[CG, Alg, formes] améliorations sorites en vue de réécriture Galois-Grothendieck

 Toudou :

— Hom_k(V,W) ⥲ Fix_G(Hom_K(V_K,W_K)
— application à Galois-Grothendieck
— améliorer [formes] : torseurs etc.

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diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex
index eb8c9d1..eb68046 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -1,3 +1,4 @@
+% vim: textwidth=150
 \ifx\danslelivre\undefined
 \documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
 \input{../configuration/commun}
@@ -56,8 +57,10 @@
 
 \section{Conjugués d'un élément, extensions normales et galoisiennes}
 
-Dans ce paragraphe, on fixe un corps $k$ et $Ω$ une clôture algébrique de
-$k$.
+Dans ce paragraphe, on fixe un corps $k$ et $Ω$ une clôture algébrique
+de $k$. Rappelons que si $K$ est un anneau et $A,B$ deux $K$-algèbres,
+on note également $\japmath{田}A(B)$ l'ensemble $\Hom_K(A,B)$ des
+homomorphismes de $K$-algèbres.
 
 \subsection{Conjugués d'un élément}
 
@@ -68,8 +71,8 @@ $σ(x)=y$.
 \end{définition2}
 
 \begin{proposition2}\label{prolongement-plongement}
-Soit $k'$ une sous-$k$-extension de $Ω$. Tout morphisme
-$k$-linéaire $ι:k'→Ω$ s'étend en un $k$-morphisme $σ_ι:Ω→Ω$.
+Soit $K$ une sous-$k$-extension de $Ω$. Tout morphisme
+$k$-linéaire $ι:K→Ω$ s'étend en un $k$-morphisme $σ_ι:Ω→Ω$.
 Tout $k$-morphisme $Ω→Ω$ est un isomorphisme.
 \end{proposition2}
 
@@ -83,15 +86,13 @@ de $k$, contenue dans $Ω$, donc nécessairement égale à $Ω$.
 (Voir aussi \ref{Hom=Aut} \emph{infra} pour une généralisation.) 
 \end{démo}
 
-\begin{remarque2}
 Une telle extension est non unique en général. Nous verrons
-plus tard qu'elle est unique \ssi $Ω$ est \emph{radiciel} sur $k'$.
-\end{remarque2}
+plus tard qu'elle est unique \ssi $Ω$ est \emph{radiciel} sur $K$.
 
 \begin{corollaire2}\label{caracterisation-conjugaison}
-Soient $x,y∈Ω$ et $k'$ un sous-corps de $Ω$ contenant $k(x)$.
+Soient $x,y∈Ω$ et $K$ un sous-corps de $Ω$ contenant $k(x)$.
 Les éléments $x$ et $y$ sont conjugués sur $k$ \ssi
-il existe un $k$-plongement $ι:k'→Ω$ tel que $ι(x)=y$.
+il existe un $k$-plongement $ι:K→Ω$ tel que $ι(x)=y$.
 \end{corollaire2}
 
 \begin{proposition2}
@@ -132,22 +133,22 @@ de ce polynôme \ssi ses racines sont simples, la remarque
 sur le cas d'égalité est évidente.
 
 \begin{proposition2}\label{Hom=Aut}
-Soit $k'\bo k$ une extension algébrique.
-L'inclusion $\Aut_k(k')→\Hom_k(k',k')$ est une bijection.
-En d'autres termes, tout $k$-plongement $ι:k'→k'$ est
+Soit $K\bo k$ une extension algébrique.
+L'inclusion $\Aut_k(K)→\japmath{田}K(K)$ est une bijection.
+En d'autres termes, tout $k$-plongement $ι:K→K$ est
 surjectif.
 \end{proposition2}
 
-Remarquons que ce résultat est trivial si $k'$ est fini
-sur $k$ : toute application $k$-linéaire injective $k'→k'$
+Remarquons que ce résultat est trivial si $K$ est fini
+sur $k$ : toute application $k$-linéaire injective $K→K$
 est surjective.
 
 \begin{démo}
-Soient $x'∈k'$, $μ=μ_{x',k}$ son polynôme minimal sur $k$
-et $R$ l'ensemble des racines de $μ$ \emph{dans $k'$}. Cet ensemble
+Soient $x∈K$, $μ=μ_{x,k}$ son polynôme minimal sur $k$
+et $R$ l'ensemble des racines de $μ$ \emph{dans $K$}. Cet ensemble
 est fini et $ι$ envoie $R$ dans $R$. L'application $ι$ étant
 injective, elle est bijective sur $R$ ; il existe donc
-$y'∈R⊆k'$ tel que $x'=ι(y')$.
+$y∈R⊆K$ tel que $x=ι(y)$.
 \end{démo}
 
