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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-01-12 15:17:59 +0100 |
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[CG] 2 définitions et un exemple (𝐙/4 et 𝐙/2×𝐙/2-torseur)
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diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex index 21e5252..6806bdd 100644 --- a/chapitres/correspondance-galois.tex +++ b/chapitres/correspondance-galois.tex @@ -9,6 +9,8 @@ \input{../configuration/formules} \input{../configuration/encoredesmacros} +\synctex=1 + \usepackage{stmaryrd} \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} @@ -715,20 +717,77 @@ locale). Dans la première partie de ce livre, le contenu de ce paragraphe ne se qu'en \refext{formes}{G-torseurs sur k} et \refext{versel}{base normale et algèbres galoisiennes verselles}. +\begin{définition2}\label{pseudo-torseur} +Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre +et $G$ un groupe fini de $A$-automorphismes de $B$. +On dit que $B$ est un \emph{pseudo-torseur} \index{pseudo-torseur} +sous $G$, ou encore un \emph{pseudo-$G$-torseur} +si le morphisme +\[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B)\] +\[λ ⊗ μ ↦ \big(g(λ)μ\big)_g\] +est un isomorphisme. +\end{définition2} + + +Cette condition est équivalente à la suivante : +dans la catégorie $\Hom(\Alg,\Ens)$, +le morphisme naturel +\[\japmath{田}(B) × G → \japmath{田}(B) ×_{\japmath{田}(A)} \japmath{田}(B)\] +correspondant sur les points à $(y,g) ↦ (g(y),y)$ +(cf. \refext{Cat}{lemme-de-yoneda}) est un isomorphisme. +De cette façon, on peut définir la notion +de pseudo-$G$-torseur dans des catégories plus générales +que $\Hom(\Alg,\Ens)$. + +\begin{définition2}\label{décomposition-inertie} +Soient $B$ un anneau et $G$ un groupe fini agissant par +automorphismes. Pour tout idéal premier $𝔮∈\Spec(B)$, on +appelle \emph{groupe de décomposition}\index{groupe de décomposition} +(resp. \emph{groupe d'inertie}\index{groupe d'inertie}) de $𝔮$ le +stabilisateur $G_D(𝔮)=\{g∈G:g(𝔮)=𝔮\}$ (resp. +son sous-groupe $G_I(𝔮)=\Ker\big(G_D(𝔮) → \Aut(B/𝔮)\big)$, +où $g ∈ G_D(𝔮)$ agit sur le quotient $B/ 𝔮$ par $x \mod 𝔮 ↦ g(x) \mod +𝔮$). +\end{définition2} + +Lorsqu'aucune ambiguïté ne semble possible, +on écrit $D(𝔮)$ (resp. $I(𝔮)$) pour $G_D(𝔮)$ +(resp. $G_I(𝔮)$). Signalons également que +dans la littérature de la première moitié +du $XX$e siècle, on trouve parfois +les lettres $Z$ (« Zerlegung ») et $T$ (« Trägheit ») +au lieu de $D$ et $I$ respectivement. + +On trouvera en \refext{Ent}{décomposition-inertie et quotient} une +application de cette construction à l'étude +de la « spécialisation » du groupe de Galois (généralisation +des résultats de \ref{réduction mod p} ci-après). + +\begin{définition2}\label{action sans inertie} +Soit $B$ un anneau. On dit qu'une action d'un groupe +$G$ sur $B$ par automorphismes est \emph{sans inertie} +si pour tout $𝔮 ∈ \Spec(B)$ le groupe $G_I(𝔮)$ est trivial. +\end{définition2} + +Voir \ref{sans inertie via points fermés} pour une condition +équivalente. + +\begin{exercice2}\label{sans inertie via points fermés} +Montrer qu'un groupe $G$ agit sans inertie sur +un anneau $B$ si et seulement si +pour chaque $𝔪 ∈ \Specmax(B)$ et +chaque $g ∈ G-\{1\}$, il existe $b ∈ B$ tel que $g(b)-b$ +n'appartienne pas à $𝔪$. +\end{exercice2} + \begin{théorème2}\label{algèbres galoisiennes conditions équivalentes}Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre et $G$ un groupe fini de $A$-automorphismes de $B$. Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} \item Le morphisme $A → B$ est fidèlement plat -et le morphisme -\[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B)\] -\[λ ⊗ μ ↦ \big(g(λ)μ\big)_g\] -est un isomorphisme (« pseudo-$G$-torseur »). +et fait de $B$ un pseudo-$G$-torseur. \item Le morphisme $A → B$ est injectif, $A=\Fix_G(B)$ -et pour tout idéal maximal $𝔪 ∈ \Specmax(A)$ et tout -$g ∈ G-\{1\}$, il existe $a ∈ A$ tel que $g(x)-x ∉ 𝔪$ -(« groupes d'inerties triviaux »). - +et l'action de $G$ sur $B$ est sans inertie. \item Le morphisme $A → B$ est injectif, $A=\Fix_G(B)$, et il existe un entier $n ≥1$ ainsi que deux éléments $x$ et $y$ de $B^n$ tels