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@@ -57,7 +57,7 @@
\section{Conjugués d'un élément, extensions normales et galoisiennes}
-Dans ce paragraphe, on fixe un corps $k$ et $Ω$ une clôture algébrique
+Dans ce paragraphe, on fixe un corps $k$ et $Ω$ une clôture algébrique
de $k$. Rappelons que si $K$ est un anneau et $A,B$ deux $K$-algèbres,
on note également $\japmath{田}A(B)$ l'ensemble $\Hom_K(A,B)$ des
homomorphismes de $K$-algèbres.
@@ -65,54 +65,54 @@ homomorphismes de $K$-algèbres.
\subsection{Conjugués d'un élément}
\begin{définition2}
-Deux éléments $x$ et $y$ de $Ω$ sont dits \emph{conjugués sur $k$}
-s'il existe un $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$ tel que
+Deux éléments $x$ et $y$ de $Ω$ sont dits \emph{conjugués sur $k$}
+s'il existe un $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$ tel que
$σ(x)=y$.
\end{définition2}
\begin{proposition2}\label{prolongement-plongement}
-Soit $K$ une sous-$k$-extension de $Ω$. Tout morphisme
-$k$-linéaire $ι:K→Ω$ s'étend en un $k$-morphisme $σ_ι:Ω→Ω$.
-Tout $k$-morphisme $Ω→Ω$ est un isomorphisme.
+Soit $K$ une sous-$k$-extension de $Ω$. Tout morphisme
+$k$-linéaire $ι:K→Ω$ s'étend en un $k$-morphisme $σ_ι:Ω→Ω$.
+Tout $k$-morphisme $Ω→Ω$ est un isomorphisme.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-L'existence d'un $k$-morphisme $Ω→Ω$ étendant $ι$
+L'existence d'un $k$-morphisme $Ω→Ω$ étendant $ι$
résulte du lemme de prolongement des plongements
(\refext{Alg}{plongement-dans-cloture-algebrique}).
-La surjectivité d'un $k$-morphisme $f:Ω→Ω$
-est conséquence du fait que $f(Ω)$ est une clôture algébrique
-de $k$, contenue dans $Ω$, donc nécessairement égale à $Ω$.
+La surjectivité d'un $k$-morphisme $f:Ω→Ω$
+est conséquence du fait que $f(Ω)$ est une clôture algébrique
+de $k$, contenue dans $Ω$, donc nécessairement égale à $Ω$.
(Voir aussi \ref{Hom=Aut} \emph{infra} pour une généralisation.)
\end{démo}
Une telle extension est non unique en général. Nous verrons
-plus tard qu'elle est unique \ssi $Ω$ est \emph{radiciel} sur $K$.
+plus tard qu'elle est unique \ssi $Ω$ est \emph{radiciel} sur $K$.
\begin{corollaire2}\label{caracterisation-conjugaison}
-Soient $x,y∈Ω$ et $K$ un sous-corps de $Ω$ contenant $k(x)$.
+Soient $x,y∈Ω$ et $K$ un sous-corps de $Ω$ contenant $k(x)$.
Les éléments $x$ et $y$ sont conjugués sur $k$ \ssi
-il existe un $k$-plongement $ι:K→Ω$ tel que $ι(x)=y$.
+il existe un $k$-plongement $ι:K→Ω$ tel que $ι(x)=y$.
\end{corollaire2}
\begin{proposition2}
-Deux éléments de $Ω$ sont conjugués sur $k$
+Deux éléments de $Ω$ sont conjugués sur $k$
\ssi ils ont même polynôme minimal sur $k$.
\end{proposition2}
\begin{démo}Soient $x$ et $y$ deux éléments conjugués : $y=σ(x)$
-où $σ∈\Aut_k(Ω)$. En appliquant $σ$ à l'identité
+où $σ∈\Aut_k(Ω)$. En appliquant $σ$ à l'identité
$μ_{x,k}(x)=0$, on obtient :
$$0=σ\big(μ_{x,k}(x)\big)=μ_{x,k}\big(σ(x)\big)=μ_{x,k}(y).$$
(La seconde égalité résulte de la $k$-linéarité de $σ$.)