 \subsection{Extensions normales}
@@ -159,49 +160,80 @@ faisons la convention suivante.
 Soit $K\bo k$ une extension de corps. Sauf mention
 du contraire, l'anneau $K⊗_k K$ sera muni de la structure de $K$-algèbre,
 $λ\mapsto 1⊗λ$. En d'autres termes, on considère
-la $K$-algèbre $K'⊗_k K$ obtenue par \emph{changement 
-de base} de $k$ à $K$ dans le cas particulier où $K'=K$. 
+la $K$-algèbre $K'⊗_k K$ obtenue par \emph{changement
+de base} de $k$ à $K$ dans le cas particulier où $K'=K$.
 \end{convention2}
 
 \begin{proposition2}\label{caracterisation-extension-normale}
 Soit $K\bo k$ une sous-extension de $Ω$.
 Les conditions suivantes sont équivalentes :
 \begin{enumerate}
-\item pour tout $k$-plongement $ι:K↪Ω$, on a $ι(K)⊆K$ ;
-\item l'inclusion naturelle
-$\Aut_k(K)\dessusdessous{\tiny{\ref{Hom=Aut}}}{=}\Hom_k(K,K)↪\Hom_k(K,Ω)$ est une bijection ;
-\item pour tout $x∈K$, le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est 
-scindé sur $K$ ;
-\item pour tout $x∈K$, les $k$-conjugués de $x$ dans $Ω$ appartiennent à
-$K$ ; 
-\item pour tout $𝔭∈\Spec(K⊗_k K)$, l'extension résiduelle
-$κ(𝔭)\bo K$ est triviale.
+\item pour tout $k$-plongement $ι:K↪Ω$, on a $ι(K)⊆K$ ;
+\item pour tout $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$, on a $σ(K)⊆K$ ;
+\item l'inclusion naturelle $\Aut_k(K)=\japmath{田}K(K)↪\japmath{田}K(Ω)$ est une bijection ;
+\item pour tout $x∈K$, le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est scindé sur $K$ ;
+\item tout polynôme irréductible de $k[X]$ ayant une racine dans $K$ est scindé sur $K$ ;
+\item pour tout $x∈K$, les $k$-conjugués de $x$ dans $Ω$ appartiennent à $K$ ;
+\item pour tout $𝔭∈\Spec(K⊗_k K)$, l'extension résiduelle $κ(𝔭)\bo K$ est triviale ;
+\item l'application $\japmath{田}(K⊗_k K)(K)↪\japmath{田}(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection ;
+\item l'application $\Aut_k(K) → \Spec(K ⊗_k K)$, $g ↦ 𝔭_g:=\Ker\big(m_g:λ⊗μ\mapsto g(λ)\cdot μ\big)$
+est une bijection.
 \end{enumerate}
 \end{proposition2}
 
-\begin{remarques2}
-La condition (v) signifie que l'on « tue » les extensions
+La condition (vii) signifie que l'on « tue » les extensions
 résiduelles en étendant les scalaires de $k$ à $K$.
 Elle signifie également que les extensions composées
 de $K$ avec $K$ sur $k$ sont toutes $k$-isomorphes
-à $K$ (cf. \ref{extensions-composees-isomorphes-et-galoisiennes} et \ref{Kk'-pas-can}, p. \pageref{Kk'_pas_can}.)
-
-Puisque les conditions (iii) et (v) ne font pas intervenir $Ω$,
-les conditions (i), (ii) et (iv) sont indépendantes du choix
-de la clôture algébrique de $k$ dans laquelle on plonge $K$.
+à $K$ (cf. \ref{extensions-composees-isomorphes-et-galoisiennes} et
+\ref{Kk'-pas-can}). Notons que certaines conditions
+ne dépendant visiblement pas du choix de la clôture algébrique de $k$ dans laquelle on plonge $K$,
+il en est de même de toutes les conditions.
 
