,B₂)$ est un isomorphisme +si et seulement si $f ⊗_A C$ l'est. +Il suffit donc de montrer que tout $A$-morphisme $G$-équivariant +de $A^G$ vers $A^G$ est un isomorphisme. Or, un morphisme entre $A$-module libre est inversible si et seulement si son déterminant est une unité. Ce critère se teste après -réduction modulo $𝔪$ pour $𝔪 ∈ \Specmax(X)$. On peut -donc finalement supposer que $A$ est un corps et en particulier -connexe. Cela résulte alors de la proposition précédente.\XXX +réduction modulo $𝔪$ pour $𝔪 ∈ \Specmax(A)$. On peut +donc finalement supposer que $A$ est un corps donc +connexe si bien que l'anneau non nécessairement commutatif +$\Hom_{A\traitdunion\Alg}(A^G,A^G)$ est naturellement +isomorphe à $\End_{\Ens}(G)$, comme on l'a vu au cours +de la démonstration de la proposition précédente. +Il suffit alors d'observer qu'un élément $G$-équivariant de $\End_{\Ens}(G)$ +est nécessairement surjectif donc bijectif. CQFD. \end{démo} \begin{démo}[Démonstration du théorème \ref{algèbres galoisiennes conditions équivalentes}] |