Il en résulte que $y$ est racine de $μ_{x,k}$. Ce dernier étant
unitaire, irréductible sur $k$, on a $μ_{y,k}=μ_{x,k}$.
-Réciproquement, si $x$ et $y$ sont deux éléments de $Ω$
+Réciproquement, si $x$ et $y$ sont deux éléments de $Ω$
tels que $μ_{x,k}=μ_{y,k}$, le
morphisme composé
$$
-k(x) ⥲ k_{μ_{x,k}}=k_{μ_{y,k}} ⥲ k(y)↪Ω,
+k(x) ⥲ k_{μ_{x,k}}=k_{μ_{y,k}} ⥲ k(y)↪Ω,
$$
envoie $x$ sur $y$. La seconde (resp. première) flèche
est induite par l'isomorphisme canonique (resp. son
@@ -121,14 +121,14 @@ où $z=y$ (resp. $z=x$).
\end{démo}
\begin{corollaire2}\label{conjugues=racines}
-L'ensemble des conjugués sur $k$ d'un élément $x$ de $Ω$ coïncide
-avec l'ensemble des racines dans $Ω$ de son polynôme minimal $μ_{k,x}$.
+L'ensemble des conjugués sur $k$ d'un élément $x$ de $Ω$ coïncide
+avec l'ensemble des racines dans $Ω$ de son polynôme minimal $μ_{k,x}$.
Cet ensemble est fini, de cardinal inférieur ou égal
à $\deg μ_{k,x}=[k(x):k]$. L'égalité a lieu \ssi
$x$ est séparable sur $k$.
\end{corollaire2}
-Le nombre de racines distinctes dans $Ω$ d'un polynôme non nul étant égal au degré
+Le nombre de racines distinctes dans $Ω$ d'un polynôme non nul étant égal au degré
de ce polynôme \ssi ses racines sont simples, la remarque
sur le cas d'égalité est évidente.
@@ -138,7 +138,7 @@ On peut être plus précis.
\label{polynôme minimal et conjugués dans cas général}
Le polynôme minimal d'un élément $x$ sur $k$ est
\[
-\big( ∏_{y ∈ \Hom_k(K,Ω).x} (X-y) \big)^{[k(x):k]_i}
+\big( ∏_{y ∈ \Hom_k(K,Ω).x} (X-y) \big)^{[k(x):k]_i}
\]
où l'exposant est le degré d'inséparabilité de l'extension.
\end{proposition2}
@@ -148,7 +148,7 @@ où l'exposant est le degré d'inséparabilité de l'extension.
\end{démo}
\begin{proposition2}
-Les points fixes de $\Hom_k(K,Ω)$ sont
+Les points fixes de $\Hom_k(K,Ω)$ sont
la clôture radicielle.
\end{proposition2}
@@ -178,12 +178,12 @@ $y∈R⊆K$ tel que $x=ι(y)$.
\subsubsection{Trace et norme, suite}
\begin{proposition2}
-Soit $K\bo k$ une extension finie de corps et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
+Soit $K\bo k$ une extension finie de corps et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
Pour tout $x ∈ K$, on a
\[
\Tr_{K\bo k}(x)=[K:k]_i ∑_{σ} σ(x),
\]
-où $σ$ parcourt l'ensemble fini $\Hom_k(K,Ω)$
+où $σ$ parcourt l'ensemble fini $\Hom_k(K,Ω)$
et $[K:k]_i$ désigne le degré inséparable de l'extension.
\end{proposition2}
@@ -208,17 +208,17 @@ de base} de $k$ à $K$ dans le cas particulier où $K'=K$.
\end{convention2}
\begin{proposition2}\label{caracterisation-extension-normale}
-Soit $K\bo k$ une sous-extension de $Ω$.
+Soit $K\bo k$ une sous-extension de $Ω$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
-\item pour tout $k$-plongement $ι:K↪Ω$, on a $ι(K)⊆K$ ;
-\item pour tout $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$, on a $σ(K)⊆K$ ;
-\item l'inclusion naturelle $\Aut_k(K)=\japmath{田}K(K)↪\japmath{田}K(Ω)$ est une bijection ;
+\item pour tout $k$-plongement $ι:K↪Ω$, on a $ι(K)⊆K$ ;
+\item pour tout $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$, on a $σ(K)⊆K$ ;
+\item l'inclusion naturelle $\Aut_k(K)=\japmath{田}K(K)↪\japmath{田}K(Ω)$ est une bijection ;
\item pour tout $x∈K$, le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est scindé sur $K$ ;
\item tout polynôme irréductible de $k[X]$ ayant une racine dans $K$ est scindé sur $K$ ;
-\item pour tout $x∈K$, les $k$-conjugués de $x$ dans $Ω$ appartiennent à $K$ ;
+\item pour tout $x∈K$, les $k$-conjugués de $x$ dans $Ω$ appartiennent à $K$ ;
\item pour tout $𝔭∈\Spec(K⊗_k K)$, l'extension résiduelle $κ(𝔭)\bo K$ est triviale ;
-\item l'application $\japmath{田}(K⊗_k K)(K)↪\japmath{田}(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection ;
+\item l'application $\japmath{田}(K⊗_k K)(K)↪\japmath{田}(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection ;
\item l'application $\Aut_k(K) → \Spec(K ⊗_k K)$, $g ↦ 𝔭_g:=\Ker\big(m_g:λ⊗μ\mapsto g(λ)\cdot μ\big)$
est une bijection.
\end{enumerate}
@@ -240,15 +240,15 @@ et \ref{caracterisation-conjugaison}.
% On utilise le fait que $K$ est la réunion de ses sous-$k$-extensions monogènes.
(vii)⇔(viii). Notons $A$ la $K$-algèbre $K ⊗_k K$ ; elle est entière
sur $K$ (\refext{Alg}{entier sur corps stable par cb}).
-L'application noyau $\japmath{田}A(Ω)→\Spec(A)$, $φ ↦ \Ker(φ)$
+L'application noyau $\japmath{田}A(Ω)→\Spec(A)$, $φ ↦ \Ker(φ)$
est donc surjective. En effet, sa fibre au-dessus d'un élément $𝔭$ de
$\Spec(A)$ est, par propriété universelle du quotient, en bijection
-avec l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$. Or, l'anneau $A/𝔭$ est intègre
+avec l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$. Or, l'anneau $A/𝔭$ est intègre
et entier sur $K$ ; c'est donc un corps (\refext{Alg}{polynome-minimal}).
D'après \refext{Alg}{plongement-dans-cloture-algebrique},
-l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$ est donc non vide.
+l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$ est donc non vide.
Les idéaux premiers de $A$ sont donc tous $K$-rationnels
-si et seulement si l'inclusion $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$
+si et seulement si l'inclusion $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$
est une bijection. (viii)⇔(iii) Soit $B$ une $K$-algèbre et
${_{[k]}B}$ la $k$-algèbre déduite de $B$ par restriction des scalaires.
L'application $\japmath{田}K({_{[k]}B})→\japmath{田}A(B)$,
@@ -269,10 +269,10 @@ si $B → B ′$ est un morphisme de $K$-algèbres, le diagramme
\draw[->] (KBp) -- (ABp);
\end{tikzpicture}
\end{center}
-est commutatif. La conclusion résulte aussitôt en posant $B=K$ et $B ′=Ω$.
+est commutatif. La conclusion résulte aussitôt en posant $B=K$ et $B ′=Ω$.