-Enfin, signalons que la condition (iii) est équivalente
-à la variante suivante :
-\begin{quote}
-(iii)' tout polynôme irréductible de $k[X]$
-ayant une racine dans $K$ est scindé sur $K$.
-\end{quote} 
-De même, la condition (i) est équivalente à
-la variante suivante :
-\begin{quote}
-(i)' pour tout $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$, on a $σ(K)⊆K$.
-\end{quote}
-\end{remarques2}
+\begin{démo}
+L'équivalence des propriétés (i) à (vi) est élémentaire
+et résulte immédiatement de \ref{conjugues=racines}
+et \ref{caracterisation-conjugaison}.
+% On utilise le fait que $K$ est la réunion de ses sous-$k$-extensions monogènes.
+(vii)⇔(viii). Notons $A$ la $K$-algèbre $K ⊗_k K$ ; elle est entière
+sur $K$ (\refext{Alg}{entier sur corps stable par cb}).
+L'application noyau $\japmath{田}A(Ω)→\Spec(A)$, $φ ↦ \Ker(φ)$
+est donc surjective. En effet, sa fibre au-dessus d'un élément $𝔭$ de
+$\Spec(A)$ est, par propriété universelle du quotient, en bijection
+avec l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$. Or, l'anneau $A/𝔭$ est intègre
+et entier sur $K$ ; c'est donc un corps (\refext{Alg}{polynome-minimal}).
+D'après \refext{Alg}{plongement-dans-cloture-algebrique},
+l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$ est donc non vide.
+Les idéaux premiers de $A$ sont donc tous $K$-rationnels
+si et seulement si l'inclusion $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$
+est une bijection. (viii)⇔(iii) Soit $B$ une $K$-algèbre et
+${_{[k]}B}$ la $k$-algèbre déduite de $B$ par restriction des scalaires.
+L'application $\japmath{田}K({_{[k]}B})→\japmath{田}A(B)$,
+$ι\mapsto \big(φ_ι:λ⊗μ \mapsto ι(λ)\cdot μ\big)$ est une bijection,
+d'inverse est $φ\mapsto \big(ι_φ:λ\mapsto φ(λ⊗1_B)\big)$.
+(Ce résultat est un cas particulier de l'adjonction
+entre « extension des scalaires » et « restriction des scalaires » ; cf.
+ \refext{Tens}{}.) D'autre part, cette bijection est fonctorielle :
+si $B → B ′$ est un morphisme de $K$-algèbres, le diagramme
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2em,row sep=5ex]{
+|(KB)| \japmath{田}K({_{[k]}B}) & |(KBp)| \japmath{田}K({_{[k]}B′})\\
+|(AB)| \japmath{田}A(B)& |(ABp)| \japmath{田}A(B ′)\\};
+\draw[->] (KB) -- (KBp);
+\draw[->] (AB) -- (ABp);
+\draw[->] (KB) -- (AB);
+\draw[->] (KBp) -- (ABp);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+est commutatif. La conclusion résulte aussitôt en posant $B=K$ et $B ′=Ω$.
+(viii)⇔(ix). L'application $G=\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(K)$
+n'est autre que $g ↦ (λ⊗μ↦g(λ)μ)$. L'application composée
+$\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(Ω) ⥲ \Spec(A)$
+est celle de l'énoncé. [À vérifier] \XXX
+Notons que l'injectivité de $G → \Spec(K ⊗_k K)$ est claire : si $g(λ)≠g'(λ)$,
+l'élément $λ⊗1-1⊗g(λ)$ appartient à $𝔭_g$ mais pas à $𝔭_{g'}$.
+\end{démo}
 
 \begin{définition2}\label{extension-normale}
 On dit qu'une extension algébrique $K\bo k$ est \emph{normale} ou
@@ -209,111 +241,6 @@ On dit qu'une extension algébrique $K\bo k$ est \emph{normale} ou
 précédentes sont satisfaites.
 \end{définition2}
 
