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path: root/chapitres/correspondance-galois.tex
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authorFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-15 21:23:57 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-15 21:23:57 +0100
commit4c6f98d33b0ed089b274965dfe6e9ace48a913f8 (patch)
treee9d6271a5e7ab6adea8463e078450463e5f21a57 /chapitres/correspondance-galois.tex
parent6fbb29ae8e7b4913ff72bb04d1960fc7fe33bf85 (diff)
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-rw-r--r--chapitres/correspondance-galois.tex43
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diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index 715471e..65961aa 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -132,6 +132,29 @@ Le nombre de racines distinctes dans $℩$ d'un polynĂŽme non nul Ă©tant Ă©gal a
de ce polynĂŽme \ssi ses racines sont simples, la remarque
sur le cas d'égalité est évidente.
+On peut ĂȘtre plus prĂ©cis.
+
+\begin{proposition2}
+\label{polynÎme minimal et conjugués dans cas général}
+Le polynÎme minimal d'un élément $x$ sur $k$ est
+\[
+\big( ∏_{y ∈ \Hom_k(K,℩).x} (X-y) \big)^{[k(x):k]_i}
+\]
+oĂč l'exposant est le degrĂ© d'insĂ©parabilitĂ© de l'extension.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+Les points fixes de $\Hom_k(K,℩)$ sont
+la clĂŽture radicielle.
+\end{proposition2}
+
+\XXX [DĂ©placer b.a.ba extension radicielle vers chapitre sur
+extension de corps ?]
+
\begin{proposition2}\label{Hom=Aut}
Soit $K\bo k$ une extension algébrique.
L'inclusion $\Aut_k(K)→\japmath{田}K(K)$ est une bijection.
@@ -151,6 +174,26 @@ injective, elle est bijective sur $R$ ; il existe donc
$y∈R⊆K$ tel que $x=Îč(y)$.
\end{démo}
+
+\subsubsection{Trace et norme, suite}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $K\bo k$ une extension finie de corps et $℩$ une clĂŽture algĂ©brique de $k$.
+Pour tout $x ∈ K$, on a
+\[
+\Tr_{K\bo k}(x)=[K:k]_i ∑_{σ} σ(x),
+\]
+oĂč $σ$ parcourt l'ensemble fini $\Hom_k(K,℩)$
+et $[K:k]_i$ désigne le degré inséparable de l'extension.
+\end{proposition2}
+
+% BBK V.50 par exemple.
+
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+
\subsection{Extensions normales}
Avant d'énoncer le résultat principal de ce paragraphe,