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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 16:09:31 +0100
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-05 16:09:31 +0100
commit840eca531c99ca4796eee823ce5e6cd65ad682db (patch)
tree77c8134de5061b86ba36d2d5fb1bc79133416e30 /chapitres/correspondance-galois.tex
parent74ee1991304354c265357b4226e8b1fd4ac92c05 (diff)
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[CG] algebres galoisiennes : conditions equivalentes (enonce)
iLiburu etant de plus en plus bizarre (fichiers corrompus, presentement serveur X qui a plante), je sauve [depuis une console texte] a un moment pas tres naturel...
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-rw-r--r--chapitres/correspondance-galois.tex125
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diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index 0153e34..a1c786d 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -18,8 +18,13 @@
\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
%\usepackage{pxfonts}
-\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+%\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
+\textwidth16cm
+\hoffset-1.5cm
+
+
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
+\externaldocument{formes-tordues}
\externaldocument{verselles}
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{categories}
@@ -695,55 +700,78 @@ $K$-linéairement indépendants.
\subsection{¶ Algèbres galoisiennes sur un anneau}\label{G-algèbres galoisiennes sur un anneau}
-Le contenu de ce paragraphe ne sera pas utilisé \refext{Versel}{base normale et algèbres galoisiennes
-verselles}.
-
-\begin{définition2}Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre
-et $G$ un sous-groupe fini de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$.
-On dit que $B$ est \emph{galoisienne de groupe $G$} sur $A$
-si les conditions suivantes sont satisfaites :
+On présente dans ce paragraphe une généralisation naturelle
+de la notion d'extension galoisienne finie de corps.
+Diverses présentations de cette généralisation sont
+possibles, aux prérequis variables. Nous utiliserons ici
+les résultats de l'appendice [Tens] et notamment
+les notions de produit tensoriel d'algèbres (commutatives),
+de morphisme fidèlement plat et de projectivité (liberté
+locale). Dans la première partie de ce livre, le contenu de ce paragraphe ne sera utilisé
+qu'en \refext{formes}{G-torseurs sur k} et \refext{versel}{base normale et algèbres
+galoisiennes verselles}.
+
+\begin{théorème2}Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre
+et $G$ un groupe fini de $A$-automorphismes de $B$.
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
-\item le morphisme $A → B$ est injectif et $A=\Fix_G(B)$ ;
-\item le morphisme
-\[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B),\]
+\item Le morphisme $A → B$ est fidèlement plat
+et le morphisme
+\[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B)\]
\[λ ⊗ μ ↦ \big(g(λ)μ\big)_g\]
est un isomorphisme.
+\item Le morphisme $A → B$ est injectif, $A=\Fix_G(B)$
+et pour tout idéal maximal $𝔪 ∈ \Specmax(A)$ et tout
+$g ∈ G-\{1\}$, il existe $a ∈ A$ tel que $g(x)-x ∉ 𝔪$.
+
+\item Le morphisme $A → B$ est injectif, $A=\Fix_G(B)$
+et il existe deux familles $x$ et $y$ d'éléments de $B$
+indicées par $G$ telles que l'on ait
+\[
+∑_{g ∈ G} x_g h(y_g) = δ_{h,1}
+\]
+pour tout $h ∈ G$.
+
+\item Le $A$-module $B$ est projectif de type fini et
+le morphisme $B\{G\} → \End_A(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
+est un isomorphisme, où $B\{G\}$ est l'\emph{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent
+est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit
+étant défini par la condition $h ⋅ (bg)=h(b)(hg)$.
+
\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+\begin{définition2}
+Soient $A → B$ un morphisme d'anneaux et $G$ un groupe fini
+de $A$-automorphismes. On dit que $B$ est une $A$-algèbre
+galoisienne de groupe $G$ lorsque les conditions
+équivalentes du théorème précédent sont satisfaites.
\end{définition2}
-Nous renvoyons à \refext{Tens}{} pour la définition du
-produit tensoriel $B ⊗_A B$ ainsi que ses propriétés
-générales.
+Il résulte de \ref{galois=autodiag} qu'une extension de
+corps $L\bo K$ finie et galoisienne est galoisienne de
+groupe $\Aut_K(L)$ au sens précédent (critère (i)), et réciproquement.
