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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-02-16 18:44:07 +0100 |
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[CG, Alg, formes] améliorations sorites en vue de réécriture Galois-Grothendieck
Toudou :
— Hom_k(V,W) ⥲ Fix_G(Hom_K(V_K,W_K)
— application à Galois-Grothendieck
— améliorer [formes] : torseurs etc.
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diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex index eb8c9d1..eb68046 100644 --- a/chapitres/correspondance-galois.tex +++ b/chapitres/correspondance-galois.tex @@ -1,3 +1,4 @@ +% vim: textwidth=150 \ifx\danslelivre\undefined \documentclass[9pt]{../configuration/smfart} \input{../configuration/commun} @@ -56,8 +57,10 @@ \section{Conjugués d'un élément, extensions normales et galoisiennes} -Dans ce paragraphe, on fixe un corps $k$ et $Ω$ une clôture algébrique de -$k$. +Dans ce paragraphe, on fixe un corps $k$ et $Ω$ une clôture algébrique +de $k$. Rappelons que si $K$ est un anneau et $A,B$ deux $K$-algèbres, +on note également $\japmath{田}A(B)$ l'ensemble $\Hom_K(A,B)$ des +homomorphismes de $K$-algèbres. \subsection{Conjugués d'un élément} @@ -68,8 +71,8 @@ $σ(x)=y$. \end{définition2} \begin{proposition2}\label{prolongement-plongement} -Soit $k'$ une sous-$k$-extension de $Ω$. Tout morphisme -$k$-linéaire $ι:k'→Ω$ s'étend en un $k$-morphisme $σ_ι:Ω→Ω$. +Soit $K$ une sous-$k$-extension de $Ω$. Tout morphisme +$k$-linéaire $ι:K→Ω$ s'étend en un $k$-morphisme $σ_ι:Ω→Ω$. Tout $k$-morphisme $Ω→Ω$ est un isomorphisme. \end{proposition2} @@ -83,15 +86,13 @@ de $k$, contenue dans $Ω$, donc nécessairement égale à $Ω$. (Voir aussi \ref{Hom=Aut} \emph{infra} pour une généralisation.) \end{démo} -\begin{remarque2} Une telle extension est non unique en général. Nous verrons -plus tard qu'elle est unique \ssi $Ω$ est \emph{radiciel} sur $k'$. -\end{remarque2} +plus tard qu'elle est unique \ssi $Ω$ est \emph{radiciel} sur $K$. \begin{corollaire2}\label{caracterisation-conjugaison} -Soient $x,y∈Ω$ et $k'$ un sous-corps de $Ω$ contenant $k(x)$. +Soient $x,y∈Ω$ et $K$ un sous-corps de $Ω$ contenant $k(x)$. Les éléments $x$ et $y$ sont conjugués sur $k$ \ssi -il existe un $k$-plongement $ι:k'→Ω$ tel que $ι(x)=y$. +il existe un $k$-plongement $ι:K→Ω$ tel que $ι(x)=y$. \end{corollaire2} \begin{proposition2} @@ -132,22 +133,22 @@ de ce polynôme \ssi ses racines sont simples, la remarque sur le cas d'égalité est évidente. \begin{proposition2}\label{Hom=Aut} -Soit $k'\bo k$ une extension algébrique. -L'inclusion $\Aut_k(k')→\Hom_k(k',k')$ est une bijection. -En d'autres termes, tout $k$-plongement $ι:k'→k'$ est +Soit $K\bo k$ une extension algébrique. +L'inclusion $\Aut_k(K)→\japmath{田}K(K)$ est une bijection. +En d'autres termes, tout $k$-plongement $ι:K→K$ est surjectif. \end{proposition2} -Remarquons que ce résultat est trivial si $k'$ est fini -sur $k$ : toute application $k$-linéaire injective $k'→k'$ +Remarquons que ce résultat est trivial si $K$ est fini +sur $k$ : toute application $k$-linéaire injective $K→K$ est surjective. \begin{démo} -Soient $x'∈k'$, $μ=μ_{x',k}$ son polynôme minimal sur $k$ -et $R$ l'ensemble des racines de $μ$ \emph{dans $k'$}. Cet ensemble +Soient $x∈K$, $μ=μ_{x,k}$ son polynôme minimal sur $k$ +et $R$ l'ensemble des racines de $μ$ \emph{dans $K$}. Cet ensemble est fini et $ι$ envoie $R$ dans $R$. L'application $ι$ étant