(viii)⇔(ix). L'application $G=\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(K)$
n'est autre que $g ↦ (λ⊗μ↦g(λ)μ)$. L'application composée
-$\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(Ω) ⥲ \Spec(A)$
+$\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(Ω) ⥲ \Spec(A)$
est celle de l'énoncé. [À vérifier] \XXX
Notons que l'injectivité de $G → \Spec(K ⊗_k K)$ est claire : si $g(λ)≠g'(λ)$,
l'élément $λ⊗1-1⊗g(λ)$ appartient à $𝔭_g$ mais pas à $𝔭_{g'}$.
@@ -306,7 +306,7 @@ les éléments $j\sqrt[3]{2}$ et $\sqrt[3]{2}$ ont même polynôme minimal
$X³-2$ sur $𝐐$ mais $j\sqrt[3]{2}∉𝐐(\sqrt[3]{2})$.
\item Par définition, toute extension de décomposition d'un polynôme $f∈k[X]$
est normale.
-\item L'extension $Ω\bo k$ est normale.
+\item L'extension $Ω\bo k$ est normale.
\end{enumerate}
\end{exemples2}
@@ -319,10 +319,10 @@ des polynômes minimaux de ses éléments.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Soit $R_f$ l'ensemble des racines des $f_i$ dans $Ω$.
+Soit $R_f$ l'ensemble des racines des $f_i$ dans $Ω$.
Par unicité de la $k$-extension de décomposition (\ref{unicite-extension-decomposition}),
il suffit de démontrer que l'extension $K=k(R_f)\bo k$ est normale.
-Or, pour tout $k$-morphisme $ι$ de $K$ dans $Ω$,
+Or, pour tout $k$-morphisme $ι$ de $K$ dans $Ω$,
on a $ι(R_f)⊆R_f$ donc $ι(K)⊆K$. CQFD.
\end{démo}
@@ -344,9 +344,9 @@ Les deux premières assertions résultent de la proposition précédente
et de \ref{unicite-extension-decomposition}.
Supposons maintenant $k'\bo k$ normale. Fixons des plongements de $K$ et
-$k'$ dans $Ω$ et considérons $K'=Kk'$ dans $Ω$. Si suffit de montrer que $K'\bo k$
+$k'$ dans $Ω$ et considérons $K'=Kk'$ dans $Ω$. Si suffit de montrer que $K'\bo k$
est normale car toute extension composée sur $k$ de $K$ et $k'$ lui est $k$-isomorphe.
-Soit $σ$ un $k$-automorphisme de $Ω$. Puisque $σ(k')⊆k'$ et $σ(K)⊆K$, on a bien
+Soit $σ$ un $k$-automorphisme de $Ω$. Puisque $σ(k')⊆k'$ et $σ(K)⊆K$, on a bien
$σ(K')⊆K'$.
\end{démo}
@@ -366,24 +366,24 @@ Cela résulte immédiatement du critère (iii) de normalité : si un polynôme
sur $⋂_i K_i$.
\end{démo}
-\subsubsection{}Étant donné une famille de sous-extensions \emph{normales} $K_i\bo k$ de $Ω$,
+\subsubsection{}Étant donné une famille de sous-extensions \emph{normales} $K_i\bo k$ de $Ω$,
on a vu ci-dessus le corps $K=⋂_i K_i$ est également normal sur $k$.
-Si $X$ est une partie quelconque de $Ω$,
-il existe donc un plus petit sous-corps de $Ω$ la contenant
-et normal sur $k$. (Rappelons que l'extension $Ω\bo k$ est normale.)
+Si $X$ est une partie quelconque de $Ω$,
+il existe donc un plus petit sous-corps de $Ω$ la contenant
+et normal sur $k$. (Rappelons que l'extension $Ω\bo k$ est normale.)
