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+\ifx\danslelivre\undefined
+\documentclass[9pt]{smfart-moi}
+\input{commun}
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+
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+
+\title{Correspondance de Galois}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+\tableofcontents
+\else
+\chapter{Correspondance de Galois}
+\fi
+
+%% À faire
+%— définir proprement clôture galoisienne (dire que ≤n! =
+% analogue de « tout sous-groupe d'indice n est contenu dans
+% un distingué d'indice ≤ n! »)
+
+
+\section{Conjugués d'un élément, extensions normales et galoisiennes}
+
+Dans ce paragraphe, on fixe un corps $k$ et $Ω$ une clôture algébrique de
+$k$.
+
+\subsection{Conjugués d'un élément}
+
+\begin{définition2}
+Deux éléments $x$ et $y$ de $Ω$ sont dits \emph{conjugués sur $k$}
+s'il existe un $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$ tel que
+$σ(x)=y$.
+\end{définition2}
+
+\begin{proposition2}\label{prolongement-plongement}
+Soit $k'$ une sous-$k$-extension de $Ω$. Tout morphisme
+$k$-linéaire $ι:k'→Ω$ s'étend en un $k$-morphisme $σ_ι:Ω→Ω$.
+Tout $k$-morphisme $Ω→Ω$ est un isomorphisme.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+L'existence d'un $k$-morphisme $Ω→Ω$ étendant $ι$
+résulte du lemme de prolongement des plongements
+(\refext{Alg}{plongement-dans-cloture-algebrique}).
+La surjectivité d'un $k$-morphisme $f:Ω→Ω$
+est conséquence du fait que $f(Ω)$ est une clôture algébrique
+de $k$, contenue dans $Ω$, donc nécessairement égale à $Ω$.
+(Voir aussi \ref{Hom=Aut} \emph{infra} pour une généralisation.)
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+Une telle extension est non unique en général. Nous verrons
+plus tard qu'elle est unique \ssi $Ω$ est \emph{radiciel} sur $k'$.
+\end{remarque2}
+
+\begin{corollaire2}\label{caracterisation-conjugaison}
+Soient $x,y∈Ω$ et $k'$ un sous-corps de $Ω$ contenant $k(x)$.
+Les éléments $x$ et $y$ sont conjugués sur $k$ \ssi
+il existe un $k$-plongement $ι:k'→Ω$ tel que $ι(x)=y$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{proposition2}
+Deux éléments de $Ω$ sont conjugués sur $k$
+\ssi ils ont même polynôme minimal sur $k$.
+\end{proposition2}
+
+
+\begin{démo}Soient $x$ et $y$ deux éléments conjugués : $y=σ(x)$
+où $σ∈\Aut_k(Ω)$. En appliquant $σ$ à l'identité
+$μ_{x,k}(x)=0$, on obtient :
+$$0=σ\big(μ_{x,k}(x)\big)=μ_{x,k}\big(σ(x)\big)=μ_{x,k}(y).$$
+(La seconde égalité résulte de la $k$-linéarité de $σ$.)
+Il en résulte que $y$ est racine de $μ_{x,k}$. Ce dernier étant
+unitaire, irréductible sur $k$, on a $μ_{y,k}=μ_{x,k}$.
+Réciproquement, si $x$ et $y$ sont deux éléments de $Ω$
+tels que $μ_{x,k}=μ_{y,k}$, le
+morphisme composé
+$$
+k(x) ⥲ k_{μ_{x,k}}=k_{μ_{y,k}} ⥲ k(y)↪Ω,
+$$
+envoie $x$ sur $y$. La seconde (resp. première) flèche
+est induite par l'isomorphisme canonique (resp. son
+inverse) $k_{μ_{z,k}} ⥲ k(z)$, $X \mod μ_{z,k}\mapsto z$,
+où $z=y$ (resp. $z=x$).
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{conjugues=racines}
+L'ensemble des conjugués sur $k$ d'un élément $x$ de $Ω$ coïncide
+avec l'ensemble des racines dans $Ω$ de son polynôme minimal $μ_{k,x}$.
+Cet ensemble est fini, de cardinal inférieur ou égal
+à $\deg μ_{k,x}=[k(x):k]$. L'égalité a lieu \ssi
+$x$ est séparable sur $k$.
+\end{corollaire2}
+
+Le nombre de racines distinctes dans $Ω$ d'un polynôme non nul étant égal au degré
+de ce polynôme \ssi ses racines sont simples, la remarque
+sur le cas d'égalité est évidente.
+
+\begin{proposition2}\label{Hom=Aut}
+Soit $k'\bo k$ une extension algébrique.
+L'inclusion $\Aut_k(k')→\Hom_k(k',k')$ est une bijection.
+En d'autres termes, tout $k$-plongement $ι:k'→k'$ est
+surjectif.
+\end{proposition2}
+
+Remarquons que ce résultat est trivial si $k'$ est fini
+sur $k$ : toute application $k$-linéaire injective $k'→k'$
+est surjective.
+
+\begin{démo}
+Soient $x'∈k'$, $μ=μ_{x',k}$ son polynôme minimal sur $k$
+et $R$ l'ensemble des racines de $μ$ \emph{dans $k'$}. Cet ensemble
+est fini et $ι$ envoie $R$ dans $R$. L'application $ι$ étant
+injective, elle est bijective sur $R$ ; il existe donc
+$y'∈R⊆k'$ tel que $x'=ι(y')$.
+\end{démo}
+
+\subsection{Extensions normales}
+
+Avant d'énoncer le résultat principal de ce paragraphe,
+faisons la convention suivante.
+
+\begin{convention2}\label{KtensK=K-algebre}
+Soit $K\bo k$ une extension de corps. Sauf mention
+du contraire, l'anneau $K⊗_k K$ sera muni de la structure de $K$-algèbre,
+$λ\mapsto 1⊗λ$. En d'autres termes, on considère
+la $K$-algèbre $K'⊗_k K$ obtenue par \emph{changement
+de base} de $k$ à $K$ dans le cas particulier où $K'=K$.
+\end{convention2}
+
+\begin{proposition2}\label{caracterisation-extension-normale}
+Soit $K\bo k$ une sous-extension de $Ω$.
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item pour tout $k$-plongement $ι:K↪Ω$, on a $ι(K)⊆K$ ;
+\item l'inclusion naturelle
+$\Aut_k(K)\dessusdessous{\tiny{\ref{Hom=Aut}}}{=}\Hom_k(K,K)↪\Hom_k(K,Ω)$ est une bijection ;
+\item pour tout $x∈K$, le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est
+scindé sur $K$ ;
+\item pour tout $x∈K$, les $k$-conjugués de $x$ dans $Ω$ appartiennent à
+$K$ ;
+\item pour tout $𝔭∈\Spec(K⊗_k K)$, l'extension résiduelle
+$κ(𝔭)\bo K$ est triviale.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{remarques2}
+La condition (v) signifie que l'on « tue » les extensions
+résiduelles en étendant les scalaires de $k$ à $K$.
+Elle signifie également que les extensions composées
+de $K$ avec $K$ sur $k$ sont toutes $k$-isomorphes
+à $K$ (cf. \ref{extensions-composees-isomorphes-et-galoisiennes} et \ref{Kk'-pas-can}, p. \pageref{Kk'_pas_can}.)
+
+Puisque les conditions (iii) et (v) ne font pas intervenir $Ω$,
+les conditions (i), (ii) et (iv) sont indépendantes du choix
+de la clôture algébrique de $k$ dans laquelle on plonge $K$.
+
+Enfin, signalons que la condition (iii) est équivalente
+à la variante suivante :
+\begin{quote}
+(iii)' tout polynôme irréductible de $k[X]$
+ayant une racine dans $K$ est scindé sur $K$.
+\end{quote}
+De même, la condition (i) est équivalente à
+la variante suivante :
+\begin{quote}
+(i)' pour tout $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$, on a $σ(K)⊆K$.
+\end{quote}
+\end{remarques2}
+
+\begin{définition2}\label{extension-normale}
+On dit qu'une extension algébrique $K\bo k$ est \emph{normale} ou
+\emph{quasi-galoisienne} si les conditions de la proposition
+précédentes sont satisfaites.
+\end{définition2}
+
+\subsubsection{Démonstration de la proposition}
+(i)⇔(ii) : clair. (iii)⇔(iv) : résulte de \ref{conjugues=racines}.
+L'équivalence entre les conditions (i)--(ii) et les conditions (iii)--(iv)
+est une conséquence immédiate de \ref{caracterisation-conjugaison}
+et du fait que $K$ est la réunion de ses sous-$k$-extensions monogènes.
+Il reste à démontrer l'équivalence de (v) et (i).
+Commençons par un lemme général.
+
+\begin{lemme3}\label{points-algebre-entiere}
+Soient $K\bo k$ une sous-extension de $Ω\bo k$ et $A$ une $K$-algèbre.
+\begin{enumerate}
+\item L'application « noyau » $\Hom_K(A,K)=A^{\japmath{田}}(K)→\Spec(A)$, $φ↦𝔭_φ=\Ker(φ)$ est
+injective.
+\item Si $A\bo K$ est \emph{entière} (\refext{Alg}{entiers cas
+corps}), l'application « noyau » $\Hom_K(A,Ω)=A^{\japmath{{\japmath{田}}}}(Ω)→\Spec(A)$ est
+surjective et $\Spec(A)=\Specmax(A)$.
+\end{enumerate}
+L'injection $A^{\japmath{{\japmath{田}}}}(K)↪A^{\japmath{{\japmath{田}}}}(Ω)$ est une bijection
+\ssi pour tout $𝔭∈\Spec(A)$, le morphisme $K→ κ(𝔭):=A/𝔭$ est
+un isomorphisme.
+\end{lemme3}
+
+\begin{démo}
+(i) Mis pour mémoire (cf. \refext{Spec}{points
+rationnels et ideaux maximaux}).
+
+(ii) En toute généralité (\cad sans utiliser l'hypothèse d'intégralité
+de $A\bo k$ ni le fait que $Ω$ soit une clôture algébrique de $k$),
+la fibre de l'application noyau au-dessus de $𝔭∈\Spec(A)$
+est, par propriété universelle du quotient, en bijection avec l'ensemble
+$\Hom_K(A/𝔭,Ω)$. La $k$-algèbre $A$ étant entière,
+il en est de même de son quotient intègre $A/𝔭$. Cet anneau
+est donc un corps (\refext{Alg}{polynome minimal}). Ainsi, la fibre au-dessus
+de $𝔭$ est l'ensemble $\Hom_K(κ(𝔭),Ω)$, où $κ(𝔭)\bo K$ est algébrique.
+La conclusion résulte du lemme de prolongement des
+plongements (\refext{Alg}{plongement-dans-cloture-algebrique}).
+
+Le dernier point est évident.
+\end{démo}
+
+Si l'on applique le lemme précédent à la $K$-algèbre $K⊗_k K$
+(entière d'après \refext{Alg}{entier sur corps stable par cb}),
+on obtient l'équivalence entre la condition (v) et la condition
+\begin{quote}
+(v)' : $\Hom_K(K⊗_k K,K)=(K⊗_k K)^{\japmath{{\japmath{田}}}}(K)↪\Hom_K(K⊗_k K,Ω)=(K⊗_k K)^{\japmath{{\japmath{田}}}}(Ω)$ est une bijection.
+\end{quote}
+(En d'autres termes : « les $Ω$-points de $K⊗_k K$ sont rationnels ».)
+
+
+Le lemme ci-dessous, appliqué à $B=K$ et $B=Ω$, identifie cette application
+à l'application $A^{\japmath{{\japmath{田}}}}(K)↪A^{\japmath{{\japmath{田}}}}(Ω)$ (càd $\Aut_k(K)↪\Hom_K(K,Ω)$). Les conditions
+(v)' et (ii) sont donc équivalentes.
+
+\begin{lemme3}
+Soient $k$ un corps, $K\bo k$ une extension et $B$ une $K$-algèbre.
+\begin{enumerate}
+\item L'application $\Hom_k(K,B)→\Hom_K(K⊗_k K,B)$,
+$ι\mapsto \big(φ_ι:λ⊗μ \mapsto ι(λ)\cdot μ\big)$
+est une bijection.
