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author | Fabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com> | 2011-01-06 17:36:59 +0100 |
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[CG] fin (passagèrement) sorites sur algèbres galoisiennes
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diff --git a/chapitres/correspondance-galois.tex b/chapitres/correspondance-galois.tex index 37a4876..9a38c9d 100644 --- a/chapitres/correspondance-galois.tex +++ b/chapitres/correspondance-galois.tex @@ -48,6 +48,8 @@ %— définir proprement clôture galoisienne (dire que ≤n! = % analogue de « tout sous-groupe d'indice n est contenu dans % un distingué d'indice ≤ n! ») +%— régler une fois pour toute la question de savoir si la convention +% B ⊗ B → B^G, λ ⊗ μ ↦ g(λ)μ est la bonne™ ou pas. \section{Conjugués d'un élément, extensions normales et galoisiennes} @@ -713,7 +715,7 @@ locale). Dans la première partie de ce livre, le contenu de ce paragraphe ne se qu'en \refext{formes}{G-torseurs sur k} et \refext{versel}{base normale et algèbres galoisiennes verselles}. -\begin{théorème2}Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre +\begin{théorème2}\label{algèbres galoisiennes conditions équivalentes}Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre et $G$ un groupe fini de $A$-automorphismes de $B$. Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} @@ -721,16 +723,17 @@ Les conditions suivantes sont équivalentes : et le morphisme \[m:B ⊗_A B → ∏_{g ∈ G} B=\Hom_{\Ens}(G,B)\] \[λ ⊗ μ ↦ \big(g(λ)μ\big)_g\] -est un isomorphisme. +est un isomorphisme (« pseudo-$G$-torseur »). \item Le morphisme $A → B$ est injectif, $A=\Fix_G(B)$ et pour tout idéal maximal $𝔪 ∈ \Specmax(A)$ et tout -$g ∈ G-\{1\}$, il existe $a ∈ A$ tel que $g(x)-x ∉ 𝔪$. +$g ∈ G-\{1\}$, il existe $a ∈ A$ tel que $g(x)-x ∉ 𝔪$ +(« groupes d'inerties triviaux »). \item Le morphisme $A → B$ est injectif, $A=\Fix_G(B)$, et il existe un entier $n ≥1$ ainsi que deux éléments $x$ et $y$ de $B^n$ tels que l'on ait $⟨x,g(y)⟩= δ_{g,1}$ pour tout $g ∈ G$, où $⟨,⟩$ est la forme -bilinéaire euclidienne usuelle. +bilinéaire euclidienne usuelle et $g(y)=(g(y₁), …,g(y_n))$. \item Le $A$-module $B$ est projectif de type fini et le morphisme $ι:B\{G\} → \End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(B)$, $∑ b_g g ↦ \big(b ↦ ∑ b_g g(b)\big)$ @@ -743,19 +746,26 @@ est l'ensemble des sommes formelles $∑ b_g g$, le produit \begin{définition2} Soient $A → B$ un morphisme d'anneaux et $G$ un groupe fini -de $A$-automorphismes. On dit que $B$ est une $A$-algèbre +de $A$-automorphismes de $B$. On dit que $B$ est une $A$-algèbre galoisienne de groupe $G$ lorsque les conditions équivalentes du théorème précédent sont satisfaites. \end{définition2} -Nous dirons également que $B$ est galoisienne sur $A$ -s'il existe un sous-groupe $G$ de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$ tel que -$B$ soit galoisienne de groupe $G$. +Une extension de corps $L\bo K$ finie et galoisienne est galoisienne de +groupe $\Aut_K(L)$ au sens précédent : cela résulte du critère (v) +et de l'égalité $\Fix_{\Aut_K(L)}(L)=K$ (\ref{KsurG=k}) ou bien +du critère (i) et du théorème \ref{galois=autodiag}. + +Nous commettrons parfois l'abus de