-\subsubsection{Démonstration de la proposition}
-(i)⇔(ii) : clair. (iii)⇔(iv) : résulte de \ref{conjugues=racines}.
-L'équivalence entre les conditions (i)--(ii) et les conditions (iii)--(iv)
-est une conséquence immédiate de \ref{caracterisation-conjugaison}
-et du fait que $K$ est la réunion de ses sous-$k$-extensions monogènes.
-Il reste à démontrer l'équivalence de (v) et (i).
-Commençons par un lemme général.
-
-\begin{lemme3}\label{points-algebre-entiere}
-Soient $K\bo k$ une sous-extension de $Ω\bo k$ et $A$ une $K$-algèbre.
-\begin{enumerate}
-\item L'application « noyau » $\Hom_K(A,K)=\japmath{田}A(K)→\Spec(A)$, $φ↦𝔭_φ=\Ker(φ)$ est
-injective.
-\item Si $A\bo K$ est \emph{entière} (\refext{Alg}{entiers cas
-corps}), l'application « noyau » $\Hom_K(A,Ω)=\japmath{田}A(Ω)→\Spec(A)$ est
-surjective et $\Spec(A)=\Specmax(A)$.
-\end{enumerate}
-L'injection $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$ est une bijection
-\ssi pour tout $𝔭∈\Spec(A)$, le morphisme $K→ κ(𝔭):=A/𝔭$ est
-un isomorphisme.
-\end{lemme3}
-
-\begin{démo}
-(i) Mis pour mémoire (cf. \refext{Spec}{points
-rationnels et ideaux maximaux}).
-
-(ii) En toute généralité (\cad sans utiliser l'hypothèse d'intégralité
-de $A\bo k$ ni le fait que $Ω$ soit une clôture algébrique de $k$),
-la fibre de l'application noyau au-dessus de $𝔭∈\Spec(A)$ 
-est, par propriété universelle du quotient, en bijection avec l'ensemble
-$\Hom_K(A/𝔭,Ω)$. La $k$-algèbre $A$ étant entière,
-il en est de même de son quotient intègre $A/𝔭$. Cet anneau
-est donc un corps (\refext{Alg}{polynome minimal}). Ainsi, la fibre au-dessus
-de $𝔭$ est l'ensemble $\Hom_K(κ(𝔭),Ω)$, où $κ(𝔭)\bo K$ est algébrique.
-La conclusion résulte du lemme de prolongement des 
-plongements (\refext{Alg}{plongement-dans-cloture-algebrique}).
-
-Le dernier point est évident.
-\end{démo}
-
-Si l'on applique le lemme précédent à la $K$-algèbre $K⊗_k K$
-(entière d'après \refext{Alg}{entier sur corps stable par cb}), 
-on obtient l'équivalence entre la condition (v) et la condition 
-\begin{quote}
-(v)' : $\Hom_K(K⊗_k K,K)=\japmath{田}(K⊗_k K)(K)↪\Hom_K(K⊗_k K,Ω)=\japmath{田}(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection.
-\end{quote}
-(En d'autres termes : « les $Ω$-points de $K⊗_k K$ sont rationnels ».)
-
-Le lemme ci-dessous, appliqué à $B=K$ et $B=Ω$, identifie cette application
-à l'application $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$ (càd $\Aut_k(K)↪\Hom_K(K,Ω)$). Les conditions
-(v)' et (ii) sont donc équivalentes.
-
-\begin{lemme3}
-Soient $k$ un corps, $K\bo k$ une extension et $B$ une $K$-algèbre.
-\begin{enumerate}
-\item L'application $\Hom_k(K,B)→\Hom_K(K⊗_k K,B)$,
-$ι\mapsto \big(φ_ι:λ⊗μ \mapsto ι(λ)\cdot μ\big)$
-est une bijection.
-\item Pour tout morphisme de $K$-algèbres $B→B'$ le diagramme
-
-\begin{tikzpicture}[auto]
-\matrix(diagr)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]
-{
-% première ligne
-(λ⊗μ↦σ(λ)μ) & \Hom_k(K⊗_k K,B) & \Hom_K(K⊗_k K,B') & (λ⊗μ↦ι(λ)μ) \\
-% seconde ligne
-σ & \Hom_k(K,B) & \Hom_k(K,B') & ι\\
-};
-\draw[->] (diagr-1-1) -- (diagr-1-2);
-
-\end{tikzpicture}
-est commutatif.
-\end{enumerate}
-\end{lemme3}
-
-\begin{démo}
-(i) L'application inverse est $φ\mapsto \big(ι_φ:λ\mapsto φ(λ⊗1_B)\big)$.
-(Ce résultat est un cas particulier de l'adjonction
-entre « extension des scalaires » et « restriction des scalaires » ; cf.
- \refext{Tens}{}.)
-(ii) Évident.
-\end{démo}
-
-Si $K\bo k$ est algébrique et $G=\Aut_k(K)$, l'application
-$G→\Hom_K(K⊗_k K,K)$ du lemme précédent
-n'est autre que l'application $g\mapsto (λ⊗μ↦g(λ)μ)$.
-Le lemme \ref{points-algebre-entiere} a donc pour conséquence
-le :
-\begin{lemme2}\label{points-KtensK}
-Soient $K\bo k$ une extension algébrique et $G$
-le groupe $\Aut_k(K)$. L'extension $K\bo k$ est normale 
-\ssi l'application
-$$
-G → \Spec(K⊗_k K)$$
-$$
-g\mapsto 𝔭_g:=\Ker\big(m_g:λ⊗μ\mapsto g(λ)\cdot μ\big)
-$$
-est une bijection.
-\end{lemme2}
-
-Signalons que dans ce cas particulier, l'injectivité de l'application
-$G→\Spec(K⊗_k K)$ est claire : si $g(λ)≠g'(λ)$,
-l'élément $λ⊗1-1⊗g(λ)$ appartient à $𝔭_g$ mais 
-pas à $𝔭_{g'}$.
-
 \begin{proposition2}\label{sous-extension-normale}
 Soient $K\bo k$ une extension normale et $k'$ une sous-$k$-extension.
 L'extension $K\bo k'$ est normale.