que l'on ait @@ -744,10 +803,10 @@ est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit \end{enumerate} \end{théorème2} -\begin{définition2}\label{algèbre G-galoisienne} +\begin{définition2}\label{algèbre G-galoisienne}\index{algèbre galoisienne} Soient $A → B$ un morphisme d'anneaux et $G$ un groupe fini -de $A$-automorphismes de $B$. On dit que $B$ est une $A$-algèbre -galoisienne de groupe $G$ lorsque les conditions +de $A$-automorphismes de $B$. On dit que $B$ est une \emph{$A$-algèbre +galoisienne de groupe $G$} lorsque les conditions équivalentes du théorème précédent sont satisfaites. \end{définition2} @@ -761,28 +820,41 @@ sera dite \emph{galoisienne sur $A$} s'il existe un sous-groupe $G$ non spécifié de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$ tel que $B$ soit galoisienne de groupe $G$ sur $A$. -\begin{miseengarde2}En général, une $A$-algèbre -galoisienne peut l'être pour des groupes non-isomorphes. -Il résulte du théorème qu'ils sont cependant -nécessairement de même ordre. -Exemple \XXX. %Cf. Generic@JLY pour des détails/exemples. +\begin{miseengarde2}Une $A$-algèbre +galoisienne peut l'être pour des groupes non-isomorphes, +quoique nécessairement de même ordre. +Faisons par exemple agir un générateur de $G₁=𝐙/4$ +sur $B=𝐂×𝐂$ par $(a,b) ↦ (\sur{b},a)$ et +les deux générateurs canoniques de $G₂=𝐙/2 × 𝐙/2$ +par la conjugaison $(a,b) ↦ (\sur{a},\sur{b})$ et +la permutation $(a,b) ↦ (b,a)$. +Il est clair que $\Fix_{G₁}(B)=𝐑=\Fix_{G₂}(B)$. +D'autre part, les sous-groupes de décomposition +$(𝐙/4)_D(0 × 𝐂)$ et $(𝐙/2 × 𝐙/2)_D(0 × 𝐂)$ sont +les sous-groupes d'indice deux engendrés par la conjugaison. +La conjugaison agissant non trivialement sur le quotient $𝐂=B / (0 × 𝐂)$, +et ce résultat étant également vrai pour le second +idéal premier $𝐂×0$ de $B$, le critère (ii) +ci-dessus est donc satisfait : $B$ est une $𝐑$-algèbre +galoisienne de groupe à la fois $𝐙/4$ et $𝐙/2 × 𝐙/2$. \end{miseengarde2} On a malgré tout le résultat positif suivant. \begin{proposition2}\label{connexe implique G=Aut} -Si $A → B$ galoisienne de groupe $G$ et $B$ est connexe (par -exemple intègre), alors $G=\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$. +Si $B$ est une $A$-algèbre connexe galoisienne de groupe $G$ +et est \emph{connexe} alors $G=\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$. \end{proposition2} +Cette proposition s'applique notamment lorsque $B$ est intègre. + \begin{démo} -Soit $H(A)=\Hom_A(B,B)$ l'ensemble des endomorphismes -de la $A$-algèbre $B$. Pour toute $A$-algèbre $A ′$, -posons plus généralement : $H(A ′):=\Hom_{A ′}(B_{A ′}, B_{A′})$ où -$B_{A ′}=B ⊗_A A ′$ muni de la structure de $A ′$-algèbre +Pour toute $A$-algèbre $A ′$, notons +$H(A ′)$ l'ensemble $\Hom_{A ′\traitdunion\Alg}(B_{A ′}, B_{A′})$ +où $B_{A ′}=B ⊗_A A ′$ est muni de la structure de $A ′$-algèbre évidente. Le morphisme $f ↦ f ⊗_A \Id_{A ′}$ induit un morphisme de $A$-modules $H(A) → H(A ′)$. -Si $A → A ′$ est fidèlement plat, on a $H(A) ↪ H(A ′)$ +Si $A → A ′$ est fidèlement plat, ce morphisme est injectif car $B$ est de type fini (cf. \refext{Tens}{}). Calculons $H(B)$. On a par hypothèse un isomorphisme canonique $B_B = B^G$ donc $H(B) = \Hom_B(B^G,B^G)$. La propriété @@ -792,8 +864,9 @@ $H(B)=(∐_G \Hom_B(B,B))^G=G^G$. L'image de $H(A)$ dans $H(B)$ est $G$-invariante, où l'action de $G$ sur $H(B)$ vient de l'action de $G$ sur $B$ et de la fonctorialité de $H$. On vérifie immédiatement que cette action -sur $H(B)$ correspondent, par l'isomorphisme -$H(B) ≃ G^G$, à l'action de translation de $G$ \XXX. +sur $H(B)$ correspond, par l'isomorphisme +$H(B) = G^G$ ci-dessus, à l'action de translation de $G$ sur +les fonctions \XXX. En particulier, l'ensemble des points fixes est de cardinal $♯G$. On a donc $♯H(A)= ♯G$ d'où les égalités $G=\End_A(B)=\Aut_A(B)$. @@ -1086,7 +1159,7 @@ Enfin, c'est un fait général que si groupe fini $G$ agit transitivement sur un ensemble fini $X$, on a $\#X | \# G$. \end{démo} -\subsection{Réduction modulo $p$} +\subsection{Réduction modulo $p$}\label{réduction mod p} \subsubsection{}Soient $f=X^d+a₁X^{d-1}+\cdots+a_d∈𝐙[X]$ un polynôme à coefficients entiers, $K$ un corps de décomposition de $f$ |