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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-12 15:17:59 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-12 15:17:59 +0100
commitb3310644d556d5e03889bce91ad8627d2b1a71b4 (patch)
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[CG] 2 définitions et un exemple (𝐙/4 et 𝐙/2×𝐙/2-torseur)
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-rw-r--r--chapitres/correspondance-galois.tex125
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index 21e5252..6806bdd 100644
--- a/chapitres/correspondance-galois.tex
+++ b/chapitres/correspondance-galois.tex
@@ -9,6 +9,8 @@
\input{../configuration/formules}
\input{../configuration/encoredesmacros}
+\synctex=1
+
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
@@ -715,20 +717,77 @@ locale). Dans la première partie de ce livre, le contenu de ce paragraphe ne se
qu'en \refext{formes}{G-torseurs sur k} et \refext{versel}{base normale et algèbres
galoisiennes verselles}.
+\begin{définition2}\label{pseudo-torseur}
+Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre
+et $G$ un groupe fini de $A$-automorphismes de $B$.
+On dit que $B$ est un \emph{pseudo-torseur} \index{pseudo-torseur}
+sous $G$, ou encore un \emph{pseudo-$G$-torseur}
+si le morphisme
+\[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B)\]
+\[λ ⊗ μ ↦ \big(g(λ)μ\big)_g\]
+est un isomorphisme.
+\end{définition2}
+
+
+Cette condition est équivalente à la suivante :
+dans la catégorie $\Hom(\Alg,\Ens)$,
+le morphisme naturel
+\[\japmath{田}(B) × G → \japmath{田}(B) ×_{\japmath{田}(A)} \japmath{田}(B)\]
+correspondant sur les points à $(y,g) ↦ (g(y),y)$
+(cf. \refext{Cat}{lemme-de-yoneda}) est un isomorphisme.
+De cette façon, on peut définir la notion
+de pseudo-$G$-torseur dans des catégories plus générales
+que $\Hom(\Alg,\Ens)$.
+
+\begin{définition2}\label{décomposition-inertie}
+Soient $B$ un anneau et $G$ un groupe fini agissant par
+automorphismes. Pour tout idéal premier $𝔮∈\Spec(B)$, on
+appelle \emph{groupe de décomposition}\index{groupe de décomposition}
+(resp. \emph{groupe d'inertie}\index{groupe d'inertie}) de $𝔮$ le
+stabilisateur $G_D(𝔮)=\{g∈G:g(𝔮)=𝔮\}$ (resp.
+son sous-groupe $G_I(𝔮)=\Ker\big(G_D(𝔮) → \Aut(B/𝔮)\big)$,
+où $g ∈ G_D(𝔮)$ agit sur le quotient $B/ 𝔮$ par $x \mod 𝔮 ↦ g(x) \mod
+𝔮$).
+\end{définition2}
+
+Lorsqu'aucune ambiguïté ne semble possible,
+on écrit $D(𝔮)$ (resp. $I(𝔮)$) pour $G_D(𝔮)$
+(resp. $G_I(𝔮)$). Signalons également que
+dans la littérature de la première moitié
+du $XX$e siècle, on trouve parfois
+les lettres $Z$ (« Zerlegung ») et $T$ (« Trägheit »)
+au lieu de $D$ et $I$ respectivement.
+
+On trouvera en \refext{Ent}{décomposition-inertie et quotient} une
+application de cette construction à l'étude
+de la « spécialisation » du groupe de Galois (généralisation
+des résultats de \ref{réduction mod p} ci-après).
+
+\begin{définition2}\label{action sans inertie}
+Soit $B$ un anneau. On dit qu'une action d'un groupe
+$G$ sur $B$ par automorphismes est \emph{sans inertie}
+si pour tout $𝔮 ∈ \Spec(B)$ le groupe $G_I(𝔮)$ est trivial.
+\end{définition2}
+
+Voir \ref{sans inertie via points fermés} pour une condition
+équivalente.
+
+\begin{exercice2}\label{sans inertie via points fermés}
+Montrer qu'un groupe $G$ agit sans inertie sur
+un anneau $B$ si et seulement si
+pour chaque $𝔪 ∈ \Specmax(B)$ et
+chaque $g ∈ G-\{1\}$, il existe $b ∈ B$ tel que $g(b)-b$
+n'appartienne pas à $𝔪$.
+\end{exercice2}
+
\begin{théorème2}\label{algèbres galoisiennes conditions équivalentes}Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre
et $G$ un groupe fini de $A$-automorphismes de $B$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item Le morphisme $A → B$ est fidèlement plat
-et le morphisme
-\[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B)\]
-\[λ ⊗ μ ↦ \big(g(λ)μ\big)_g\]
-est un isomorphisme (« pseudo-$G$-torseur »).
+et fait de $B$ un pseudo-$G$-torseur.
\item Le morphisme $A → B$ est injectif, $A=\Fix_G(B)$
-et pour tout idéal maximal $𝔪 ∈ \Specmax(A)$ et tout
-$g ∈ G-\{1\}$, il existe $a ∈ A$ tel que $g(x)-x ∉ 𝔪$
-(« groupes d'inerties triviaux »).
-
+et l'action de $G$ sur $B$ est sans inertie.
