[CG] fin démonstration caractérisation A-algèbres galoisiennes groupe G

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@@ -31,6 +31,8 @@
 \externaldocument{spectre}
 \externaldocument{entiers}
 \externaldocument{artin-schreier-witt}
+\externaldocument{descente}
+\externaldocument{produit-tensoriel}
 %\makeindex
 
 \title{Correspondance de Galois}
@@ -731,7 +733,7 @@ $⟨x,g(y)⟩= δ_{g,1}$ pour tout $g ∈ G$, où $⟨,⟩$ est la forme
 bilinéaire euclidienne usuelle.
 
 \item Le $A$-module $B$ est projectif de type fini et
-le morphisme $i:B\{G\} → \End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
+le morphisme $ι:B\{G\} → \End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
 est un isomorphisme, où $B\{G\}$ est l'\emph{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent
 est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit
 étant défini par la condition $h ⋅ (bg)=h(b)(hg)$.
@@ -797,46 +799,78 @@ de $h$.
 
 (iii) ⇒ (iv). Commençons par vérifier le second énoncé.
 Fixons $x$ et $y$ comme en (iii). Soit $u ∈ \End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B)$.
-Vérifions que le morphisme $i$ envoie l'élément
-$∑_g ⟨u(x),g(y) ⟩ \, g ∈ B\{G\}$, où l'on note $u(x)=(u(x₁),
-…,u(x_n)) ∈ B^n$, sur l'endomorphisme $u$.
-Soit en effet $b ∈ B$. On a $b= ∑_g ⟨x,g(b.y)⟩$ d'où
-$u(b)=∑_g u(⟨x,g(b.y)⟩)$. Pour chaque $i ∈ \{1, … ,n\}$,
-la somme $∑_g g(by_i)$ appartient à $A$, on a donc
-— l'application $u$ étant $A$-linéaire —
-$u(b)=∑_g ⟨u(x),g(b.y)⟩$. (L'égalité terme à terme $u(⟨x,g(by)⟩)=⟨u(x),g(by)⟩$ n'est
+Nous allons montrer que le morphisme d'anneaux non commutatifs $ι$
+est surjectif en vérifiant qu'il envoie l'élément $∑_g ⟨u(x),g(y) ⟩ \, g ∈ B\{G\}$
+sur l'endomorphisme $u$, où l'on note $u(x)=(u(x₁), …,u(x_n)) ∈ B^n$.
+Soit en effet $b ∈ B$. On a $b= ∑_g ⟨x,g(b.y)⟩$, où
+$b.y=(by₁, …,by_n)$, d'où $u(b)=∑_g u(⟨x,g(b.y)⟩)$. Pour chaque $i ∈ \{1, … ,n\}$,
+la somme $∑_g g(by_i)$ appartient à $A$ ; il en résulte
+immédiatement, par $A$-linéarité de $u$, que l'on
+a l'égalité $u(b)=∑_g ⟨u(x),g(b.y)⟩$. (L'égalité terme à terme $u(⟨x,g(by)⟩)=⟨u(x),g(by)⟩$ n'est
 pas vraie en général.) On conclut en observant
 l'égalité triviale $∑_g ⟨u(x),g(b.y)⟩=(∑_g ⟨u(x),g(y) ⟩ \, g) (b)$.
+Injectivité. Soit $s=∑_g b_g g ∈ B\{G\}$. Par hypothèse
+sur $x$ et $y$, on a, pour chaque $g ∈ G$,
+$b_g = ∑_h b_h h\big(⟨x, h^{-1}g (y)⟩\big)$.
+On peut réécrire cette somme sous la forme :
+$b_g= ∑_i ι(s)(x_i)) g(y_i)$. Ainsi, si $ι(s)=0$,
+chaque $b_g$ est nul et $s=0$. (Pour une démonstration plus élégante,
+cf. \cite[II.5.6]{Knus-Ojanguren}.)
+Il nous reste à vérifier que $B$ est projectif de type fini
+sur $A$. Pour chaque $i$, considérons la forme linéaire
+$f_i ∈ B^∨=\Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B,A)$ définie
+par $b ↦ ∑_g g(by_i)$. Pour tout $b ∈ B$, on a $b=∑_i f_i(b)x_i$. D'après \refext{descente}{projectivité par
+décomposition identité} ceci montre que $B$ est projectif de
+type fini sur $A$.
+
+(iv) ⇒ (i). Si $B$ est projectif de type fini sur $A$, le
+morphise $A → B$ est en particulier fidèlement plat
+(\refext{Tens}{}). On vérifie immédiatement que le morphisme
+$m:B ⊗_A B → B^G$ est le composé des morphismes
+\[
+B ⊗_A B \dessusdessous{\Id ⊗ \Tr}{→} B ⊗_A B^∨ → \End_A(B)
+\dessusdessous{ι^{-1}}{→} B^G
+\]
+où $\Tr:B → B^∨$ est le morphisme $b ↦ ∑_g g(b)$,
+$B ⊗_A B^∨ → \End_A(B)$ est le morphisme évident
+$b ⊗ f ↦ \big(x ↦ f(x)b\big)$ et $ι^{-1}$ est l'application
+linéaire sous-jacente à l'inverse du morphisme de $A$-algèbres
+non-nécessairement commutatives $ι$. D'après \refext{descente}{Hom=produit tensoriel si
+projectif} et l'hypothèse, les deux dernières flèches sont
+des isomorphismes. Il suffit donc de démontrer que la trace
+$\Tr$ induit un isomorphisme $B ⥲ B^∨$. (Comparer
+avec \refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net} (v).)
+Par hypothèse, toute forme $A$-linéaire sur $B$
+peut s'écrire $f:x ↦ ∑_g b_g g(x)$ pour un choix
+convenable de $b_g$ dans $B$. L'image de $f$ étant
+contenue dans $A$, on a $h ∘ f=f$ pour tout $h ∈ G$.
+Par injectivité de $ι$, on a donc $h(b_g)=b_{hg}$ pour toute
+paire $(g,h) ∈ G²$. En particulier, $b_g=h(b₁)$
+et $f(x)=\Tr(b₁ x)$ pour tout $x ∈ B$. CQFD.
 \end{démo}
 