+\item Pour tout morphisme de $K$-algèbres $B→B'$ le diagramme
+
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diagr)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]
+{
+% première ligne
+(λ⊗μ↦σ(λ)μ) & \Hom_k(K⊗_k K,B) & \Hom_K(K⊗_k K,B') & (λ⊗μ↦ι(λ)μ) \\
+% seconde ligne
+σ & \Hom_k(K,B) & \Hom_k(K,B') & ι\\
+};
+\draw[->] (diagr-1-1) -- (diagr-1-2);
+
+\end{tikzpicture}
+est commutatif.
+\end{enumerate}
+\end{lemme3}
+
+\begin{démo}
+(i) L'application inverse est $φ\mapsto \big(ι_φ:λ\mapsto φ(λ⊗1_B)\big)$.
+(Ce résultat est un cas particulier de l'adjonction
+entre « extension des scalaires » et « restriction des scalaires » ; cf.
+ \refext{Tens}{}.)
+(ii) Évident.
+\end{démo}
+
+Si $K\bo k$ est algébrique et $G=\Aut_k(K)$, l'application
+$G→\Hom_K(K⊗_k K,K)$ du lemme précédent
+n'est autre que l'application $g\mapsto (λ⊗μ↦g(λ)μ)$.
+Le lemme \ref{points-algebre-entiere} a donc pour conséquence
+le :
+\begin{lemme2}\label{points-KtensK}
+Soient $K\bo k$ une extension algébrique et $G$
+le groupe $\Aut_k(K)$. L'extension $K\bo k$ est normale
+\ssi l'application
+$$
+G → \Spec(K⊗_k K)$$
+$$
+g\mapsto 𝔭_g:=\Ker\big(m_g:λ⊗μ\mapsto g(λ)\cdot μ\big)
+$$
+est une bijection.
+\end{lemme2}
+
+Signalons que dans ce cas particulier, l'injectivité de l'application
+$G→\Spec(K⊗_k K)$ est claire : si $g(λ)≠g'(λ)$,
+l'élément $λ⊗1-1⊗g(λ)$ appartient à $𝔭_g$ mais
+pas à $𝔭_{g'}$.
+
+\begin{proposition2}\label{sous-extension-normale}
+Soient $K\bo k$ une extension normale et $k'$ une sous-$k$-extension.
+L'extension $K\bo k'$ est normale.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+On vérifie immédiatement que l'application $K⊗_k K → K⊗_{k'} K$,
+déduite de l'application $k$-bilinéaire $K×K→K⊗_{k'} K$, $(λ,μ)\mapsto λ⊗μ$
+est \emph{surjective} et que c'est un morphisme de $K$-algèbres.
+Par hypothèse les extensions résiduelles de la $K$-algèbre
+source $K⊗_k K'$ sont triviales ; il en est donc de même de son
+quotient $K⊗_{k'} K$.
+\end{démo}
+
+
+\begin{exemples2}
+\begin{enumerate}
+\item La sous-extension $𝐐(\sqrt[3]{2})\bo 𝐐$ de $𝐂$ n'est \emph{pas} normale :
+les éléments $j\sqrt[3]{2}$ et $\sqrt[3]{2}$ ont même polynôme minimal
+$X³-2$ sur $𝐐$ mais $j\sqrt[3]{2}∉𝐐(\sqrt[3]{2})$.
+\item Par définition, toute extension de décomposition d'un polynôme $f∈k[X]$
+est normale.
+\item L'extension $Ω\bo k$ est normale.
+\end{enumerate}
+\end{exemples2}
+
+\begin{proposition2}\label{normal=corps-dec}
+Soit $(f_i)_{i∈I}$ une famille de polynômes à coefficients dans $k$.
+Tout corps de décomposition sur $k$ des $(f_i)_{i∈I}$
+est une extension normale de $k$. Réciproquement,
+toute extension normale est un corps de décomposition sur $k$
+des polynômes minimaux de ses éléments.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soit $R_f$ l'ensemble des racines des $f_i$ dans $Ω$.
+Par unicité de la $k$-extension de décomposition (\ref{unicite-extension-decomposition}),
+il suffit de démontrer que l'extension $K=k(R_f)\bo k$ est normale.
+Or, pour tout $k$-morphisme $ι$ de $K$ dans $Ω$,
+on a $ι(R_f)⊆R_f$ donc $ι(K)⊆K$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{cb-extension-normale}
+Soient $K\bo k$ une extension normale et $k'\bo k$ une extension quelconque.
+Alors,
+\begin{enumerate}
+\item les extensions composées $K$ et $k'$ sur $k$ sont toutes $k'$-isomorphes ;
+\item elles sont normales sur $k'$.
+\end{enumerate}
+De plus, si $k'\bo k$ est normale, elles sont normales sur $k$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Si $K$ est un corps de décomposition sur $k$ d'une famille de polynôme
+$f_i$, $i∈I$, toute extension composée $K'$ est un corps de décomposition
+des $f_i$ sur $k'$ (\ref{cb-corps-decomposition}).
+Les deux premières assertions résultent de la proposition précédente
+et de \ref{unicite-extension-decomposition}.
+
+Supposons maintenant $k'\bo k$ normale. Fixons des plongements de $K$ et
+$k'$ dans $Ω$ et considérons $K'=Kk'$ dans $Ω$. Si suffit de montrer que $K'\bo k$
+est normale car toute extension composée sur $k$ de $K$ et $k'$ lui est $k$-isomorphe.
+Soit $σ$ un $k$-automorphisme de $Ω$. Puisque $σ(k')⊆k'$ et $σ(K)⊆K$, on a bien
+$σ(K')⊆K'$.
+\end{démo}
+
+\begin{miseengarde2}
+Soient $L\bo K$ et $K\bo k$ deux extensions normales. Il n'est pas vrai en général que
+l'extension $L\bo k$ soit normale (cf. exercice \ref{} \XXX).
+\end{miseengarde2}
+
+\begin{proposition2}\label{inter-normales=normale}
+Soient $K\bo k$ une extension et $(K_i)_{i∈I}$ une famille de sous-$k$-extensions normales.
+L'extension $⋂_{i∈I}K_i\bo k$ est normale.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Cela résulte immédiatement du critère (iii) de normalité : si un polynôme
+à coefficients dans $k$ est scindé sur $K_i$ pour tout $i$, il est scindé
+sur $⋂_i K_i$.
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}Étant donné une famille de sous-extensions \emph{normales} $K_i\bo k$ de $Ω$,
+on a vu ci-dessus le corps $K=⋂_i K_i$ est également normal sur $k$.
+Si $X$ est une partie quelconque de $Ω$,
+il existe donc un plus petit sous-corps de $Ω$ la contenant
+et normal sur $k$. (Rappelons que l'extension $Ω\bo k$ est normale.)
+On vérifie sans peine qu'il coïncide
+avec le corps engendré sur $k$ par les conjugués
+des éléments de $X$ ou bien encore avec le corps
+de décomposition sur $k$ contenu dans $Ω$ des polynômes minimaux
+des éléments de $X$.
+
+On l'appelle \emph{extension normale engendrée
+par $X$} ou bien, si $X$ est un corps $k'$ contenant $k$,
+\emph{clôture normale de l'extension $k'\bo k$ dans $Ω$}.
+Plus généralement, on appelle clôture normale d'une extension
+algébrique $k'\bo k$ toute extension $K/k'$ qui soit
+normale sur $k$ et minimale pour cette propriété. Puisque
+qu'un tel corps $K$ se plonge dans $Ω$, il est aisé de vérifier
+que deux clôtures normales d'une même extension algébrique $k'\bo k$
+sont $k'$-isomorphes.
+
+\subsection{Extensions galoisiennes et groupe de Galois}
+
+\begin{définition2}\label{extension-galoisienne}
+Une extension algébrique $K\bo k$ est dite \emph{galoisienne}
+si elle est normale et séparable. \end{définition2}
+
+\begin{lemme2}\label{gal=corps-dec-sep}
+Une extension est galoisienne \ssi elle est isomorphe au
+corps de décomposition d'une famille de polynômes séparables.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Une extension galoisienne est normale ; elle
+est donc un corps de décomposition des polynômes minimaux de ses éléments.
+D'autre part, puisque qu'elle est séparable, ces polynômes sont (par définition)
+séparables.
+
+Réciproquement, un corps de décomposition est toujours
+normal (\ref{normal=corps-dec}). D'autre part, le
+corps de décomposition d'une famille de polynômes séparables
+est séparable (\ref{dec-poly-sep=sep}).
+\end{démo}
+
+
+\begin{proposition2}\label{galois=autodiag}
+Soient $K\bo k$ une extension \emph{finie}
+et $G=\Aut_k(K)$.
+L'extension $K\bo k$ est galoisienne
+\ssi le morphisme
+$$
+K⊗_k K→∏_{g∈G} K=\Hom_{\Ens}(G,K)
+$$
+$$
+λ⊗μ \mapsto \big(g(λ)\cdot μ\big)_{g}
+$$
+est un isomorphisme.
+\end{proposition2}
+
+Autrement dit : une extension est galoisienne si elle se diagonalise elle-même.
+Pour une variante dans le cas non nécessairement fini, cf. \ref{}.
+
+\begin{démo}
+Soit $K\bo k$ finie galoisienne. Considérons la $K$-algèbre
+$A=K⊗_k K$ obtenue par changement de base. Elle est réduite
+car $K\bo k$ est étale donc géométriquement réduite.
+D'après le théorème de structure des algèbres réduites finies sur
+un corps (\ref{structure-algebre-finie-reduite})
+la surjection canonique $A→∏_{𝔭∈\Spec(A)} κ(𝔭)$ est
+donc un isomorphisme. D'autre part, $K\bo k$ étant
+normale, les idéaux premiers de $A$ sont
+de la forme $\Ker(λ⊗μ↦g(λ)μ)$ pour un unique $g∈G$ (cf. \ref{points-KtensK}).
+La surjection canonique s'identifie donc l'application
+de l'énoncé.
+
+Réciproquement, si l'application de l'énoncé
+est un isomorphisme, l'extension $K\bo k$ est normale
+car elle satisfait visiblement au critère (v) et
+la $k$-algèbre finie $K$ est étale
+car potentiellement diagonalisable.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{indépendance linéaire des automorphismes}
+Soient $K\bo k$ une extension finie galoisienne.
+Les automorphismes $g∈G=\Hom_k(K,K)$,
+vus comme éléments du $K$-espace vectoriel
+$\End_{k\traitdunion\mathrm{ev}}(K)$, sont $K$-linéairement indépendants.
+\end{corollaire2}
+
+Pour une généralisation, cf. exercice \ref{théorème de Dedekind}.
+
+\begin{démo}[Première démonstration]
+L'existence d'une famille $(μ_g)_{g∈G}$ d'éléments
+de $K$ tels que pour tout $λ∈K$, on ait $∑_{g} μ_g g(λ)=0$
+est équivalente, d'après la proposition précédente,
+au fait que la partie $K⊗_k 1$ soit contenue dans un
+$K$-hyperplan de la $K$-algèbre $K⊗_k K$
+(cf. \ref{KtensK=K-algebre}). Cette partie
+étant trivialement génératrice sur $K$,
+il n'en est rien.
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Seconde démonstration]
+Raisonnons par l'absurde.
+Soit $(μ_g)_{g∈E⊆G}$ une famille de cardinal minimal
+telle que $∑_{g∈E} μ_g g=0$. Pour tout $x∈K$,
+la relation précédente entraîne, par multiplicativité
+des $g∈G$, $∑_{g∈E} (μ_g g(x)) g=0$. D'autre part, en multipliant
+la relation initiale par $g'(x)$ où $g'∈G$, et en faisant la différence
+on obtient :
+\[
+∑_{g∈E} \big(μ_g(g'(x)-g(x))\big) g=0.
+\]
+Le coefficient de $g'$ est nul. Quitte à choisir $x∈G$
+tel que $g'(x)$ soit différent de $g(x)$ pour au moins un $g∈E$,
+on obtient une relation de dépendance non triviale, qui
+ viole la condition de minimalité de $\# E$.
+(Voir aussi l'exercice \ref{indépendance linéaire caractères}.)
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Troisième démonstration (esquisse)]
+Il suffit de démontrer ce résultat après extension des scalaires de $k$ à $K$.
+Il résulte de la proposition précédente que pour chaque $g∈G$,
+l'élément $g⊗_k K$ de $\End_{K\traitdunion\mathrm{ev}}(K⊗_k K)$
+correspond, via l'isomorphisme $\End_{K\traitdunion\mathrm{ev}}(K⊗_k K)⥲
+\End_{K\traitdunion\mathrm{ev}}(\Hom_{\Ens}(G,K))$ à l'opérateur
+de \emph{translation} :
+\[
+T_g:(x_h)_{h∈G}↦(x_{hg})_{h∈G}.
+\]
+Or, si $∑_g μ_g T_g=0$, on a $∑_g μ_g T_g(e₁)=(μ_g)_g=0$, où
+$e₁∈\Hom_\Ens(G,K)$ est l'idempotent correspondant à l'identité de $G$.
+\end{démo}
+
+\begin{définition2}\label{définition groupe Galois}
+Soit $K\bo k$ une extension galoisienne. On appelle
+\emph{groupe de Galois} \index{groupe de Galois} de l'extension $K\bo k$
+le groupe $\Aut_k(K)$. On le note indifféremment $\Gal(K\bo k)$
+ou $G_{K\bo k}$. Une extension $K\bo k$
+est dite \emph{galoisienne de groupe $G$} si
+elle est galoisienne et si le groupe $\Gal(K\bo k)$
+est isomorphe à $G$.
+\end{définition2}
+
+Si $K$ est une clôture séparable de $k$, le groupe
+de Galois correspondant est appelé « groupe de Galois
+absolu »\index{groupe de Galois absolu}, ou plus simplement « groupe de Galois », de $k$.
+Il résulte du théorème de Steinitz qu'il ne dépend, à isomorphisme
+près, que de $k$ (cf. \ref{digression choix point base}).
+
+\begin{lemme2}
+Si $K\bo k$ est \emph{finie} galoisienne,
+on a $\# G_{K\bo k}=[K:k]$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Cela résulte également de la proposition précédente car $\dim_k(K)=\dim_K(K⊗_k K)$.
+\end{démo}
+
+\begin{convention2}
+Soit $X$ un ensemble muni d'une action d'un groupe $G$.
+On note $\Fix_G(X)$ l'ensemble
+de points de $X$ fixes sous l'action de $G$ :
+$$\Fix_G(X)=\{x∈X: g\cdot x=g\ \text{pour tout\ }g∈G\}.$$
+\end{convention2}
+
+Remarquons que la notation $X^G$ pour $\Fix_G(X)$, quoique commode et extrêmement répandue,
+est ambiguë car $X^G$ désigne aussi classiquement l'ensemble des applications de $G$ dans $X$.
+
+\begin{proposition2}\label{KsurG=k}
+Soit $K\bo k$ est extension galoisienne de groupe $G$.
+L'inclusion canonique $k→\Fix_G(K)$ est une bijection.
+\end{proposition2}
+
+Le fait que $k$ soit contenu dans $\Fix_G(K)$ est équivalent
+à la $k$-linéarité des éléments de $G$.
+
+\begin{démo}[Première démonstration]
+Il s'agit de démontrer que pour tout $x∈K-k$, il existe $σ∈G$
+tel que $σ(x)≠x$. Puisque $x$ est séparable sur $k$, il
+a exactement $[k(x):k]$ conjugués sur $k$ dans $Ω$ (\ref{conjugues=racines}). Soit $y$ l'un d'entre
+eux. Par définition, il existe un $σ∈G$ tel que $y=σ(x)≠x$. CQFD.
+\end{démo}
+\begin{démo}[Seconde démonstration, par descente fidèlement plate (esquisse)]
+On se ramène au cas où $K\bo k$ est finie.
+L'énoncé à démontrer est équivalent à l'exactitude
+de la suite :
+$$
+0→k→K\dessusdessous{d'}{→}∏_{g∈G} K,
+$$
+où $d'(λ)=\big(g(λ)-λ\big)_{g∈G}$.
+D'après la proposition \ref{galois=autodiag},
+cette suite est isomorphe à la suite
+$$
+k→K\dessusdessous{d}{→}K⊗_k K
+$$
+où $d(λ)=λ⊗1-1⊗λ$.
+Or, on verra en \refext{descente}{} que pour tout anneau $A$ et
+toute $B$-algèbre fidèlement plate, la
+suite : $0→A→B\dessusdessous{d}{→}B⊗_A B$ est exacte. Le morphisme $k→K$ étant fidèlement
+plat ($k$ est un corps), le résultat en découle.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}\label{VKsurG=V}
+Soient $K\bo k$ est extension galoisienne de groupe $G$
+et $V$ un $k$-espace vectoriel.
+L'inclusion $G$-équivariante $V→V⊗_k K$, $v↦v⊗1$, où $G$ agit
+sur $V⊗_k K$ par le second facteur induit une bijection
+\[V⥲\Fix_G(V⊗_k K).\]
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Résulte de l'égalité $\Fix_G(k^{(X)})=\Fix_G(k)^{(X)}$
+et de la proposition précédente.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+Soit $K\bo k$ une extension galoisienne.
+Si $G_{K\bo k}$ est fini, l'extension $K\bo k$ est finie,
+de degré $\# G_{K\bo k}$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+D'après la proposition précédente, le corps $k$
+est l'intersection dans $K$ des $k$-hyperplans
+$\Ker(1-g:K→K)$. Il en résulte que $k$ est de codimension
+au plus $\# G_{K\bo k}$ dans le $k$-espace vectoriel $K$.
+Puisqu'il est de dimension finie (égale à un) sur $k$, on
+a bien $\dim_k(K)<+∞$.
+L'égalité $\dim_k(K)=\# G_{K\bo k}$ est déjà connue.
+\end{démo}
+
+Voici maintenant une réciproque à la proposition \ref{KsurG=k}.
+
+\begin{théorème2}[Lemme d'Artin]\label{lemme-d-Artin}
+Soient $K$ un corps, $G$ un groupe \emph{fini} d'automorphismes de $K$
+et $k=\Fix_G(K)$. L'extension $K\bo k$ est galoisienne,
+et l'inclusion $G↪\Aut_k(K)$ est un isomorphisme.
+\end{théorème2}
+
+\begin{remarque2}\label{action PGL2 et Artin}
+Cet énoncé est en général \emph{faux} si on ne suppose pas $G$ \emph{fini},
+comme le montre l'exemple où $K=𝐂(t)$, et $G=\PGL₂(𝐂)$ agissant
+par
+$$\begin{pmatrix}a & b \\c &
+d\end{pmatrix}\cdot f(t)=f(\frac{at+b}{ct+d}).
+$$
+On a en effet $\Fix_G(𝐂(t))=𝐂$ (exercice).
+\end{remarque2}
+
+\begin{démo}
+Soit $x∈K$ et notons $O_x$ son orbite sous l'action de $G$.
+Le polynôme $P_x:=∏_{y∈O_x}(X-y)$ est à coefficients dans $k=\Fix_G(K)$
+(car $gO_x=O_x$ pour tout $g∈G$) et annule $x$. On en déduit
+que $x$ est algébrique sur $k$ de degré au plus $\# G$ et que son
+polynôme minimal sur $k$ divise $P$. En particulier, l'ensemble
+des conjugués de $x$ est contenu dans $O_x$ donc dans $K$ : l'extension
+$K\bo k$ est donc normale. D'autre part, les racines de $P_x$ étant simples, l'élément
+$x$ est séparable sur $k$ : l'extension $K\bo k$ est séparable.
+D'après le lemme suivant, elle est de degré au plus $\# G$. Puisque
+$G$ s'injecte dans le groupe $\Aut_k(K)$ de cardinal $[K:k]≤\# G$, on
+a bien $G ⥲ \Aut_k(K)$.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+Soient $n$ un entier et $K\bo k$ une extension algébrique séparable dont tous les éléments
+sont de degré au plus $n$ sur $k$. Alors $[K:k]≤n$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{remarque2}
+Ce résultat est faux sans l'hypothèse de séparabilité ; cf. exercice
+\ref{borne-degre-elements}.
+\end{remarque2}
+
+\begin{démo}
+Le degré sur $k$ des éléments de $K$ étant borné par $n$, il existe un élément
+$x∈K$ de degré maximal. Il suffit de montrer que $K=k(x)$. Soit $y∈K$.
+L'extension $k(x,y)\bo k$ étant étale donc monogène, elle est de la forme $k(z)$ pour un $z∈K$.
+Puisque $k(z)$ contient $k(x)$ et est, par hypothèse, de degré sur $k$ inférieur
+ou égal à celui de $k(x)$, on a $k(z)=k(x)$ et, finalement $y∈k(x)$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{exercice2}\label{théorème de Dedekind}
+Démontrer la généralisation
+suivante (« théorème de Dedekind ») de \ref{indépendance linéaire des
+automorphismes} :
+\begin{quote}
+Soient $k$ un corps, $k'\bo k$ une extension et $A$ une $k$-algèbre.
+L'ensemble $A^{\japmath{田}}(k')$ est une partie $k'$-libre de
+$\Hom_{k\traitdunion\mathrm{ev}}(A,k')$.
+\end{quote}
+(On pourra commencer par montrer, en utilisant le théorème chinois
+et l'isomorphisme $A^{\japmath{田}}(k')⥲A_{k'}^{\japmath{田}}(k')$ que pour toute partie finie
+$U$ de $A^{\japmath{田}}(k')$ l'application $A_{k'}→{k'}^{U}$, $(a⊗1)↦\big(u(a)\big)_{u∈U}$
+est surjective.)
+\end{exercice2}
+
+\begin{exercice2}\label{indépendance linéaire caractères}
+Démontrer la généralisation suivante (« indépendance linéaire
+des caractères ») de \ref{indépendance linéaire des
+automorphismes} :
+\begin{quote}
+Soient $H$ un groupe et $K$ un corps. Les morphismes de groupes $χ:H→K^×$ sont
+$K$-linéairement indépendants.
+\end{quote}
+\end{exercice2}
+
+\section{Groupe de Galois d'un polynôme}\label{groupe Gal poly}
+
+\subsection{Définition et premières propriétés}Soit $f∈K[X]$ un polynôme unitaire.
+Notons $\dec(f)$ un corps de décomposition de $f$ et $R_f$ l'ensemble de
+cardinal au plus $\deg(f)$ des racines de $f$ dans $\dec(f)$.
+L'extension $\dec(f)\bo K$ est finie et normale (\ref{normal=corps-dec}).
+
+Écrivons $f=∏_i f_i^{r_i}$ où les polynômes $f_i$ sont unitaires irréductibles, premiers
+entre eux deux-à-deux et posons $f_\red=∏_i f_i$. Le lemme suivant est un corollaire immédiat
+des définitions ainsi que de \ref{dec(f)-sep=>f-red-separable} et \ref{dec-poly-sep=sep}.
+
+\begin{lemme2}
+Les conditions suivantes sont équivalentes :
+\begin{enumerate}
+\item l'extension $\dec(f)\bo K$ est séparable ;
+\item chaque $f_i$ est séparable ;
+\item le polynôme $f_\red$ est séparable.
+\end{enumerate}
+De plus, le polynôme $f$ est séparable \ssi chaque $f_i$ est séparable et de multiplicité
+$r_i$ égale à un (\cad $f=f_\red$).
+\end{lemme2}
+
+\begin{définition2}
+Si $f_\red$ est séparable, on appelle \emph{groupe de Galois du polynôme $f$} le groupe de Galois de
+l'extension $\dec(f)\bo K$, noté $G_f$ ou $\Gal(f)$.
+\end{définition2}
+
+Il résulte de la définition que $G_f=G_{f_\red}$.
+
+Le cas crucial est bien entendu celui où $f$ est un polynôme irréductible
+séparable. Il nous a cependant paru utile de ne pas se limiter à ce cas
+particulier.
