[CG] fin (passagèrement) sorites sur algèbres galoisiennes

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@@ -48,6 +48,8 @@
 %— définir proprement clôture galoisienne (dire que ≤n! =
 % analogue de « tout sous-groupe d'indice n est contenu dans
 % un distingué d'indice ≤ n! »)
+%— régler une fois pour toute la question de savoir si la convention
+% B ⊗ B → B^G, λ ⊗ μ ↦ g(λ)μ est la bonne™ ou pas.
 
 
 \section{Conjugués d'un élément, extensions normales et galoisiennes}
@@ -713,7 +715,7 @@ locale). Dans la première partie de ce livre, le contenu de ce paragraphe ne se
 qu'en \refext{formes}{G-torseurs sur k} et \refext{versel}{base normale et algèbres
 galoisiennes verselles}.
 
-\begin{théorème2}Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre
+\begin{théorème2}\label{algèbres galoisiennes conditions équivalentes}Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre
 et $G$ un groupe fini de $A$-automorphismes de $B$.
 Les conditions suivantes sont équivalentes :
 \begin{enumerate}
@@ -721,16 +723,17 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes :
 et le morphisme
 \[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B)\]
 \[λ ⊗ μ ↦ \big(g(λ)μ\big)_g\]
-est un isomorphisme.
+est un isomorphisme (« pseudo-$G$-torseur »).
 \item Le morphisme $A → B$ est injectif, $A=\Fix_G(B)$
 et pour tout idéal maximal $𝔪 ∈ \Specmax(A)$ et tout
-$g ∈ G-\{1\}$, il existe $a ∈ A$ tel que $g(x)-x ∉ 𝔪$.
+$g ∈ G-\{1\}$, il existe $a ∈ A$ tel que $g(x)-x ∉ 𝔪$
+(« groupes d'inerties triviaux »).
 
 \item Le morphisme $A → B$ est injectif, $A=\Fix_G(B)$,
 et il existe un entier $n ≥1$ ainsi que deux éléments
 $x$ et $y$ de $B^n$ tels que l'on ait
 $⟨x,g(y)⟩= δ_{g,1}$ pour tout $g ∈ G$, où $⟨,⟩$ est la forme
-bilinéaire euclidienne usuelle.
+bilinéaire euclidienne usuelle et $g(y)=(g(y₁), …,g(y_n))$.
 
 \item Le $A$-module $B$ est projectif de type fini et
 le morphisme $ι:B\{G\} → \End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$
@@ -743,19 +746,26 @@ est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit
 
 \begin{définition2}
 Soient $A → B$ un morphisme d'anneaux et $G$ un groupe fini
-de $A$-automorphismes. On dit que $B$ est une $A$-algèbre
+de $A$-automorphismes de $B$. On dit que $B$ est une $A$-algèbre
 galoisienne de groupe $G$ lorsque les conditions
 équivalentes du théorème précédent sont satisfaites.
 \end{définition2}
 
-Nous dirons également que $B$ est galoisienne sur $A$
-s'il existe un sous-groupe $G$ de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$ tel que
-$B$ soit galoisienne de groupe $G$.
+Une extension de corps $L\bo K$ finie et galoisienne est galoisienne de
+groupe $\Aut_K(L)$ au sens précédent : cela résulte du critère (v)
+et de l'égalité $\Fix_{\Aut_K(L)}(L)=K$ (\ref{KsurG=k}) ou bien
+du critère (i) et du théorème \ref{galois=autodiag}.
+
+Nous commettrons parfois l'abus de langage suivant : une $A$-algèbre $B$
+sera dite \emph{galoisienne sur $A$} s'il existe un sous-groupe $G$
+non spécifié de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$ tel que
+$B$ soit galoisienne de groupe $G$ sur $A$.
 
 \begin{miseengarde2}En général, une $A$-algèbre
-galoisienne peut l'être pour des groupes non-isomorphes
-(mais nécessairement de même cardinal, comme il résulte
-du théorème). Cf. Generic@JLY pour des détails/exemples.
+galoisienne peut l'être pour des groupes non-isomorphes.
+Il résulte du théorème qu'ils sont cependant
+nécessairement de même ordre.
+Exemple \XXX. %Cf. Generic@JLY pour des détails/exemples.
 \end{miseengarde2}
 
