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path: root/chapitres/correspondance-galois.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-12 23:58:48 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-12 23:58:48 +0100
commit655da8f86bfd093078940c97b911446ca12ce63c (patch)
treeb7a9f52c3008a1f9f1f3b53c7183173093158c22 /chapitres/correspondance-galois.tex
parent20f60ce8105e4e7c5af9154859c2bfc7f683653a (diff)
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[Azu,Boole,Ent,CG,Spec,tmp] multiples copiés-collés
J'ai essayé de réduire autant que possible le contenu du chapitre Spec (chap. 0). Il faut cependant donner quelques compléments sur la connexité. Si ça devient trop long, on peut faire une digression dans [CG] voire, si on veut rendre ce chapitre plus simple, déplacer les « G-algèbres galoisiennes » dans [Azu] (ce qui aurait un certain sens).
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-rw-r--r--chapitres/correspondance-galois.tex17
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diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index 2a8c4de..eb8c9d1 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -884,15 +884,6 @@ et est \emph{connexe} alors $G=\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$.
Cette proposition s'applique notamment lorsque $B$ est intègre.
-\begin{lemme2}
-$\End_{A}(A^X) → \End_{\Ens}(X)$ via connexité/spectre.
-compatible avec composition ; cas où $X=G$ ou $G$-ensemble.
-\end{lemme2}
-
-\begin{démo}
-cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}.
-\end{démo}
-
\begin{démo}
Pour toute $A$-algèbre $A ′$, notons
$H(A ′)$ l'ensemble $\Hom_{A ′\traitdunion\Alg}(B_{A ′}, B_{A′})$
@@ -908,10 +899,7 @@ Enfin, si $B$ est connexe, on a (\refext{Spec}{produit=somme})
$H(B)=(∐_G \Hom_B(B,B))^G=\End_{\Ens}(G)$. L'image de $H(A)$ dans $H(B)$
est $G$-invariante, où l'action de $G$ sur $H(B)$ vient
de l'action de $G$ sur $B$ et de la fonctorialité
-de $H$. On vérifie immédiatement que le morphisme
-$H(B) → \End_{\Ens}(G)$ est un morphisme d'anneaux
-respectant l'action naturelle de $G$ sur $\End_{\Ens}(G)$
-par $g ⋅ f : h ↦ g f(h)$ \XXX.
+de $H$. D'après \refext{Spec}{}, $H(B) → \End_{\Ens}(G)$ etc. \XXX.
En particulier, l'ensemble des points fixes
est de cardinal $♯G$. On a donc $♯H(A)= ♯G$ d'où
les égalités $G=\End_A(B)=\Aut_A(B)$.
@@ -945,8 +933,7 @@ réduction modulo $𝔪$ pour $𝔪 ∈ \Specmax(A)$. On peut
donc finalement supposer que $A$ est un corps donc
connexe si bien que l'anneau non nécessairement commutatif
$\Hom_{A\traitdunion\Alg}(A^G,A^G)$ est naturellement
-isomorphe à $\End_{\Ens}(G)$, comme on l'a vu au cours
-de la démonstration de la proposition précédente.
+isomorphe à $\End_{\Ens}(G)$, cf \refext{Spec}{} \XXX
Il suffit alors d'observer qu'un élément $G$-équivariant de $\End_{\Ens}(G)$
est nécessairement surjectif donc bijectif. CQFD.
\end{démo}