+
+\subsubsection{}\label{digression choix point base}
+Remarquons que $L=\dec(f)$ n'étant défini qu'à $K$-isomorphisme près, non unique en
+général, il en résulte une certaine ambiguïté sur le groupe que nous venons de
+définir. En effet, si $L'$ est un autre corps de décomposition, tout $K$-isomorphisme
+$φ:L ⥲ L'$ induit un isomorphisme $Φ:G_{L\bo K} ⥲ G_{L'\bo K}$ par transport de
+structure : $σ↦σ'=φσφ^{-1}$. Celui-ci n'est pas unique en général : si $ψ$ est
+un autre $K$-isomorphisme $L ⥲ L'$, l'isomorphisme $\Psi: G_{L\bo K} ⥲
+G_{L'\bo K}$ correspondant diffère de $Φ$ par
+un automorphisme intérieur de la source ou du but. « Le » groupe de Galois du
+polynôme $f$ n'est donc défini qu'à isomorphisme près, unique à
+automorphisme intérieur près. Conformément à l'usage, mais en contradiction avec
+la convention \refext{Cat}{blabla-unicite-objet-universel}, nous nous autorisons cependant à parler \emph{du}
+groupe de Galois d'une équation, même si ce dernier n'est pas abélien.
+Une façon de procéder pour résoudre cette difficulté est de fixer une clôture algébrique
+de $K$, ou plus généralement toute extension $Ω$ de $K$ sur laquelle $f$ est scindé,
+et de considérer le groupe de Galois $\Gal(f,Ω)$ de $f$ « pointė » en $Ω$, \cad
+le groupe de Galois de l'unique corps de décomposition de $f$ dans $Ω$.
+
+\subsubsection{}Le fait trivial suivant est d'importance capitale : l'ensemble
+$R_f$ est stable sous l'action de $G_f$. Cela résulte du fait
+que pour tout $x∈\dec(f)$ et tout $σ∈\Aut_K(\dec(f))$,
+on a $σ\big(f(x)\big)=f\big(σ(x)\big)$ de sorte que si
+$f(x)$ est nul, $f(σ(x))$ l'est également.
+De façon équivalente, on peut identifier $R_f$ à $\Hom_K(K_f,\dec(f))$ et
+considérer l'action de $G_f=G_{\dec(f)\bo K}$ déduite de son action sur $\dec(f)$.
+L'ensemble $R_f$ étant fini, l'action de $G_f$ sur $R_f$
+induit par restriction une permutation de $R_f$.
+
+\begin{lemme2}\label{Gal(f)=groupe permutation}
+L'application $G_f→𝔖_{R_f}$, $σ\mapsto σ_{|R_f}$
+est une injection : le groupe de Galois
+d'un polynôme s'identifie à un sous-groupe
+du groupe des permutations des racines. En particulier,
+$\# G_f$ divise $d!$, où $d$ est le degré du polynôme $f$.
+\end{lemme2}
+
+Moyennant le choix d'une bijection entre $R_f$ et l'ensemble $\{1,\dots,d\}$
+à $d$ éléments, on peut donc voir le groupe de Galois de $f$ comme un
+sous-groupe de $𝔖_d$. Ce dernier est bien défini \emph{à conjugaison près}.
+
+\begin{démo}
+Soit $g$ dans le noyau : pour toute racine $r$ de $f$,
+on a $g(r)=r$. Puisque $\dec(f)=K(r,r∈R_f)$, $g$ agit trivialement
+sur $\dec(f)$ tout entier et, finalement, $g=\Id$.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}\label{action transitive de Galois si poly irréductible}
+Le groupe de Galois $G_f$ agit \emph{transitivement}
+sur les racines $R_f$ \ssi le polynôme séparable
+$f_\red$ est \emph{irréductible}.
+Sous cette hypothèse, $\deg(f)$ divise $\# G_f$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+On peut supposer $f=f_\red$.
+Si $f$ est irréductible, c'est le polynôme minimal
+de chacune de ses racines. La conclusion résulte
+alors de \ref{conjugues=racines}.
+
+Réciproquement, il résulte de \emph{loc. cit.}
+que deux racines sont conjuguées \ssi elles ont même polynôme
+minimal. Ainsi, si $G_f$ agit transitivement sur $R_f$,
+et $r∈R_f$, $f$ a pour unique diviseur irréductible $μ_{r,k}$.
+Comme $f$ est supposé séparable, on a $f=μ_{r,k}$
+de sorte que $f$ est irréductible.
+
+Enfin, c'est un fait général que si groupe fini $G$ agit transitivement
+sur un ensemble fini $X$, on a $\#X | \# G$.
+\end{démo}
+
+\subsection{Réduction modulo $p$}
+
+\subsubsection{}Soient $f=X^d+a₁X^{d-1}+\cdots+a_d∈𝐙[X]$ un polynôme
+à coefficients entiers, $K$ un corps de décomposition de $f$
+et $R_f$ l'ensemble des racines de $f$ dans $K$, de sorte que $K=𝐐(R_f)$.
+Notons $G_f$ le groupe de Galois de l'extension séparable $K\bo 𝐐$.
+
+\begin{lemme2}\label{finitude Z[racines]}
+Le sous-anneau $A=𝐙[R_f]$ de $K$
+engendré par les racines de $f$ est un $𝐙$-module libre
+de rang $[K:𝐐]$ engendrant le $𝐐$-espace vectoriel $K$ et
+stable sous l'action de $G_f$.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soit $g∈G_f$. L'inclusion $g(A)⊆A$ est conséquence du fait que
+pour toute racine $r∈R_f$, l'élément $g(r)∈K$ est également
+une racine de $f$.
+
+Il résulte des relations $r^{d+i}=-(a₁r^{d-1+i}+\cdots+a_d r^i)$,
+pour chaque $r∈R_f$ et chaque entier $i≥0$, que tout élément
+de $A$ est une combinaison linéaire à coefficients
+dans $𝐙$ des monômes en les $r∈R_f$ dont tous les exposants sont strictement inférieurs
+à $d$. En conséquence $A$ est un $𝐙$-module de type fini ;
+puisqu'il est sans torsion, il est libre. (On utilise ici le fait
+que l'anneau $𝐙$ est principal.)
+Soit $a₁,\dots,a_n$ une base du $𝐙$-module $A$. On souhaite qu'ils forment
+une base du $𝐐$-espace vectoriel $K$.
+Les $(a_i)_{i=1,…,n}$ sont $𝐐$-libres dans $K$ : si $∑_{i=1}^n \frac{p_i}{q_i}a_i=0$
+est une relation de dépendance à coefficients rationnels, on obtient
+une relation de dépendance à coefficients entiers en multipliant les
+coefficients par l'entier non nul $∏_i q_i$. (On en tire la majoration
+$n≤[K:𝐐]$ qui raffine la majoration évidente $n≤{\# R_f}^d$.)
+D'autre part, les $(a_i)_{i=1,…,n}$ engendrent $K$ en tant que $𝐐$-espace vectoriel
+car $K=𝐐(R_f)=𝐐[R_f]$ si bien que pour chaque $λ∈K$, il existe $N∈𝐍_{≥1}$ tel que
+$Nλ∈𝐙[R_f]=𝐙a₁⊕𝐙a₂⊕\cdots⊕𝐙a_n$. CQFD.
+\end{démo}
+
+Il en résulte que pour tout $a∈A$, $\N_{A\bo 𝐙}(a)=\N_{K\bo 𝐐}(a)$ :
+dans la base $a₁,…,a_n$ les matrices de la multiplication
+par $a$ dans $A$ et dans $K$ coïncident.
+
+\begin{corollaire2}\label{intersection-anneau-engendre-par-les-racines-et-rationnels}
+\[A∩𝐐=𝐙.\]
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+En effet, si $a∈A∩𝐐$,
+on a $a^n=\N_{K\bo 𝐐}(a)=\N_{A\bo 𝐙}(a)∈𝐙$ de sorte que $a∈𝐙$
+car $a$ est rationnel.
+\end{démo}
+
+\begin{corollaire2}
+Pour tout nombre premier $p$, il existe un idéal premier $𝔪$ de $A$
+contenant $p$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}
+Cela revient à monter que l'anneau quotient $A/pA$ n'est pas nul
+(cf. \refext{Spec}{ideaux-quotient} et \refext{Spec}{Krull}),
+ou encore que $A≠pA$. Cela résulte du fait que $A$ est un $𝐙$-module
+libre.\end{démo}
+
+\subsubsection{}Soient $p$ un nombre premier et $𝔪$ un idéal maximal
+de $A$ le contenant. Considérons les ensembles $D_𝔪=\{g∈G_f:g(𝔪)⊆𝔪\}$ et $κ(𝔪)=A/𝔪$.
+Le premier est un sous-groupe de $G_f$, appelé \emph{groupe de décomposition} ;
+le second est une extension, finie d'après le lemme \ref{finitude Z[racines]}, du corps $𝐅_p$.
+En fait, $κ(𝔪)=𝐙[R_f]/𝔪$ est un corps de décomposition
+du polynôme $f_p∈𝐅_p[X]$ obtenu par réduction modulo $p$ de $f$. En effet,
+ce corps de caractéristique $p$ est engendré comme anneau, donc comme $𝐅_p$-algèbre,
+par les réductions modulo $𝔪$ des racines de $f$, qui sont
+des racines de $f_p$ : si $r∈R_f$ est une racine
+et $\sur{r}$ désigne sa réduction, on a $f_p(\sur{r})=f(r)\mod 𝔪=0$.
+Notons $R_{f_p}$ l'ensemble des racines de $f_p$ dans $κ(𝔪)$.
+
+\begin{théorème2}\label{specialisation-groupe-de-Galois-elementaire}
+\begin{enumerate}
+\item L'application
+\[
+D_𝔪→\Gal(κ(𝔪)\bo 𝐅_p)=G_{f_p},
+\]
+\[
+g↦\sur{g}:\big(a \mod 𝔪↦g(a)\mod 𝔪\big)
+\]
+est une \emph{surjection}.
+\item Supposons que $f_p$ est \emph{séparable}, c'est-à-dire à racines simples dans $κ(𝔪)$.
+\begin{enumerate}
+\item L'application $A → κ(𝔪)$ de réduction modulo $𝔪$ induit
+une bijection $R_f⥲R_{f_p}$.
+\item Le morphisme $D_𝔪→G_{f_p}$ est un isomorphisme.
+\item Les applications composées $D_𝔪↪G_f↪𝔖_{R_f}$ et
+$D_𝔪⥲G_{f_p}↪𝔖_{R_{f_p}}$, où les morphismes $G_P→𝔖_{R_P}$ sont
+les morphismes de restriction à l'action sur les racines,
+coïncident modulo l'identification du (a).
+\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+En termes vagues : le groupe de Galois d'une équation à coefficients entiers
+contient des sous-groupes isomorphes ou bien se surjectant
+sur le groupe de Galois de l'équation modulo $p$.
+
+\begin{remarque2}Nous verrons en
+\refext{Ent}{specialisation galois cas general} une
+généralisation de ce théorème pour des polynômes à coefficients
+dans des anneaux quelconques. Dans ce même chapitre,
+on trouvera des démonstrations des deux corollaires précédents
+indépendantes du théorème de structure des $𝐙$-modules de type fini.
+\end{remarque2}
+
+\begin{démo}
+(i) Soit $α∈κ(𝔪)$ un élément primitif (cf. \refext{Fin}{elements-et-polynomes-primitifs}
+ou \refext{Alg}{element-primitif}). Commençons par montrer qu'il
+existe un relèvement $a∈A$ de $α$ tel que pour tout $g∈G_f-D_𝔪$, $a∈g(𝔪)$.
+Soient $𝔫₁,\dots,𝔫_s$ les différents idéaux $g(𝔪)$, images de $𝔪$, pour $g∉D(𝔪)$.
+Ils sont maximaux dans $A$ car chaque $g$ induit un isomorphisme
+$A/𝔪→g(A)/g(𝔪)=A/g(𝔪)$. D'après le théorème chinois (\refext{Spec}{lemme
+chinois}), l'application
+\[
+A→A/𝔪×(A/{𝔫₁}×A/{𝔫₂}×\cdots×A/{𝔫_s})
+\]
+est surjective. Tout relèvement $a$ de $(α,0)$ convient.
+Pour un tel $a∈A$, posons $P=∏_{g∈G_f}(X-g(a))$. Ce polynôme
+est à coefficients dans $A∩\Fix_{G_f}(K)=A∩𝐐=𝐙$.
+Notons $P_p∈𝐅_p[X]$ sa réduction modulo $p$. L'égalité $P(a)=0$
+entraîne par réduction l'égalité $P_p(α)=0$. Il en résulte
+que les conjugués de $α$ dans $κ(𝔪)$ sont racines de $P_p$.
+Par hypothèse sur $a$, les racines non nulles
+de $P_p$ sont les $\sur{σ}(α)$ pour $σ$ parcourant $D_𝔪$.
+Un élément de $\Gal(κ(𝔪)\bo 𝐅_p)$ étant caractérisé
+par son action sur l'élément primitif $α$,
+la surjectivité du morphisme $D_𝔪→\Gal(κ(𝔪)\bo 𝐅_p)$ est acquise.
+
+(ii) Le polynôme $f_p$ étant séparable,
+l'ensemble $R_{f_p}$ est de cardinal $d$ de sorte que
+la surjection naturelle $R_f → R_{f_p}$ est une bijection.
+En particulier, si $g(r)-r ∈ 𝔪$ pour un $g∈G_f$
+et un $r∈R_f$, on a nécessairement $g(r)=r$.
+Il en résulte que si $σ$ appartient
+au noyau du morphisme $D_𝔪→\Gal(κ(𝔪)\bo 𝐅_p)$,
+il agit trivialement sur les racines de $f$. Comme elles
+engendrent $K$, on a $σ=\Id$. Ceci achève la démonstration
+de (a) et (b). Le point (c) résulte immédiatement des définitions
+des morphismes.
+\end{démo}
+
+Le théorème précédent est généralement utilisé, dans le cadre de
+calculs de groupes de Galois, sous la forme du corollaire suivant :
+\begin{corollaire2}\label{specialisation-elementaire-et-cycles}
+Soit $f \in \QQ[X]$ un polynôme unitaire à coefficients rationnels et
+$p$ un nombre premier, ne divisant le dénominateur d'aucun coefficient
+de $f$, tel que la réduction $f_p \in \FF_p[X]$ de $f$ modulo $p$ soit
+séparable, et soient $d_1,\ldots,d_r$ (avec $d_1 + \cdots + d_r
+= \deg(f)$) les degrés des facteurs irréductibles de $f_p$. Alors le
+groupe de Galois $G_f$ de $f$ contient un élément qui, vu comme
+élément de $\mathfrak{S}_{\deg(f)}$ par son action sur les racines
+de $f$ (nécessairement distinctes), se décompose comme produit de $r$
+cycles de longueurs $(d_1,\ldots,d_r)$.
+\end{corollaire2}
+\begin{proof}
+Quitte à remplacer $f(X)$ par $c^d\,f(X/c)$ avec $c$ un entier
+suffisamment divisible mais non multiple de $p$ (par exemple le plus
+petit dénominateur commun des coefficients de $f$), on peut supposer
+que $f$ est à coefficients entiers sans changer son groupe de Galois
+ni celui de $f_p$.
+
+Le fait que la réduction $f_p$ de $f$ soit séparable entraîne que $f$
+lui-même l'est (par exemple parce que le discriminant de $f_p$, non
+nul, est la réduction modulo $p$ de celui de $f$). Le nombre de
+racines distinctes de $f$, comme de $f_p$ est donc bien $\deg(f)$.
+
+Le corps de décomposition de $f_p$ sur $\FF_p$ est $\FF_{p^d}$ où $d$
+est le plus petit commun multiple de $d_1,\ldots,d_r$ ; son groupe
+de Galois est engendré par le Frobenius, qui est d'ordre
+$d_1,\ldots,d_r$ respectivement sur les $r$ classes de conjugaisons de
+racines données par les $r$ facteurs irréductibles, de degrés
+respectifs $d_1,\ldots,d_r$, de $f_p$. Le
+théorème \ref{specialisation-groupe-de-Galois-elementaire} permet de
+conclure.
+
+(\XXX --- Il faudrait mieux intégrer ce corollaire avec ce qui
+l'entoure, et donner des références. Le fait que le groupe de Galois
+d'une extension de corps finis soit engendré par le Frobenius devrait
+apparaître ailleurs, comme son action sur les racines ; la remarque
+sur les coefficients rationnels aurait dû figurer plus tôt, ainsi que
+celle sur la séparabilité.)
+\end{proof}
+
+\begin{remarque2}\label{fonctorialite-vraiment-basique-de-la-specialisation-elementaire}
+Soient $f,h\in \ZZ[X]$ deux polynômes unitaires à coefficients entiers
+tels que $\ZZ[R_h] \subseteq \ZZ[R_f]$ (ce qui implique notamment
+$\dec(h) \subseteq \dec(f)$ et détermine un morphisme $G_f \to G_h$
+donné par la restriction à $\dec(h)$), et soient $p$ un nombre premier
+et $\mathfrak{m}$ un idéal maximal de $\ZZ[R_f]$ le contenant. Alors
+$\mathfrak{m} \cap \ZZ[R_h]$ est un idéal de $\ZZ[R_h]$ qui est lui
+aussi maximal, car $\ZZ[R_h]/(\mathfrak{m} \cap \ZZ[R_h])$ est
+naturellement un sous-anneau du corps fini $\ZZ[R_f]/\mathfrak{m}$ et
+tout sous-anneau d'un corps fini est un anneau intègre fini donc un
+corps. Dans ces conditions, il est alors clair que le diagramme
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex,
+text height=1.5ex,text depth=.25ex]{
+D_{\mathfrak{m}}&G_{f_p}\\D_{\mathfrak{m}\cap\ZZ[R_h]}&G_{h_p}\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+commute, où la flèche $G_{f_p} \to G_{h_p}$ envoie un élément de
+$\Gal(\kappa(\mathfrak{m})/\FF_p)$ sur sa restriction à
+$\kappa(\mathfrak{m} \cap \ZZ[R_h])$, et la flèche
+$D_{\mathfrak{m}} \to D_{\mathfrak{m}\cap\ZZ[R_h]}$ envoie un élément
+de $G_f$ (qui laisse $\mathfrak{m}$ stable) sur sa restriction à
+$\dec(h)$.
+\end{remarque2}
+
+
+\subsection{Équation générique ; discriminant et distinguant}
+\subsubsection{}\label{exemple-galois-equation-generique}
+Soient $d$ un entier et $k$ un corps. Considérons le corps des fractions
+rationnelles en $d$ indéterminées $L=k(X₁,\dots,X_d)$. Le groupe
+symétrique $\got{S}_d$ agit $k$-linéairement sur $L$
+par permutation des variables : $g(X_i)=X_{g(i)}$ pour tout $1≤i≤d$.
+Soit $K:=\Fix_{\got{S}_d}L$. Il résulte du lemme d'Artin que l'extension
+$L\bo K$ est galoisienne, de groupe $\got{S}_d$. En particulier,
+elle est de degré $d!$.
+D'autre part, notons $σ_j$ ($1≤i≤d$) les fonctions
+symétriques élémentaires en les $X_i$ :
+$σ₁=X₁+\cdots+X_d$, $σ₂=∑_{α<β} X_αX_β$, ..., $σ_d=X₁\cdots X_n$
+de sorte que l'on ait :
+$$
+(T-X₁)\cdots (T-X_d)=T^d-σ₁T^{d-1}+\cdots+(-1)^d σ_d.
+$$
+Il en résulte que $L=k(X₁,\dots,X_d)$ est un corps de décomposition du
+polynôme de droite, de degré $d$, sur le sous-corps $K'=k(σ₁,\dots,σ_d)$ de
+$L$. D'après \ref{dec-deg-inf-fact-n}, on a donc $[L:K']≤d!$.
+Puisque $K'⊆K$ on a $K=K'$, \cad
+$$
+\Fix_{\got{S}_d} k(X₁,\dots,X_d)=k(σ₁,\dots,σ_d).
+$$
+Remarquons que ce résultat, présenté ici comme un corollaire
+du lemme d'Artin, se démontre directement sans difficulté.
+
+Le résultat précédent se paraphrase ainsi :
+\begin{quote}
+« Pour tout corps $k$, l'équation \emph{générique} de degré
+$d$ sur $k$ est séparable de groupe $\got{S}_d$. »
+\end{quote}
+
+\subsubsection{Discriminant et $2$-distinguant} Supposons $d≥2$. Soit $𝔄_d$ le groupe alterné,
+distingué dans $𝔖_d$. D'après la correspondance de Galois,
+l'extension $\Fix_{𝔄_d} k(X₁,\dots,X_d)\bo k(σ₁,\dots,σ_d)$ est
+galoisienne, de groupe $𝐙/2$. Nous allons définir un élément $Δ$ de $k(σ₁,\dots,σ_d)$
+tel que $\Fix_{𝔄_d} k(X₁,\dots,X_d)$ soit le corps de décomposition
+du polynôme (séparable) $X²-Δ$ (resp. $X²-X-Δ$) si $\car(k)≠2$ (resp.
+$\car(k)=2$).
+
+\begin{lemme3}\label{construction discriminant et 2-distinguant}
+\begin{enumerate}
+\item Soit $δ_{2'}∈𝐙[X₁,\cdots,X_d]$ l'élément $∏_{1≤i<j≤d}(X_i-X_j)$.
+Pour tout $σ∈𝔖_d$, $σ(δ_{2'})=ε_{2'}(σ)\cdot δ_{2'}$, où $ε_{2'}:𝔖_d↠\{±1\}⊆𝐙$
+est la signature. En particulier,
+\[
+Δ_{2'}=δ_{2'}²=∏_{1≤i<j≤d}(X_i-X_j)²
+\] appartient à $𝐙[σ₁,\cdots,σ_d]$.
+\item Soit $δ_2∈𝐙[X₁,\cdots,X_d][\frac{1}{δ_{2'}}]$ l'élément
+$∑_{1≤i<j≤d} \frac{X_j}{X_i-X_j}$ et $\sur{δ₂}$ son image dans $𝐅₂(X₁,\cdots,X_d)$.
+Pour tout $σ∈𝔖_d$, $σ(\sur{δ_2})=\sur{δ_2}+ε₂(σ)$, où $ε₂:𝔖_d↠𝐅₂$ est la signature.
+En particulier,
+\[
+Δ₂=\sur{δ₂}(\sur{δ₂}-1)=∑_{1≤i<j≤d}\frac{X_iX_j}{X_i²+X_j²}
+\] appartient à $𝐅₂(σ₁,\cdots,σ_d)$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme3}
+
+Il en résulte que si l'on note $δ$ (resp. $Δ$) l'image dans $k(X₁,\dots,X_d)$ de, suivant la
+caractéristique, $δ_{2'}$ ou $δ₂$ (resp. $Δ_{2'}$ ou $Δ₂$), $\Fix_{𝔄_d}
+k(X₁,\dots,X_d)=k(σ₁,\dots,σ_d)(δ)$ et $δ$ est une racine du polynôme
+$X²-Δ$ ou $X²-X-Δ$ suivant la caractéristique.
+
+\begin{démo}
+Dans chacun des deux cas, on peut supposer que $σ$ est une transposition.
+Le premier énoncé est l'une des caractérisations de la signature.
+Vérifions le second. Soit $(αβ)∈𝔖_d$ une transposition.
+Il est formel de vérifier que la contribution des éléments
+apparaissant dans la somme définissant $\sur{δ₂}$ que l'on ne retrouve pas
+dans $(αβ)δ₂$ est :
+$$S=\frac{X_β}{X_α+X_β}+∑_{α<γ<β}\big(\frac{X_γ}{X_α+X_γ}+\frac{X_β}{X_γ+X_β}\big).$$
+Il résulte de l'identité : $$\frac{x}{x+y}=\frac{y}{x+y}+1$$ dans $∈𝐅₂(x,y)$
+que $(αβ)S=S+2(j-i)+1=S+1$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{définition3}\label{definition discriminant et 2-distinguant}
+On appelle \emph{discriminant}\index{discriminant} du polynôme général de degré $d$
+le polynôme $Δ_{2'}∈𝐙[σ₁,\dots,σ_d]$.
+Si $f=X^d+∑_{i=1}^{d}a_i X^{d-i}$ est un polynôme unitaire à coefficients
+dans un corps $k$ de caractéristique différente de deux,
+on appelle \emph{discriminant de $f$} l'élément
+$Δ(f):=Δ_{2'}(a₁,\dots,a_d)∈k$. En caractéristique deux, on appellera
+\emph{$2$-distinguant}\index{2-distinguant} de $f$,
+l'élément $\japmath{別}_2(f):=Δ_{2}(a₁,\dots,a_d)∈k$.
+\end{définition3}
+
+(On peut prononcer « bétsou » le caractère \jap{別}.)
+
+Référence. Bourbaki, V, exercice §10, №23 et \cite{Involutions@KMRT}, chap. V, §18.
+
+\begin{exemples3}[Discriminants et $2$-distinguants]\label{exemples discriminants et 2-distinguants}
+\begin{enumerate}
+\item Soit $f=X²-c₁X+c₂$.
+\[Δ(f)=c₁²-4c₂.\]
+\[\japmath{別}_2(f)=\frac{c₂}{c₁²}.\]
+\item Soit $f=X³-c₁X²+c₂X-c₃$.
+\[Δ(f)=c₁²c₂²-4c₁³c₃+18c₁c₂c₃-4c₂³-27c₃².\]
+\[\japmath{別}₂(f)=\frac{c₁³c₃+c₂³+c₁c₂c₃+c₃²}{c₁²c₂²+c₃²}.\]
+% ordre : degré total + par la fin
+\item Soit $f=X^4-c_1 X^3 + c_2 X^2 - c_3 X + c_4$.
+\[
+\begin{array}{rl}
+Δ(f) =& c_1^2 c_2^2 c_3^2 - 4 c_1^3 c_3^3 - 4 c_1^2 c_2^3 c_4 + 18 c_1^3 c_2 c_3 c_4 - 27 c_1^4 c_4^2\\
+&\quad - 4 c_2^3 c_3^2 + 18 c_1 c_2 c_3^3 + 16 c_2^4 c_4 - 80 c_1 c_2^2 c_3 c_4 - 6 c_1^2 c_3^2 c_4 + 144 c_1^2 c_2 c_4^2\\
+&\quad - 27 c_3^4 + 144 c_2 c_3^2 c_4 - 128 c_2^2 c_4^2 - 192 c_1 c_3 c_4^2 + 256 c_4^3\\
+\end{array}
+\]
+\[\japmath{別}_2(f) = \frac{c_1^3 c_3^3 + c_1^2 c_2^3 c_4 + c_1^3 c_2 c_3 c_4 + c_1^4
+c_4^2 + c_2^3 c_3^2 + c_1 c_2 c_3^3 + c_3^4}{c_1^2 c_2^2 c_3^2 + c_1^4 c_4^2 +
+c_3^4}.\]
+\end{enumerate}
+\end{exemples3}
+
+La proposition suivante résulte immédiatement des formules du lemme précédent,
+où l'on remplace les $X_i$ par les racines d'un polynôme donné.
+
+\begin{proposition3}\label{caracterisation groupe Gal alterne}
+Soient $f∈k[X]$ un polynôme unitaire séparable et $R_f$ l'ensemble
+des racines de $f$ dans une clôture séparable de $k$.
+\begin{enumerate}
+\item Si $\car(k)≠2$, l'image de $G_f$ dans $𝔖_{R_f}$
+est contenue dans le groupe alterné $𝔄_{R_f}$
+\ssi le discriminant de $f$ est un carré dans $k$,
+\cad s'il appartient à l'image de l'application $λ↦λ²$.
+\item Si $\car(k)=2$, l'image $G_f$ dans $𝔖_{R_f}$ est contenue
+dans le groupe alterné $𝔄_{R_f}$
+\ssi le $2$-distinguant de $f$ appartient à l'image de
+l'application $℘:λ↦λ²-λ$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition3}
+
+\begin{remarque3}\label{remarque Spec Z simplement connexe}
+On peut montrer (cf. \refext{}{}) que le discriminant
+d'un polynôme $f$ unitaire irréductible de $𝐙[X]$ ne peut
+être inversible dans $𝐙$ — c'est-à-dire égal à $±1$ —
+que si $f$ est de degré un.
+\end{remarque3}
+
+\subsubsection{Équation discriminante en toute caractéristique. Distinguant.}
+% Discussion avec Jean Lannes. (Cf. lien entre l'invariant
+% de Arf d'une forme quadratique sur $𝐅₂$ et discriminant
+% usuel d'un relèvement à $𝐙₂$.
+% Cf. aussi Kummer-Artin-Schreier.
+
+Commençons par observer le lien suivant entre $δ₂$ et $δ_{2'}$ :
+\[
+\frac{X_i+X_j}{X_i-X_j}=1+2⋅\frac{X_j}{X_i-X_j}.
+\]
+Ainsi,
+on a
+\[
+\frac{∏_{i<j}(x_i+x_j)}{δ_{2'}}=1+2δ₂+4ρ=1+2δ\]
+où $δ$ et $ρ$ appartiennent à $𝐙[X₁,…,X_d][\frac{1}{δ_{2'}}]$.
+
+L'expression $∏_{i<j}(x_i+x_j)$ étant symétrique, contrairement à $δ_{2'}$,
+on a $σ(1+2δ)=ε_{2'}(σ)(1+2δ)$ pour tout $σ∈𝔖_d$. (En particulier,
+$(1+2δ)²∈𝐙[σ₁,…,σ_d][\frac{1}{Δ_{2'}}]$.)
+Il en résulte (cf. \emph{supra}) que pour tout corps $k$ de caractéristique différente
+de deux et tout polynôme séparable $f∈k[X]$ \emph{tel que la somme
+de deux racines distinctes soit toujours non nulle}, le groupe de Galois
+agit par permutations paires sur les racines \ssi l'équation
+$X²-(1+2δ)²$ a une racine dans $k$, où l'on remplace dans la fraction rationnelle
+$(1+2δ)²$ les $σ_i$ par les coefficients de $f$.
+Le changement de variable $Y=½(X-1)$ transforme l'équation précédente
+en $Y²+Y=δ²+δ$. Le fait remarquable est que \emph{la réduction modulo $2$ de
+la fraction rationnelle $δ$ est $δ₂$}.
+
+En résumé, nous avons démontré la proposition suivante,
+qui nous a été suggérée par Jean Lannes.
+
+\begin{proposition3}\label{distinguant distingue groupe alterné}
+Soient $k$ un corps, $f=X^d-c₁X^{d-1}+\cdots+c_d∈k[X]$ un polynôme,
+$K$ un corps de décomposition de $f$ et $\{x₁,\dots,x_d\}$
+les racines de $f$ dans $K$, comptées avec multiplicités.
+\emph{Si $∏_{i<j}\big((x_i-x_j)(x_i+x_j)\big)≠0$}, le polynôme $f$ est séparable
+et le groupe de Galois $\Gal(K\bo k)$ de $f$
+agit par permutations paires sur les racines
+\ssi l'équation
+\[
+Y²+Y-\japmath{別}(c₁,\dots,c_d)
+\]
+a une racine dans $k$, où
+$\japmath{別}∈𝐙[σ₁,…,σ_n][\frac{1}{Δ_{2'}}]$ est la fraction rationelle en les coefficients
+définie par
+\[
+\japmath{別}=\frac{∏_{i<j}(x_i+x_j)²-Δ_{2'}}{4Δ_{2'}}.
+\]
+De plus, $\japmath{別}=δ²+δ$ où $δ∈𝐙[σ₁,…,σ_d][\frac{1}{Δ_{2'}}]$
+est congru modulo $2$ à $δ_{2'}$. En particulier,
+la réduction modulo $2$ de $\japmath{別}$ est le $2$-distinguant
+$\japmath{別}₂$.
+\end{proposition3}
+
+\begin{exemples3}
+
+En utilisant le fait que $∏_{i<j}(x_i+x_j)²=\mathrm{r\acute{e}s}(f(X),f(-X))$
+[presque] et $∏_{i<j}(x_i-x_j)²=Δ_{2'}(f)=\mathrm{r\acute{e}s}(f,f')$, on trouve
+facilement les formules ci-dessous. \XXX
+
+\begin{enumerate}
+\item Soit $f=X²-c₁X+c₂$.
+\[\japmath{別}=\frac{c_2}{c_1^2 - 4 c_2}\]
+\item Soit $f=X³-c₁X²+c₂X-c₃$.
+\[\japmath{別}=\frac{c_1^3 c_3 + c_2^3 - 5 c_1 c_2 c_3 + 7 c_3^2}{c_1^2 c_2^2 - 4 c_1^3 c_3 - 4 c_2^3 + 18 c_1 c_2 c_3 - 27 c_3^2}\]
+\item Soit $f=X^4-c_1 X^3 + c_2 X^2 - c_3 X + c_4$.
+\[\japmath{別}=\frac{
+\left(
+\begin{array}{l}
+c_1^3 c_3^3 + c_1^2 c_2^3 c_4 - 5 c_1^3 c_2 c_3 c_4 + 7 c_1^4 c_4^2\\
+\quad + c_2^3 c_3^2 - 5 c_1 c_2 c_3^3 - 4 c_2^4 c_4 + 20 c_1 c_2^2 c_3 c_4 + 2 c_1^2 c_3^2 c_4 - 36 c_1^2 c_2 c_4^2\\
+\quad + 7 c_3^4 - 36 c_2 c_3^2 c_4 + 32 c_2^2 c_4^2 + 48 c_1 c_3 c_4^2 - 64 c_4^3\\
+\end{array}
+\right)
+}{
+\left(
+\begin{array}{l}
+c_1^2 c_2^2 c_3^2 - 4 c_1^3 c_3^3 - 4 c_1^2 c_2^3 c_4 + 18 c_1^3 c_2 c_3 c_4 - 27 c_1^4 c_4^2\\
+\quad - 4 c_2^3 c_3^2 + 18 c_1 c_2 c_3^3 + 16 c_2^4 c_4 - 80 c_1 c_2^2 c_3 c_4 - 6 c_1^2 c_3^2 c_4 + 144 c_1^2 c_2 c_4^2\\
+\quad - 27 c_3^4 + 144 c_2 c_3^2 c_4 - 128 c_2^2 c_4^2 - 192 c_1 c_3 c_4^2 + 256 c_4^3\\
+\end{array}
+\right)
+}\]
+\end{enumerate}
+\end{exemples3}
+
+\subsubsection{Exercices}
+
+\begin{exercice3}
+Déterminer le groupe de Galois du polynôme $X³-2∈𝐐[X]$.
+\end{exercice3}
+
+\begin{exercice3}\label{borne-degre-elements}
+Soient $p$ un nombre premier et $k=\FF_p((t_i)_{i∈𝐍})$ le
+corps des fractions de l'anneau de polynômes en une infinité
+de variables $\FF_p[(t_i)_{i∈𝐍}]$. Soit $Ω$ une clôture
+algébrique de $k$ et $K$ le corps engendré sur $k$ par
+les éléments $t_i^{1/p}$ ($i∈𝐍$). Montrer que pour tout
+$x∈K$, on a $x^p∈k$ mais que $[K:k]=+∞$.
+(Le corps $K$ sera noté $k^{1/p}$ dans un paragraphe ultérieur, consacré aux extensions
+\emph{radicielles}.)
+\end{exercice3}
+
+\begin{exercice3}
+Montrer que même en caractéristique deux, il n'existe pas d'équation « discriminante »
+de la forme $X²-X-P$ où $P$ est un \emph{polynôme} en les coefficients.
+\end{exercice3}
+
+\begin{exercice3}
+Soit $A=𝐙[X₁,\dots,X_d][Δ_{2'}^{-1}]$, $B=\Fix_{𝔄_d}(A)$
+et $C=\Fix_{𝔖_d}(A)=𝐙[σ₁,\dots,σ_n][Δ_{2'}^{-1}]$.
+Montrer que le morphisme $C↪B$ est fini étale (\refext{}{}) de degré $2$
+mais qu'il n'existe pas de polynôme $P∈C[T]$ tel que $B≃C[T]/P$.
+(C'est cependant le cas après changement de base
+$C→C[∏_{i<j}(X_i+X_j)^{-1}]$.)
+\end{exercice3}
+
+
+\begin{exercice3}
+Soient $A$ un anneau et $P=∑ (-1)^i a_{n-i} X^i ∈A[X]$ un polynôme unitaire de
+degré $n$. On appelle \emph{algèbre de décomposition} de $P$
+la $A$-algèbre $A(P)=A[X₁,\dots,X_n]/(∑_i X_i=a₁,\dots,∏_i X_i=a_n)$.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que $A(P)$ est libre de rang $n!$ sur $A$.
+(Indication : on pourra montrer
+que les monômes $∏_i x_i^{e_i}$, où $e_i≤n-i$, forment un base.)
+\item Comparer le discriminant de $A(P)$ (défini à l'aide
+de la trace) et le discriminant de $P$.
+\item À quelle condition $\Fix_{𝔖_n}(A(P))=k$ ?
+\end{enumerate}
+\end{exercice3}
+
+%NDLR. Cela aurait un rapport avec la définition de Grothendieck des
+%classe de Chern (cf. principe de scindage) etc.
+
+\section{Correspondance de Galois}
+
+\subsection{Énoncé de la correspondance}
+\begin{théorème2}[Galois, ≤1832]\label{correspondance Galois finie}
+Soit $K\bo k$ une extension galoisienne \emph{finie} de groupe $G$.
+Les applications $H\mapsto \Fix_H(K)$ et $k'\mapsto \Gal(K\bo k')$
+sont des bijections inverses l'une de l'autre,
+et décroissantes pour l'inclusion, entre l'ensemble des sous-groupes de $G$
+et l'ensemble des sous-$k$-extensions
+de $K$. De plus, une sous-$k$-extension $k'$ de $K$ est galoisienne sur $k$
+\ssi $H=\Gal(K\bo k')$ est un sous-groupe distingué de $G$. Dans ce cas, l'application
+de restriction $\Gal(K\bo k)→\Gal(k'\bo k)$ induit un isomorphisme
+$G/H ⥲ \Gal(k'\bo k)$.
+\end{théorème2}
+
+\subsubsection{Démonstration}
+Soit $H⊆G$. Il résulte du lemme d'Artin que l'extension $K\bo \Fix_H(K)$
+est galoisienne de groupe $H$. Réciproquement, si $k'$ est une
+sous-$k$-extension de $K$, l'extension $K\bo k'$ est séparable,
+normale (\ref{sous-extension-normale}) donc
+galoisienne, de groupe $\Gal(K\bo k')$. D'après \ref{KsurG=k}, on a
+$\Fix_{\Gal(K\bo k')}K=k'$. Ceci établit la correspondance
+de Galois. La décroissance de ces applications est évidente.
+
+
+Vérifions le dernier point. Soit $k'$ une sous-$k$-extension
+de $K$ et notons $H=\Gal(K\bo k')$ le sous-groupe de $G$ correspondant de sorte
+que $k'=\Fix_H(K)$.
+Soit $Ω$ une clôture algébrique de $K$. Puisque $K\bo k$
+est normale et contient $k'$, l'inclusion $\Hom_k(k',K)→\Hom_k(k',Ω)$
+est une bijection ; d'autre part l'application
+$\Gal(K\bo k)=\Hom_k(K,K)→\Hom_k(k',K)$ est une surjection
+(\ref{prolongement-plongement}). Il en résulte
+que tout $k$-plongement $ι:k'↪Ω$ est la restriction d'un élément
+$g∈G$. Ainsi, l'extension $k'\bo k$ est normale \ssi
+pour tout $g∈G$, $g(k')=k'$. Puisque $k'=\Fix_H(K)$,
+cette condition se réécrit : $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$,
+pour tout $g∈G$. Par bijectivité de l'application $H↦\Fix_H(K)$,
+on a $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$ \ssi $gHg^{-1}=H$.
+Le groupe $H$ est donc distingué dans $G$.
+Enfin, si $k'\bo k$ est normale, donc galoisienne,
+on a $\Hom_k(k',Ω)=\Gal(k'\bo k)$ de sorte
+que l'application (surjective) de restriction $\Hom_k(K,Ω)→\Hom_k(k',Ω)$
+s'identifie à une application $G=\Gal(K\bo k)→\Gal(k'\bo k)$, dont
+on vérifie immédiatement que c'est un morphisme de groupes. Son noyau
+étant l'ensemble $\Gal(K\bo k')$ des applications $k'$-linéaires de $G$,
+on a bien $G/H ⥲ \Gal(k'\bo k)$.
+
+
+\subsection{Clôture galoisienne}
+
+À définir et donner construction explicite (cf. p. ex. Bhargava,
+Satriano).
+
+\subsection{Application : le corps des nombres complexes est algébriquement clos}
+
+\begin{théorème2}\label{extensions-complexes-sur-reels}
+L'extension $𝐑→𝐂=𝐑[I]/(I²+1)$ est une extension galoisienne de groupe
+cyclique d'ordre deux engendré par la conjugaison complexe $a+bi↦a-bi$, où $i$ est la classe
+de $I$ dans $𝐂$. Le corps $𝐂$ est algébriquement clos.
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Par construction, l'extension $𝐂\bo 𝐑$ est un corps de rupture
+du polynôme irréductible séparable $X²+1$. Ce polynôme étant de degré deux,
+il est scindé sur $𝐂$ : $X²+1=(X+i)(X-i)$ dans $𝐂[X]$.
+Elle est donc galoisienne, de groupe de cardinal $[𝐂:𝐑]=2$.
+Le groupe $G_{𝐂\bo 𝐑}$ agit par permutation des racines (cf. \refext{CG}{})
+et trivialement sur $𝐑$. Le seul élément non trivial est donc la conjugaison
+complexe.
+
+
+Il reste à démontrer que $𝐂$ est algébriquement clos. La démonstration se fait
+en trois étapes.
+
+\begin{enumerate}
+\item \emph{Toute extension de $𝐑$ de degré impair est triviale.}
+En effet, le corps $𝐑$ étant de caractéristique nulle donc parfait,
+il résulte du théorème de l'élément primitif que toute extension finie
+$K\bo 𝐑$ est un corps de décomposition d'un polynôme irréductible de degré
+$[K:𝐑]$. Or, tout polynôme réel de degré impair a une racine ; il est donc
+irréductible \ssi il est de degré un.
+
+\item \emph{Toute extension finie de $𝐑$ est de degré une puissance de deux.}
+Soit $K\bo 𝐑$ une extension finie et $K'$ une clôture galoisienne de $K$ sur
+$𝐑$. Puisque $[K:𝐑]$ divise $[K':𝐑]$, on peut supposer l'extension $K\bo 𝐑$ galoisienne.
+Soit $S$ un $2$-Sylow de $G=G_{K\bo 𝐑}$. Le corps $\Fix_S(K)$ est de degré
+$[G:S]$ sur $𝐑$ (cf. \refext{CG}{}).
+Ce nombre est impair par hypothèse. D'après ce qui précède, on
+a donc $[G:S]=1$, \cad $G=S$. CQFD.
+
+\item \emph{Toute extension finie de $𝐂$ est triviale.}
+Soit $K\bo 𝐂$ une extension finie. D'après ce qui précède,
+$K\bo 𝐑$ est une extension de degré une puissance de deux ;
+il en est donc de même de $K\bo 𝐂$, que l'on peut supposer galoisienne.
+Supposons l'extension non triviale et considérons
+un sous-groupe $D$ d'indice $2$ dans $G=G_{K\bo 𝐂}$.
+Il est nécessairement distingué dans $G$. L'extension
+$\Fix_D(K)\bo 𝐂$ est de degré $2$. Une telle extension
+est un corps de décomposition d'un polynôme quadratique
+à coefficients complexes. Tout élément de $𝐂$ étant
+un carré dans $𝐂$, un tel polynôme est scindé sur
+$𝐂$ et $\Fix_D(K)=𝐂$. Contradiction.
+\end{enumerate}
+\end{démo}
+
+Dans un chapitre ultérieur, nous axiomatiserons cette démonstration
+dans le cadre de l'étude des « corps réels clos ».
+
+\subsection{Groupe de Galois de l'extension cyclotomique}
+
+Cf. \ref{specialisation-groupe-de-Galois-elementaire}.
+
+\subsection{Fonctorialité : extension des scalaires}
+
+Soit
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+K&K'\\k&k'\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
+\draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+\draw[<-] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+un diagramme commutatif de corps.
+Si $K\bo k$ et $K'\bo k'$ sont galoisiennes, le morphisme de restriction
+(cf. \ref{sous-extension-normale})
+$$\Hom_{k'}(K',K')→\Hom_{k'∩K}(K,K)$$
+$$σ\mapsto σ_{|K}$$
+ induit un morphisme de groupes $\Gal(K'\bo k')→\Gal(K\bo k)$, d'image contenue dans le sous-groupe
+$\Gal(K\bo k'∩K)$. Ce morphisme est \emph{continu} car pour toute sous-$k$-extension galoisienne finie
+$K₀$ de $K$, le noyau du morphisme composé $\Gal(K'\bo k')→\Gal(K\bo k)↠\Gal(K₀\bo k)$ contient
+le sous-groupe \emph{ouvert} $\Gal(K'\bo k'K₀)$.
+
+\begin{convention2}
+Soient $f₁:G₁→H$ et $f₂:G₂→H$ deux morphismes de groupes. On note
+$G₁×_{f₁,H,f₂} G₂$ (ou simplement $G₁×_H G₂$) le sous-groupe
+de $G₁×G₂$ constitué des paires $(g₁,g₂)$ telles que $f₁(g₁)=f₂(g₂)$.
+On l'appelle \emph{produit fibré de $G₁$ et $G₂$ au-dessus de $H$} (cf.
+\refext{Cat}{limite-produit-fibre}). Si les groupes sont des groupes topologiques, les
+applications continues et $H$ \emph{séparé}, le produit fibré est \emph{fermé}
+dans le produit cartésien.
+\end{convention2}
+
+\begin{lemme2}\label{extensions-composees-isomorphes-et-galoisiennes}
+Soient $K\bo k$ une extension galoisienne de groupe $G$,
+et $k'\bo k$ une extension.
+\begin{enumerate}
+\item Les extensions composées de $K$ et $k'$ sur $k$
+sont toutes $k'$-isomorphes.
+\item Elles sont galoisiennes sur $k'$.
+\end{enumerate}
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}[Première démonstration]
+Cela résulte de \ref{gal=corps-dec-sep}, \ref{cb-corps-decomposition}
+et \ref{unicite-extension-decomposition} (cf. aussi \ref{cb-extension-normale}).
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Seconde démonstration (esquisse)]
+L'action $k$-linéaire de $G$ sur $K$ induit une action $k'$-linéaire sur
+l'anneau $A=K⊗_k k'$. Puisque les extensions composées de $K$ et $k'$ sur $k$ sont isomorphes
+aux corps résiduels de cet anneau, il suffit pour démontrer (i) de vérifier que
+$G$ agit transitivement sur $\Spec(K⊗_k k')$.
+Soit ${k'}\alg$ une clôture algébrique de $k'$. Le morphisme
+$\Spec(K⊗_k {k'}\alg)→\Spec(K⊗_k k')$ est surjectif
+(\refext{Ent}{relèvement idéaux} ou \refext{Descente}{fidèle platitude})
+et $G$-équivariant donc on peut supposer $k'$ algébriquement clos.
+Dans ce cas, $A$ est isomorphe comme $k'$-algèbre, munie
+d'une action de $G$, à $\Hom_\cont(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}).
+Le spectre de cette algèbre est canoniquement isomorphe à $G$
+(\refext{Krull}{Spec(Hom(X,k))}) agissant (transitivement) sur lui-même par translation.
+
+De même, la $k$-algèbre $K$ étant étale donc formellement nette, il en est de même
+de la $k'$-algèbre $K⊗_k k'$ (\ref{cb-nets}). Puisque toute extension
+composée $K'$ est un quotient de $K⊗_k k'$, elle est donc étale sur
+$k'$ (\refext{Alg}{etale stable par sous-quotient etc.}).
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}\label{fonctorialite-finie-galois}
+Soient $K\bo k$ une extension galoisienne et $k'\bo k$ une extension.
+Considérons une extension composée $(K',u,u')$ de $K$ et $k'$ sur $k$
+et identifions $K$ et $k'$ à leurs images dans $K'$ par $u$ et $u'$.
+Alors,
+\begin{enumerate}
+\item le morphisme de restriction $\Gal(K'\bo k')→\Gal(K\bo k)$ induit un isomorphisme
+(dit de « translation »)
+$$\Gal(K'\bo k') ⥲ \Gal(K\bo k'∩K);$$
+\item si $k'\bo k$ est galoisienne, les extensions $k'∩K\bo k$ et $K'\bo k$ le
+sont également et le morphisme de double restriction
+$\Gal(K'\bo k)→\Gal(K\bo k)× \Gal(k'\bo k)$
+induit un \emph{isomorphisme}
+$$
+\Gal(K'\bo k) ⥲ \Gal(K\bo k)×_{\Gal(k'∩K\bo k)} \Gal(k'\bo k);
+$$
+\item si $k'\bo k$ est galoisienne et $k=k'∩K$, le
+morphisme de double restriction
+$$
+\Gal(K'\bo k)→\Gal(K\bo k)×\Gal(k'\bo k)
+$$
+est un isomorphisme.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+Le (iii) est un cas particulier du (ii).
+%Rappelons que $K'$ est parfois noté $Kk'$ (cf. \ref{Kk'-pas-can})
+
+\XXX Éventuellement donner corollaire $G=G₁×G₂$.
+
+Avant de commencer la démonstration, faisons un diagramme récapitulatif
+des corps intervenant dans la proposition :
+
+$$
+\xymatrix{
+K \ar[rr]^{u} & & K'=Kk' \\
+& k'∩K \ar[ul] \ar[rd] \ar[ur] & \\
+k \ar[rr] \ar[uu] \ar[ur] & & k' \ar[uu]^{u'}
+}
+$$
+
+%\begin{center}
+%\begin{tikzpicture}[auto]
+%\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+%K& & K'=Kk'\\ & K\cap k' & \\ k & & k' };
+%\end{tikzpicture}
+%\end{center}
+
+\begin{démo}
+(i) L'injectivité résulte de l'égalité $K'=k'[K]$ : si un automorphisme $k'$-linéaire
+de $K'$ agit trivialement sur $K$, il agit trivialement sur $K'$. Le morphisme
+de restriction étant continu de source le groupe \emph{compact} $G_{K'\bo k'}$,
+son image est un sous-groupe \emph{fermé} de $\Gal(K\bo k'∩K)$.
+D'après la correspondance de Galois infinie, montrer la surjectivité revient
+à prouver que $\Fix_{\Gal(K'\bo k')}(K)=k'∩K$. Cette égalité
+est conséquence immédiate de la suivante : $\Fix_{\Gal(K'\bo k')}(K')=k'$ (lemme
+d'Artin).
+
+(ii) Supposons $k'\bo k$ galoisienne. L'extension $k'∩K\bo k$ (resp. $K'\bo k$)
+est algébrique séparable car c'est une sous-extension (resp. une extension composée)
+de l'extension algébrique séparable $K\bo k$ (resp. des extensions
+algébriques séparables $K'\bo k$ et $k'\bo k$). L'extension $k'∩K\bo k$
+(resp. $K'\bo k$) est normale d'après \ref{inter-normales=normale}
+(resp. \ref{cb-extension-normale}).
+
+L'injectivité du morphisme de double restriction résulte
+à nouveau de l'égalité $K'=kK'$. Le fait que son image soit
+contenue dans le produit fibré de l'énoncé est immédiat : un $k$-automorphisme
+de $K'$ induit des automorphismes de $K$ et $k'$ qui coïncident sur $k'∩K$.
+Réciproquement, considérons un élément $(σ_K,σ_{k'})$ du produit fibré,
+\cad une paire automorphismes $k$-linéaires $σ_K:K→K$ et
+$σ_{k'}:k'→k'$ telle que ${σ_K}_{|K∩k'}={σ_{k'}}_{|k'∩K}$.
+On souhaite montrer qu'ils proviennent d'un automorphisme
+$K'→K'$, \cad que $σ_K$ et $σ_{k'}$ s'étendent de façon compatible à $K'=Kk'$.
+L'élément $(σ_K,σ_{k'})$ induit un isomorphisme
+$σ=σ_K⊗σ_{k'}:K⊗_k k'→K⊗_k k'$ ; on souhaite
+montrer que l'application composée $K⊗_k k'→K⊗_k k'\dessusdessous{u,u'}{↠}K'$ se
+factorise à travers le quotient $K'$ de la source.
+Par hypothèse, l'isomorphisme $σ$ est $k'∩K$-linéaire ;
+il induit donc un isomorphisme $\tilde{σ}:K⊗_{k'∩K} k'⥲ K⊗_{k'∩K} k'$.
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[auto]
+\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
+K⊗_k k' & K⊗_k k'\\
+K⊗_{k'∩K} k' & K⊗_{k'∩K} k' \\
+K' & K'\\};
+\draw[->] (diag-1-1) -- node{$σ$} (diag-1-2);
+\draw[->] (diag-2-1) -- node{$\tilde{σ}$} (diag-2-2);
+\draw[->] [densely dotted] (diag-3-1) -- (diag-3-2);
+\draw[->>] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
+\draw[->>] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
+\draw[->>] (diag-2-1) -- (diag-3-1);
+\draw[->>] (diag-2-2) -- (diag-3-2);
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+D'après le (ii) du lemme ci-dessous, l'application canonique
+$K⊗_{k'∩K} k'→ K'$ (donnée par $u$ et $u'$) est un isomorphisme
+de sorte que $σ$ induit bien un isomorphisme $K' ⥲ K'$.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme3}\label{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes}
+Soient $Ω\bo k$ une extension de corps et $K₁,K₂$ deux sous-$k$-extensions.
+\begin{enumerate}
+\item Si $K₁⊗_k K₂$ est un corps, $K₁∩K₂=k$.
+\item Si $K₁\bo k$ est galoisienne et $K₁∩K₂=k$, le produit tensoriel $K₁⊗_k K₂$ est un \emph{corps}.
+\end{enumerate}
+\end{lemme3}
+
+\begin{démo}
+(i) Soit $K=K₁∩K₂$ et considérons $x∈K$. L'élément $1⊗x-x⊗1$ de $K₁⊗_k K₂$ est d'image nulle par l'application
+produit dans le corps $Ω$. Si $K₁⊗_k K₂$ est un corps, une telle application est
+nécessairement injective, si bien que $1⊗x-x⊗1$ est nul dans $K₁⊗_k K₂$ donc
+dans le sous-anneau $K⊗_k K$ auquel il appartient.
+Or, si $x∉k$, les vecteurs $v₁=1$ et $v₂=x$ de $K$ sont linéairement indépendants sur $k$
+si bien que les tenseurs purs $v₁⊗v₂$ et $v₂⊗v₁$ sont $k$-linéairement indépendants dans
+$K⊗_k K$.
+
+(ii) L'égalité $K₁⊗_k K₂=⋃ K₁'⊗_k K₂$, où $K₁'$ parcourt les sous-$k$-extensions finies
+galoisiennes de $K₁$ et $K₁'⊗_k K₂$ est identifié à son image par le morphisme
+injectif $K₁'⊗_k K₂↪K₁⊗_k K₂$ déduit de $K₁'↪K₁$, nous permet de supposer
+l'extension $K₁\bo k$ \emph{finie} galoisienne.
+Sous cette hypothèse, elle est monogène : $K₁≃k[X]/f$ où $f$ est unitaire,
+irréductible sur $k$, et scindé sur $K₁$ car $K₁\bo k$ est normale.
+On souhaite montrer que sous l'hypothèse $K₁∩K₂=k$,
+le produit tensoriel $K₁⊗_k K₂≃K₂[X]/f$ est un corps.
+Soit $g$ unitaire divisant $f$ dans $K₂[X]$.
+Il est unitaire scindé sur $K₁$ donc appartient à $K₁[X]$.
+Ainsi, $g∈K₂[X]∩K₁[X]=k[X]$ donc $g=f$ ou $g=1$ : le polynôme
+$f$ est donc irréductible dans $K₂[X]$. CQFD.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+L'argument d'algèbre linéaire donné en (i) montre que quelles que soient les
+extensions $K₁\bo k$ et $K₂\bo k$ on a l'égalité $K₁∩K₂=k$
+dans l'anneau $A=K₁⊗_k K₂$, où $K₁$ (resp. $K₂$) est identifié
+à son image par l'injection $K₁→A$, $λ₁↦λ₁⊗1$ (resp. $K₂→A$, $λ₂↦1⊗λ₂$).
+\end{remarque2}
+
+
+\subsection{Exercices}
+
+\begin{exercice2}\label{isom-non-cont}
+Exemple de groupe profini $G$ et d'un isomorphisme $G→G$
+non continu.
+%Montrer que si $f:\FF₂^{(𝐍)}→\FF₂^{(𝐍)}$ est un isomorphisme
+%non continu, sa transposée est un isomorphisme non continu
+%de $\FF₂^𝐍→\FF₂^𝐍$. (\XXX David pense que c'est vrai.)
+\end{exercice2}
+
+\begin{exercice2}
+[Mettre ce qui peut l'être sous forme d'exercice\XXX]
+Pour tout groupe $G$, on note $\chap{G}$ son \emph{complété profini}.
+La flèche $\chap{G}→\chap{\chap{G}}$ n'est pas toujours un isomorphisme.
+De même, si $G$ est un groupe profini, $G→\chap{G}$ n'est pas toujours un isomorphisme.
+Cependant, c'est vrai si $G$ est topologiquement de type fini (utilise classification des
+groupes finis simples). [Cf. Bardavid, « Profinite… »]
+\end{exercice2}
+
+\begin{exercice2}
+Soient $k$ un corps muni de la topologie discrète, $G$ un groupe topologique
+et $A$ la $k$-algèbre des fonctions continues (\cad localement constantes) de $G$ dans $k$.
+On fait agir $G$ sur $A$ par translation à droite sur les fonctions.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que $\Fix_G(A)=k$.
+\item Montrer que si $G→\Spec(A)$ n'est pas un isomorphisme,
+le groupe $G$ n'agit pas transitivement sur $\Spec(A)$.
+\item Vérifier que si $G$ et le groupe non compact $𝐐/𝐙$, $\Spec(A)$ contient strictement $G$.
+\end{enumerate}
+
+On verra plus tard (\ref{}) que si l'on considère un groupe \emph{fini}
+$G$, agissant sur un anneau $A$, l'action de $G$ est transitive sur les fibres
+du morphisme $\Spec(A)→\Spec(\Fix_G(A))$.
+\end{exercice2}
+
+
+\begin{exercice2}
+Soit $G$ un groupe profini agissant fidèlement sur un corps $K$.
+Montrer que si l'action est \emph{admissible}, l'extension $K\bo \Fix_G(K)$ est
+galoisienne de groupe $G$.
+\end{exercice2}
+
+\begin{exercice2}
+Soit $K\bo k$ une extension galoisienne de groupe $G₁×G₂$.
+Posons $K₁=\Fix_{G₂}(K)$ et $K₂=\Fix_{G₁}(K)$.
+\begin{enumerate}
+\item Montrer que $K₁ ∩ K₂=k$.
+\item Démontrer explicitement que $K=K₁K₂$ \XXX.
+\end{enumerate}
+\end{exercice2}
+
+
+\ifx\danslelivre\undefined
+\bibliography{bibliographie-livre}
+\bibliographystyle{style-bib-livre}
+\end{document}
+\fi