On vérifie sans peine qu'il coïncide
avec le corps engendré sur $k$ par les conjugués
des éléments de $X$ ou bien encore avec le corps
-de décomposition sur $k$ contenu dans $Ω$ des polynômes minimaux
+de décomposition sur $k$ contenu dans $Ω$ des polynômes minimaux
des éléments de $X$.
On l'appelle \emph{extension normale engendrée
par $X$} ou bien, si $X$ est un corps $k'$ contenant $k$,
-\emph{clôture normale de l'extension $k'\bo k$ dans $Ω$}.
+\emph{clôture normale de l'extension $k'\bo k$ dans $Ω$}.
Plus généralement, on appelle clôture normale d'une extension
algébrique $k'\bo k$ toute extension $K/k'$ qui soit
normale sur $k$ et minimale pour cette propriété. Puisque
-qu'un tel corps $K$ se plonge dans $Ω$, il est aisé de vérifier
+qu'un tel corps $K$ se plonge dans $Ω$, il est aisé de vérifier
que deux clôtures normales d'une même extension algébrique $k'\bo k$
sont $k'$-isomorphes.
@@ -546,7 +546,7 @@ Le fait que $k$ soit contenu dans $\Fix_G(K)$ est équivalent
\begin{démo}[Première démonstration]
Il s'agit de démontrer que pour tout $x∈K-k$, il existe $σ∈G$
tel que $σ(x)≠x$. Puisque $x$ est séparable sur $k$, il
-a exactement $[k(x):k]$ conjugués sur $k$ dans $Ω$ (\ref{conjugues=racines}). Soit $y$ l'un d'entre
+a exactement $[k(x):k]$ conjugués sur $k$ dans $Ω$ (\ref{conjugues=racines}). Soit $y$ l'un d'entre
eux. Par définition, il existe un $σ∈G$ tel que $y=σ(x)≠x$. CQFD.
\end{démo}
\begin{démo}[Seconde démonstration, par descente fidèlement plate (esquisse)]
@@ -1117,9 +1117,9 @@ automorphisme intérieur près. Conformément à l'usage, mais en contradiction
la convention \refext{Cat}{blabla-unicite-objet-universel}, nous nous autorisons cependant à parler \emph{du}
groupe de Galois d'une équation, même si ce dernier n'est pas abélien.
Une façon de procéder pour résoudre cette difficulté est de fixer une clôture algébrique
-de $K$, ou plus généralement toute extension $Ω$ de $K$ sur laquelle $f$ est scindé,
-et de considérer le groupe de Galois $\Gal(f,Ω)$ de $f$ « pointė » en $Ω$, \cad
-le groupe de Galois de l'unique corps de décomposition de $f$ dans $Ω$.
+de $K$, ou plus généralement toute extension $Ω$ de $K$ sur laquelle $f$ est scindé,
+et de considérer le groupe de Galois $\Gal(f,Ω)$ de $f$ « pointė » en $Ω$, \cad
+le groupe de Galois de l'unique corps de décomposition de $f$ dans $Ω$.
\subsubsection{}Le fait trivial suivant est d'importance capitale : l'ensemble
$R_f$ est stable sous l'action de $G_f$. Cela résulte du fait
@@ -1680,7 +1680,7 @@ Déterminer le groupe de Galois du polynôme $X³-2∈𝐐[X]$.
\begin{exercice3}\label{borne-degre-elements}
Soient $p$ un nombre premier et $k=\FF_p((t_i)_{i∈𝐍})$ le
corps des fractions de l'anneau de polynômes en une infinité
-de variables $\FF_p[(t_i)_{i∈𝐍}]$. Soit $Ω$ une clôture
+de variables $\FF_p[(t_i)_{i∈𝐍}]$. Soit $Ω$ une clôture
algébrique de $k$ et $K$ le corps engendré sur $k$ par
les éléments $t_i^{1/p}$ ($i∈𝐍$). Montrer que pour tout
$x∈K$, on a $x^p∈k$ mais que $[K:k]=+∞$.
@@ -1748,12 +1748,12 @@ de Galois. La décroissance de ces applications est évidente.
