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author | Fabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-01-05 23:08:20 +0100 |
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[CG] fin démonstration caractérisation A-algèbres galoisiennes groupe G
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diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex index eced194..45a0f14 100644 --- a/chapitres/correspondance-galois.tex +++ b/chapitres/correspondance-galois.tex @@ -31,6 +31,8 @@ \externaldocument{spectre} \externaldocument{entiers} \externaldocument{artin-schreier-witt} +\externaldocument{descente} +\externaldocument{produit-tensoriel} %\makeindex \title{Correspondance de Galois} @@ -731,7 +733,7 @@ $⟨x,g(y)⟩= δ_{g,1}$ pour tout $g ∈ G$, où $⟨,⟩$ est la forme bilinéaire euclidienne usuelle. \item Le $A$-module $B$ est projectif de type fini et -le morphisme $i:B\{G\} → \End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$ +le morphisme $ι:B\{G\} → \End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$ est un isomorphisme, où $B\{G\}$ est l'\emph{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit étant défini par la condition $h ⋅ (bg)=h(b)(hg)$. @@ -797,46 +799,78 @@ de $h$. (iii) ⇒ (iv). Commençons par vérifier le second énoncé. Fixons $x$ et $y$ comme en (iii). Soit $u ∈ \End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B)$. -Vérifions que le morphisme $i$ envoie l'élément -$∑_g ⟨u(x),g(y) ⟩ \, g ∈ B\{G\}$, où l'on note $u(x)=(u(x₁), -…,u(x_n)) ∈ B^n$, sur l'endomorphisme $u$. -Soit en effet $b ∈ B$. On a $b= ∑_g ⟨x,g(b.y)⟩$ d'où -$u(b)=∑_g u(⟨x,g(b.y)⟩)$. Pour chaque $i ∈ \{1, … ,n\}$, -la somme $∑_g g(by_i)$ appartient à $A$, on a donc -— l'application $u$ étant $A$-linéaire — -$u(b)=∑_g ⟨u(x),g(b.y)⟩$. (L'égalité terme à terme $u(⟨x,g(by)⟩)=⟨u(x),g(by)⟩$ n'est +Nous allons montrer que le morphisme d'anneaux non commutatifs $ι$ +est surjectif en vérifiant qu'il envoie l'élément $∑_g ⟨u(x),g(y) ⟩ \, g ∈ B\{G\}$ +sur l'endomorphisme $u$, où l'on note $u(x)=(u(x₁), …,u(x_n)) ∈ B^n$. +Soit en effet $b ∈ B$. On a $b= ∑_g ⟨x,g(b.y)⟩$, où +$b.y=(by₁, …,by_n)$, d'où $u(b)=∑_g u(⟨x,g(b.y)⟩)$. Pour chaque $i ∈ \{1, … ,n\}$, +la somme $∑_g g(by_i)$ appartient à $A$ ; il en résulte +immédiatement, par $A$-linéarité de $u$, que l'on +a l'égalité $u(b)=∑_g ⟨u(x),g(b.y)⟩$. (L'égalité terme à terme $u(⟨x,g(by)⟩)=⟨u(x),g(by)⟩$ n'est pas vraie en général.) On conclut en observant l'égalité triviale $∑_g ⟨u(x),g(b.y)⟩=(∑_g ⟨u(x),g(y) ⟩ \, g) (b)$. +Injectivité. Soit $s=∑_g b_g g ∈ B\{G\}$. Par hypothèse +sur $x$ et $y$, on a, pour chaque $g ∈ G$, +$b_g = ∑_h b_h h\big(⟨x, h^{-1}g (y)⟩\big)$. +On peut réécrire cette somme sous la forme : +$b_g= ∑_i ι(s)(x_i)) g(y_i)$. Ainsi, si $ι(s)=0$, +chaque $b_g$ est nul et $s=0$. (Pour une démonstration plus élégante, +cf. \cite[II.5.6]{Knus-Ojanguren}.) +Il nous reste à vérifier que $B$ est projectif de type fini +sur $A$. Pour chaque $i$, considérons la forme linéaire +$f_i ∈ B^∨=\Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B,A)$ définie +par $b ↦ ∑_g g(by_i)$. Pour tout $b ∈ B$, on a $b=∑_i f_i(b)x_i$. D'après \refext{descente}{projectivité par +décomposition identité} ceci montre que $B$ est projectif de +type fini sur $A$. + +(iv) ⇒ (i). Si $B$ est projectif de type fini sur $A$, le +morphise $A → B$ est en particulier fidèlement plat +(\refext{Tens}{}). On vérifie immédiatement que le morphisme +$m:B ⊗_A B → B^G$ est le composé des morphismes +\[ +B ⊗_A B \dessusdessous{\Id ⊗ \Tr}{→} B ⊗_A B^∨ → \End_A(B) +\dessusdessous{ι^{-1}}{→} B^G +\] +où $\Tr:B → B^∨$ est le morphisme $b ↦ ∑_g g(b)$, +$B ⊗_A B^∨ → \End_A(B)$ est le morphisme évident +$b ⊗ f ↦ \big(x ↦ f(x)b\big)$ et $ι^{-1}$ est l'application +linéaire sous-jacente à l'inverse du morphisme de $A$-algèbres +non-nécessairement commutatives $ι$. D'après \refext{descente}{Hom=produit tensoriel si +projectif} et l'hypothèse, les deux dernières flèches sont +des isomorphismes. Il suffit donc de démontrer que la trace +$\Tr$ induit un isomorphisme $B ⥲ B^∨$. (Comparer +avec \refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net} (v).) +Par hypothèse, toute forme $A$-linéaire sur $B$ +peut s'écrire $f:x ↦ ∑_g b_g g(x)$ pour un choix +convenable de $b_g$ dans $B$. L'image de $f$ étant +contenue dans $A$, on a $h ∘ f=f$ pour tout $h ∈ G$. +Par injectivité de $ι$, on a donc $h(b_g)=b_{hg}$ pour toute +paire $(g,h) ∈ G²$. En particulier, $b_g=h(b₁)$ +et $f(x)=\Tr(b₁ x)$ pour tout $x ∈ B$. CQFD. \end{démo} -Signalons les analogues suivants de -\refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net} (iii) et (v). - -\begin{proposition2} -Soient $B\bo A$ une algèbre galoisienne. -\begin{enumerate} -\item $\Tr_{B \bo A}$ la \emph{trace} $b ↦ ∑_g g(b)$, $B → A$. -Le morphisme $A$-linéaire $B → B^{\vee}=\Hom_A(B,A)$, $b ↦ \Tr_{B\bo -A}(b ⋅)$, est un isomorphisme. -\item $Ω¹_{B/A}=0$ : $B$ est formellement nette sur $A$. -\end{enumerate} +\begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide} +Tout morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres +galoisiennes de groupe $G$ est un isomorphisme. \end{proposition2} \begin{démo} + \XXX \end{démo} -\begin{lemme2} -Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $M$ un $A$-module. -Le morphisme $A$-linéaire $\Hom_A(B,A)⊗_A M → \Hom(B,M)$, -$f ⊗ m ↦ \big( b ↦ f(b)m\big)$ est un isomorphisme. -\end{lemme2} +\begin{démo}[Démonstration de la proposition \ref{connexe implique G=Aut}] -\begin{démo} -\XXX \end{démo} -\begin{démo}[Démonstration de la proposition \ref{connexe implique G=Aut}] +Signalons l'analogue suivant de \refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net} (iii). + +\begin{proposition2} +Soient $B\bo A$ une algèbre galoisienne. +$Ω¹_{B/A}=0$ : $B$ est formellement nette sur $A$. +\end{proposition2} + +\begin{démo} \XXX \end{démo} @@ -845,7 +879,6 @@ Notion stable par changement de base. \end{corollaire2} \begin{corollaire2}\label{algèbre galoisienne est projective} -$B$ est projectif sur $A$. Pour tout $𝔪 ∈ \Specmax(A)$, $B/𝔪$ est de rang fini $♯G$ sur le corps $A/𝔪$. Plus généralement, $A → K$ est un morphisme de but un corps, @@ -856,14 +889,6 @@ En effet, $(B ⊗_A B)⊗_A K$ est d'une part (canoniquement) isomorphe à $B_K et, par hypothèse, isomorphe à $B_K^{(G)}$ ; on a donc $\dim_K(B_K)²=\dim(B_K ⊗_K B_K)=\dim_K(B_K)⋅\#G$. -\begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide} -Tout morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres -galoisiennes de groupe $G$ est un isomorphisme. -\end{proposition2} - -\begin{démo} -\XXX -\end{démo} \section{Groupe de Galois d'un polynôme}\label{groupe Gal poly} @@ -1833,6 +1858,13 @@ Posons $K₁=\Fix_{G₂}(K)$ et $K₂=\Fix_{G₁}(K)$. \end{enumerate} \end{exercice2} +\section{Références} + +[...] +Algèbres galoisiennes : \cite[chap. 4]{Generic@JLY} pour une +approche \emph{ad hoc}, dont nous nous sommes inspirés, et +\cite[chap. II]{Knus-Ojanguren} pour une approche plus +conceptuelle, sur laquelle nous reviendrons. \ifx\danslelivre\undefined \bibliography{../configuration/bibliographie-livre} |