injective, elle est bijective sur $R$ ; il existe donc -$y'∈R⊆k'$ tel que $x'=ι(y')$. +$y∈R⊆K$ tel que $x=ι(y)$. \end{démo} \subsection{Extensions normales} @@ -159,49 +160,80 @@ faisons la convention suivante. Soit $K\bo k$ une extension de corps. Sauf mention du contraire, l'anneau $K⊗_k K$ sera muni de la structure de $K$-algèbre, $λ\mapsto 1⊗λ$. En d'autres termes, on considère -la $K$-algèbre $K'⊗_k K$ obtenue par \emph{changement -de base} de $k$ à $K$ dans le cas particulier où $K'=K$. +la $K$-algèbre $K'⊗_k K$ obtenue par \emph{changement +de base} de $k$ à $K$ dans le cas particulier où $K'=K$. \end{convention2} \begin{proposition2}\label{caracterisation-extension-normale} Soit $K\bo k$ une sous-extension de $Ω$. Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} -\item pour tout $k$-plongement $ι:K↪Ω$, on a $ι(K)⊆K$ ; -\item l'inclusion naturelle -$\Aut_k(K)\dessusdessous{\tiny{\ref{Hom=Aut}}}{=}\Hom_k(K,K)↪\Hom_k(K,Ω)$ est une bijection ; -\item pour tout $x∈K$, le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est -scindé sur $K$ ; -\item pour tout $x∈K$, les $k$-conjugués de $x$ dans $Ω$ appartiennent à -$K$ ; -\item pour tout $𝔭∈\Spec(K⊗_k K)$, l'extension résiduelle -$κ(𝔭)\bo K$ est triviale. +\item pour tout $k$-plongement $ι:K↪Ω$, on a $ι(K)⊆K$ ; +\item pour tout $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$, on a $σ(K)⊆K$ ; +\item l'inclusion naturelle $\Aut_k(K)=\japmath{田}K(K)↪\japmath{田}K(Ω)$ est une bijection ; +\item pour tout $x∈K$, le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est scindé sur $K$ ; +\item tout polynôme irréductible de $k[X]$ ayant une racine dans $K$ est scindé sur $K$ ; +\item pour tout $x∈K$, les $k$-conjugués de $x$ dans $Ω$ appartiennent à $K$ ; +\item pour tout $𝔭∈\Spec(K⊗_k K)$, l'extension résiduelle $κ(𝔭)\bo K$ est triviale ; +\item l'application $\japmath{田}(K⊗_k K)(K)↪\japmath{田}(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection ; +\item l'application $\Aut_k(K) → \Spec(K ⊗_k K)$, $g ↦ 𝔭_g:=\Ker\big(m_g:λ⊗μ\mapsto g(λ)\cdot μ\big)$ +est une bijection. \end{enumerate} \end{proposition2} -\begin{remarques2} -La condition (v) signifie que l'on « tue » les extensions +La condition (vii) signifie que l'on « tue » les extensions résiduelles en étendant les scalaires de $k$ à $K$. Elle signifie également que les extensions composées de $K$ avec $K$ sur $k$ sont toutes $k$-isomorphes -à $K$ (cf. \ref{extensions-composees-isomorphes-et-galoisiennes} et \ref{Kk'-pas-can}, p. \pageref{Kk'_pas_can}.) - -Puisque les conditions (iii) et (v) ne font pas intervenir $Ω$, -les conditions (i), (ii) et (iv) sont indépendantes du choix -de la clôture algébrique de $k$ dans laquelle on plonge $K$. +à $K$ (cf. \ref{extensions-composees-isomorphes-et-galoisiennes} et +\ref{Kk'-pas-can}). Notons que certaines conditions +ne dépendant visiblement pas du choix de la clôture algébrique de $k$ dans laquelle on plonge $K$, +il en est de même de toutes les conditions. -Enfin, signalons que la condition (iii) est équivalente -à la variante suivante : -\begin{quote} -(iii)' tout polynôme irréductible de $k[X]$ -ayant une racine dans $K$ est scindé sur $K$. -\end{quote} -De même, la condition (i) est équivalente à -la variante suivante : -\begin{quote} -(i)' pour tout $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$, on a $σ(K)⊆K$. -\end{quote} -\end{remarques2} +\begin{démo} +L'équivalence des propriétés (i) à (vi) est élémentaire +et résulte immédiatement de \ref{conjugues=racines} +et \ref{caracterisation-conjugaison}. +% On utilise le fait que $K$ est la réunion de ses sous-$k$-extensions monogènes. +(vii)⇔(viii). Notons $A$ la $K$-algèbre $K ⊗_k K$ ; elle est entière +sur $K$ (\refext{Alg}{entier sur corps stable par cb}). +L'application noyau $\japmath{田}A(Ω)→\Spec(A)$, $φ ↦ \Ker(φ)$ +est donc surjective. En effet, sa fibre au-dessus d'un élément $𝔭$ de +$\Spec(A)$ est, par propriété universelle du quotient, en bijection +avec l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$. Or, l'anneau $A/𝔭$ est intègre +et entier sur $K$ ; c'est donc un corps (\refext{Alg}{polynome-minimal}). +D'après \refext{Alg}{plongement-dans-cloture-algebrique}, +l'ensemble $\Hom_K(A/𝔭,Ω)$ est donc non vide. +Les idéaux premiers de $A$ sont donc tous $K$-rationnels +si et seulement si l'inclusion $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$ +est une bijection. (viii)⇔(iii) Soit $B$ une $K$-algèbre et +${_{[k]}B}$ la $k$-algèbre déduite de $B$ par restriction des scalaires. +L'application $\japmath{田}K({_{[k]}B})→\japmath{田}A(B)$, +$ι\mapsto \big(φ_ι:λ⊗μ \mapsto ι(λ)\cdot μ\big)$ est une bijection, +d'inverse est $φ\mapsto \big(ι_φ:λ\mapsto φ(λ⊗1_B)\big)$. +(Ce résultat est un cas particulier de l'adjonction +entre « extension des scalaires » et « restriction des scalaires » ; cf. + \refext{Tens}{}.) D'autre part, cette bijection est fonctorielle : +si $B → B ′$ est un morphisme de $K$-algèbres, le diagramme +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[auto] +\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2em,row sep=5ex]{ +|(KB)| \japmath{田}K({_{[k]}B}) & |(KBp)| \japmath{田}K({_{[k]}B′})\\ +|(AB)| \japmath{田}A(B)& |(ABp)| \japmath{田}A(B ′)\\}; +\draw[->] (KB) -- (KBp); +\draw[->] (AB) -- (ABp); +\draw[->] (KB) -- (AB); +\draw[->] (KBp) -- (ABp); +\end{tikzpicture} +\end{center} +est commutatif. La conclusion résulte aussitôt en posant $B=K$ et $B ′=Ω$. +(viii)⇔(ix). L'application $G=\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(K)$ +n'est autre que $g ↦ (λ⊗μ↦g(λ)μ)$. L'application composée +$\japmath{田}K(K) → \japmath{田}A(Ω) ⥲ \Spec(A)$ +est celle de l'énoncé. [À vérifier] \XXX +Notons que l'injectivité de $G → \Spec(K ⊗_k K)$ est claire : si $g(λ)≠g'(λ)$, +l'élément $λ⊗1-1⊗g(λ)$ appartient à $𝔭_g$ mais pas à $𝔭_{g'}$. +\end{démo} \begin{définition2}\label{extension-normale} On dit qu'une extension algébrique $K\bo k$ est \emph{normale} ou @@ -209,111 +241,6 @@ On dit qu'une extension algébrique $K\bo k$ est \emph{normale} ou précédentes sont satisfaites. \end{définition2} -\subsubsection{Démonstration de la proposition} -(i)⇔(ii) : clair. (iii)⇔(iv) : résulte de \ref{conjugues=racines}. -L'équivalence entre les conditions (i)--(ii) et les conditions (iii)--(iv) -est une conséquence immédiate de \ref{caracterisation-conjugaison} -et du fait que $K$ est la réunion de ses sous-$k$-extensions monogènes. -Il reste à démontrer l'équivalence de (v) et (i). -Commençons par un lemme général. - -\begin{lemme3}\label{points-algebre-entiere} -Soient $K\bo k$ une sous-extension de $Ω\bo k$ et $A$ une $K$-algèbre. -\begin{enumerate} -\item L'application « noyau » $\Hom_K(A,K)=\japmath{田}A(K)→\Spec(A)$, $φ↦𝔭_φ=\Ker(φ)$ est -injective. -\item Si $A\bo K$ est \emph{entière} (\refext{Alg}{entiers cas -corps}), l'application « noyau » $\Hom_K(A,Ω)=\japmath{田}A(Ω)→\Spec(A)$ est -surjective et $\Spec(A)=\Specmax(A)$. -\end{enumerate} -L'injection $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$ est une bijection -\ssi pour tout $𝔭∈\Spec(A)$, le morphisme $K→ κ(𝔭):=A/𝔭$ est -un isomorphisme. -\end{lemme3} - -\begin{démo} -(i) Mis pour mémoire (cf. \refext{Spec}{points -rationnels et ideaux maximaux}). - -(ii) En toute généralité (\cad sans utiliser l'hypothèse d'intégralité -de $A\bo k$ ni le fait que $Ω$ soit une clôture algébrique de $k$), -la fibre de l'application noyau au-dessus de $𝔭∈\Spec(A)$ -est, par propriété universelle du quotient, en bijection avec l'ensemble -$\Hom_K(A/𝔭,Ω)$. La $k$-algèbre $A$ étant entière, -il en est de même de son quotient intègre $A/𝔭$. Cet anneau -est donc un corps (\refext{Alg}{polynome minimal}). Ainsi, la fibre au-dessus -de $𝔭$ est l'ensemble $\Hom_K(κ(𝔭),Ω)$, où $κ(𝔭)\bo K$ est algébrique. -La conclusion résulte du lemme de prolongement des -plongements (\refext{Alg}{plongement-dans-cloture-algebrique}). - -Le dernier point est évident. -\end{démo} - -Si l'on applique le lemme précédent à la $K$-algèbre $K⊗_k K$ -(entière d'après \refext{Alg}{entier sur corps stable par cb}), -on obtient l'équivalence entre la condition (v) et la condition -\begin{quote} -(v)' : $\Hom_K(K⊗_k K,K)=\japmath{田}(K⊗_k K)(K)↪\Hom_K(K⊗_k K,Ω)=\japmath{田}(K⊗_k K)(Ω)$ est une bijection. -\end{quote} -(En d'autres termes : « les $Ω$-points de $K⊗_k K$ sont rationnels ».) - -Le lemme ci-dessous, appliqué à $B=K$ et $B=Ω$, identifie cette application -à l'application $\japmath{田}A(K)↪\japmath{田}A(Ω)$ (càd $\Aut_k(K)↪\Hom_K(K,Ω)$). Les conditions -(v)' et (ii) sont donc équivalentes. - -\begin{lemme3} -Soient $k$ un corps, $K\bo k$ une extension et $B$ une $K$-algèbre. -\begin{enumerate} -\item L'application $\Hom_k(K,B)→\Hom_K(K⊗_k K,B)$, -$ι\mapsto \big(φ_ι:λ⊗μ \mapsto ι(λ)\cdot μ\big)$ -est une bijection. -\item Pour tout morphisme de $K$-algèbres $B→B'$ le diagramme - -\begin{tikzpicture}[auto] -\matrix(diagr)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex] -{ -% première ligne -(λ⊗μ↦σ(λ)μ) & \Hom_k(K⊗_k K,B) & \Hom_K(K⊗_k K,B') & (λ⊗μ↦ι(λ)μ) \\ -% seconde ligne -σ & \Hom_k(K,B) & \Hom_k(K,B') & ι\\ -}; -\draw[->] (diagr-1-1) -- (diagr-1-2); - -\end{tikzpicture} -est commutatif. -\end{enumerate} -\end{lemme3} - -\begin{démo} -(i) L'application inverse est $φ\mapsto \big(ι_φ:λ\mapsto φ(λ⊗1_B)\big)$. -(Ce résultat est un cas particulier de l'adjonction -entre « extension des scalaires » et « restriction des scalaires » ; cf. - \refext{Tens}{}.) -(ii) Évident. -\end{démo} - -Si $K\bo k$ est algébrique et $G=\Aut_k(K)$, l'application -$G→\Hom_K(K⊗_k K,K)$ du lemme précédent -n'est autre que l'application $g\mapsto (λ⊗μ↦g(λ)μ)$. -Le lemme \ref{points-algebre-entiere} a donc pour conséquence -le : -\begin{lemme2}\label{points-KtensK} -Soient $K\bo k$ une extension algébrique et $G$ -le groupe $\Aut_k(K)$. L'extension $K\bo k$ est normale -\ssi l'application -$$ -G → \Spec(K⊗_k K)$$ -$$ -g\mapsto 𝔭_g:=\Ker\big(m_g:λ⊗μ\mapsto g(λ)\cdot μ\big) -$$ -est une bijection. -\end{lemme2} - -Signalons que dans ce cas particulier, l'injectivité de l'application -$G→\Spec(K⊗_k K)$ est claire : si $g(λ)≠g'(λ)$, -l'élément $λ⊗1-1⊗g(λ)$ appartient à $𝔭_g$ mais -pas à $𝔭_{g'}$. - \begin{proposition2}\label{sous-extension-normale} Soient $K\bo k$ une extension normale et $k'$ une sous-$k$-extension. L'extension $K\bo k'$ est normale. |