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author | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-03-15 21:23:57 +0100 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-03-15 21:23:57 +0100 |
commit | 4c6f98d33b0ed089b274965dfe6e9ace48a913f8 (patch) | |
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[AC,AVD-D,CG,Alg] Ătiquettes, mini-toudou, coquilles
Diffstat (limited to 'chapitres/correspondance-galois.tex')
-rw-r--r-- | chapitres/correspondance-galois.tex | 43 |
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diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex index 715471e..65961aa 100644 --- a/chapitres/correspondance-galois.tex +++ b/chapitres/correspondance-galois.tex @@ -132,6 +132,29 @@ Le nombre de racines distinctes dans $âŠ$ d'un polynĂŽme non nul Ă©tant Ă©gal a de ce polynĂŽme \ssi ses racines sont simples, la remarque sur le cas d'Ă©galitĂ© est Ă©vidente. +On peut ĂȘtre plus prĂ©cis. + +\begin{proposition2} +\label{polynĂŽme minimal et conjuguĂ©s dans cas gĂ©nĂ©ral} +Le polynĂŽme minimal d'un Ă©lĂ©ment $x$ sur $k$ est +\[ +\big( â_{y â \Hom_k(K,âŠ).x} (X-y) \big)^{[k(x):k]_i} +\] +oĂč l'exposant est le degrĂ© d'insĂ©parabilitĂ© de l'extension. +\end{proposition2} + +\begin{dĂ©mo} +\XXX +\end{dĂ©mo} + +\begin{proposition2} +Les points fixes de $\Hom_k(K,âŠ)$ sont +la clĂŽture radicielle. +\end{proposition2} + +\XXX [DĂ©placer b.a.ba extension radicielle vers chapitre sur +extension de corps ?] + \begin{proposition2}\label{Hom=Aut} Soit $K\bo k$ une extension algĂ©brique. L'inclusion $\Aut_k(K)â\japmath{ç°}K(K)$ est une bijection. @@ -151,6 +174,26 @@ injective, elle est bijective sur $R$ ; il existe donc $yâRâK$ tel que $x=Îč(y)$. \end{dĂ©mo} + +\subsubsection{Trace et norme, suite} + +\begin{proposition2} +Soit $K\bo k$ une extension finie de corps et $âŠ$ une clĂŽture algĂ©brique de $k$. +Pour tout $x â K$, on a +\[ +\Tr_{K\bo k}(x)=[K:k]_i â_{Ï} Ï(x), +\] +oĂč $Ï$ parcourt l'ensemble fini $\Hom_k(K,âŠ)$ +et $[K:k]_i$ dĂ©signe le degrĂ© insĂ©parable de l'extension. +\end{proposition2} + +% BBK V.50 par exemple. + +\begin{dĂ©mo} +\XXX +\end{dĂ©mo} + + \subsection{Extensions normales} Avant d'Ă©noncer le rĂ©sultat principal de ce paragraphe, |