langage suivant : une $A$-algèbre $B$ +sera dite \emph{galoisienne sur $A$} s'il existe un sous-groupe $G$ +non spécifié de $\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$ tel que +$B$ soit galoisienne de groupe $G$ sur $A$. \begin{miseengarde2}En général, une $A$-algèbre -galoisienne peut l'être pour des groupes non-isomorphes -(mais nécessairement de même cardinal, comme il résulte -du théorème). Cf. Generic@JLY pour des détails/exemples. +galoisienne peut l'être pour des groupes non-isomorphes. +Il résulte du théorème qu'ils sont cependant +nécessairement de même ordre. +Exemple \XXX. %Cf. Generic@JLY pour des détails/exemples. \end{miseengarde2} On a malgré tout le résultat positif suivant. @@ -765,13 +775,53 @@ Si $A → B$ galoisienne de groupe $G$ et $B$ est connexe (par exemple intègre), alors $G=\Aut_{A\traitdunion\Alg}(B)$. \end{proposition2} -Cette proposition sera démontrée ci-après. +\begin{démo} +Soit $H(A)=\Hom_A(B,B)$ l'ensemble des endomorphismes +de la $A$-algèbre $B$. Pour toute $A$-algèbre $A ′$, +posons plus généralement : $H(A ′):=\Hom_{A ′}(B_{A ′}, B_{A′})$ où +$B_{A ′}=B ⊗_A A ′$ muni de la structure de $A ′$-algèbre +évidente. Le morphisme $f ↦ f ⊗_A \Id_{A ′}$ induit +un morphisme de $A$-modules $H(A) → H(A ′)$. +Si $A → A ′$ est fidèlement plat, on a $H(A) ↪ H(A ′)$ +car $B$ est de type fini (cf. \refext{Tens}{}). +Calculons $H(B)$. On a par hypothèse un isomorphisme canonique +$B_B = B^G$ donc $H(B) = \Hom_B(B^G,B^G)$. La propriété +universelle du produit cartésien nous donne : $H(B)=\Hom_B(B^G,B)^G$. +Enfin, si $B$ est connexe, on a (\refext{Spec}{produit=somme}) +$H(B)=(∐_G \Hom_B(B,B))^G=G^G$. L'image de $H(A)$ dans $H(B)$ +est $G$-invariante, où l'action de $G$ sur $H(B)$ vient +de l'action de $G$ sur $B$ et de la fonctorialité +de $H$. On vérifie immédiatement que cette action +sur $H(B)$ correspondent, par l'isomorphisme +$H(B) ≃ G^G$, à l'action de translation de $G$ \XXX. +En particulier, l'ensemble des points fixes +est de cardinal $♯G$. On a donc $♯H(A)= ♯G$ d'où +les égalités $G=\End_A(B)=\Aut_A(B)$. +\end{démo} + +L'égalité $\End_A(B)=\Aut_A(B)$ se généralise de la façon suivante (voir aussi \ref{Hom=Aut}). + +\begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide} +Soit $A$ un anneau et soit $G$ un groupe fini. +Tout $A$-morphisme entre deux $A$-algèbres galoisiennes de groupe $G$ +est un isomorphisme. +\end{proposition2} + +%On dit que la catégorie des $G$-algèbres galoisiennes +%est un \emph{groupoïde}. -Il résulte de \ref{galois=autodiag} qu'une extension de -corps $L\bo K$ finie et galoisienne est galoisienne de -groupe $\Aut_K(L)$ au sens précédent (critère (i)), et réciproquement. +\begin{démo} +Par changement de base trivialisant les deux algèbres \XXX, +il suffit de montrer que tout $A$-morphisme $G$-équivariant +de $A^G$ vers $A^G$ est un isomorphisme. Un module +entre $A$-module libre est inversible si et seulement si +son déterminant est une unité. Ce critère se teste après +réduction modulo $𝔪$ pour $𝔪 ∈ \Specmax(X)$. On peut +donc finalement supposer que $A$ est un corps et en particulier +connexe. Cela résulte alors de la proposition précédente.