\item Le morphisme $A → B$ est injectif, $A=\Fix_G(B)$,
et il existe un entier $n ≥1$ ainsi que deux éléments
$x$ et $y$ de $B^n$ tels que l'on ait
@@ -744,10 +803,10 @@ est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit
\end{enumerate}
\end{théorème2}
-\begin{définition2}\label{algèbre G-galoisienne}
+\begin{définition2}\label{algèbre G-galoisienne}\index{algèbre galoisienne}
Soient $A → B$ un morphisme d'anneaux et $G$ un groupe fini
-de $A$-automorphismes de $B$. On dit que $B$ est une $A$-algèbre
-galoisienne de groupe $G$ lorsque les conditions
+de $A$-automorphismes de $B$. On dit que $B$ est une \emph{$A$-algèbre
+galoisienne de groupe $G$} lorsque les conditions
équivalentes du théorème précédent sont satisfaites.
\end{définition2}
@@ -761,28 +820,41 @@ sera dite \emph{galoisienne sur $A$} s'il existe un sous-groupe $G$
non spécifié de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$ tel que
$B$ soit galoisienne de groupe $G$ sur $A$.
-\begin{miseengarde2}En général, une $A$-algèbre
-galoisienne peut l'être pour des groupes non-isomorphes.
-Il résulte du théorème qu'ils sont cependant
-nécessairement de même ordre.
-Exemple \XXX. %Cf. Generic@JLY pour des détails/exemples.
+\begin{miseengarde2}Une $A$-algèbre
+galoisienne peut l'être pour des groupes non-isomorphes,
+quoique nécessairement de même ordre.
+Faisons par exemple agir un générateur de $G₁=𝐙/4$
+sur $B=𝐂×𝐂$ par $(a,b) ↦ (\sur{b},a)$ et
+les deux générateurs canoniques de $G₂=𝐙/2 × 𝐙/2$
+par la conjugaison $(a,b) ↦ (\sur{a},\sur{b})$ et
+la permutation $(a,b) ↦ (b,a)$.
+Il est clair que $\Fix_{G₁}(B)=𝐑=\Fix_{G₂}(B)$.
+D'autre part, les sous-groupes de décomposition
+$(𝐙/4)_D(0 × 𝐂)$ et $(𝐙/2 × 𝐙/2)_D(0 × 𝐂)$ sont
+les sous-groupes d'indice deux engendrés par la conjugaison.
+La conjugaison agissant non trivialement sur le quotient $𝐂=B / (0 × 𝐂)$,
+et ce résultat étant également vrai pour le second
+idéal premier $𝐂×0$ de $B$, le critère (ii)
+ci-dessus est donc satisfait : $B$ est une $𝐑$-algèbre
+galoisienne de groupe à la fois $𝐙/4$ et $𝐙/2 × 𝐙/2$.
\end{miseengarde2}
On a malgré tout le résultat positif suivant.
\begin{proposition2}\label{connexe implique G=Aut}
-Si $A → B$ galoisienne de groupe $G$ et $B$ est connexe (par
-exemple intègre), alors $G=\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$.
+Si $B$ est une $A$-algèbre connexe galoisienne de groupe $G$
+et est \emph{connexe} alors $G=\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$.
\end{proposition2}
+Cette proposition s'applique notamment lorsque $B$ est intègre.
+
\begin{démo}
-Soit $H(A)=\Hom_A(B,B)$ l'ensemble des endomorphismes
-de la $A$-algèbre $B$. Pour toute $A$-algèbre $A ′$,
-posons plus généralement : $H(A ′):=\Hom_{A ′}(B_{A ′}, B_{A′})$ où
-$B_{A ′}=B ⊗_A A ′$ muni de la structure de $A ′$-algèbre
+Pour toute $A$-algèbre $A ′$, notons
+$H(A ′)$ l'ensemble $\Hom_{A ′\traitdunion\Alg}(B_{A ′}, B_{A′})$
+où $B_{A ′}=B ⊗_A A ′$ est muni de la structure de $A ′$-algèbre
évidente. Le morphisme $f ↦ f ⊗_A \Id_{A ′}$ induit
un morphisme de $A$-modules $H(A) → H(A ′)$.
-Si $A → A ′$ est fidèlement plat, on a $H(A) ↪ H(A ′)$
+Si $A → A ′$ est fidèlement plat, ce morphisme est injectif
car $B$ est de type fini (cf. \refext{Tens}{}).
Calculons $H(B)$. On a par hypothèse un isomorphisme canonique
$B_B = B^G$ donc $H(B) = \Hom_B(B^G,B^G)$. La propriété
@@ -792,8 +864,9 @@ $H(B)=(∐_G \Hom_B(B,B))^G=G^G$. L'image de $H(A)$ dans $H(B)$
est $G$-invariante, où l'action de $G$ sur $H(B)$ vient
de l'action de $G$ sur $B$ et de la fonctorialité
de $H$. On vérifie immédiatement que cette action
-sur $H(B)$ correspondent, par l'isomorphisme
-$H(B) ≃ G^G$, à l'action de translation de $G$ \XXX.
+sur $H(B)$ correspond, par l'isomorphisme
+$H(B) = G^G$ ci-dessus, à l'action de translation de $G$ sur
+les fonctions \XXX.
En particulier, l'ensemble des points fixes
est de cardinal $♯G$. On a donc $♯H(A)= ♯G$ d'où
les égalités $G=\End_A(B)=\Aut_A(B)$.
@@ -1086,7 +1159,7 @@ Enfin, c'est un fait général que si groupe fini $G$ agit transitivement
sur un ensemble fini $X$, on a $\#X | \# G$.
\end{démo}
-\subsection{Réduction modulo $p$}
+\subsection{Réduction modulo $p$}\label{réduction mod p}
\subsubsection{}Soient $f=X^d+a₁X^{d-1}+\cdots+a_d∈𝐙[X]$ un polynôme
à coefficients entiers, $K$ un corps de décomposition de $f$