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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-12 23:58:48 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-01-12 23:58:48 +0100
commit655da8f86bfd093078940c97b911446ca12ce63c (patch)
treeb7a9f52c3008a1f9f1f3b53c7183173093158c22 /chapitres/entiers.tex
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[Azu,Boole,Ent,CG,Spec,tmp] multiples copiés-collés
J'ai essayé de réduire autant que possible le contenu du chapitre Spec (chap. 0). Il faut cependant donner quelques compléments sur la connexité. Si ça devient trop long, on peut faire une digression dans [CG] voire, si on veut rendre ce chapitre plus simple, déplacer les « G-algèbres galoisiennes » dans [Azu] (ce qui aurait un certain sens).
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-rw-r--r--chapitres/entiers.tex109
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index 8308806..e386ebe 100644
--- a/chapitres/entiers.tex
+++ b/chapitres/entiers.tex
@@ -660,6 +660,115 @@ de la $k$-algèbre de type fini $C$, elle est de type fini
sur $k$ si $k$ est nœthérien.
\end{démo}
+\subsection{Localisation}\label{Spec-localisation}
+
+\subsubsection{}Soit $A$ un anneau. Une partie $S$ de $A$ est dite « multiplicative »
+si tout produit fini d'élément de $S$ appartient à $S$ ou,
+de façon équivalente, si $1∈S$ et pour tous $s,s'∈S$, $ss'∈S$.
+Étant donnée une partie quelconque $S$ de $A$, il existe une
+plus petite partie, notée $S_{\mathrm{mult}}$, de $A$
+contenant $S$ et multiplicative.
+
+Si $S$ est une partie multiplicative,
+la relation $ℛ$ sur $A×S$ définie par
+$(a,s)ℛ(a',s')$ \ssi il existe $t∈S$
+tel que $t(s'a)=t(sa')$ est une relation d'équivalence. On note
+$A[S^{-1}]$ son quotient et $a/s$ la classe de l'élément $(a,s)$.
+On vérifie immédiatement que les opérations
+\[(a/s)+(a'/s'):=(as'+a's)/(ss')\] et
+\[a/s)×(a'/s')=(aa')/(ss')\] munissent l'ensemble $A[S^{-1}]$
+d'une structure d'anneau commutatif pour laquelle l'application
+$A→A[S^{-1}]$, $a↦(a/1)$ (dite « canonique ») est un \emph{morphisme}.
+Si $S$ est une partie quelconque de $A$, on pose
+$A[S^{-1}]:=A[S_{\mathrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l'
+\emph{anneau de fractions de $A$ défini par $S$}. C'est la
+$A$-algèbre « universelle » dans lequelle tout élément
+de $S$ devient inversible (cf. \refext{Tens}{propriété universelle
+localisation}). Si $𝔭$ est un idéal \emph{premier} de $A$, l'ensemble
+$A-𝔭$ est une partie multiplicative et on note plutôt
+$A_𝔭$ l'anneau $A[(A-𝔭)^{-1}]$, appelé \emph{localisé
+de $A$ en $𝔭$}. On vérifie immédiatement que si $A$ est un anneau intègre,
+le localisé $A_{(0)}$ est le \emph{corps des fractions} de $A$.
+
+\begin{proposition2}\label{Spec-spectre du localisé}
+Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$.
+Le morphisme canonique $A→A[S^{-1}]$ induit
+une \emph{injection} $\Spec(A[S^{-1}])→\Spec(A)$
+d'image
+\[
+\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}.
+\]
+\end{proposition2}
+
+En particulier, pour tout idéal premier $𝔭'$ de $A$,
+le spectre $\Spec(A_𝔭)$ s'identifie à $\{𝔭:𝔭⊆𝔭'\}$
+car la condition $𝔭∩(A-𝔭')=∅$ se $𝔭⊆𝔭'$.
+L'anneau $A_𝔭$ est donc \emph{local} : il ne possède qu'un idéal
+maximal.
+
+\begin{démo}
+On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car
+$𝔭∩S=∅$ \ssi $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$.
+Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image
+réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$
+car tout élément de $S$ est envoyé
+par $A→A[S^{-1}]$ sur un élément inversible
+et $𝔮$ ne contient pas de tels éléments.
+Montrons que l'application $c:\Spec(A[S^{-1}])→
+\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}$, $𝔮↦𝔮∩A$, est une bijection.
+Nous allons vérifier ci-dessous que l'application
+envoyant $𝔭∈\Spec(A)$ tel que $𝔭∩S=∅$ sur
+l'idéal $𝔮=𝔭A[S^{-1}]$ de $A[S^{-1}]$
+en est l'inverse. Fixons $𝔭$.
+Commençons par observer que tout élément de $𝔮$
+est de la forme $x/s$ où $x∈𝔭$ et $s∈S$.
+(Toute somme finie $∑_i x_i/s_i$ où $x_i∈𝔭$ et $s_i∈S$
+se met au même dénominateur.)
+Vérifions maintenant que l'idéal $𝔮$ est premier.
+Soient $a/s$ et $a'/s'$ tels que $(a/s)(a'/s')=x/{s''}∈𝔮$,
+où $x∈𝔭$. Par définition de l'anneau
+des fractions, il existe $t∈S$ tel que
+\[(ts'')(aa')=(tss')x.\]
+Le terme de droite appartient à l'idéal premier $𝔭$.
+Comme le facteur $ts''$ du terme de gauche n'appartient pas à
+$𝔭$ (car $𝔭∩S=∅$) on a finalement $a∈𝔭$ ou $a'∈𝔭$.
+Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, \cad que l'application
+$𝔭↦𝔭A[S^{-1}]$ est un inverse à droite
+de l'application $c$. Soit $a∈A$ tel que $a/1∈𝔮$.
+D'après ce qui précède, il existe $(x,s)∈𝔭×S$ tel
+que $a/1=x/s$. On en tire $(ts)a=tx$ pour un $t∈S$ convenable
+et, finalement, $a∈𝔭$.
+Pour conclure, il nous reste à vérifier que pour tout
+$𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$, l'inclusion \emph{a priori}
+$(𝔮∩A)A[S^{-1}]⊆𝔮$ est une égalité. Soit $x=a/s∈𝔮$, où $a∈A$
+et $s∈S$. L'élément $a/1=(s/1)(a/s)$ appartient également à
+l'idéal $𝔮$ de sorte que $a∈𝔮∩A$. L'égalité $x=(a/1)(1/s)$ montre
+que $x∈(𝔮∩A)A[S^{-1}]$.
+\end{démo}
+
+Si $B$ est une $A$-algèbre et $S$ une partie de $A$,
+on note $B[S^{-1}]$ l'anneau des fractions de $B$
+défini par l'\emph{image} de $S$ dans $B$.
+
+Nous ferons régulièrement usage du lemme suivant,
+qui est un cas particulier d'un résultat de \emph{platitude}
+(cf. \refext{Tens}{platitude localisation}).
+
+\begin{proposition2}\label{Spec-cas particulier platitude localisation}
+Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$.
+Si $f:A→B$ est un morphisme \emph{injectif} d'anneau,
+le morphisme $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$, $a/s↦f(a)/f(s)$,
+est également injectif.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mathrm{mult}}$, dans le noyau.
+Observons que l'on a $f(S_{\mathrm{mult}})=f(S)_{\mathrm{mult}}$.
+Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mathrm{mult}}$ tel que
+$f(t)f(a)=f(ta)=0$. Comme $f$ est injective, $ta=0$ et,
+finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori},
+son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul.
+\end{démo}
\subsection{Commutation à la localisation}