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author | Fabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-01-06 21:53:22 +0100 |
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committer | Fabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-01-06 21:53:22 +0100 |
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[CG] Kummer et AS sont galoisiens
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diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex index 9a38c9d..21e5252 100644 --- a/chapitres/correspondance-galois.tex +++ b/chapitres/correspondance-galois.tex @@ -744,7 +744,7 @@ est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit \end{enumerate} \end{théorème2} -\begin{définition2} +\begin{définition2}\label{algèbre G-galoisienne} Soient $A → B$ un morphisme d'anneaux et $G$ un groupe fini de $A$-automorphismes de $B$. On dit que $B$ est une $A$-algèbre galoisienne de groupe $G$ lorsque les conditions @@ -803,7 +803,7 @@ L'égalité $\End_A(B)=\Aut_A(B)$ se généralise de la façon suivante (voir au \begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide} Soit $A$ un anneau et soit $G$ un groupe fini. -Tout $A$-morphisme entre deux $A$-algèbres galoisiennes de groupe $G$ +Tout $A$-morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres galoisiennes de groupe $G$ est un isomorphisme. \end{proposition2} @@ -931,7 +931,7 @@ est injectif de sorte que si $d ′=0$ on a également $d=0$. Or, il est clair que $B^n$ est formellement nette sur $B$. CQFD. \end{démo} -\begin{proposition2} +\begin{proposition2}\label{GGal stable par cb} Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre galoisienne de groupe $G$ et $A → A ′$ un morphisme. La $A ′$-algèbre $B ′ =B ⊗_A A ′$ munie de l'action de $G$ par $A ′$-automorphisme $g(b ⊗ a ′)=g(b) @@ -942,6 +942,47 @@ munie de l'action de $G$ par $A ′$-automorphisme $g(b ⊗ a ′)=g(b) C'est trivial. \XXX \end{démo} +Terminons ce paragraphe par deux exemples importants. + +\begin{proposition2}\label{revêtement Kummer} +Soient $n ≥ 1$ un entier et $k$ un corps contenant +exactement $n$ racines de l'unité. Le morphisme $k[X^{±1}] +→ k[Y^{±1}]$ caractérisé par $X ↦ Y^n$ est $μ_n(k)$-galoisien +où chaque $ζ ∈ μ_n(k)$ agit par $Y ↦ ζY$. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Posons $A=k[X^{±1}]$. On vérifie immédiatement +que la $A$-algèbre $B=A[Y]/(Y^n-X)$ est $A$-isomorphe +à l'algèbre $k[Y^{±1}]$ de l'énoncé. +D'autre part, le morphisme $A → B$ est injectif et $B$ est +un $A$-module libre de rang $n$ ; en particulier, $B$ est +fidèlement plat sur $A$. Enfin, on a un isomorphisme +canonique $B ⊗_A B = B[T]/(T^n-X)$. Puisque $T^n-X$ +se scinde dans $B[T]$ en $∏_{ζ ∈ μ_n(k)} (T-ζY)$ +et que les polynômes unitaires $T-ζY$ sont premiers +entre eux (car $Y$ est inversible dans $B$), on a, par +Bézout, $B ⊗_A B ⥲ ∏_{ζ ∈ μ_n(k)} B$. (On utilise +ici le fait que $B[T]/(T-ζY)$ est canoniquement isomorphe +à $B$.) On vérifie sans peine \XXX que l'isomorphisme $B ⊗_A B +⥲ ∏_{ζ ∈ μ_n(k)} B$ coïncide avec le morphisme $m$ de +\ref{algèbres galoisiennes conditions équivalentes}. +CQFD. +\end{démo} + +\begin{proposition2}\label{revêtement AS} +Soient $p$ un nombre premier et $k$ un corps de +caractéristique $p$. Le morphisme +$k[X] → k[Y]$ caractérisé par $X ↦ Y^p -Y$ est +$𝐙/p$-galoisien où chaque $i ∈ 𝐙/p$ agit +par $Y ↦ Y+i$. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +La démonstration est parfaitement identique +à la démonstration de la proposition précédente. +\end{démo} + \section{Groupe de Galois d'un polynôme}\label{groupe Gal poly} \subsection{Définition et premières propriétés}Soit $f∈K[X]$ un polynôme unitaire. @@ -1514,8 +1555,8 @@ de la forme $X²-X-P$ où $P$ est un \emph{polynôme} en les coefficients. \begin{exercice3} Soit $A=𝐙[X₁,\dots,X_d][Δ_{2'}^{-1}]$, $B=\Fix_{𝔄_d}(A)$ et $C=\Fix_{𝔖_d}(A)=𝐙[σ₁,\dots,σ_n][Δ_{2'}^{-1}]$. -Montrer que le morphisme $C↪B$ est fini étale (\refext{}{}) de degré $2$ -mais qu'il n'existe pas de polynôme $P∈C[T]$ tel que $B≃C[T]/P$. +Montrer que le morphisme $C↪B$ est galoisien de groupe +$𝐙/2$ (\ref{algèbre G-galoisienne}) mais qu'il n'existe pas de polynôme $P∈C[T]$ tel que $B≃C[T]/P$. (C'est cependant le cas après changement de base $C→C[∏_{i<j}(X_i+X_j)^{-1}]$.) \end{exercice3} |