-Signalons les analogues suivants de
-\refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net} (iii) et (v).
-
-\begin{proposition2}
-Soient $B\bo A$ une algèbre galoisienne.
-\begin{enumerate}
-\item $\Tr_{B \bo A}$ la \emph{trace} $b ↦ ∑_g g(b)$, $B → A$.
-Le morphisme $A$-linéaire $B → B^{\vee}=\Hom_A(B,A)$, $b ↦ \Tr_{B\bo
-A}(b ⋅)$, est un isomorphisme.
-\item $Ω¹_{B/A}=0$ : $B$ est formellement nette sur $A$.
-\end{enumerate}
+\begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide}
+Tout morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres
+galoisiennes de groupe $G$ est un isomorphisme.
 \end{proposition2}
 
 \begin{démo}
+
 \XXX
 \end{démo}
 
-\begin{lemme2}
-Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $M$ un $A$-module.
-Le morphisme $A$-linéaire $\Hom_A(B,A)⊗_A M → \Hom(B,M)$,
-$f ⊗ m ↦ \big( b ↦ f(b)m\big)$ est un isomorphisme.
-\end{lemme2}
+\begin{démo}[Démonstration de la proposition \ref{connexe implique G=Aut}]
 
-\begin{démo}
-\XXX
 \end{démo}
 
-\begin{démo}[Démonstration de la proposition \ref{connexe implique G=Aut}]
+Signalons l'analogue suivant de \refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net} (iii).
+
+\begin{proposition2}
+Soient $B\bo A$ une algèbre galoisienne.
+$Ω¹_{B/A}=0$ : $B$ est formellement nette sur $A$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
 \XXX
 \end{démo}
 
@@ -845,7 +879,6 @@ Notion stable par changement de base.
 \end{corollaire2}
 
 \begin{corollaire2}\label{algèbre galoisienne est projective}
-$B$ est projectif sur $A$.
 Pour tout $𝔪 ∈ \Specmax(A)$, $B/𝔪$ est de rang
 fini $♯G$ sur le corps $A/𝔪$. Plus généralement,
 $A → K$ est un morphisme de but un corps,
@@ -856,14 +889,6 @@ En effet, $(B ⊗_A B)⊗_A K$ est d'une part (canoniquement) isomorphe à $B_K
 et, par hypothèse, isomorphe à $B_K^{(G)}$ ; on a donc $\dim_K(B_K)²=\dim(B_K
 ⊗_K B_K)=\dim_K(B_K)⋅\#G$.
 
-\begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide}
-Tout morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres
-galoisiennes de groupe $G$ est un isomorphisme.
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-\XXX
-\end{démo}
 
 \section{Groupe de Galois d'un polynôme}\label{groupe Gal poly}
 
@@ -1833,6 +1858,13 @@ Posons $K₁=\Fix_{G₂}(K)$ et $K₂=\Fix_{G₁}(K)$.
 \end{enumerate}
 \end{exercice2}
 
+\section{Références}
+
+[...]
+Algèbres galoisiennes : \cite[chap. 4]{Generic@JLY} pour une
+approche \emph{ad hoc}, dont nous nous sommes inspirés, et
+\cite[chap. II]{Knus-Ojanguren} pour une approche plus
+conceptuelle, sur laquelle nous reviendrons.
 
 \ifx\danslelivre\undefined
 \bibliography{../configuration/bibliographie-livre}