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path: root/chapitres/exemples-galois.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-08 12:41:32 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-03-08 12:41:32 (GMT)
commit816a46667909754a2d7db3d70eaab9d8d29b0529 (patch)
treee914850efcbaf014939697824ba6e58f2db5bc9e /chapitres/exemples-galois.tex
parent27826399603b4d8bbad670170f8e6628b18b9fd9 (diff)
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galois-816a46667909754a2d7db3d70eaab9d8d29b0529.tar.gz
galois-816a46667909754a2d7db3d70eaab9d8d29b0529.tar.bz2
[ExG] Argument un peu plus explicite pour l'existence d'un 2-cycle dans Gal(X^5 - 4X + 2)
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-rw-r--r--chapitres/exemples-galois.tex23
1 files changed, 16 insertions, 7 deletions
diff --git a/chapitres/exemples-galois.tex b/chapitres/exemples-galois.tex
index bc6871c..092d910 100644
--- a/chapitres/exemples-galois.tex
+++ b/chapitres/exemples-galois.tex
@@ -609,17 +609,26 @@ $G$ a alors un élément d'ordre $5$. Un tel élément, vu comme
permutation, est nécessairement un $5$-cycle. (De façon équivalente,
on peut conclure que $G_f$ contient un $5$-cycle directement à partir
du corollaire \refext{CG}{specialisation-elementaire-et-cycles} si on a
-remarqué que $f_3$ était irréductible.) Par ailleurs, comme $f$
-possède exactement trois racines réelles (donc une paire de racines
-complexes conjuguées), la conjugaison complexe se restreint (une fois
-choisi un plongement quelconque de $\dec(f)$ dans $\CC$) en un
-automorphisme de $\dec(f)$ sur $\QQ$ qui échange deux racines de $f$
-et laisse les trois autres fixes. Ainsi, le groupe de Galois $G$
-de $f$ peut se voir comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_5$ qui
+remarqué que $f_3$ était irréductible.)
+
+Par ailleurs, $f$ possède exactement trois racines réelles (donc une
+paire de racines complexes conjuguées) comme on le voit facilement
+avec un tableau de variation (ou en utilisant l'algorithme de
+Sturm-Liouville, cf. \XXX) : la conjugaison complexe se restreint donc
+(une fois choisi un plongement quelconque de $\dec(f)$ dans $\CC$) en
+un automorphisme de $\dec(f)$ sur $\QQ$ qui échange deux racines
+de $f$ et laisse les trois autres fixes. Ainsi, le groupe de Galois
+$G$ de $f$ peut se voir comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_5$ qui
contient un $5$-cycle et une transposition : un tel sous-groupe est
nécessairement $\mathfrak{S}_5$ tout entier. Le groupe de Galois
de $f$ est donc $\mathfrak{S}_5$.
+(Plutôt que d'invoquer les racines réelles, on pouvait aussi faire
+appel à la factorisation de $f$ modulo $257$, à savoir $f_{257} = (X +
+91)\, (X - 53)\, (X - 31)\, (X^2 - 7 X - 118)$, qui d'après le
+corollaire \refext{CG}{specialisation-elementaire-et-cycles} permet
+également de conclure à l'existence d'une transposition dans $G$.)
+
\subsubsection{}\label{exemple-galois-quintique-alterne} Considérons le polynôme $f = X^5 + 20X + 16$ sur $\QQ$.
Il est irréductible parce que sa réduction modulo $p=3$ est
irréductible : comme précédemment, on en déduit que son groupe de