 On a malgré tout le résultat positif suivant.
@@ -765,13 +775,53 @@ Si $A → B$ galoisienne de groupe $G$ et $B$ est connexe (par
 exemple intègre), alors $G=\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$.
 \end{proposition2}
 
-Cette proposition sera démontrée ci-après.
+\begin{démo}
+Soit $H(A)=\Hom_A(B,B)$ l'ensemble des endomorphismes
+de la $A$-algèbre $B$. Pour toute $A$-algèbre $A ′$,
+posons plus généralement : $H(A ′):=\Hom_{A ′}(B_{A ′}, B_{A′})$ où
+$B_{A ′}=B ⊗_A A ′$ muni de la structure de $A ′$-algèbre
+évidente. Le morphisme $f ↦ f ⊗_A \Id_{A ′}$ induit
+un morphisme de $A$-modules $H(A) → H(A ′)$.
+Si $A → A ′$ est fidèlement plat, on a $H(A) ↪ H(A ′)$
+car $B$ est de type fini (cf. \refext{Tens}{}).
+Calculons $H(B)$. On a par hypothèse un isomorphisme canonique
+$B_B = B^G$ donc $H(B) = \Hom_B(B^G,B^G)$. La propriété
+universelle du produit cartésien nous donne : $H(B)=\Hom_B(B^G,B)^G$.
+Enfin, si $B$ est connexe, on a (\refext{Spec}{produit=somme})
+$H(B)=(∐_G \Hom_B(B,B))^G=G^G$. L'image de $H(A)$ dans $H(B)$
+est $G$-invariante, où l'action de $G$ sur $H(B)$ vient
+de l'action de $G$ sur $B$ et de la fonctorialité
+de $H$. On vérifie immédiatement que cette action
+sur $H(B)$ correspondent, par l'isomorphisme
+$H(B) ≃ G^G$, à l'action de translation de $G$ \XXX.
+En particulier, l'ensemble des points fixes
+est de cardinal $♯G$. On a donc $♯H(A)= ♯G$ d'où
+les égalités $G=\End_A(B)=\Aut_A(B)$.
+\end{démo}
+
+L'égalité $\End_A(B)=\Aut_A(B)$ se généralise de la façon suivante (voir aussi \ref{Hom=Aut}).
+
+\begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide}
+Soit $A$ un anneau et soit $G$ un groupe fini.
+Tout $A$-morphisme entre deux $A$-algèbres galoisiennes de groupe $G$
+est un isomorphisme.
+\end{proposition2}
+
+%On dit que la catégorie des $G$-algèbres galoisiennes
+%est un \emph{groupoïde}.
 
-Il résulte de \ref{galois=autodiag} qu'une extension de
-corps $L\bo K$ finie et galoisienne est galoisienne de
-groupe $\Aut_K(L)$ au sens précédent (critère (i)), et réciproquement.
+\begin{démo}
+Par changement de base trivialisant les deux algèbres \XXX,
+il suffit de montrer que tout $A$-morphisme $G$-équivariant
+de $A^G$ vers $A^G$ est un isomorphisme. Un module
+entre $A$-module libre est inversible si et seulement si
+son déterminant est une unité. Ce critère se teste après
+réduction modulo $𝔪$ pour $𝔪 ∈ \Specmax(X)$. On peut
+donc finalement supposer que $A$ est un corps et en particulier
+connexe. Cela résulte alors de la proposition précédente.\XXX
+\end{démo}
 