\XXX +\end{démo} -\begin{démo}[Démonstration du théorème] +\begin{démo}[Démonstration du théorème \ref{algèbres galoisiennes conditions équivalentes}] (i) ⇒ (iii). Le fait que $A → B$ soit injectif n'est mis que pour mémoire : un morphisme fidèlement plat est, par définition, injectif et plat. Soit $b ∈ B$. Il résulte de la fidèle @@ -843,7 +893,10 @@ où $\Tr:B → B^∨$ est le morphisme $b ↦ ∑_g g(b)$, $B ⊗_A B^∨ → \End_A(B)$ est le morphisme évident $b ⊗ f ↦ \big(x ↦ f(x)b\big)$ et $ι^{-1}$ est l'application linéaire sous-jacente à l'inverse du morphisme de $A$-algèbres -non-nécessairement commutatives $ι$. D'après \refext{descente}{Hom=produit tensoriel si +non-nécessairement commutatives $ι$. +[En fait c'est $λ ⊗ μ ↦ (λ g(μ))$ ; faire le calcul et dire que c'est +pas grave. \XXX] +D'après \refext{descente}{Hom=produit tensoriel si projectif} et l'hypothèse, les deux dernières flèches sont des isomorphismes. Il suffit donc de démontrer que la trace $\Tr$ induit un isomorphisme $B ⥲ B^∨$. (Comparer @@ -857,45 +910,37 @@ paire $(g,h) ∈ G²$. En particulier, $b_g=h(b₁)$ et $f(x)=\Tr(b₁ x)$ pour tout $x ∈ B$. CQFD. \end{démo} -\begin{proposition2}\label{Gal-G est un groupoide} -Tout morphisme $G$-équivariant entre deux $A$-algèbres -galoisiennes de groupe $G$ est un isomorphisme. -\end{proposition2} - -\begin{démo} -\XXX -\end{démo} - -\begin{démo}[Démonstration de la proposition \ref{connexe implique G=Aut}] -Cf. DeMeyer par exemple \XXX -\end{démo} Signalons l'analogue suivant de \refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net} (iii). \begin{proposition2} -Soient $B\bo A$ une algèbre galoisienne. -$Ω¹_{B/A}=0$ : $B$ est formellement nette sur $A$. +Toute algèbre galoisienne sur un anneau $A$ +est formellement nette sur $A$. \end{proposition2} \begin{démo} -\XXX +Soient $B$ une telle algèbre sur $A$, $M$ un $B$-module +et $d:B → M$ une $A$-dérivation. +Notons $B ′ = B ⊗_A B$. En tant que $B$-algèbre, +elle est diagonale : il existe $n ∈ 𝐍_{≥1}$ tel que $B ′ ≃ B^n$. +Considérons l'application $B$-linéaire +$d ′ : B ′ → M ′$ définie par $d ′(b₁ ⊗ b₂)=d(b₁) ⊗ b₂$. +On immédiatement que $d ′$ est une $B$-dérivation de $B ′$ +à valeur dans $M ′$. Par fidèle platitude, le morphisme $M → M ′:=M ⊗_A B$ +est injectif de sorte que si $d ′=0$ on a également $d=0$. +Or, il est clair que $B^n$ est formellement nette sur $B$. CQFD. \end{démo} -\begin{corollaire2} -Notion stable par changement de base. -\end{corollaire2} - -\begin{corollaire2}\label{algèbre galoisienne est projective} -Pour tout $𝔪 ∈ \Specmax(A)$, $B/𝔪$ est de rang -fini $♯G$ sur le corps $A/𝔪$. Plus généralement, -$A → K$ est un morphisme de but un corps, -la $K$-algèbre $B_K=B ⊗_A K$ est de dimension $♯G$. -\end{corollaire2} - -En effet, $(B ⊗_A B)⊗_A K$ est d'une part (canoniquement) isomorphe à $B_K ⊗_K B_K$ -et, par hypothèse, isomorphe à $B_K^{(G)}$ ; on a donc $\dim_K(B_K)²=\dim(B_K -⊗_K B_K)=\dim_K(B_K)⋅\#G$. +\begin{proposition2} +Soient $A$ un anneau, $B$ une $A$-algèbre galoisienne de groupe $G$ +et $A → A ′$ un morphisme. La $A ′$-algèbre $B ′ =B ⊗_A A ′$ +munie de l'action de $G$ par $A ′$-automorphisme $g(b ⊗ a ′)=g(b) +⊗ a ′$ est également galoisienne de groupe $G$. +\end{proposition2} +\begin{démo} +C'est trivial. \XXX +\end{démo} \section{Groupe de Galois d'un polynôme}\label{groupe Gal poly} |