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path: root/chapitres/exemples-galois.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2015-03-03 12:24:11 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2015-03-03 12:24:11 (GMT)
commiteea428900b7ccc7e3b13c69242d01b5d6ae1562f (patch)
tree212a83062a1c8864093b4853f72d6d7652eb46bd /chapitres/exemples-galois.tex
parent4132518bef97aa05f3e5dee58387b71e854db8df (diff)
parente7680147d352e63d42ab511ccfe6db2d3005fb88 (diff)
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Merge branch 'master' of git.madore.org:galois
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-rw-r--r--chapitres/exemples-galois.tex63
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diff --git a/chapitres/exemples-galois.tex b/chapitres/exemples-galois.tex
index 6ed1900..85b00f2 100644
--- a/chapitres/exemples-galois.tex
+++ b/chapitres/exemples-galois.tex
@@ -401,6 +401,12 @@ prouve l'existence d'un élément $\tau \in \Gal(f)$ non trivial dont
l'image dans $\Gal(h)$ est l'identité, disons $\tau(\sqrt{2+\sqrt{2}})
= -\sqrt{2+\sqrt{2}}$ (quitte à conjuguer $\tau$ par $\sigma$).
+\commentaire{Sauf erreur, on a $τ(…)=-…$ sans avoir besoin
+de conjuger car le carré est fixe.}
+
+\commentaire{Variante argument irréductibilité de $f$ : Eisenstein.}
+
+
On sait que $\sigma(\sqrt{2+\sqrt{2}}) = \pm\sqrt{2-\sqrt{2}}$.
Quitte à composer $\sigma$ par $\tau$ (à droite), on peut faire en
sorte que $\sigma(\sqrt{2+\sqrt{2}}) = \sqrt{2-\sqrt{2}}$, ce qu'on
@@ -2064,6 +2070,63 @@ sorte sur une de la seconde, donc n'opère pas transitivement sur les
hexades, une contradiction.
\end{proof}
+\section{Trinômes de Mori}
+
+Soient $g,p,b,c$ des entiers tels que :
+\begin{itemize}
+\item le nombre $g$ est un entier positif et $p$
+un nombre premier $≠2$ ; on suppose qu'il existe un entier
+positif $N$ tel que $(\frac{p-1}{2})^N$ soit divisible par $g$.
+(Cela revient à dire que tout diviseur premier de $g$
+est aussi un diviseur de $\frac{p-1}{2}$.)
+Cela entraîne que $(p,g)=(p,2g)=1$ et que si
+$g$ est pair, $p$ est congru à $1$ modulo $4$.
+
+\item le résidue $b\bmod p$ est une racine primitive
+de $𝔽_p$ ; en particulier, $(b,p)=1$ et $b\bmod p$ n'est
+\emph{pas} un carré dans $𝔽_p$.
+
+\item
+l'entier $c$ est impair et $(b,c)=(b,2g+1)=(c,g)=1$.
+Cela entraîne que $(c,2g)=1$.
+\end{itemize}
+
+Posons
+
+\[
+f(x)=f_{g,p,b,c}(x):=x^{2g+1}-bx-\frac{pc}{4}\in
+ℤ\left[\frac{1}{2}\right][x]\subset ℚ[x],\]
+que l'on appelle un \textbf{trinôme de Mori}.
+
+
+\begin{théorème2}
+ Soit $f=f_{g,p,b,c}$ un trinôme de Mori. Alors :
+\begin{enumerate}
+\item[(i)]
+Le polynôme $f$ is irreducible sur $ℚ₂$ et en particulier sur $ℚ$ ;
+\item[(ii)]
+Le polynôme $f \bmod p \in 𝔽_p[x]$ est le produit $x (x^{2g}-b)$
+d'un facteur linéaire $x$ et d'un polynôme irréductible $x^{2g}-b$ (sur $𝔽_p$) de degré $2g$ ;
+\item[(iii)]
+\item[(iv)]
+Pour tout nombre premier impair $ℓ$, chaque racine de $f(x)\bmod
+\ell \in 𝔽_{\ell}[x]$ est simple ou double. Une telle racine
+double, si elle existe, est dans $𝔽_{\ell}$.
+De plus, il existe un nombre premier impair $\ell \ne p$ tel que $f(x)\bmod \ell \in
+𝔽_{\ell}[x]$ ait effectivement une racine double $\bar{\alpha}\in 𝔽_{\ell}$.
+Toute autre racine de $f(x)\bmod \ell$ (dans une clôture algébrique de
+$𝔽_{\ell}$) est simple.
+\item Si $\Gal(f)$ est le groupe de Galois de $f$ sur $ℚ$ vu
+comme sous groupe (transitif) de $𝔖_{2g+1}$,
+alors $\Gal(f)$ est doublement transitif. Plus précisément,
+il contient une permutation $\sigma$ qui est un cycle de longueur $2g$.
+En fait, le groupe de Galois $\Gal(f)$ est $𝔖_{2g+1}$.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+Le polygone de Newton $2$-adique a un seul segment, …
+
+Voir \texttt{http://arxiv.org/abs/1411.4347}.
\ifx\danslelivre\undefined