Vérifions le dernier point. Soit $k'$ une sous-$k$-extension
de $K$ et notons $H=\Gal(K\bo k')$ le sous-groupe de $G$ correspondant de sorte
que $k'=\Fix_H(K)$.
-Soit $Ω$ une clôture algébrique de $K$. Puisque $K\bo k$
-est normale et contient $k'$, l'inclusion $\Hom_k(k',K)→\Hom_k(k',Ω)$
+Soit $Ω$ une clôture algébrique de $K$. Puisque $K\bo k$
+est normale et contient $k'$, l'inclusion $\Hom_k(k',K)→\Hom_k(k',Ω)$
est une bijection ; d'autre part l'application
$\Gal(K\bo k)=\Hom_k(K,K)→\Hom_k(k',K)$ est une surjection
(\ref{prolongement-plongement}). Il en résulte
-que tout $k$-plongement $ι:k'↪Ω$ est la restriction d'un élément
+que tout $k$-plongement $ι:k'↪Ω$ est la restriction d'un élément
$g∈G$. Ainsi, l'extension $k'\bo k$ est normale \ssi
pour tout $g∈G$, $g(k')=k'$. Puisque $k'=\Fix_H(K)$,
cette condition se réécrit : $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$,
@@ -1761,8 +1761,8 @@ pour tout $g∈G$. Par bijectivité de l'application $H↦\Fix_H(K)$,
on a $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$ \ssi $gHg^{-1}=H$.
Le groupe $H$ est donc distingué dans $G$.
Enfin, si $k'\bo k$ est normale, donc galoisienne,
-on a $\Hom_k(k',Ω)=\Gal(k'\bo k)$ de sorte
-que l'application (surjective) de restriction $\Hom_k(K,Ω)→\Hom_k(k',Ω)$
+on a $\Hom_k(k',Ω)=\Gal(k'\bo k)$ de sorte
+que l'application (surjective) de restriction $\Hom_k(K,Ω)→\Hom_k(k',Ω)$
s'identifie à une application $G=\Gal(K\bo k)→\Gal(k'\bo k)$, dont
on vérifie immédiatement que c'est un morphisme de groupes. Son noyau
étant l'ensemble $\Gal(K\bo k')$ des applications $k'$-linéaires de $G$,
@@ -2003,7 +2003,7 @@ de sorte que $σ$ induit bien un isomorphisme $K' ⥲ K'$.
\end{démo}
\begin{lemme3}\label{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes}
-Soient $Ω\bo k$ une extension de corps et $K₁,K₂$ deux sous-$k$-extensions.
+Soient $Ω\bo k$ une extension de corps et $K₁,K₂$ deux sous-$k$-extensions.
\begin{enumerate}
\item Si $K₁⊗_k K₂$ est un corps, $K₁∩K₂=k$.
\item Si $K₁\bo k$ est galoisienne et $K₁∩K₂=k$, le produit tensoriel $K₁⊗_k K₂$ est un \emph{corps}.
@@ -2012,7 +2012,7 @@ Soient $Ω\bo k$ une extension de corps et $K₁,K₂$ deux sous-$k$-extensions
\begin{démo}
(i) Soit $K=K₁∩K₂$ et considérons $x∈K$. L'élément $1⊗x-x⊗1$ de $K₁⊗_k K₂$ est d'image nulle par l'application
-produit dans le corps $Ω$. Si $K₁⊗_k K₂$ est un corps, une telle application est
+produit dans le corps $Ω$. Si $K₁⊗_k K₂$ est un corps, une telle application est
nécessairement injective, si bien que $1⊗x-x⊗1$ est nul dans $K₁⊗_k K₂$ donc
dans le sous-anneau $K⊗_k K$ auquel il appartient.
Or, si $x∉k$, les vecteurs $v₁=1$ et $v₂=x$ de $K$ sont linéairement indépendants sur $k$