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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 17:57:17 +0100
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 17:57:17 +0100
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[CG] quelques équivalences supplémentaires
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index a1c786d..eced194 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -724,16 +724,14 @@ est un isomorphisme.
et pour tout idéal maximal $𝔪 ∈ \Specmax(A)$ et tout
$g ∈ G-\{1\}$, il existe $a ∈ A$ tel que $g(x)-x ∉ 𝔪$.
-\item Le morphisme $A → B$ est injectif, $A=\Fix_G(B)$
-et il existe deux familles $x$ et $y$ d'éléments de $B$
-indicées par $G$ telles que l'on ait
-\[
-∑_{g ∈ G} x_g h(y_g) = δ_{h,1}
-\]
-pour tout $h ∈ G$.
+\item Le morphisme $A → B$ est injectif, $A=\Fix_G(B)$,
+et il existe un entier $n ≥1$ ainsi que deux éléments
+$x$ et $y$ de $B^n$ tels que l'on ait
+$⟨x,g(y)⟩= δ_{g,1}$ pour tout $g ∈ G$, où $⟨,⟩$ est la forme
+bilinéaire euclidienne usuelle.
\item Le $A$-module $B$ est projectif de type fini et
-le morphisme $B\{G\} → \End_A(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
+le morphisme $i:B\{G\} → \End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
est un isomorphisme, où $B\{G\}$ est l'\emph{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent
est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit
étant défini par la condition $h ⋅ (bg)=h(b)(hg)$.
@@ -748,29 +746,80 @@ galoisienne de groupe $G$ lorsque les conditions
équivalentes du théorème précédent sont satisfaites.
\end{définition2}
+Nous dirons également que $B$ est galoisienne sur $A$
+s'il existe un sous-groupe $G$ de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$ tel que
+$B$ soit galoisienne de groupe $G$.
+
+\begin{proposition2}\label{connexe implique G=Aut}
+Si $A$ est connexe et $A → B$ galoisienne de groupe $G$,
+alors $G=\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$.
+\end{proposition2}
+
+Cette proposition sera démontrée ci-après.
+
Il résulte de \ref{galois=autodiag} qu'une extension de
corps $L\bo K$ finie et galoisienne est galoisienne de
groupe $\Aut_K(L)$ au sens précédent (critère (i)), et réciproquement.
\begin{démo}[Démonstration du théorème]
-Le fait que $A → B$ soit injectif n'est mis que pour
+(i) ⇒ (iii). Le fait que $A → B$ soit injectif n'est mis que pour
mémoire : un morphisme fidèlement plat est, par définition,
injectif et plat. Soit $b ∈ B$. Il résulte de la fidèle
platitude que $b$ appartient à $A$ si et seulement
si on a l'égalité $b ⊗ 1 = 1 ⊗ b$ dans $B ⊗_A B$
(cf. \ref{KsurG=k}). En appliquant l'isomorphisme $m$,
cette condition devient : $(g(b))_g=(b)_g$ c'est-à-dire
-$g(b)=b$ pour tout $g ∈ G$. CQFD.
-
-
-
+$g(b)=b$ pour tout $g ∈ G$. Par surjectivité de $m$,
+il existe un élément $c ∈ B ⊗_A B$ tel que
+$m(c)$ soit égal à $(δ_{g,1})_{g ∈ G}$.
+Toute décomposition $∑_{i=1}^n y_i ⊗ x_i$
+de $c$ en somme de tenseurs simples fournit
+les deux $n$-uplets désirés.
+
+(iii) ⇒ (ii). Soient $g$ et $𝔪$ comme dans l'énoncé du (ii),
+et $x,y$ comme en (iii). Il résulte de l'hypothèse que l'on a égalité
+$∑_i x_i (y_i-g(y_i))=1$. Comme l'unité n'appartient pas à $𝔪$,
+on ne peut avoir l'inclusion $(1-g)B ⊆ 𝔪$. CQFD.
+
+(ii) ⇒ (iii). Réciproquement, si pour chaque $g ≠ 1$,
+on a $B(1-g)B=B$, il existe $n_g$ et $x_g,y_g$ dans
+$B^{n_g}$ tels que $∑_{i=1}^{n_g} x_{g,i} (y_{g,i}-g(y_{g,i}))=1$, c'est-à-dire
+$⟨ x_g ,y_g ⟩=1+ ⟨x_g,g(y_g)⟩$.
+Quitte à rajouter une coordonnée à $x_g$ et $y_g$, on peut
+supposer que l'on a l'égalité $⟨ x_g ,y_g ⟩=1$
+et, partant, $⟨x_g,g(y_g)⟩=0$ si l'on suppose
+que la coordonnée ajoutée à $y$ est dans $A$, ce qui
+est loisible. Pour chaque $h ∈ G$ le produit $∏_{g ≠ 1} ⟨ x_g ,h(y_g) ⟩$
+est, par construction, égal à $δ_{h,1}$.
+D'autre part, il s'écrit $⟨X,h(Y)⟩$,
+où les $X,Y$ sont dans un $B^N$ et indépendants
+de $h$.
+
+(iii) ⇒ (iv). Commençons par vérifier le second énoncé.
+Fixons $x$ et $y$ comme en (iii). Soit $u ∈ \End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B)$.
+Vérifions que le morphisme $i$ envoie l'élément
+$∑_g ⟨u(x),g(y) ⟩ \, g ∈ B\{G\}$, où l'on note $u(x)=(u(x₁),
+…,u(x_n)) ∈ B^n$, sur l'endomorphisme $u$.
+Soit en effet $b ∈ B$. On a $b= ∑_g ⟨x,g(b.y)⟩$ d'où
+$u(b)=∑_g u(⟨x,g(b.y)⟩)$. Pour chaque $i ∈ \{1, … ,n\}$,
+la somme $∑_g g(by_i)$ appartient à $A$, on a donc
+— l'application $u$ étant $A$-linéaire —
+$u(b)=∑_g ⟨u(x),g(b.y)⟩$. (L'égalité terme à terme $u(⟨x,g(by)⟩)=⟨u(x),g(by)⟩$ n'est
+pas vraie en général.) On conclut en observant
+l'égalité triviale $∑_g ⟨u(x),g(b.y)⟩=(∑_g ⟨u(x),g(y) ⟩ \, g) (b)$.
\end{démo}
+Signalons les analogues suivants de
+\refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net} (iii) et (v).
\begin{proposition2}
-Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $\Tr_{B \bo A}$ la \emph{trace} $b ↦ ∑_g g(b)$, $B → A$.
+Soient $B\bo A$ une algèbre galoisienne.
+\begin{enumerate}
+\item $\Tr_{B \bo A}$ la \emph{trace} $b ↦ ∑_g g(b)$, $B → A$.
Le morphisme $A$-linéaire $B → B^{\vee}=\Hom_A(B,A)$, $b ↦ \Tr_{B\bo
A}(b ⋅)$, est un isomorphisme.
+\item $Ω¹_{B/A}=0$ : $B$ est formellement nette sur $A$.
+\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -787,6 +836,10 @@ $f ⊗ m ↦ \big( b ↦ f(b)m\big)$ est un isomorphisme.
\XXX
\end{démo}
+\begin{démo}[Démonstration de la proposition \ref{connexe implique G=Aut}]
+\XXX
+\end{démo}
+
\begin{corollaire2}
Notion stable par changement de base.
\end{corollaire2}