-\begin{démo}[Démonstration du théorème]
+\begin{démo}[Démonstration du théorème \ref{algèbres galoisiennes conditions équivalentes}]
 (i) ⇒ (iii). Le fait que $A → B$ soit injectif n'est mis que pour
 mémoire : un morphisme fidèlement plat est, par définition,
 injectif et plat. Soit $b ∈ B$. Il résulte de la fidèle
@@ -843,7 +893,10 @@ où $\Tr:B → B^∨$ est le morphisme $b ↦ ∑_g g(b)$,
 $B ⊗_A B^∨ → \End_A(B)$ est le morphisme évident
 $b ⊗ f ↦ \big(x ↦ f(x)b\big)$ et $ι^{-1}$ est l'application
 linéaire sous-jacente à l'inverse du morphisme de $A$-algèbres
-non-nécessairement commutatives $ι$. D'après \refext{descente}{Hom=produit tensoriel si
+non-nécessairement commutatives $ι$.
+[En fait c'est $λ ⊗ μ ↦ (λ g(μ))$ ; faire le calcul et dire que c'est
+pas grave. \XXX]
+D'après \refext{descente}{Hom=produit tensoriel si
 projectif} et l'hypothèse, les deux dernières flèches sont
 des isomorphismes. Il suffit donc de démontrer que la trace
 $\Tr$ induit un isomorphisme $B ⥲ B^∨$. (Comparer
@@ -857,45 +910,37 @@ paire $(g,h) ∈ G²$. En particulier, $b_g=h(b₁)$
 et $f(x)=\Tr(b₁ x)$ pour tout $x ∈ B$. CQFD.
 \end{démo}
 
-\begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide}
-Tout morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres
-galoisiennes de groupe $G$ est un isomorphisme.
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-\XXX
-\end{démo}
-
-\begin{démo}[Démonstration de la proposition \ref{connexe implique G=Aut}]
-Cf. DeMeyer par exemple \XXX
-\end{démo}
 
 Signalons l'analogue suivant de \refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net} (iii).
 
 \begin{proposition2}
-Soient $B\bo A$ une algèbre galoisienne.
-$Ω¹_{B/A}=0$ : $B$ est formellement nette sur $A$.
+Toute algèbre galoisienne sur un anneau $A$
+est formellement nette sur $A$.
 \end{proposition2}
 
 \begin{démo}
-\XXX
+Soient $B$ une telle algèbre sur $A$, $M$ un $B$-module
+et $d:B → M$ une $A$-dérivation.
+Notons $B ′ = B ⊗_A B$. En tant que $B$-algèbre,
+elle est diagonale : il existe $n ∈ 𝐍_{≥1}$ tel que $B ′ ≃ B^n$.
+Considérons l'application $B$-linéaire
+$d ′ : B ′ → M ′$ définie par $d ′(b₁ ⊗ b₂)=d(b₁) ⊗ b₂$.
+On immédiatement que $d ′$ est une $B$-dérivation de $B ′$
+à valeur dans $M ′$. Par fidèle platitude, le morphisme $M → M ′:=M ⊗_A B$
+est injectif de sorte que si $d ′=0$ on a également $d=0$.
+Or, il est clair que $B^n$ est formellement nette sur $B$. CQFD.
 \end{démo}
 
-\begin{corollaire2}
-Notion stable par changement de base.
-\end{corollaire2}
-
-\begin{corollaire2}\label{algèbre galoisienne est projective}
-Pour tout $𝔪 ∈ \Specmax(A)$, $B/𝔪$ est de rang
-fini $♯G$ sur le corps $A/𝔪$. Plus généralement,
-$A → K$ est un morphisme de but un corps,
-la $K$-algèbre $B_K=B ⊗_A K$ est de dimension $♯G$.
-\end{corollaire2}
-
-En effet, $(B ⊗_A B)⊗_A K$ est d'une part (canoniquement) isomorphe à $B_K ⊗_K B_K$
-et, par hypothèse, isomorphe à $B_K^{(G)}$ ; on a donc $\dim_K(B_K)²=\dim(B_K
-⊗_K B_K)=\dim_K(B_K)⋅\#G$.
+\begin{proposition2}
+Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre galoisienne de groupe $G$
+et $A → A ′$ un morphisme. La $A ′$-algèbre $B ′ =B ⊗_A A ′$
+munie de l'action de $G$ par $A ′$-automorphisme $g(b ⊗ a ′)=g(b)
+⊗ a ′$ est également galoisienne de groupe $G$.
+\end{proposition2}
 
+\begin{démo}
+C'est trivial. \XXX
+\end{démo}
 
 \section{Groupe de Galois d'un polynôme}\label{groupe Gal poly}