-Remarque : on peut remplacer (i) par : (i') le morphisme $A → B$ est fidèlement plat.
-(i') ⇒ (i) : $b ∈ B$ si et seulement si $1 ⊗ b=b ⊗ 1$
-(par fidèle platitude) ce qui revient à $b=g(b)$ pour
-tout $g ∈ G$. Réciproquement
+\begin{démo}[Démonstration du théorème]
+Le fait que $A → B$ soit injectif n'est mis que pour
+mémoire : un morphisme fidèlement plat est, par définition,
+injectif et plat. Soit $b ∈ B$. Il résulte de la fidèle
+platitude que $b$ appartient à $A$ si et seulement
+si on a l'égalité $b ⊗ 1 = 1 ⊗ b$ dans $B ⊗_A B$
+(cf. \ref{KsurG=k}). En appliquant l'isomorphisme $m$,
+cette condition devient : $(g(b))_g=(b)_g$ c'est-à-dire
+$g(b)=b$ pour tout $g ∈ G$. CQFD.
-\begin{exemple2}
-Si $L\bo K$ est une extension fini galoisienne de
-groupe $G$, la $K$-algèbre $L$ est galoisienne
-de groupe $G$ au sens précédent.
-\end{exemple2}
-\begin{lemme2}
-Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $B\{G\}$
-l'\emph{algèbre de groupe tordue}, dont le $B$ module sous-jacent
-est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit
-étant défini par la condition $h ⋅ (bg)=h(b)(hg)$.
-Le morphisme $B\{G\} → \End_A(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
-est un isomorphisme.
-\end{lemme2}
-\begin{démo}
-\XXX
\end{démo}
-\begin{lemme2}
+
+\begin{proposition2}
Soient $B\bo A$ une $G$-algèbre galoisienne et $\Tr_{B \bo A}$ la \emph{trace} $b ↦ ∑_g g(b)$, $B → A$.
Le morphisme $A$-linéaire $B → B^{\vee}=\Hom_A(B,A)$, $b ↦ \Tr_{B\bo
A}(b ⋅)$, est un isomorphisme.
-\end{lemme2}
+\end{proposition2}
\begin{démo}
\XXX
@@ -759,44 +787,21 @@ $f ⊗ m ↦ \big( b ↦ f(b)m\big)$ est un isomorphisme.
\XXX
\end{démo}
-\begin{proposition2}
-La condition (\textrm{\textbf{ii}}) est équivalente
-à la condition (\textrm{\textbf{ii}}′) suivante :
-il existe des éléments $(b_h)_{h ∈ G}$ et $(b ′_h)_{h ∈ G}$ dans $B$ tels
-que, pour tout $g ∈ G$,
-\[
-∑_h b_h g(b ′_h)=δ^1_g,
-\]
-où $δ$ est la fonction delta de Kronecker.
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-L'implication (iii) ⇒ (iii′) est triviale : il suffit
-d'écrire $d^{-1}\big((δ_g^1)\big)$ sous la forme $∑_h b_h ⊗ b ′_h$.
-
-Pour montrer l'implication opposée, on utilise les trois
-lemmes précédents. \XXX
-\end{démo}
-
\begin{corollaire2}
Notion stable par changement de base.
\end{corollaire2}
-\begin{proposition2}\label{algèbre galoisienne est projective}
+\begin{corollaire2}\label{algèbre galoisienne est projective}
$B$ est projectif sur $A$.
Pour tout $𝔪 ∈ \Specmax(A)$, $B/𝔪$ est de rang
fini $♯G$ sur le corps $A/𝔪$. Plus généralement,
$A → K$ est un morphisme de but un corps,
la $K$-algèbre $B_K=B ⊗_A K$ est de dimension $♯G$.
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-\XXX
+\end{corollaire2}
En effet, $(B ⊗_A B)⊗_A K$ est d'une part (canoniquement) isomorphe à $B_K ⊗_K B_K$
et, par hypothèse, isomorphe à $B_K^{(G)}$ ; on a donc $\dim_K(B_K)²=\dim(B_K
⊗_K B_K)=\dim_K(B_K)⋅\#G$.
-\end{démo}
\begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide}
Tout morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres