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Tout morphisme +$k$-linéaire $ι:k'→Ω$ s'étend en un $k$-morphisme $σ_ι:Ω→Ω$. +Tout $k$-morphisme $Ω→Ω$ est un isomorphisme. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +L'existence d'un $k$-morphisme $Ω→Ω$ étendant $ι$ +résulte du lemme de prolongement des plongements +(\refext{Alg}{plongement-dans-cloture-algebrique}). +La surjectivité d'un $k$-morphisme $f:Ω→Ω$ +est conséquence du fait que $f(Ω)$ est une clôture algébrique +de $k$, contenue dans $Ω$, donc nécessairement égale à $Ω$. +(Voir aussi \ref{Hom=Aut} \emph{infra} pour une généralisation.) +\end{démo} + +\begin{remarque2} +Une telle extension est non unique en général. Nous verrons +plus tard qu'elle est unique \ssi $Ω$ est \emph{radiciel} sur $k'$. +\end{remarque2} + +\begin{corollaire2}\label{caracterisation-conjugaison} +Soient $x,y∈Ω$ et $k'$ un sous-corps de $Ω$ contenant $k(x)$. +Les éléments $x$ et $y$ sont conjugués sur $k$ \ssi +il existe un $k$-plongement $ι:k'→Ω$ tel que $ι(x)=y$. +\end{corollaire2} + +\begin{proposition2} +Deux éléments de $Ω$ sont conjugués sur $k$ +\ssi ils ont même polynôme minimal sur $k$. +\end{proposition2} + + +\begin{démo}Soient $x$ et $y$ deux éléments conjugués : $y=σ(x)$ +où $σ∈\Aut_k(Ω)$. En appliquant $σ$ à l'identité +$μ_{x,k}(x)=0$, on obtient : +$$0=σ\big(μ_{x,k}(x)\big)=μ_{x,k}\big(σ(x)\big)=μ_{x,k}(y).$$ +(La seconde égalité résulte de la $k$-linéarité de $σ$.) +Il en résulte que $y$ est racine de $μ_{x,k}$. Ce dernier étant +unitaire, irréductible sur $k$, on a $μ_{y,k}=μ_{x,k}$. +Réciproquement, si $x$ et $y$ sont deux éléments de $Ω$ +tels que $μ_{x,k}=μ_{y,k}$, le +morphisme composé +$$ +k(x) ⥲ k_{μ_{x,k}}=k_{μ_{y,k}} ⥲ k(y)↪Ω, +$$ +envoie $x$ sur $y$. La seconde (resp. première) flèche +est induite par l'isomorphisme canonique (resp. son +inverse) $k_{μ_{z,k}} ⥲ k(z)$, $X \mod μ_{z,k}\mapsto z$, +où $z=y$ (resp. $z=x$). +\end{démo} + +\begin{corollaire2}\label{conjugues=racines} +L'ensemble des conjugués sur $k$ d'un élément $x$ de $Ω$ coïncide +avec l'ensemble des racines dans $Ω$ de son polynôme minimal $μ_{k,x}$. +Cet ensemble est fini, de cardinal inférieur ou égal +à $\deg μ_{k,x}=[k(x):k]$. L'égalité a lieu \ssi +$x$ est séparable sur $k$. +\end{corollaire2} + +Le nombre de racines distinctes dans $Ω$ d'un polynôme non nul étant égal au degré +de ce polynôme \ssi ses racines sont simples, la remarque +sur le cas d'égalité est évidente. + +\begin{proposition2}\label{Hom=Aut} +Soit $k'\bo k$ une extension algébrique. +L'inclusion $\Aut_k(k')→\Hom_k(k',k')$ est une bijection. +En d'autres termes, tout $k$-plongement $ι:k'→k'$ est +surjectif. +\end{proposition2} + +Remarquons que ce résultat est trivial si $k'$ est fini +sur $k$ : toute application $k$-linéaire injective $k'→k'$ +est surjective. + +\begin{démo} +Soient $x'∈k'$, $μ=μ_{x',k}$ son polynôme minimal sur $k$ +et $R$ l'ensemble des racines de $μ$ \emph{dans $k'$}. Cet ensemble +est fini et $ι$ envoie $R$ dans $R$. L'application $ι$ étant +injective, elle est bijective sur $R$ ; il existe donc +$y'∈R⊆k'$ tel que $x'=ι(y')$. +\end{démo} + +\subsection{Extensions normales} + +Avant d'énoncer le résultat principal de ce paragraphe, +faisons la convention suivante. + +\begin{convention2}\label{KtensK=K-algebre} +Soit $K\bo k$ une extension de corps. Sauf mention +du contraire, l'anneau $K⊗_k K$ sera muni de la structure de $K$-algèbre, +$λ\mapsto 1⊗λ$. En d'autres termes, on considère +la $K$-algèbre $K'⊗_k K$ obtenue par \emph{changement +de base} de $k$ à $K$ dans le cas particulier où $K'=K$. +\end{convention2} + +\begin{proposition2}\label{caracterisation-extension-normale} +Soit $K\bo k$ une sous-extension de $Ω$. +Les conditions suivantes sont équivalentes : +\begin{enumerate} +\item pour tout $k$-plongement $ι:K↪Ω$, on a $ι(K)⊆K$ ; +\item l'inclusion naturelle +$\Aut_k(K)\dessusdessous{\tiny{\ref{Hom=Aut}}}{=}\Hom_k(K,K)↪\Hom_k(K,Ω)$ est une bijection ; +\item pour tout $x∈K$, le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est +scindé sur $K$ ; +\item pour tout $x∈K$, les $k$-conjugués de $x$ dans $Ω$ appartiennent à +$K$ ; +\item pour tout $𝔭∈\Spec(K⊗_k K)$, l'extension résiduelle +$κ(𝔭)\bo K$ est triviale. +\end{enumerate} +\end{proposition2} + +\begin{remarques2} +La condition (v) signifie que l'on « tue » les extensions +résiduelles en étendant les scalaires de $k$ à $K$. +Elle signifie également que les extensions composées +de $K$ avec $K$ sur $k$ sont toutes $k$-isomorphes +à $K$ (cf. \ref{extensions-composees-isomorphes-et-galoisiennes} et \ref{Kk'-pas-can}, p. \pageref{Kk'_pas_can}.) + +Puisque les conditions (iii) et (v) ne font pas intervenir $Ω$, +les conditions (i), (ii) et (iv) sont indépendantes du choix +de la clôture algébrique de $k$ dans laquelle on plonge $K$. + +Enfin, signalons que la condition (iii) est équivalente +à la variante suivante : +\begin{quote} +(iii)' tout polynôme irréductible de $k[X]$ +ayant une racine dans $K$ est scindé sur $K$. +\end{quote} +De même, la condition (i) est équivalente à +la variante suivante : +\begin{quote} +(i)' pour tout $k$-automorphisme $σ$ de $Ω$, on a $σ(K)⊆K$. +\end{quote} +\end{remarques2} + +\begin{définition2}\label{extension-normale} +On dit qu'une extension algébrique $K\bo k$ est \emph{normale} ou +\emph{quasi-galoisienne} si les conditions de la proposition +précédentes sont satisfaites. +\end{définition2} + +\subsubsection{Démonstration de la proposition} +(i)⇔(ii) : clair. (iii)⇔(iv) : résulte de \ref{conjugues=racines}. +L'équivalence entre les conditions (i)--(ii) et les conditions (iii)--(iv) +est une conséquence immédiate de \ref{caracterisation-conjugaison} +et du fait que $K$ est la réunion de ses sous-$k$-extensions monogènes. +Il reste à démontrer l'équivalence de (v) et (i). +Commençons par un lemme général. + +\begin{lemme3}\label{points-algebre-entiere} +Soient $K\bo k$ une sous-extension de $Ω\bo k$ et $A$ une $K$-algèbre. +\begin{enumerate} +\item L'application « noyau » $\Hom_K(A,K)=A^{\japmath{田}}(K)→\Spec(A)$, $φ↦𝔭_φ=\Ker(φ)$ est +injective. +\item Si $A\bo K$ est \emph{entière} (\refext{Alg}{entiers cas +corps}), l'application « noyau » $\Hom_K(A,Ω)=A^{\japmath{{\japmath{田}}}}(Ω)→\Spec(A)$ est +surjective et $\Spec(A)=\Specmax(A)$. +\end{enumerate} +L'injection $A^{\japmath{{\japmath{田}}}}(K)↪A^{\japmath{{\japmath{田}}}}(Ω)$ est une bijection +\ssi pour tout $𝔭∈\Spec(A)$, le morphisme $K→ κ(𝔭):=A/𝔭$ est +un isomorphisme. +\end{lemme3} + +\begin{démo} +(i) Mis pour mémoire (cf. \refext{Spec}{points +rationnels et ideaux maximaux}). + +(ii) En toute généralité (\cad sans utiliser l'hypothèse d'intégralité +de $A\bo k$ ni le fait que $Ω$ soit une clôture algébrique de $k$), +la fibre de l'application noyau au-dessus de $𝔭∈\Spec(A)$ +est, par propriété universelle du quotient, en bijection avec l'ensemble +$\Hom_K(A/𝔭,Ω)$. La $k$-algèbre $A$ étant entière, +il en est de même de son quotient intègre $A/𝔭$. Cet anneau +est donc un corps (\refext{Alg}{polynome minimal}). Ainsi, la fibre au-dessus +de $𝔭$ est l'ensemble $\Hom_K(κ(𝔭),Ω)$, où $κ(𝔭)\bo K$ est algébrique. +La conclusion résulte du lemme de prolongement des +plongements (\refext{Alg}{plongement-dans-cloture-algebrique}). + +Le dernier point est évident. +\end{démo} + +Si l'on applique le lemme précédent à la $K$-algèbre $K⊗_k K$ +(entière d'après \refext{Alg}{entier sur corps stable par cb}), +on obtient l'équivalence entre la condition (v) et la condition +\begin{quote} +(v)' : $\Hom_K(K⊗_k K,K)=(K⊗_k K)^{\japmath{{\japmath{田}}}}(K)↪\Hom_K(K⊗_k K,Ω)=(K⊗_k K)^{\japmath{{\japmath{田}}}}(Ω)$ est une bijection. +\end{quote} +(En d'autres termes : « les $Ω$-points de $K⊗_k K$ sont rationnels ».) + + +Le lemme ci-dessous, appliqué à $B=K$ et $B=Ω$, identifie cette application +à l'application $A^{\japmath{{\japmath{田}}}}(K)↪A^{\japmath{{\japmath{田}}}}(Ω)$ (càd $\Aut_k(K)↪\Hom_K(K,Ω)$). Les conditions +(v)' et (ii) sont donc équivalentes. + +\begin{lemme3} +Soient $k$ un corps, $K\bo k$ une extension et $B$ une $K$-algèbre. +\begin{enumerate} +\item L'application $\Hom_k(K,B)→\Hom_K(K⊗_k K,B)$, +$ι\mapsto \big(φ_ι:λ⊗μ \mapsto ι(λ)\cdot μ\big)$ +est une bijection. +\item Pour tout morphisme de $K$-algèbres $B→B'$ le diagramme + +\begin{tikzpicture}[auto] +\matrix(diagr)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex] +{ +% première ligne +(λ⊗μ↦σ(λ)μ) & \Hom_k(K⊗_k K,B) & \Hom_K(K⊗_k K,B') & (λ⊗μ↦ι(λ)μ) \\ +% seconde ligne +σ & \Hom_k(K,B) & \Hom_k(K,B') & ι\\ +}; +\draw[->] (diagr-1-1) -- (diagr-1-2); + +\end{tikzpicture} +est commutatif. +\end{enumerate} +\end{lemme3} + +\begin{démo} +(i) L'application inverse est $φ\mapsto \big(ι_φ:λ\mapsto φ(λ⊗1_B)\big)$. +(Ce résultat est un cas particulier de l'adjonction +entre « extension des scalaires » et « restriction des scalaires » ; cf. + \refext{Tens}{}.) +(ii) Évident. +\end{démo} + +Si $K\bo k$ est algébrique et $G=\Aut_k(K)$, l'application +$G→\Hom_K(K⊗_k K,K)$ du lemme précédent +n'est autre que l'application $g\mapsto (λ⊗μ↦g(λ)μ)$. +Le lemme \ref{points-algebre-entiere} a donc pour conséquence +le : +\begin{lemme2}\label{points-KtensK} +Soient $K\bo k$ une extension algébrique et $G$ +le groupe $\Aut_k(K)$. L'extension $K\bo k$ est normale +\ssi l'application +$$ +G → \Spec(K⊗_k K)$$ +$$ +g\mapsto 𝔭_g:=\Ker\big(m_g:λ⊗μ\mapsto g(λ)\cdot μ\big) +$$ +est une bijection. +\end{lemme2} + +Signalons que dans ce cas particulier, l'injectivité de l'application +$G→\Spec(K⊗_k K)$ est claire : si $g(λ)≠g'(λ)$, +l'élément $λ⊗1-1⊗g(λ)$ appartient à $𝔭_g$ mais +pas à $𝔭_{g'}$. + +\begin{proposition2}\label{sous-extension-normale} +Soient $K\bo k$ une extension normale et $k'$ une sous-$k$-extension. +L'extension $K\bo k'$ est normale. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +On vérifie immédiatement que l'application $K⊗_k K → K⊗_{k'} K$, +déduite de l'application $k$-bilinéaire $K×K→K⊗_{k'} K$, $(λ,μ)\mapsto λ⊗μ$ +est \emph{surjective} et que c'est un morphisme de $K$-algèbres. +Par hypothèse les extensions résiduelles de la $K$-algèbre +source $K⊗_k K'$ sont triviales ; il en est donc de même de son +quotient $K⊗_{k'} K$. +\end{démo} + + +\begin{exemples2} +\begin{enumerate} +\item La sous-extension $𝐐(\sqrt[3]{2})\bo 𝐐$ de $𝐂$ n'est \emph{pas} normale : +les éléments $j\sqrt[3]{2}$ et $\sqrt[3]{2}$ ont même polynôme minimal +$X³-2$ sur $𝐐$ mais $j\sqrt[3]{2}∉𝐐(\sqrt[3]{2})$. +\item Par définition, toute extension de décomposition d'un polynôme $f∈k[X]$ +est normale. +\item L'extension $Ω\bo k$ est normale. +\end{enumerate} +\end{exemples2} + +\begin{proposition2}\label{normal=corps-dec} +Soit $(f_i)_{i∈I}$ une famille de polynômes à coefficients dans $k$. +Tout corps de décomposition sur $k$ des $(f_i)_{i∈I}$ +est une extension normale de $k$. Réciproquement, +toute extension normale est un corps de décomposition sur $k$ +des polynômes minimaux de ses éléments. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Soit $R_f$ l'ensemble des racines des $f_i$ dans $Ω$. +Par unicité de la $k$-extension de décomposition (\ref{unicite-extension-decomposition}), +il suffit de démontrer que l'extension $K=k(R_f)\bo k$ est normale. +Or, pour tout $k$-morphisme $ι$ de $K$ dans $Ω$, +on a $ι(R_f)⊆R_f$ donc $ι(K)⊆K$. CQFD. +\end{démo} + +\begin{corollaire2}\label{cb-extension-normale} +Soient $K\bo k$ une extension normale et $k'\bo k$ une extension quelconque. +Alors, +\begin{enumerate} +\item les extensions composées $K$ et $k'$ sur $k$ sont toutes $k'$-isomorphes ; +\item elles sont normales sur $k'$. +\end{enumerate} +De plus, si $k'\bo k$ est normale, elles sont normales sur $k$. +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +Si $K$ est un corps de décomposition sur $k$ d'une famille de polynôme +$f_i$, $i∈I$, toute extension composée $K'$ est un corps de décomposition +des $f_i$ sur $k'$ (\ref{cb-corps-decomposition}). +Les deux premières assertions résultent de la proposition précédente +et de \ref{unicite-extension-decomposition}. + +Supposons maintenant $k'\bo k$ normale. Fixons des plongements de $K$ et +$k'$ dans $Ω$ et considérons $K'=Kk'$ dans $Ω$. Si suffit de montrer que $K'\bo k$ +est normale car toute extension composée sur $k$ de $K$ et $k'$ lui est $k$-isomorphe. +Soit $σ$ un $k$-automorphisme de $Ω$. Puisque $σ(k')⊆k'$ et $σ(K)⊆K$, on a bien +$σ(K')⊆K'$. +\end{démo} + +\begin{miseengarde2} +Soient $L\bo K$ et $K\bo k$ deux extensions normales. Il n'est pas vrai en général que +l'extension $L\bo k$ soit normale (cf. exercice \ref{} \XXX). +\end{miseengarde2} + +\begin{proposition2}\label{inter-normales=normale} +Soient $K\bo k$ une extension et $(K_i)_{i∈I}$ une famille de sous-$k$-extensions normales. +L'extension $⋂_{i∈I}K_i\bo k$ est normale. +\end{proposition2} + +\begin{démo} +Cela résulte immédiatement du critère (iii) de normalité : si un polynôme +à coefficients dans $k$ est scindé sur $K_i$ pour tout $i$, il est scindé +sur $⋂_i K_i$. +\end{démo} + +\subsubsection{}Étant donné une famille de sous-extensions \emph{normales} $K_i\bo k$ de $Ω$, +on a vu ci-dessus le corps $K=⋂_i K_i$ est également normal sur $k$. +Si $X$ est une partie quelconque de $Ω$, +il existe donc un plus petit sous-corps de $Ω$ la contenant +et normal sur $k$. (Rappelons que l'extension $Ω\bo k$ est normale.) +On vérifie sans peine qu'il coïncide +avec le corps engendré sur $k$ par les conjugués +des éléments de $X$ ou bien encore avec le corps +de décomposition sur $k$ contenu dans $Ω$ des polynômes minimaux +des éléments de $X$. + +On l'appelle \emph{extension normale engendrée +par $X$} ou bien, si $X$ est un corps $k'$ contenant $k$, +\emph{clôture normale de l'extension $k'\bo k$ dans $Ω$}. +Plus généralement, on appelle clôture normale d'une extension +algébrique $k'\bo k$ toute extension $K/k'$ qui soit +normale sur $k$ et minimale pour cette propriété. Puisque +qu'un tel corps $K$ se plonge dans $Ω$, il est aisé de vérifier +que deux clôtures normales d'une même extension algébrique $k'\bo k$ +sont $k'$-isomorphes. + +\subsection{Extensions galoisiennes et groupe de Galois} + +\begin{définition2}\label{extension-galoisienne} +Une extension algébrique $K\bo k$ est dite \emph{galoisienne} +si elle est normale et séparable. \end{définition2} + +\begin{lemme2}\label{gal=corps-dec-sep} +Une extension est galoisienne \ssi elle est isomorphe au +corps de décomposition d'une famille de polynômes séparables. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +Une extension galoisienne est normale ; elle +est donc un corps de décomposition des polynômes minimaux de ses éléments. +D'autre part, puisque qu'elle est séparable, ces polynômes sont (par définition) +séparables. + +Réciproquement, un corps de décomposition est toujours +normal (\ref{normal=corps-dec}). D'autre part, le +corps de décomposition d'une famille de polynômes séparables +est séparable (\ref{dec-poly-sep=sep}). +\end{démo} + + +\begin{proposition2}\label{galois=autodiag} +Soient $K\bo k$ une extension \emph{finie} +et $G=\Aut_k(K)$. +L'extension $K\bo k$ est galoisienne +\ssi le morphisme +$$ +K⊗_k K→∏_{g∈G} K=\Hom_{\Ens}(G,K) +$$ +$$ +λ⊗μ \mapsto \big(g(λ)\cdot μ\big)_{g} +$$ +est un isomorphisme. +\end{proposition2} + +Autrement dit : une extension est galoisienne si elle se diagonalise elle-même. +Pour une variante dans le cas non nécessairement fini, cf. \ref{}. + +\begin{démo} +Soit $K\bo k$ finie galoisienne. Considérons la $K$-algèbre +$A=K⊗_k K$ obtenue par changement de base. Elle est réduite +car $K\bo k$ est étale donc géométriquement réduite. +D'après le théorème de structure des algèbres réduites finies sur +un corps (\ref{structure-algebre-finie-reduite}) +la surjection canonique $A→∏_{𝔭∈\Spec(A)} κ(𝔭)$ est +donc un isomorphisme. D'autre part, $K\bo k$ étant +normale, les idéaux premiers de $A$ sont +de la forme $\Ker(λ⊗μ↦g(λ)μ)$ pour un unique $g∈G$ (cf. \ref{points-KtensK}). +La surjection canonique s'identifie donc l'application +de l'énoncé. + +Réciproquement, si l'application de l'énoncé +est un isomorphisme, l'extension $K\bo k$ est normale +car elle satisfait visiblement au critère (v) et +la $k$-algèbre finie $K$ est étale +car potentiellement diagonalisable. +\end{démo} + +\begin{corollaire2}\label{indépendance linéaire des automorphismes} +Soient $K\bo k$ une extension finie galoisienne. +Les automorphismes $g∈G=\Hom_k(K,K)$, +vus comme éléments du $K$-espace vectoriel +$\End_{k\traitdunion\mathrm{ev}}(K)$, sont $K$-linéairement indépendants. +\end{corollaire2} + +Pour une généralisation, cf. exercice \ref{théorème de Dedekind}. + +\begin{démo}[Première démonstration] +L'existence d'une famille $(μ_g)_{g∈G}$ d'éléments +de $K$ tels que pour tout $λ∈K$, on ait $∑_{g} μ_g g(λ)=0$ +est équivalente, d'après la proposition précédente, +au fait que la partie $K⊗_k 1$ soit contenue dans un +$K$-hyperplan de la $K$-algèbre $K⊗_k K$ +(cf. \ref{KtensK=K-algebre}). Cette partie +étant trivialement génératrice sur $K$, +il n'en est rien. +\end{démo} + +\begin{démo}[Seconde démonstration] +Raisonnons par l'absurde. +Soit $(μ_g)_{g∈E⊆G}$ une famille de cardinal minimal +telle que $∑_{g∈E} μ_g g=0$. Pour tout $x∈K$, +la relation précédente entraîne, par multiplicativité +des $g∈G$, $∑_{g∈E} (μ_g g(x)) g=0$. D'autre part, en multipliant +la relation initiale par $g'(x)$ où $g'∈G$, et en faisant la différence +on obtient : +\[ +∑_{g∈E} \big(μ_g(g'(x)-g(x))\big) g=0. +\] +Le coefficient de $g'$ est nul. Quitte à choisir $x∈G$ +tel que $g'(x)$ soit différent de $g(x)$ pour au moins un $g∈E$, +on obtient une relation de dépendance non triviale, qui + viole la condition de minimalité de $\# E$. +(Voir aussi l'exercice \ref{indépendance linéaire caractères}.) +\end{démo} + +\begin{démo}[Troisième démonstration (esquisse)] +Il suffit de démontrer ce résultat après extension des scalaires de $k$ à $K$. +Il résulte de la proposition précédente que pour chaque $g∈G$, +l'élément $g⊗_k K$ de $\End_{K\traitdunion\mathrm{ev}}(K⊗_k K)$ +correspond, via l'isomorphisme $\End_{K\traitdunion\mathrm{ev}}(K⊗_k K)⥲ +\End_{K\traitdunion\mathrm{ev}}(\Hom_{\Ens}(G,K))$ à l'opérateur +de \emph{translation} : +\[ +T_g:(x_h)_{h∈G}↦(x_{hg})_{h∈G}. +\] +Or, si $∑_g μ_g T_g=0$, on a $∑_g μ_g T_g(e₁)=(μ_g)_g=0$, où +$e₁∈\Hom_\Ens(G,K)$ est l'idempotent correspondant à l'identité de $G$. +\end{démo} + +\begin{définition2}\label{définition groupe Galois} +Soit $K\bo k$ une extension galoisienne. On appelle +\emph{groupe de Galois} \index{groupe de Galois} de l'extension $K\bo k$ +le groupe $\Aut_k(K)$. On le note indifféremment $\Gal(K\bo k)$ +ou $G_{K\bo k}$. Une extension $K\bo k$ +est dite \emph{galoisienne de groupe $G$} si +elle est galoisienne et si le groupe $\Gal(K\bo k)$ +est isomorphe à $G$. +\end{définition2} + +Si $K$ est une clôture séparable de $k$, le groupe +de Galois correspondant est appelé « groupe de Galois +absolu »\index{groupe de Galois absolu}, ou plus simplement « groupe de Galois », de $k$. +Il résulte du théorème de Steinitz qu'il ne dépend, à isomorphisme +près, que de $k$ (cf. \ref{digression choix point base}). + +\begin{lemme2} +Si $K\bo k$ est \emph{finie} galoisienne, +on a $\# G_{K\bo k}=[K:k]$. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +Cela résulte également de la proposition précédente car $\dim_k(K)=\dim_K(K⊗_k K)$. +\end{démo} + +\begin{convention2} +Soit $X$ un ensemble muni d'une action d'un groupe $G$. +On note $\Fix_G(X)$ l'ensemble +de points de $X$ fixes sous l'action de $G$ : +$$\Fix_G(X)=\{x∈X: g\cdot x=g\ \text{pour tout\ }g∈G\}.$$ +\end{convention2} + +Remarquons que la notation $X^G$ pour $\Fix_G(X)$, quoique commode et extrêmement répandue, +est ambiguë car $X^G$ désigne aussi classiquement l'ensemble des applications de $G$ dans $X$. + +\begin{proposition2}\label{KsurG=k} +Soit $K\bo k$ est extension galoisienne de groupe $G$. +L'inclusion canonique $k→\Fix_G(K)$ est une bijection. +\end{proposition2} + +Le fait que $k$ soit contenu dans $\Fix_G(K)$ est équivalent +à la $k$-linéarité des éléments de $G$. + +\begin{démo}[Première démonstration] +Il s'agit de démontrer que pour tout $x∈K-k$, il existe $σ∈G$ +tel que $σ(x)≠x$. Puisque $x$ est séparable sur $k$, il +a exactement $[k(x):k]$ conjugués sur $k$ dans $Ω$ (\ref{conjugues=racines}). Soit $y$ l'un d'entre +eux. Par définition, il existe un $σ∈G$ tel que $y=σ(x)≠x$. CQFD. +\end{démo} +\begin{démo}[Seconde démonstration, par descente fidèlement plate (esquisse)] +On se ramène au cas où $K\bo k$ est finie. +L'énoncé à démontrer est équivalent à l'exactitude +de la suite : +$$ +0→k→K\dessusdessous{d'}{→}∏_{g∈G} K, +$$ +où $d'(λ)=\big(g(λ)-λ\big)_{g∈G}$. +D'après la proposition \ref{galois=autodiag}, +cette suite est isomorphe à la suite +$$ +k→K\dessusdessous{d}{→}K⊗_k K +$$ +où $d(λ)=λ⊗1-1⊗λ$. +Or, on verra en \refext{descente}{} que pour tout anneau $A$ et +toute $B$-algèbre fidèlement plate, la +suite : $0→A→B\dessusdessous{d}{→}B⊗_A B$ est exacte. Le morphisme $k→K$ étant fidèlement +plat ($k$ est un corps), le résultat en découle. +\end{démo} + +\begin{corollaire2}\label{VKsurG=V} +Soient $K\bo k$ est extension galoisienne de groupe $G$ +et $V$ un $k$-espace vectoriel. +L'inclusion $G$-équivariante $V→V⊗_k K$, $v↦v⊗1$, où $G$ agit +sur $V⊗_k K$ par le second facteur induit une bijection +\[V⥲\Fix_G(V⊗_k K).\] +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +Résulte de l'égalité $\Fix_G(k^{(X)})=\Fix_G(k)^{(X)}$ +et de la proposition précédente. +\end{démo} + +\begin{corollaire2} +Soit $K\bo k$ une extension galoisienne. +Si $G_{K\bo k}$ est fini, l'extension $K\bo k$ est finie, +de degré $\# G_{K\bo k}$. +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +D'après la proposition précédente, le corps $k$ +est l'intersection dans $K$ des $k$-hyperplans +$\Ker(1-g:K→K)$. Il en résulte que $k$ est de codimension +au plus $\# G_{K\bo k}$ dans le $k$-espace vectoriel $K$. +Puisqu'il est de dimension finie (égale à un) sur $k$, on +a bien $\dim_k(K)<+∞$. +L'égalité $\dim_k(K)=\# G_{K\bo k}$ est déjà connue. +\end{démo} + +Voici maintenant une réciproque à la proposition \ref{KsurG=k}. + +\begin{théorème2}[Lemme d'Artin]\label{lemme-d-Artin} +Soient $K$ un corps, $G$ un groupe \emph{fini} d'automorphismes de $K$ +et $k=\Fix_G(K)$. L'extension $K\bo k$ est galoisienne, +et l'inclusion $G↪\Aut_k(K)$ est un isomorphisme. +\end{théorème2} + +\begin{remarque2}\label{action PGL2 et Artin} +Cet énoncé est en général \emph{faux} si on ne suppose pas $G$ \emph{fini}, +comme le montre l'exemple où $K=𝐂(t)$, et $G=\PGL₂(𝐂)$ agissant +par +$$\begin{pmatrix}a & b \\c & +d\end{pmatrix}\cdot f(t)=f(\frac{at+b}{ct+d}). +$$ +On a en effet $\Fix_G(𝐂(t))=𝐂$ (exercice). +\end{remarque2} + +\begin{démo} +Soit $x∈K$ et notons $O_x$ son orbite sous l'action de $G$. +Le polynôme $P_x:=∏_{y∈O_x}(X-y)$ est à coefficients dans $k=\Fix_G(K)$ +(car $gO_x=O_x$ pour tout $g∈G$) et annule $x$. On en déduit +que $x$ est algébrique sur $k$ de degré au plus $\# G$ et que son +polynôme minimal sur $k$ divise $P$. En particulier, l'ensemble +des conjugués de $x$ est contenu dans $O_x$ donc dans $K$ : l'extension +$K\bo k$ est donc normale. D'autre part, les racines de $P_x$ étant simples, l'élément +$x$ est séparable sur $k$ : l'extension $K\bo k$ est séparable. +D'après le lemme suivant, elle est de degré au plus $\# G$. Puisque +$G$ s'injecte dans le groupe $\Aut_k(K)$ de cardinal $[K:k]≤\# G$, on +a bien $G ⥲ \Aut_k(K)$. +\end{démo} + +\begin{lemme2} +Soient $n$ un entier et $K\bo k$ une extension algébrique séparable dont tous les éléments +sont de degré au plus $n$ sur $k$. Alors $[K:k]≤n$. +\end{lemme2} + +\begin{remarque2} +Ce résultat est faux sans l'hypothèse de séparabilité ; cf. exercice +\ref{borne-degre-elements}. +\end{remarque2} + +\begin{démo} +Le degré sur $k$ des éléments de $K$ étant borné par $n$, il existe un élément +$x∈K$ de degré maximal. Il suffit de montrer que $K=k(x)$. Soit $y∈K$. +L'extension $k(x,y)\bo k$ étant étale donc monogène, elle est de la forme $k(z)$ pour un $z∈K$. +Puisque $k(z)$ contient $k(x)$ et est, par hypothèse, de degré sur $k$ inférieur +ou égal à celui de $k(x)$, on a $k(z)=k(x)$ et, finalement $y∈k(x)$. CQFD. +\end{démo} + +\begin{exercice2}\label{théorème de Dedekind} +Démontrer la généralisation +suivante (« théorème de Dedekind ») de \ref{indépendance linéaire des +automorphismes} : +\begin{quote} +Soient $k$ un corps, $k'\bo k$ une extension et $A$ une $k$-algèbre. +L'ensemble $A^{\japmath{田}}(k')$ est une partie $k'$-libre de +$\Hom_{k\traitdunion\mathrm{ev}}(A,k')$. +\end{quote} +(On pourra commencer par montrer, en utilisant le théorème chinois +et l'isomorphisme $A^{\japmath{田}}(k')⥲A_{k'}^{\japmath{田}}(k')$ que pour toute partie finie +$U$ de $A^{\japmath{田}}(k')$ l'application $A_{k'}→{k'}^{U}$, $(a⊗1)↦\big(u(a)\big)_{u∈U}$ +est surjective.) +\end{exercice2} + +\begin{exercice2}\label{indépendance linéaire caractères} +Démontrer la généralisation suivante (« indépendance linéaire +des caractères ») de \ref{indépendance linéaire des +automorphismes} : +\begin{quote} +Soient $H$ un groupe et $K$ un corps. Les morphismes de groupes $χ:H→K^×$ sont +$K$-linéairement indépendants. +\end{quote} +\end{exercice2} + +\section{Groupe de Galois d'un polynôme}\label{groupe Gal poly} + +\subsection{Définition et premières propriétés}Soit $f∈K[X]$ un polynôme unitaire. +Notons $\dec(f)$ un corps de décomposition de $f$ et $R_f$ l'ensemble de +cardinal au plus $\deg(f)$ des racines de $f$ dans $\dec(f)$. +L'extension $\dec(f)\bo K$ est finie et normale (\ref{normal=corps-dec}). + +Écrivons $f=∏_i f_i^{r_i}$ où les polynômes $f_i$ sont unitaires irréductibles, premiers +entre eux deux-à-deux et posons $f_\red=∏_i f_i$. Le lemme suivant est un corollaire immédiat +des définitions ainsi que de \ref{dec(f)-sep=>f-red-separable} et \ref{dec-poly-sep=sep}. + +\begin{lemme2} +Les conditions suivantes sont équivalentes : +\begin{enumerate} +\item l'extension $\dec(f)\bo K$ est séparable ; +\item chaque $f_i$ est séparable ; +\item le polynôme $f_\red$ est séparable. +\end{enumerate} +De plus, le polynôme $f$ est séparable \ssi chaque $f_i$ est séparable et de multiplicité +$r_i$ égale à un (\cad $f=f_\red$). +\end{lemme2} + +\begin{définition2} +Si $f_\red$ est séparable, on appelle \emph{groupe de Galois du polynôme $f$} le groupe de Galois de +l'extension $\dec(f)\bo K$, noté $G_f$ ou $\Gal(f)$. +\end{définition2} + +Il résulte de la définition que $G_f=G_{f_\red}$. + +Le cas crucial est bien entendu celui où $f$ est un polynôme irréductible +séparable. Il nous a cependant paru utile de ne pas se limiter à ce cas +particulier. + +\subsubsection{}\label{digression choix point base} +Remarquons que $L=\dec(f)$ n'étant défini qu'à $K$-isomorphisme près, non unique en +général, il en résulte une certaine ambiguïté sur le groupe que nous venons de +définir. En effet, si $L'$ est un autre corps de décomposition, tout $K$-isomorphisme +$φ:L ⥲ L'$ induit un isomorphisme $Φ:G_{L\bo K} ⥲ G_{L'\bo K}$ par transport de +structure : $σ↦σ'=φσφ^{-1}$. Celui-ci n'est pas unique en général : si $ψ$ est +un autre $K$-isomorphisme $L ⥲ L'$, l'isomorphisme $\Psi: G_{L\bo K} ⥲ +G_{L'\bo K}$ correspondant diffère de $Φ$ par +un automorphisme intérieur de la source ou du but. « Le » groupe de Galois du +polynôme $f$ n'est donc défini qu'à isomorphisme près, unique à +automorphisme intérieur près. Conformément à l'usage, mais en contradiction avec +la convention \refext{Cat}{blabla-unicite-objet-universel}, nous nous autorisons cependant à parler \emph{du} +groupe de Galois d'une équation, même si ce dernier n'est pas abélien. +Une façon de procéder pour résoudre cette difficulté est de fixer une clôture algébrique +de $K$, ou plus généralement toute extension $Ω$ de $K$ sur laquelle $f$ est scindé, +et de considérer le groupe de Galois $\Gal(f,Ω)$ de $f$ « pointė » en $Ω$, \cad +le groupe de Galois de l'unique corps de décomposition de $f$ dans $Ω$. + +\subsubsection{}Le fait trivial suivant est d'importance capitale : l'ensemble +$R_f$ est stable sous l'action de $G_f$. Cela résulte du fait +que pour tout $x∈\dec(f)$ et tout $σ∈\Aut_K(\dec(f))$, +on a $σ\big(f(x)\big)=f\big(σ(x)\big)$ de sorte que si +$f(x)$ est nul, $f(σ(x))$ l'est également. +De façon équivalente, on peut identifier $R_f$ à $\Hom_K(K_f,\dec(f))$ et +considérer l'action de $G_f=G_{\dec(f)\bo K}$ déduite de son action sur $\dec(f)$. +L'ensemble $R_f$ étant fini, l'action de $G_f$ sur $R_f$ +induit par restriction une permutation de $R_f$. + +\begin{lemme2}\label{Gal(f)=groupe permutation} +L'application $G_f→𝔖_{R_f}$, $σ\mapsto σ_{|R_f}$ +est une injection : le groupe de Galois +d'un polynôme s'identifie à un sous-groupe +du groupe des permutations des racines. En particulier, +$\# G_f$ divise $d!$, où $d$ est le degré du polynôme $f$. +\end{lemme2} + +Moyennant le choix d'une bijection entre $R_f$ et l'ensemble $\{1,\dots,d\}$ +à $d$ éléments, on peut donc voir le groupe de Galois de $f$ comme un +sous-groupe de $𝔖_d$. Ce dernier est bien défini \emph{à conjugaison près}. + +\begin{démo} +Soit $g$ dans le noyau : pour toute racine $r$ de $f$, +on a $g(r)=r$. Puisque $\dec(f)=K(r,r∈R_f)$, $g$ agit trivialement +sur $\dec(f)$ tout entier et, finalement, $g=\Id$. +\end{démo} + +\begin{lemme2}\label{action transitive de Galois si poly irréductible} +Le groupe de Galois $G_f$ agit \emph{transitivement} +sur les racines $R_f$ \ssi le polynôme séparable +$f_\red$ est \emph{irréductible}. +Sous cette hypothèse, $\deg(f)$ divise $\# G_f$. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +On peut supposer $f=f_\red$. +Si $f$ est irréductible, c'est le polynôme minimal +de chacune de ses racines. La conclusion résulte +alors de \ref{conjugues=racines}. + +Réciproquement, il résulte de \emph{loc. cit.} +que deux racines sont conjuguées \ssi elles ont même polynôme +minimal. Ainsi, si $G_f$ agit transitivement sur $R_f$, +et $r∈R_f$, $f$ a pour unique diviseur irréductible $μ_{r,k}$. +Comme $f$ est supposé séparable, on a $f=μ_{r,k}$ +de sorte que $f$ est irréductible. + +Enfin, c'est un fait général que si groupe fini $G$ agit transitivement +sur un ensemble fini $X$, on a $\#X | \# G$. +\end{démo} + +\subsection{Réduction modulo $p$} + +\subsubsection{}Soient $f=X^d+a₁X^{d-1}+\cdots+a_d∈𝐙[X]$ un polynôme +à coefficients entiers, $K$ un corps de décomposition de $f$ +et $R_f$ l'ensemble des racines de $f$ dans $K$, de sorte que $K=𝐐(R_f)$. +Notons $G_f$ le groupe de Galois de l'extension séparable $K\bo 𝐐$. + +\begin{lemme2}\label{finitude Z[racines]} +Le sous-anneau $A=𝐙[R_f]$ de $K$ +engendré par les racines de $f$ est un $𝐙$-module libre +de rang $[K:𝐐]$ engendrant le $𝐐$-espace vectoriel $K$ et +stable sous l'action de $G_f$. +\end{lemme2} + +\begin{démo} +Soit $g∈G_f$. L'inclusion $g(A)⊆A$ est conséquence du fait que +pour toute racine $r∈R_f$, l'élément $g(r)∈K$ est également +une racine de $f$. + +Il résulte des relations $r^{d+i}=-(a₁r^{d-1+i}+\cdots+a_d r^i)$, +pour chaque $r∈R_f$ et chaque entier $i≥0$, que tout élément +de $A$ est une combinaison linéaire à coefficients +dans $𝐙$ des monômes en les $r∈R_f$ dont tous les exposants sont strictement inférieurs +à $d$. En conséquence $A$ est un $𝐙$-module de type fini ; +puisqu'il est sans torsion, il est libre. (On utilise ici le fait +que l'anneau $𝐙$ est principal.) +Soit $a₁,\dots,a_n$ une base du $𝐙$-module $A$. On souhaite qu'ils forment +une base du $𝐐$-espace vectoriel $K$. +Les $(a_i)_{i=1,…,n}$ sont $𝐐$-libres dans $K$ : si $∑_{i=1}^n \frac{p_i}{q_i}a_i=0$ +est une relation de dépendance à coefficients rationnels, on obtient +une relation de dépendance à coefficients entiers en multipliant les +coefficients par l'entier non nul $∏_i q_i$. (On en tire la majoration +$n≤[K:𝐐]$ qui raffine la majoration évidente $n≤{\# R_f}^d$.) +D'autre part, les $(a_i)_{i=1,…,n}$ engendrent $K$ en tant que $𝐐$-espace vectoriel +car $K=𝐐(R_f)=𝐐[R_f]$ si bien que pour chaque $λ∈K$, il existe $N∈𝐍_{≥1}$ tel que +$Nλ∈𝐙[R_f]=𝐙a₁⊕𝐙a₂⊕\cdots⊕𝐙a_n$. CQFD. +\end{démo} + +Il en résulte que pour tout $a∈A$, $\N_{A\bo 𝐙}(a)=\N_{K\bo 𝐐}(a)$ : +dans la base $a₁,…,a_n$ les matrices de la multiplication +par $a$ dans $A$ et dans $K$ coïncident. + +\begin{corollaire2}\label{intersection-anneau-engendre-par-les-racines-et-rationnels} +\[A∩𝐐=𝐙.\] +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +En effet, si $a∈A∩𝐐$, +on a $a^n=\N_{K\bo 𝐐}(a)=\N_{A\bo 𝐙}(a)∈𝐙$ de sorte que $a∈𝐙$ +car $a$ est rationnel. +\end{démo} + +\begin{corollaire2} +Pour tout nombre premier $p$, il existe un idéal premier $𝔪$ de $A$ +contenant $p$. +\end{corollaire2} + +\begin{démo} +Cela revient à monter que l'anneau quotient $A/pA$ n'est pas nul +(cf. \refext{Spec}{ideaux-quotient} et \refext{Spec}{Krull}), +ou encore que $A≠pA$. Cela résulte du fait que $A$ est un $𝐙$-module +libre.\end{démo} + +\subsubsection{}Soient $p$ un nombre premier et $𝔪$ un idéal maximal +de $A$ le contenant. Considérons les ensembles $D_𝔪=\{g∈G_f:g(𝔪)⊆𝔪\}$ et $κ(𝔪)=A/𝔪$. +Le premier est un sous-groupe de $G_f$, appelé \emph{groupe de décomposition} ; +le second est une extension, finie d'après le lemme \ref{finitude Z[racines]}, du corps $𝐅_p$. +En fait, $κ(𝔪)=𝐙[R_f]/𝔪$ est un corps de décomposition +du polynôme $f_p∈𝐅_p[X]$ obtenu par réduction modulo $p$ de $f$. En effet, +ce corps de caractéristique $p$ est engendré comme anneau, donc comme $𝐅_p$-algèbre, +par les réductions modulo $𝔪$ des racines de $f$, qui sont +des racines de $f_p$ : si $r∈R_f$ est une racine +et $\sur{r}$ désigne sa réduction, on a $f_p(\sur{r})=f(r)\mod 𝔪=0$. +Notons $R_{f_p}$ l'ensemble des racines de $f_p$ dans $κ(𝔪)$. + +\begin{théorème2}\label{specialisation-groupe-de-Galois-elementaire} +\begin{enumerate} +\item L'application +\[ +D_𝔪→\Gal(κ(𝔪)\bo 𝐅_p)=G_{f_p}, +\] +\[ +g↦\sur{g}:\big(a \mod 𝔪↦g(a)\mod 𝔪\big) +\] +est une \emph{surjection}. +\item Supposons que $f_p$ est \emph{séparable}, c'est-à-dire à racines simples dans $κ(𝔪)$. +\begin{enumerate} +\item L'application $A → κ(𝔪)$ de réduction modulo $𝔪$ induit +une bijection $R_f⥲R_{f_p}$. +\item Le morphisme $D_𝔪→G_{f_p}$ est un isomorphisme. +\item Les applications composées $D_𝔪↪G_f↪𝔖_{R_f}$ et +$D_𝔪⥲G_{f_p}↪𝔖_{R_{f_p}}$, où les morphismes $G_P→𝔖_{R_P}$ sont +les morphismes de restriction à l'action sur les racines, +coïncident modulo l'identification du (a). +\end{enumerate} +\end{enumerate} +\end{théorème2} + +En termes vagues : le groupe de Galois d'une équation à coefficients entiers +contient des sous-groupes isomorphes ou bien se surjectant +sur le groupe de Galois de l'équation modulo $p$. + +\begin{remarque2}Nous verrons en +\refext{Ent}{specialisation galois cas general} une +généralisation de ce théorème pour des polynômes à coefficients +dans des anneaux quelconques. Dans ce même chapitre, +on trouvera des démonstrations des deux corollaires précédents +indépendantes du théorème de structure des $𝐙$-modules de type fini. +\end{remarque2} + +\begin{démo} +(i) Soit $α∈κ(𝔪)$ un élément primitif (cf. \refext{Fin}{elements-et-polynomes-primitifs} +ou \refext{Alg}{element-primitif}). Commençons par montrer qu'il +existe un relèvement $a∈A$ de $α$ tel que pour tout $g∈G_f-D_𝔪$, $a∈g(𝔪)$. +Soient $𝔫₁,\dots,𝔫_s$ les différents idéaux $g(𝔪)$, images de $𝔪$, pour $g∉D(𝔪)$. +Ils sont maximaux dans $A$ car chaque $g$ induit un isomorphisme +$A/𝔪→g(A)/g(𝔪)=A/g(𝔪)$. D'après le théorème chinois (\refext{Spec}{lemme +chinois}), l'application +\[ +A→A/𝔪×(A/{𝔫₁}×A/{𝔫₂}×\cdots×A/{𝔫_s}) +\] +est surjective. Tout relèvement $a$ de $(α,0)$ convient. +Pour un tel $a∈A$, posons $P=∏_{g∈G_f}(X-g(a))$. Ce polynôme +est à coefficients dans $A∩\Fix_{G_f}(K)=A∩𝐐=𝐙$. +Notons $P_p∈𝐅_p[X]$ sa réduction modulo $p$. L'égalité $P(a)=0$ +entraîne par réduction l'égalité $P_p(α)=0$. Il en résulte +que les conjugués de $α$ dans $κ(𝔪)$ sont racines de $P_p$. +Par hypothèse sur $a$, les racines non nulles +de $P_p$ sont les $\sur{σ}(α)$ pour $σ$ parcourant $D_𝔪$. +Un élément de $\Gal(κ(𝔪)\bo 𝐅_p)$ étant caractérisé +par son action sur l'élément primitif $α$, +la surjectivité du morphisme $D_𝔪→\Gal(κ(𝔪)\bo 𝐅_p)$ est acquise. + +(ii) Le polynôme $f_p$ étant séparable, +l'ensemble $R_{f_p}$ est de cardinal $d$ de sorte que +la surjection naturelle $R_f → R_{f_p}$ est une bijection. +En particulier, si $g(r)-r ∈ 𝔪$ pour un $g∈G_f$ +et un $r∈R_f$, on a nécessairement $g(r)=r$. +Il en résulte que si $σ$ appartient +au noyau du morphisme $D_𝔪→\Gal(κ(𝔪)\bo 𝐅_p)$, +il agit trivialement sur les racines de $f$. Comme elles +engendrent $K$, on a $σ=\Id$. Ceci achève la démonstration +de (a) et (b). Le point (c) résulte immédiatement des définitions +des morphismes. +\end{démo} + +Le théorème précédent est généralement utilisé, dans le cadre de +calculs de groupes de Galois, sous la forme du corollaire suivant : +\begin{corollaire2}\label{specialisation-elementaire-et-cycles} +Soit $f \in \QQ[X]$ un polynôme unitaire à coefficients rationnels et +$p$ un nombre premier, ne divisant le dénominateur d'aucun coefficient +de $f$, tel que la réduction $f_p \in \FF_p[X]$ de $f$ modulo $p$ soit +séparable, et soient $d_1,\ldots,d_r$ (avec $d_1 + \cdots + d_r += \deg(f)$) les degrés des facteurs irréductibles de $f_p$. Alors le +groupe de Galois $G_f$ de $f$ contient un élément qui, vu comme +élément de $\mathfrak{S}_{\deg(f)}$ par son action sur les racines +de $f$ (nécessairement distinctes), se décompose comme produit de $r$ +cycles de longueurs $(d_1,\ldots,d_r)$. +\end{corollaire2} +\begin{proof} +Quitte à remplacer $f(X)$ par $c^d\,f(X/c)$ avec $c$ un entier +suffisamment divisible mais non multiple de $p$ (par exemple le plus +petit dénominateur commun des coefficients de $f$), on peut supposer +que $f$ est à coefficients entiers sans changer son groupe de Galois +ni celui de $f_p$. + +Le fait que la réduction $f_p$ de $f$ soit séparable entraîne que $f$ +lui-même l'est (par exemple parce que le discriminant de $f_p$, non +nul, est la réduction modulo $p$ de celui de $f$). Le nombre de +racines distinctes de $f$, comme de $f_p$ est donc bien $\deg(f)$. + +Le corps de décomposition de $f_p$ sur $\FF_p$ est $\FF_{p^d}$ où $d$ +est le plus petit commun multiple de $d_1,\ldots,d_r$ ; son groupe +de Galois est engendré par le Frobenius, qui est d'ordre +$d_1,\ldots,d_r$ respectivement sur les $r$ classes de conjugaisons de +racines données par les $r$ facteurs irréductibles, de degrés +respectifs $d_1,\ldots,d_r$, de $f_p$. Le +théorème \ref{specialisation-groupe-de-Galois-elementaire} permet de +conclure. + +(\XXX --- Il faudrait mieux intégrer ce corollaire avec ce qui +l'entoure, et donner des références. Le fait que le groupe de Galois +d'une extension de corps finis soit engendré par le Frobenius devrait +apparaître ailleurs, comme son action sur les racines ; la remarque +sur les coefficients rationnels aurait dû figurer plus tôt, ainsi que +celle sur la séparabilité.) +\end{proof} + +\begin{remarque2}\label{fonctorialite-vraiment-basique-de-la-specialisation-elementaire} +Soient $f,h\in \ZZ[X]$ deux polynômes unitaires à coefficients entiers +tels que $\ZZ[R_h] \subseteq \ZZ[R_f]$ (ce qui implique notamment +$\dec(h) \subseteq \dec(f)$ et détermine un morphisme $G_f \to G_h$ +donné par la restriction à $\dec(h)$), et soient $p$ un nombre premier +et $\mathfrak{m}$ un idéal maximal de $\ZZ[R_f]$ le contenant. Alors +$\mathfrak{m} \cap \ZZ[R_h]$ est un idéal de $\ZZ[R_h]$ qui est lui +aussi maximal, car $\ZZ[R_h]/(\mathfrak{m} \cap \ZZ[R_h])$ est +naturellement un sous-anneau du corps fini $\ZZ[R_f]/\mathfrak{m}$ et +tout sous-anneau d'un corps fini est un anneau intègre fini donc un +corps. Dans ces conditions, il est alors clair que le diagramme +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[auto] +\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex, +text height=1.5ex,text depth=.25ex]{ +D_{\mathfrak{m}}&G_{f_p}\\D_{\mathfrak{m}\cap\ZZ[R_h]}&G_{h_p}\\}; +\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2); +\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-2-2); +\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1); +\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2); +\end{tikzpicture} +\end{center} +commute, où la flèche $G_{f_p} \to G_{h_p}$ envoie un élément de +$\Gal(\kappa(\mathfrak{m})/\FF_p)$ sur sa restriction à +$\kappa(\mathfrak{m} \cap \ZZ[R_h])$, et la flèche +$D_{\mathfrak{m}} \to D_{\mathfrak{m}\cap\ZZ[R_h]}$ envoie un élément +de $G_f$ (qui laisse $\mathfrak{m}$ stable) sur sa restriction à +$\dec(h)$. +\end{remarque2} + + +\subsection{Équation générique ; discriminant et distinguant} +\subsubsection{}\label{exemple-galois-equation-generique} +Soient $d$ un entier et $k$ un corps. Considérons le corps des fractions +rationnelles en $d$ indéterminées $L=k(X₁,\dots,X_d)$. Le groupe +symétrique $\got{S}_d$ agit $k$-linéairement sur $L$ +par permutation des variables : $g(X_i)=X_{g(i)}$ pour tout $1≤i≤d$. +Soit $K:=\Fix_{\got{S}_d}L$. Il résulte du lemme d'Artin que l'extension +$L\bo K$ est galoisienne, de groupe $\got{S}_d$. En particulier, +elle est de degré $d!$. +D'autre part, notons $σ_j$ ($1≤i≤d$) les fonctions +symétriques élémentaires en les $X_i$ : +$σ₁=X₁+\cdots+X_d$, $σ₂=∑_{α<β} X_αX_β$, ..., $σ_d=X₁\cdots X_n$ +de sorte que l'on ait : +$$ +(T-X₁)\cdots (T-X_d)=T^d-σ₁T^{d-1}+\cdots+(-1)^d σ_d. +$$ +Il en résulte que $L=k(X₁,\dots,X_d)$ est un corps de décomposition du +polynôme de droite, de degré $d$, sur le sous-corps $K'=k(σ₁,\dots,σ_d)$ de +$L$. D'après \ref{dec-deg-inf-fact-n}, on a donc $[L:K']≤d!$. +Puisque $K'⊆K$ on a $K=K'$, \cad +$$ +\Fix_{\got{S}_d} k(X₁,\dots,X_d)=k(σ₁,\dots,σ_d). +$$ +Remarquons que ce résultat, présenté ici comme un corollaire +du lemme d'Artin, se démontre directement sans difficulté. + +Le résultat précédent se paraphrase ainsi : +\begin{quote} +« Pour tout corps $k$, l'équation \emph{générique} de degré +$d$ sur $k$ est séparable de groupe $\got{S}_d$. » +\end{quote} + +\subsubsection{Discriminant et $2$-distinguant} Supposons $d≥2$. Soit $𝔄_d$ le groupe alterné, +distingué dans $𝔖_d$. D'après la correspondance de Galois, +l'extension $\Fix_{𝔄_d} k(X₁,\dots,X_d)\bo k(σ₁,\dots,σ_d)$ est +galoisienne, de groupe $𝐙/2$. Nous allons définir un élément $Δ$ de $k(σ₁,\dots,σ_d)$ +tel que $\Fix_{𝔄_d} k(X₁,\dots,X_d)$ soit le corps de décomposition +du polynôme (séparable) $X²-Δ$ (resp. $X²-X-Δ$) si $\car(k)≠2$ (resp. +$\car(k)=2$). + +\begin{lemme3}\label{construction discriminant et 2-distinguant} +\begin{enumerate} +\item Soit $δ_{2'}∈𝐙[X₁,\cdots,X_d]$ l'élément $∏_{1≤i<j≤d}(X_i-X_j)$. +Pour tout $σ∈𝔖_d$, $σ(δ_{2'})=ε_{2'}(σ)\cdot δ_{2'}$, où $ε_{2'}:𝔖_d↠\{±1\}⊆𝐙$ +est la signature. En particulier, +\[ +Δ_{2'}=δ_{2'}²=∏_{1≤i<j≤d}(X_i-X_j)² +\] appartient à $𝐙[σ₁,\cdots,σ_d]$. +\item Soit $δ_2∈𝐙[X₁,\cdots,X_d][\frac{1}{δ_{2'}}]$ l'élément +$∑_{1≤i<j≤d} \frac{X_j}{X_i-X_j}$ et $\sur{δ₂}$ son image dans $𝐅₂(X₁,\cdots,X_d)$. +Pour tout $σ∈𝔖_d$, $σ(\sur{δ_2})=\sur{δ_2}+ε₂(σ)$, où $ε₂:𝔖_d↠𝐅₂$ est la signature. +En particulier, +\[ +Δ₂=\sur{δ₂}(\sur{δ₂}-1)=∑_{1≤i<j≤d}\frac{X_iX_j}{X_i²+X_j²} +\] appartient à $𝐅₂(σ₁,\cdots,σ_d)$. +\end{enumerate} +\end{lemme3} + +Il en résulte que si l'on note $δ$ (resp. $Δ$) l'image dans $k(X₁,\dots,X_d)$ de, suivant la +caractéristique, $δ_{2'}$ ou $δ₂$ (resp. $Δ_{2'}$ ou $Δ₂$), $\Fix_{𝔄_d} +k(X₁,\dots,X_d)=k(σ₁,\dots,σ_d)(δ)$ et $δ$ est une racine du polynôme +$X²-Δ$ ou $X²-X-Δ$ suivant la caractéristique. + +\begin{démo} +Dans chacun des deux cas, on peut supposer que $σ$ est une transposition. +Le premier énoncé est l'une des caractérisations de la signature. +Vérifions le second. Soit $(αβ)∈𝔖_d$ une transposition. +Il est formel de vérifier que la contribution des éléments +apparaissant dans la somme définissant $\sur{δ₂}$ que l'on ne retrouve pas +dans $(αβ)δ₂$ est : +$$S=\frac{X_β}{X_α+X_β}+∑_{α<γ<β}\big(\frac{X_γ}{X_α+X_γ}+\frac{X_β}{X_γ+X_β}\big).$$ +Il résulte de l'identité : $$\frac{x}{x+y}=\frac{y}{x+y}+1$$ dans $∈𝐅₂(x,y)$ +que $(αβ)S=S+2(j-i)+1=S+1$. CQFD. +\end{démo} + +\begin{définition3}\label{definition discriminant et 2-distinguant} +On appelle \emph{discriminant}\index{discriminant} du polynôme général de degré $d$ +le polynôme $Δ_{2'}∈𝐙[σ₁,\dots,σ_d]$. +Si $f=X^d+∑_{i=1}^{d}a_i X^{d-i}$ est un polynôme unitaire à coefficients +dans un corps $k$ de caractéristique différente de deux, +on appelle \emph{discriminant de $f$} l'élément +$Δ(f):=Δ_{2'}(a₁,\dots,a_d)∈k$. En caractéristique deux, on appellera +\emph{$2$-distinguant}\index{2-distinguant} de $f$, +l'élément $\japmath{別}_2(f):=Δ_{2}(a₁,\dots,a_d)∈k$. +\end{définition3} + +(On peut prononcer « bétsou » le caractère \jap{別}.) + +Référence. Bourbaki, V, exercice §10, №23 et \cite{Involutions@KMRT}, chap. V, §18. + +\begin{exemples3}[Discriminants et $2$-distinguants]\label{exemples discriminants et 2-distinguants} +\begin{enumerate} +\item Soit $f=X²-c₁X+c₂$. +\[Δ(f)=c₁²-4c₂.\] +\[\japmath{別}_2(f)=\frac{c₂}{c₁²}.\] +\item Soit $f=X³-c₁X²+c₂X-c₃$. +\[Δ(f)=c₁²c₂²-4c₁³c₃+18c₁c₂c₃-4c₂³-27c₃².\] +\[\japmath{別}₂(f)=\frac{c₁³c₃+c₂³+c₁c₂c₃+c₃²}{c₁²c₂²+c₃²}.\] +% ordre : degré total + par la fin +\item Soit $f=X^4-c_1 X^3 + c_2 X^2 - c_3 X + c_4$. +\[ +\begin{array}{rl} +Δ(f) =& c_1^2 c_2^2 c_3^2 - 4 c_1^3 c_3^3 - 4 c_1^2 c_2^3 c_4 + 18 c_1^3 c_2 c_3 c_4 - 27 c_1^4 c_4^2\\ +&\quad - 4 c_2^3 c_3^2 + 18 c_1 c_2 c_3^3 + 16 c_2^4 c_4 - 80 c_1 c_2^2 c_3 c_4 - 6 c_1^2 c_3^2 c_4 + 144 c_1^2 c_2 c_4^2\\ +&\quad - 27 c_3^4 + 144 c_2 c_3^2 c_4 - 128 c_2^2 c_4^2 - 192 c_1 c_3 c_4^2 + 256 c_4^3\\ +\end{array} +\] +\[\japmath{別}_2(f) = \frac{c_1^3 c_3^3 + c_1^2 c_2^3 c_4 + c_1^3 c_2 c_3 c_4 + c_1^4 +c_4^2 + c_2^3 c_3^2 + c_1 c_2 c_3^3 + c_3^4}{c_1^2 c_2^2 c_3^2 + c_1^4 c_4^2 + +c_3^4}.\] +\end{enumerate} +\end{exemples3} + +La proposition suivante résulte immédiatement des formules du lemme précédent, +où l'on remplace les $X_i$ par les racines d'un polynôme donné. + +\begin{proposition3}\label{caracterisation groupe Gal alterne} +Soient $f∈k[X]$ un polynôme unitaire séparable et $R_f$ l'ensemble +des racines de $f$ dans une clôture séparable de $k$. +\begin{enumerate} +\item Si $\car(k)≠2$, l'image de $G_f$ dans $𝔖_{R_f}$ +est contenue dans le groupe alterné $𝔄_{R_f}$ +\ssi le discriminant de $f$ est un carré dans $k$, +\cad s'il appartient à l'image de l'application $λ↦λ²$. +\item Si $\car(k)=2$, l'image $G_f$ dans $𝔖_{R_f}$ est contenue +dans le groupe alterné $𝔄_{R_f}$ +\ssi le $2$-distinguant de $f$ appartient à l'image de +l'application $℘:λ↦λ²-λ$. +\end{enumerate} +\end{proposition3} + +\begin{remarque3}\label{remarque Spec Z simplement connexe} +On peut montrer (cf. \refext{}{}) que le discriminant +d'un polynôme $f$ unitaire irréductible de $𝐙[X]$ ne peut +être inversible dans $𝐙$ — c'est-à-dire égal à $±1$ — +que si $f$ est de degré un. +\end{remarque3} + +\subsubsection{Équation discriminante en toute caractéristique. Distinguant.} +% Discussion avec Jean Lannes. (Cf. lien entre l'invariant +% de Arf d'une forme quadratique sur $𝐅₂$ et discriminant +% usuel d'un relèvement à $𝐙₂$. +% Cf. aussi Kummer-Artin-Schreier. + +Commençons par observer le lien suivant entre $δ₂$ et $δ_{2'}$ : +\[ +\frac{X_i+X_j}{X_i-X_j}=1+2⋅\frac{X_j}{X_i-X_j}. +\] +Ainsi, +on a +\[ +\frac{∏_{i<j}(x_i+x_j)}{δ_{2'}}=1+2δ₂+4ρ=1+2δ\] +où $δ$ et $ρ$ appartiennent à $𝐙[X₁,…,X_d][\frac{1}{δ_{2'}}]$. + +L'expression $∏_{i<j}(x_i+x_j)$ étant symétrique, contrairement à $δ_{2'}$, +on a $σ(1+2δ)=ε_{2'}(σ)(1+2δ)$ pour tout $σ∈𝔖_d$. (En particulier, +$(1+2δ)²∈𝐙[σ₁,…,σ_d][\frac{1}{Δ_{2'}}]$.) +Il en résulte (cf. \emph{supra}) que pour tout corps $k$ de caractéristique différente +de deux et tout polynôme séparable $f∈k[X]$ \emph{tel que la somme +de deux racines distinctes soit toujours non nulle}, le groupe de Galois +agit par permutations paires sur les racines \ssi l'équation +$X²-(1+2δ)²$ a une racine dans $k$, où l'on remplace dans la fraction rationnelle +$(1+2δ)²$ les $σ_i$ par les coefficients de $f$. +Le changement de variable $Y=½(X-1)$ transforme l'équation précédente +en $Y²+Y=δ²+δ$. Le fait remarquable est que \emph{la réduction modulo $2$ de +la fraction rationnelle $δ$ est $δ₂$}. + +En résumé, nous avons démontré la proposition suivante, +qui nous a été suggérée par Jean Lannes. + +\begin{proposition3}\label{distinguant distingue groupe alterné} +Soient $k$ un corps, $f=X^d-c₁X^{d-1}+\cdots+c_d∈k[X]$ un polynôme, +$K$ un corps de décomposition de $f$ et $\{x₁,\dots,x_d\}$ +les racines de $f$ dans $K$, comptées avec multiplicités. +\emph{Si $∏_{i<j}\big((x_i-x_j)(x_i+x_j)\big)≠0$}, le polynôme $f$ est séparable +et le groupe de Galois $\Gal(K\bo k)$ de $f$ +agit par permutations paires sur les racines +\ssi l'équation +\[ +Y²+Y-\japmath{別}(c₁,\dots,c_d) +\] +a une racine dans $k$, où +$\japmath{別}∈𝐙[σ₁,…,σ_n][\frac{1}{Δ_{2'}}]$ est la fraction rationelle en les coefficients +définie par +\[ +\japmath{別}=\frac{∏_{i<j}(x_i+x_j)²-Δ_{2'}}{4Δ_{2'}}. +\] +De plus, $\japmath{別}=δ²+δ$ où $δ∈𝐙[σ₁,…,σ_d][\frac{1}{Δ_{2'}}]$ +est congru modulo $2$ à $δ_{2'}$. En particulier, +la réduction modulo $2$ de $\japmath{別}$ est le $2$-distinguant +$\japmath{別}₂$. +\end{proposition3} + +\begin{exemples3} + +En utilisant le fait que $∏_{i<j}(x_i+x_j)²=\mathrm{r\acute{e}s}(f(X),f(-X))$ +[presque] et $∏_{i<j}(x_i-x_j)²=Δ_{2'}(f)=\mathrm{r\acute{e}s}(f,f')$, on trouve +facilement les formules ci-dessous. \XXX + +\begin{enumerate} +\item Soit $f=X²-c₁X+c₂$. +\[\japmath{別}=\frac{c_2}{c_1^2 - 4 c_2}\] +\item Soit $f=X³-c₁X²+c₂X-c₃$. +\[\japmath{別}=\frac{c_1^3 c_3 + c_2^3 - 5 c_1 c_2 c_3 + 7 c_3^2}{c_1^2 c_2^2 - 4 c_1^3 c_3 - 4 c_2^3 + 18 c_1 c_2 c_3 - 27 c_3^2}\] +\item Soit $f=X^4-c_1 X^3 + c_2 X^2 - c_3 X + c_4$. +\[\japmath{別}=\frac{ +\left( +\begin{array}{l} +c_1^3 c_3^3 + c_1^2 c_2^3 c_4 - 5 c_1^3 c_2 c_3 c_4 + 7 c_1^4 c_4^2\\ +\quad + c_2^3 c_3^2 - 5 c_1 c_2 c_3^3 - 4 c_2^4 c_4 + 20 c_1 c_2^2 c_3 c_4 + 2 c_1^2 c_3^2 c_4 - 36 c_1^2 c_2 c_4^2\\ +\quad + 7 c_3^4 - 36 c_2 c_3^2 c_4 + 32 c_2^2 c_4^2 + 48 c_1 c_3 c_4^2 - 64 c_4^3\\ +\end{array} +\right) +}{ +\left( +\begin{array}{l} +c_1^2 c_2^2 c_3^2 - 4 c_1^3 c_3^3 - 4 c_1^2 c_2^3 c_4 + 18 c_1^3 c_2 c_3 c_4 - 27 c_1^4 c_4^2\\ +\quad - 4 c_2^3 c_3^2 + 18 c_1 c_2 c_3^3 + 16 c_2^4 c_4 - 80 c_1 c_2^2 c_3 c_4 - 6 c_1^2 c_3^2 c_4 + 144 c_1^2 c_2 c_4^2\\ +\quad - 27 c_3^4 + 144 c_2 c_3^2 c_4 - 128 c_2^2 c_4^2 - 192 c_1 c_3 c_4^2 + 256 c_4^3\\ +\end{array} +\right) +}\] +\end{enumerate} +\end{exemples3} + +\subsubsection{Exercices} + +\begin{exercice3} +Déterminer le groupe de Galois du polynôme $X³-2∈𝐐[X]$. +\end{exercice3} + +\begin{exercice3}\label{borne-degre-elements} +Soient $p$ un nombre premier et $k=\FF_p((t_i)_{i∈𝐍})$ le +corps des fractions de l'anneau de polynômes en une infinité +de variables $\FF_p[(t_i)_{i∈𝐍}]$. Soit $Ω$ une clôture +algébrique de $k$ et $K$ le corps engendré sur $k$ par +les éléments $t_i^{1/p}$ ($i∈𝐍$). Montrer que pour tout +$x∈K$, on a $x^p∈k$ mais que $[K:k]=+∞$. +(Le corps $K$ sera noté $k^{1/p}$ dans un paragraphe ultérieur, consacré aux extensions +\emph{radicielles}.) +\end{exercice3} + +\begin{exercice3} +Montrer que même en caractéristique deux, il n'existe pas d'équation « discriminante » +de la forme $X²-X-P$ où $P$ est un \emph{polynôme} en les coefficients. +\end{exercice3} + +\begin{exercice3} +Soit $A=𝐙[X₁,\dots,X_d][Δ_{2'}^{-1}]$, $B=\Fix_{𝔄_d}(A)$ +et $C=\Fix_{𝔖_d}(A)=𝐙[σ₁,\dots,σ_n][Δ_{2'}^{-1}]$. +Montrer que le morphisme $C↪B$ est fini étale (\refext{}{}) de degré $2$ +mais qu'il n'existe pas de polynôme $P∈C[T]$ tel que $B≃C[T]/P$. +(C'est cependant le cas après changement de base +$C→C[∏_{i<j}(X_i+X_j)^{-1}]$.) +\end{exercice3} + + +\begin{exercice3} +Soient $A$ un anneau et $P=∑ (-1)^i a_{n-i} X^i ∈A[X]$ un polynôme unitaire de +degré $n$. On appelle \emph{algèbre de décomposition} de $P$ +la $A$-algèbre $A(P)=A[X₁,\dots,X_n]/(∑_i X_i=a₁,\dots,∏_i X_i=a_n)$. +\begin{enumerate} +\item Montrer que $A(P)$ est libre de rang $n!$ sur $A$. +(Indication : on pourra montrer +que les monômes $∏_i x_i^{e_i}$, où $e_i≤n-i$, forment un base.) +\item Comparer le discriminant de $A(P)$ (défini à l'aide +de la trace) et le discriminant de $P$. +\item À quelle condition $\Fix_{𝔖_n}(A(P))=k$ ? +\end{enumerate} +\end{exercice3} + +%NDLR. Cela aurait un rapport avec la définition de Grothendieck des +%classe de Chern (cf. principe de scindage) etc. + +\section{Correspondance de Galois} + +\subsection{Énoncé de la correspondance} +\begin{théorème2}[Galois, ≤1832]\label{correspondance Galois finie} +Soit $K\bo k$ une extension galoisienne \emph{finie} de groupe $G$. +Les applications $H\mapsto \Fix_H(K)$ et $k'\mapsto \Gal(K\bo k')$ +sont des bijections inverses l'une de l'autre, +et décroissantes pour l'inclusion, entre l'ensemble des sous-groupes de $G$ +et l'ensemble des sous-$k$-extensions +de $K$. De plus, une sous-$k$-extension $k'$ de $K$ est galoisienne sur $k$ +\ssi $H=\Gal(K\bo k')$ est un sous-groupe distingué de $G$. Dans ce cas, l'application +de restriction $\Gal(K\bo k)→\Gal(k'\bo k)$ induit un isomorphisme +$G/H ⥲ \Gal(k'\bo k)$. +\end{théorème2} + +\subsubsection{Démonstration} +Soit $H⊆G$. Il résulte du lemme d'Artin que l'extension $K\bo \Fix_H(K)$ +est galoisienne de groupe $H$. Réciproquement, si $k'$ est une +sous-$k$-extension de $K$, l'extension $K\bo k'$ est séparable, +normale (\ref{sous-extension-normale}) donc +galoisienne, de groupe $\Gal(K\bo k')$. D'après \ref{KsurG=k}, on a +$\Fix_{\Gal(K\bo k')}K=k'$. Ceci établit la correspondance +de Galois. La décroissance de ces applications est évidente. + + +Vérifions le dernier point. Soit $k'$ une sous-$k$-extension +de $K$ et notons $H=\Gal(K\bo k')$ le sous-groupe de $G$ correspondant de sorte +que $k'=\Fix_H(K)$. +Soit $Ω$ une clôture algébrique de $K$. Puisque $K\bo k$ +est normale et contient $k'$, l'inclusion $\Hom_k(k',K)→\Hom_k(k',Ω)$ +est une bijection ; d'autre part l'application +$\Gal(K\bo k)=\Hom_k(K,K)→\Hom_k(k',K)$ est une surjection +(\ref{prolongement-plongement}). Il en résulte +que tout $k$-plongement $ι:k'↪Ω$ est la restriction d'un élément +$g∈G$. Ainsi, l'extension $k'\bo k$ est normale \ssi +pour tout $g∈G$, $g(k')=k'$. Puisque $k'=\Fix_H(K)$, +cette condition se réécrit : $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$, +pour tout $g∈G$. Par bijectivité de l'application $H↦\Fix_H(K)$, +on a $\Fix_{gHg^{-1}}(K)=\Fix_{H}(K)$ \ssi $gHg^{-1}=H$. +Le groupe $H$ est donc distingué dans $G$. +Enfin, si $k'\bo k$ est normale, donc galoisienne, +on a $\Hom_k(k',Ω)=\Gal(k'\bo k)$ de sorte +que l'application (surjective) de restriction $\Hom_k(K,Ω)→\Hom_k(k',Ω)$ +s'identifie à une application $G=\Gal(K\bo k)→\Gal(k'\bo k)$, dont +on vérifie immédiatement que c'est un morphisme de groupes. Son noyau +étant l'ensemble $\Gal(K\bo k')$ des applications $k'$-linéaires de $G$, +on a bien $G/H ⥲ \Gal(k'\bo k)$. + + +\subsection{Clôture galoisienne} + +À définir et donner construction explicite (cf. p. ex. Bhargava, +Satriano). + +\subsection{Application : le corps des nombres complexes est algébriquement clos} + +\begin{théorème2}\label{extensions-complexes-sur-reels} +L'extension $𝐑→𝐂=𝐑[I]/(I²+1)$ est une extension galoisienne de groupe +cyclique d'ordre deux engendré par la conjugaison complexe $a+bi↦a-bi$, où $i$ est la classe +de $I$ dans $𝐂$. Le corps $𝐂$ est algébriquement clos. +\end{théorème2} + +\begin{démo} +Par construction, l'extension $𝐂\bo 𝐑$ est un corps de rupture +du polynôme irréductible séparable $X²+1$. Ce polynôme étant de degré deux, +il est scindé sur $𝐂$ : $X²+1=(X+i)(X-i)$ dans $𝐂[X]$. +Elle est donc galoisienne, de groupe de cardinal $[𝐂:𝐑]=2$. +Le groupe $G_{𝐂\bo 𝐑}$ agit par permutation des racines (cf. \refext{CG}{}) +et trivialement sur $𝐑$. Le seul élément non trivial est donc la conjugaison +complexe. + + +Il reste à démontrer que $𝐂$ est algébriquement clos. La démonstration se fait +en trois étapes. + +\begin{enumerate} +\item \emph{Toute extension de $𝐑$ de degré impair est triviale.} +En effet, le corps $𝐑$ étant de caractéristique nulle donc parfait, +il résulte du théorème de l'élément primitif que toute extension finie +$K\bo 𝐑$ est un corps de décomposition d'un polynôme irréductible de degré +$[K:𝐑]$. Or, tout polynôme réel de degré impair a une racine ; il est donc +irréductible \ssi il est de degré un. + +\item \emph{Toute extension finie de $𝐑$ est de degré une puissance de deux.} +Soit $K\bo 𝐑$ une extension finie et $K'$ une clôture galoisienne de $K$ sur +$𝐑$. Puisque $[K:𝐑]$ divise $[K':𝐑]$, on peut supposer l'extension $K\bo 𝐑$ galoisienne. +Soit $S$ un $2$-Sylow de $G=G_{K\bo 𝐑}$. Le corps $\Fix_S(K)$ est de degré +$[G:S]$ sur $𝐑$ (cf. \refext{CG}{}). +Ce nombre est impair par hypothèse. D'après ce qui précède, on +a donc $[G:S]=1$, \cad $G=S$. CQFD. + +\item \emph{Toute extension finie de $𝐂$ est triviale.} +Soit $K\bo 𝐂$ une extension finie. D'après ce qui précède, +$K\bo 𝐑$ est une extension de degré une puissance de deux ; +il en est donc de même de $K\bo 𝐂$, que l'on peut supposer galoisienne. +Supposons l'extension non triviale et considérons +un sous-groupe $D$ d'indice $2$ dans $G=G_{K\bo 𝐂}$. +Il est nécessairement distingué dans $G$. L'extension +$\Fix_D(K)\bo 𝐂$ est de degré $2$. Une telle extension +est un corps de décomposition d'un polynôme quadratique +à coefficients complexes. Tout élément de $𝐂$ étant +un carré dans $𝐂$, un tel polynôme est scindé sur +$𝐂$ et $\Fix_D(K)=𝐂$. Contradiction. +\end{enumerate} +\end{démo} + +Dans un chapitre ultérieur, nous axiomatiserons cette démonstration +dans le cadre de l'étude des « corps réels clos ». + +\subsection{Groupe de Galois de l'extension cyclotomique} + +Cf. \ref{specialisation-groupe-de-Galois-elementaire}. + +\subsection{Fonctorialité : extension des scalaires} + +Soit +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[auto] +\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{ +K&K'\\k&k'\\}; +\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2); +\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-2-2); +\draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-2-1); +\draw[<-] (diag-1-2) -- (diag-2-2); +\end{tikzpicture} +\end{center} +un diagramme commutatif de corps. +Si $K\bo k$ et $K'\bo k'$ sont galoisiennes, le morphisme de restriction +(cf. \ref{sous-extension-normale}) +$$\Hom_{k'}(K',K')→\Hom_{k'∩K}(K,K)$$ +$$σ\mapsto σ_{|K}$$ + induit un morphisme de groupes $\Gal(K'\bo k')→\Gal(K\bo k)$, d'image contenue dans le sous-groupe +$\Gal(K\bo k'∩K)$. Ce morphisme est \emph{continu} car pour toute sous-$k$-extension galoisienne finie +$K₀$ de $K$, le noyau du morphisme composé $\Gal(K'\bo k')→\Gal(K\bo k)↠\Gal(K₀\bo k)$ contient +le sous-groupe \emph{ouvert} $\Gal(K'\bo k'K₀)$. + +\begin{convention2} +Soient $f₁:G₁→H$ et $f₂:G₂→H$ deux morphismes de groupes. On note +$G₁×_{f₁,H,f₂} G₂$ (ou simplement $G₁×_H G₂$) le sous-groupe +de $G₁×G₂$ constitué des paires $(g₁,g₂)$ telles que $f₁(g₁)=f₂(g₂)$. +On l'appelle \emph{produit fibré de $G₁$ et $G₂$ au-dessus de $H$} (cf. +\refext{Cat}{limite-produit-fibre}). Si les groupes sont des groupes topologiques, les +applications continues et $H$ \emph{séparé}, le produit fibré est \emph{fermé} +dans le produit cartésien. +\end{convention2} + +\begin{lemme2}\label{extensions-composees-isomorphes-et-galoisiennes} +Soient $K\bo k$ une extension galoisienne de groupe $G$, +et $k'\bo k$ une extension. +\begin{enumerate} +\item Les extensions composées de $K$ et $k'$ sur $k$ +sont toutes $k'$-isomorphes. +\item Elles sont galoisiennes sur $k'$. +\end{enumerate} +\end{lemme2} + +\begin{démo}[Première démonstration] +Cela résulte de \ref{gal=corps-dec-sep}, \ref{cb-corps-decomposition} +et \ref{unicite-extension-decomposition} (cf. aussi \ref{cb-extension-normale}). +\end{démo} + +\begin{démo}[Seconde démonstration (esquisse)] +L'action $k$-linéaire de $G$ sur $K$ induit une action $k'$-linéaire sur +l'anneau $A=K⊗_k k'$. Puisque les extensions composées de $K$ et $k'$ sur $k$ sont isomorphes +aux corps résiduels de cet anneau, il suffit pour démontrer (i) de vérifier que +$G$ agit transitivement sur $\Spec(K⊗_k k')$. +Soit ${k'}\alg$ une clôture algébrique de $k'$. Le morphisme +$\Spec(K⊗_k {k'}\alg)→\Spec(K⊗_k k')$ est surjectif +(\refext{Ent}{relèvement idéaux} ou \refext{Descente}{fidèle platitude}) +et $G$-équivariant donc on peut supposer $k'$ algébriquement clos. +Dans ce cas, $A$ est isomorphe comme $k'$-algèbre, munie +d'une action de $G$, à $\Hom_\cont(G,k')$ (\refext{Krull}{KtensK-cas-infini}). +Le spectre de cette algèbre est canoniquement isomorphe à $G$ +(\refext{Krull}{Spec(Hom(X,k))}) agissant (transitivement) sur lui-même par translation. + +De même, la $k$-algèbre $K$ étant étale donc formellement nette, il en est de même +de la $k'$-algèbre $K⊗_k k'$ (\ref{cb-nets}). Puisque toute extension +composée $K'$ est un quotient de $K⊗_k k'$, elle est donc étale sur +$k'$ (\refext{Alg}{etale stable par sous-quotient etc.}). +\end{démo} + +\begin{proposition2}\label{fonctorialite-finie-galois} +Soient $K\bo k$ une extension galoisienne et $k'\bo k$ une extension. +Considérons une extension composée $(K',u,u')$ de $K$ et $k'$ sur $k$ +et identifions $K$ et $k'$ à leurs images dans $K'$ par $u$ et $u'$. +Alors, +\begin{enumerate} +\item le morphisme de restriction $\Gal(K'\bo k')→\Gal(K\bo k)$ induit un isomorphisme +(dit de « translation ») +$$\Gal(K'\bo k') ⥲ \Gal(K\bo k'∩K);$$ +\item si $k'\bo k$ est galoisienne, les extensions $k'∩K\bo k$ et $K'\bo k$ le +sont également et le morphisme de double restriction +$\Gal(K'\bo k)→\Gal(K\bo k)× \Gal(k'\bo k)$ +induit un \emph{isomorphisme} +$$ +\Gal(K'\bo k) ⥲ \Gal(K\bo k)×_{\Gal(k'∩K\bo k)} \Gal(k'\bo k); +$$ +\item si $k'\bo k$ est galoisienne et $k=k'∩K$, le +morphisme de double restriction +$$ +\Gal(K'\bo k)→\Gal(K\bo k)×\Gal(k'\bo k) +$$ +est un isomorphisme. +\end{enumerate} +\end{proposition2} + +Le (iii) est un cas particulier du (ii). +%Rappelons que $K'$ est parfois noté $Kk'$ (cf. \ref{Kk'-pas-can}) + +\XXX Éventuellement donner corollaire $G=G₁×G₂$. + +Avant de commencer la démonstration, faisons un diagramme récapitulatif +des corps intervenant dans la proposition : + +$$ +\xymatrix{ +K \ar[rr]^{u} & & K'=Kk' \\ +& k'∩K \ar[ul] \ar[rd] \ar[ur] & \\ +k \ar[rr] \ar[uu] \ar[ur] & & k' \ar[uu]^{u'} +} +$$ + +%\begin{center} +%\begin{tikzpicture}[auto] +%\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{ +%K& & K'=Kk'\\ & K\cap k' & \\ k & & k' }; +%\end{tikzpicture} +%\end{center} + +\begin{démo} +(i) L'injectivité résulte de l'égalité $K'=k'[K]$ : si un automorphisme $k'$-linéaire +de $K'$ agit trivialement sur $K$, il agit trivialement sur $K'$. Le morphisme +de restriction étant continu de source le groupe \emph{compact} $G_{K'\bo k'}$, +son image est un sous-groupe \emph{fermé} de $\Gal(K\bo k'∩K)$. +D'après la correspondance de Galois infinie, montrer la surjectivité revient +à prouver que $\Fix_{\Gal(K'\bo k')}(K)=k'∩K$. Cette égalité +est conséquence immédiate de la suivante : $\Fix_{\Gal(K'\bo k')}(K')=k'$ (lemme +d'Artin). + +(ii) Supposons $k'\bo k$ galoisienne. L'extension $k'∩K\bo k$ (resp. $K'\bo k$) +est algébrique séparable car c'est une sous-extension (resp. une extension composée) +de l'extension algébrique séparable $K\bo k$ (resp. des extensions +algébriques séparables $K'\bo k$ et $k'\bo k$). L'extension $k'∩K\bo k$ +(resp. $K'\bo k$) est normale d'après \ref{inter-normales=normale} +(resp. \ref{cb-extension-normale}). + +L'injectivité du morphisme de double restriction résulte +à nouveau de l'égalité $K'=kK'$. Le fait que son image soit +contenue dans le produit fibré de l'énoncé est immédiat : un $k$-automorphisme +de $K'$ induit des automorphismes de $K$ et $k'$ qui coïncident sur $k'∩K$. +Réciproquement, considérons un élément $(σ_K,σ_{k'})$ du produit fibré, +\cad une paire automorphismes $k$-linéaires $σ_K:K→K$ et +$σ_{k'}:k'→k'$ telle que ${σ_K}_{|K∩k'}={σ_{k'}}_{|k'∩K}$. +On souhaite montrer qu'ils proviennent d'un automorphisme +$K'→K'$, \cad que $σ_K$ et $σ_{k'}$ s'étendent de façon compatible à $K'=Kk'$. +L'élément $(σ_K,σ_{k'})$ induit un isomorphisme +$σ=σ_K⊗σ_{k'}:K⊗_k k'→K⊗_k k'$ ; on souhaite +montrer que l'application composée $K⊗_k k'→K⊗_k k'\dessusdessous{u,u'}{↠}K'$ se +factorise à travers le quotient $K'$ de la source. +Par hypothèse, l'isomorphisme $σ$ est $k'∩K$-linéaire ; +il induit donc un isomorphisme $\tilde{σ}:K⊗_{k'∩K} k'⥲ K⊗_{k'∩K} k'$. + +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[auto] +\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{ +K⊗_k k' & K⊗_k k'\\ +K⊗_{k'∩K} k' & K⊗_{k'∩K} k' \\ +K' & K'\\}; +\draw[->] (diag-1-1) -- node{$σ$} (diag-1-2); +\draw[->] (diag-2-1) -- node{$\tilde{σ}$} (diag-2-2); +\draw[->] [densely dotted] (diag-3-1) -- (diag-3-2); +\draw[->>] (diag-1-1) -- (diag-2-1); +\draw[->>] (diag-1-2) -- (diag-2-2); +\draw[->>] (diag-2-1) -- (diag-3-1); +\draw[->>] (diag-2-2) -- (diag-3-2); +\end{tikzpicture} +\end{center} +D'après le (ii) du lemme ci-dessous, l'application canonique +$K⊗_{k'∩K} k'→ K'$ (donnée par $u$ et $u'$) est un isomorphisme +de sorte que $σ$ induit bien un isomorphisme $K' ⥲ K'$. +\end{démo} + +\begin{lemme3}\label{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes} +Soient $Ω\bo k$ une extension de corps et $K₁,K₂$ deux sous-$k$-extensions. +\begin{enumerate} +\item Si $K₁⊗_k K₂$ est un corps, $K₁∩K₂=k$. +\item Si $K₁\bo k$ est galoisienne et $K₁∩K₂=k$, le produit tensoriel $K₁⊗_k K₂$ est un \emph{corps}. +\end{enumerate} +\end{lemme3} + +\begin{démo} +(i) Soit $K=K₁∩K₂$ et considérons $x∈K$. L'élément $1⊗x-x⊗1$ de $K₁⊗_k K₂$ est d'image nulle par l'application +produit dans le corps $Ω$. Si $K₁⊗_k K₂$ est un corps, une telle application est +nécessairement injective, si bien que $1⊗x-x⊗1$ est nul dans $K₁⊗_k K₂$ donc +dans le sous-anneau $K⊗_k K$ auquel il appartient. +Or, si $x∉k$, les vecteurs $v₁=1$ et $v₂=x$ de $K$ sont linéairement indépendants sur $k$ +si bien que les tenseurs purs $v₁⊗v₂$ et $v₂⊗v₁$ sont $k$-linéairement indépendants dans +$K⊗_k K$. + +(ii) L'égalité $K₁⊗_k K₂=⋃ K₁'⊗_k K₂$, où $K₁'$ parcourt les sous-$k$-extensions finies +galoisiennes de $K₁$ et $K₁'⊗_k K₂$ est identifié à son image par le morphisme +injectif $K₁'⊗_k K₂↪K₁⊗_k K₂$ déduit de $K₁'↪K₁$, nous permet de supposer +l'extension $K₁\bo k$ \emph{finie} galoisienne. +Sous cette hypothèse, elle est monogène : $K₁≃k[X]/f$ où $f$ est unitaire, +irréductible sur $k$, et scindé sur $K₁$ car $K₁\bo k$ est normale. +On souhaite montrer que sous l'hypothèse $K₁∩K₂=k$, +le produit tensoriel $K₁⊗_k K₂≃K₂[X]/f$ est un corps. +Soit $g$ unitaire divisant $f$ dans $K₂[X]$. +Il est unitaire scindé sur $K₁$ donc appartient à $K₁[X]$. +Ainsi, $g∈K₂[X]∩K₁[X]=k[X]$ donc $g=f$ ou $g=1$ : le polynôme +$f$ est donc irréductible dans $K₂[X]$. CQFD. +\end{démo} + +\begin{remarque2} +L'argument d'algèbre linéaire donné en (i) montre que quelles que soient les +extensions $K₁\bo k$ et $K₂\bo k$ on a l'égalité $K₁∩K₂=k$ +dans l'anneau $A=K₁⊗_k K₂$, où $K₁$ (resp. $K₂$) est identifié +à son image par l'injection $K₁→A$, $λ₁↦λ₁⊗1$ (resp. $K₂→A$, $λ₂↦1⊗λ₂$). +\end{remarque2} + + +\subsection{Exercices} + +\begin{exercice2}\label{isom-non-cont} +Exemple de groupe profini $G$ et d'un isomorphisme $G→G$ +non continu. +%Montrer que si $f:\FF₂^{(𝐍)}→\FF₂^{(𝐍)}$ est un isomorphisme +%non continu, sa transposée est un isomorphisme non continu +%de $\FF₂^𝐍→\FF₂^𝐍$. (\XXX David pense que c'est vrai.) +\end{exercice2} + +\begin{exercice2} +[Mettre ce qui peut l'être sous forme d'exercice\XXX] +Pour tout groupe $G$, on note $\chap{G}$ son \emph{complété profini}. +La flèche $\chap{G}→\chap{\chap{G}}$ n'est pas toujours un isomorphisme. +De même, si $G$ est un groupe profini, $G→\chap{G}$ n'est pas toujours un isomorphisme. +Cependant, c'est vrai si $G$ est topologiquement de type fini (utilise classification des +groupes finis simples). [Cf. Bardavid, « Profinite… »] +\end{exercice2} + +\begin{exercice2} +Soient $k$ un corps muni de la topologie discrète, $G$ un groupe topologique +et $A$ la $k$-algèbre des fonctions continues (\cad localement constantes) de $G$ dans $k$. +On fait agir $G$ sur $A$ par translation à droite sur les fonctions. +\begin{enumerate} +\item Montrer que $\Fix_G(A)=k$. +\item Montrer que si $G→\Spec(A)$ n'est pas un isomorphisme, +le groupe $G$ n'agit pas transitivement sur $\Spec(A)$. +\item Vérifier que si $G$ et le groupe non compact $𝐐/𝐙$, $\Spec(A)$ contient strictement $G$. +\end{enumerate} + +On verra plus tard (\ref{}) que si l'on considère un groupe \emph{fini} +$G$, agissant sur un anneau $A$, l'action de $G$ est transitive sur les fibres +du morphisme $\Spec(A)→\Spec(\Fix_G(A))$. +\end{exercice2} + + +\begin{exercice2} +Soit $G$ un groupe profini agissant fidèlement sur un corps $K$. +Montrer que si l'action est \emph{admissible}, l'extension $K\bo \Fix_G(K)$ est +galoisienne de groupe $G$. +\end{exercice2} + +\begin{exercice2} +Soit $K\bo k$ une extension galoisienne de groupe $G₁×G₂$. +Posons $K₁=\Fix_{G₂}(K)$ et $K₂=\Fix_{G₁}(K)$. +\begin{enumerate} +\item Montrer que $K₁ ∩ K₂=k$. +\item Démontrer explicitement que $K=K₁K₂$ \XXX. +\end{enumerate} +\end{exercice2} + + +\ifx\danslelivre\undefined +\bibliography{bibliographie-livre} +\bibliographystyle{style-bib-livre} +\end{document} +\fi |